Реферат: Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте

--PAGE_BREAK--1.2 Исходные данные
Задача формулируется для вагоноремонтных депо, которые в состоянии ремонтировать пять типов вагонов: полувагоны, крытые, платформы, вагоны-хопперы и цистерны. Предположим, что в производственном процессе используется пять видов ресурсов: рабочая сила, материалы, фонд времени ремонтных позиций, специальные запасные части и электроэнергия. Нормы расхода ресурсов на ремонт одного вагона по типам единые для всех вариантов задания представлены в табл. 1.2.




Таблица 1.2

Ресурсы

Нормы расхода ресурсов на один вагон

полувагон

крытый

платформа

хопердозатор

цистерна

Раб. сила, чел.час

180

205

160

336

170

Материалы, тыс. руб.

28

27

26

54

27

Фонд времени, час

17

18

16

30

17

Специальные запчасти,  тыс. руб.

0

0

0

15

10

Электроэнергия, тыс. квт∙час

1,5

1,4

0,9

1,6

1,2

Прибыль на 1 вагон, тыс. руб.

7,3

7,5

6,5

15

7



Данные о размерах прибыли на 1 отремонтированный вагон и объемах ресурсов на предприятии приведены по вариантам в табл. 3 и 4.
Таблица 1.3

Номер

варианта

Прибыль на 1 вагон, тыс. руб.

полувагон

крытый

платформа

хопердозатор

цистерна

1

2

3

4

5

7,3

7,5

7,7

8,0

7,1

7,5

7,7

7,9

8,4

8.1

6,5

6,0

6,4

6,3

7,0

15,0

14,2

15,4

15,7

15,5

7,1

7,3

7,6

7,9

6,8



1.3 Последовательность решения задачи
Определяются номера вариантов исходных данных применительно к табл. 1.3 и 1.4. Для этого две последние цифры зачетной книжки студента делятся с остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку от деления прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта для информации соответствующего вида.

Например, считываем из зачетной книжки число 89. Применительно к табл. 1.3 делим его на 5. Получаем 17 и 4 в остатке. Прибавляем к остатку единицу, получаем вариант 5. Если остаток 0, вариант 1.
Таблица 1.4

Номер

варианта

Объемы ресурсов

рабочая сила

материалы

фонд

времени

специальные запчасти

электроэнергия

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

650000

590000

680000

700000

750000

690000

800000

790000

770000

710000

100000

98000

120000

125000

130000

133000

129000

130000

115000

120000

125000

80000

90000

75000

88000

74000

95000

80000

92000

79000

5000

6000

7000

8000

9000

7800

10000

9600

8100

7900

6300

7000

6500

6900

7000

7400

9200

8400

7500

7800



Для соответствующих исходных данных составляется экономико-математическая модель.

Используя надстройку «Поиск решения» пакета EXCELрешается задача с выдачей отчета «Результаты».

Полученное решение анализируется, и делаются выводы, в которых дается характеристика найденному оптимальному варианту производственной программы вагоноремонтного предприятия и эффективности использования производственных ресурсов.




2. ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАГРУЗКИ МОЩНОСТЕЙ ПО ПРОИЗВОДСТВУ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
2.1 Постановка задачи
Железнодорожный транспорт в больших объемах потребляет разнообразные запасные части для поддержания активной части своих производственных фондов в работоспособном состоянии. Запасные части для предприятий железнодорожного транспорта изготавливаются на заводах по ремонту подвижного состава и производству запасных частей и других специализированных предприятиях. Снижение издержек, связанных с обеспечением предприятий железнодорожного транспорта запасными частями весьма актуально. Учитывая большую протяженность железных дорог России, эта задача должна решаться комплексно как для производственной, так и для транспортной составляющей затрат. Для решения этой задачи с успехом может быть использована экономико-математическая модель так называемой «Транспортной задачи линейного программирования» [1, 3, 9]. В частности ее разновидность – открытая модель транспортной задачи. Для построения экономико-математической модели рассматриваемой задачи введем следующие обозначения:

Аi– производственные мощности предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i;

Вj– потребности в запасных частях в пунктах j;

Хij– объемы перевозок запасных частей между пунктами производства и пунктами потребления i, ,j;

Зi– затраты на производство единицы (удельные затраты) запасных частей у предприятий по пунктам i;

Сij– затраты на транспортировку единицы запасных частей между пунктами производства и потребления;

аi– загрузка производственных мощностей предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i.

Тогда экономико-математическая модель может быть сформулирована следующим образом: найти совокупность переменных аi, минимизирующих целевую функцию F.
<img width=«279» height=«56» src=«ref-1_1237484532-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">  (2.1)
После некоторых преобразований формула (2.1) принимает вид:
<img width=«269» height=«65» src=«ref-1_1237485154-1065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">.
На целевую функцию накладываются следующие ограничения:
<img width=«33» height=«56» src=«ref-1_1237486219-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">Хij= аi, i = 1,2,…,m;  (2.2)

<img width=«33» height=«52» src=«ref-1_1237486376-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">Хij= Вj, j = 1,2,…,n;  (2.3)

<img width=«33» height=«52» src=«ref-1_1237486376-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">Аi> <img width=«33» height=«56» src=«ref-1_1237486219-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">Вj (2.4)

аi, Хij> = 0 для всех значений индексов  (2.5)
Ограничения 2.2 и 2.3 называются балансовыми. Они показывают, что вся произведенная продукция по пунктам размещения мощностей должна быть вывезена – ограничение 2.2, а спрос потребителей должен быть полностью удовлетворен – ограничение 2.3. Ограничение 2.5 показывает, что суммарная мощность всех предприятий должна превышать общие потребности. Это весьма важно, поскольку при равенстве задача оптимизации теряет смысл, так как будет иметь место только один вариант решения, при стопроцентной загрузке мощностей. Из ограничений 2.2 и 2.3 следует, что
<img width=«33» height=«52» src=«ref-1_1237486376-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">а = <img width=«33» height=«56» src=«ref-1_1237486219-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">В.
А из ограничения 2.5:
<img width=«33» height=«52» src=«ref-1_1237486376-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">А > <img width=«33» height=«52» src=«ref-1_1237486376-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">а.
Ограничение 2.5 называется ограничением неотрицательности переменных.
2.2 Методика решения задачи
Методику решения задач на основе модели 2.2–2.5 рассмотрим на следующем примере. Допустим, имеется три предприятия по производству запасных частей и пять пунктов потребления. Объемы производства будем измерять в тоннах, а затраты в тысячах рублей.

Показатели, характеризующие производственные мощности, имеют следующие значения:

А1 = 500 т; А2 = 400 т; А3 = 700 т

З1= 45 тыс. руб.; З2 = 49 тыс. руб.; З3 = 40 тыс. руб.

Потребности в пунктах потребления:

В1 = 350 т; В2 = 320 т; В3 = 190 т; В4 = 270 т; В5 = 230 т.

Затраты на транспортировку одной тонны запасных частей между пунктами производства и потребления представлены в матрице (табл. 2.1).


Таблица 2.1

Номера

пунктов производства i

Номера пунктов потребления j

1

2

3

4

5

1

2

3

3

10

8

5

8

5

4

11

6

7

9

7

6

13

4



На основе модели 2.1–.5 применительно к нашему примеру строим матрицу, отражающую особенности решаемой задачи. При этом следует учитывать, что ограничение 2.4 соответствует открытой модели транспортной задачи. В процессе ее решения открытая модель сводится к закрытой за счет искусственной балансировки ресурсов и потребностей. Для этого в модель вводится фиктивный потребитель и ему назначается спрос равный разнице суммарных мощностей и потребностей:
<img width=«148» height=«56» src=«ref-1_1237487470-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">.
Матрица, отражающая особенности решаемой задачи, принимает следующий вид (табл. 2.2).
Таблица 2.2

Мощности







Потребности Вj







Фикт. потр.

Аi

В1=350

В2=320

В3=190

В4=270

В5=230

Вф = 240





48



50



49



52



51



0

А1 = 500





























59



57



60



58



62



0

А2 = 400





























48



45



46



47



44



0

А3 = 700



























По строкам матрицы отражены мощности по производству запасных частей. По столбцам отражены потребители и их спрос. В клетках матрицы, в маленьких квадратиках, представлены показатели критерия оптимальности модели – суммарные затраты на производство и транспортировку продукции между предприятиями и потребителями. В столбце фиктивного потребителя показатели критерия оптимальности приравниваются нулю. Объемы перевозок между пунктами производства и потребления, которые находятся в результате решения, помещаются в клетки матрицы.

Сформулированная таким образом задача решается с помощью одного из известных алгоритмов транспортной задачи линейного программирования. Для ручного решения может быть рекомендован так называемый метод потенциалов в матричной постановке [1, 3, 5]. Тем не менее, даже для относительно небольших матриц решение транспортной задачи вручную весьма трудоемко. Рекомендуется использовать для этой цели средство EXCEL«Поиск решения».

Рассмотрим технологию использования «Поиска решения» на рассматриваемом примере.

Вначале вводятся исходные данные (рис. 9).
<img width=«361» height=«155» src=«ref-1_1237487860-12229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">

Рис. 9
На рисунке 9 в поле с единицами располагаются изменяемые ячейки. В ячейке целевой функции содержится формула суммы произведений матрицы изменяемых ячеек на матрицу затрат.

Далее заполняется окно Поиск решения по пунктам, рассмотренным в части 1. При этом следует учитывать, что при вводе ограничений должны быть введены равенства содержимого ячеек первых столбцов и верхней и нижней строк таблиц, представленных на рисунке 10 (балансовые ограничения транспортной задачи).
<img width=«427» height=«180» src=«ref-1_1237500089-16053.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

Рис. 10
После ввода параметров и нажатия кнопки «выполнить» получаем решение, которое представлено в матрице изменяемых ячеек на рис. 10.

В целевой ячейке записывается величина целевой функции – функционал.

Для наглядности переносим результат решения в клетки матрицы (табл. 2.3).
Таблица 2.3

Мощности

Потребности Вj

Фикт. потр.

Аi

В1 = 350

В2 = 320

В3 = 190

В4 = 270

В5 = 230

Вф = 240





48



50



49



52



51



0

А1 = 500

350



0



150



0



0











59



57



60



58



62



0

А2 = 400

0



0



0



160



0



240







48



45



46



47



44



0

А3 = 700

0



230



130



110



230



0





Анализ результатов решения показывает следующее. Предприятие А1 отправляет реальным потребителям В1 и В3 соответственно по 350 и 150 т запасных частей, что в сумме составляет 500 т. Иначе говоря, мощности предприятия А1 полностью вошли в оптимальный план. Следовательно загрузка мощностей этого предприятия а1 равна также 500 т, то есть 100 %. То же самое имеет место для предприятия А3. Предприятие А2 реальному потребителю В4 отправляет 160 т продукции. Оставшиеся мощности 240 т, как видно из табл. 2.3, приходятся на фиктивный потребитель. Это говорит о том, что мощности А2 востребованы не полностью. Следовательно, загрузка А2 составляет 160 т, то есть 40 %.

Из рис. 2.3. видно, что функционал, то есть суммарные производственные и транспортные затраты, составляет 65050 тыс. руб. Из них производственная составляющая – первый член целевой функции (формула 2.1) – равна 53340 тыс. руб., на транспортную составляющую приходится соответственно 11710 тыс. руб., или 18 %. Высокий удельный вес транспортной составляющей – свыше 5 % – свидетельствует о том, что транспортный фактор оказывает существенное значение на загрузку производственных мощностей для рассматриваемого примера.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.3 Исходные данные
Исходная информация для решения задачи включает в себя показатели, входящие в модель 2.1–2.5. Среди них можно выделить три группы исходных данных.

Первая группа – это показатели производственных мощностей по пунктам их размещения. К ним относятся собственно мощности предприятий по производству запасных частей – Аiи удельные затраты на производство – Зi. Мощности предприятий приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4

Ai

Мощности по производству запасных частей в тоннах по вариантам



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A1

490

500

550

670

1000

450

670

540

640

570

A2

380

350

690

500

390

600

300

760

290

930

A3

600

640

370

850

740

840

880

580

850

810

A4

750

850

950

450

600

760

490

670

700

350

A5

800

700

450

620

520

620

750

450

580

490



Удельные затраты на производство рассчитываются по формуле:
<img width=«144» height=«52» src=«ref-1_1237516142-709.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">(тыс. руб.).  (2.6)
Вторая группа показателей – это потребности в запасных частях по пунктам размещения потребителей в тоннах – Вj. Эти данные по вариантам приведены в табл. 2.5.

Третья группа показателей – это затраты на транспортировку запасных частей между пунктами производства и потребления на рассматриваемом полигоне железнодорожной сети. Полигон железнодорожной сети представлен табл. 2.6. Применительно к заданному полигону по вариантам задаются номера узлов железнодорожной сети, в которых размещены предприятия по производству запасных частей (индексы i), и номера узлов, в которых размещены потребители запасных частей (индексы j) (табл. 2.7).

Расчет минимальных транспортных затрат между пунктами производства и потребления осуществляется по формуле:
<img width=«83» height=«48» src=«ref-1_1237516851-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> (тыс. руб.),  (2.7)
где е – расходная ставка на 10 ткм. Для рассматриваемого рода груза принимается равной 80 руб.; L– минимальное расстояние, рассчитываемое для заданного полигона между пунктами производства и потребления, км.
Таблица 2.5

Пункты потребления j

Потребности пунктов потребления по вариантам (т)

1

2

3

4

5

6

1

470

540

240

390

480

460

2

330

290

430

600

340

840

3

560

420

620

350

560

430

4

610

600

320

780

500

590

5

220

310

790

620

700

300

6

650

460

600

370

210

450

7

490

720

400

410

520

510

8

670

860

610

650

670

680

9

700

450

730

720

790

520

10

460

300

540

300

460

400



Таблица 2.6

Номера узлов

1–2

1–3

1–4

2–3

2–6

2–10

3–5

3–7

3–8

4–5

Расстояние, км

110

75

90

160

69

130

150

170

130

98

Номера узлов

5–8

5–9

6–7

6–10

7–8

7–11

8–9

8–12

7–8

7–11

Расстояние, км

49

112

125

98

117

135

100

95

117

135

Номера узлов

8–9

8–12

9–12

9–13

10–11

10–14

11–12

11–14

12–13

12–15

Расстояние, км

100

95

110

113

95

117

150

105

190

170

Номера узлов

13–15

14–15

14–16

15–16













Расстояние, км

200

140

79

130















Таблица 2.7

Варианты

Номера узлов размещения мощностей – индексы i

Номера узлов размещения потребителей – индексы j

1

1

8

10

13

16

2

3

5

6

7

9

11

12

14

15

2

3

5

6

13

14

1

2

4

7

8

9

10

11

12

16

3

2

4

7

9

15

3

5

8

6

10

11

12

13

14

16

4

1

5

6

11

16

2

3

7

8

9

10

12

13

14

15



2.4 Последовательность решения задачи
Решение задачи осуществляется по вариантам применительно к табл. 2.4, 2.5 и 2.7. Расчет вариантов должен быть приведен в работе. Выполнение задачи осуществляется в следующем порядке.

1. Постановка задачи и формулировка экономико-математической модели в соответствии с заданной размерностью.

2. Определение показателей производственных мощностей. Величины мощностей берутся из табл. 2.4, а производственные затраты рассчитываются по формуле 2.6.

3. Расчет затрат на транспортировку единицы запасных частей между пунктами производства и потребления. Для этого по табл. 2.7 строится схема рассматриваемого полигона железных дорог – транспортная сеть, как это показано на фрагменте (рис. 11).

<img width=«364» height=«177» src=«ref-1_1237517261-2539.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055">



Рис. 11
На транспортной сети по соответствующему варианту выделяются узлы, в которых размещены производственные мощности и потребители запасных частей. Далее непосредственно по сети рассчитываются кратчайшие расстояния между каждым пунктом производства и потребления.

Результаты расчета заносятся в таблицу формы соответствующей табл. 2.1. Затраты на транспортировку рассчитываются по формуле 2.7 в таблице аналогичной формы.

4. Построение расчетной матрицы. Расчетная матрица, соответствующая табл. 2.2, строится на основе подготовленных ранее исходных данных. По существу она представляет собой экономико-математическую модель решаемой задачи в матричной форме.

5. Расчет оптимального плана транспортной задачи для расчетной матрицы. Расчет может быть выполнен вручную [2, 3, 4, 7], либо с применением соответствующих программных продуктов. Рекомендуется использовать для этой цели средства EXCEL«Поиск решения», как это было показано ранее с приложением листинга. Результат решения транспортной задачи оформляется согласно табл. 2.3.

6. Расчет показателей оптимального плана загрузки производственных мощностей. Показатели загрузки мощностей по каждому пункту определяются по строкам расчетной матрицы, в которой представлен результат решения транспортной задачи. Загрузка будет равна объему поставок продукции реальным потребителям, то есть без фиктивного. Далее рассчитываются затраты в целом по оптимальному плану и, в том числе, на производство и транспортировку продукции.

7. Анализ показателей оптимального плана и выводы.




3. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ–ВЫПУСК»)
3.1 Методика решения задачи
Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса.

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева, или модель «затраты–выпуск»).

Алгебраическая теория анализа «затраты–выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на nчистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) – некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т. п.).

Пусть xij – количество продукции i-й отрасли, расходуемое в j-й отрасли; xi – объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i; yi – объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления; zj – условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В табл. 3.1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.
Таблица 3.1

Производящие отрасли

Потребляющие отрасли

Конечный продукт

Валовой продукт

1

2

…..

n

1

2

….

N

X11

X21

….

Xn1

X12

X22

….

Xn2

….

….

….

….

X1n

X2n

….

Xnn

y1

y2

….

yn

X1

X2

….

Xn

Условно чистая продукция

Z1

Z1

….

Z1

<img width=«78» height=«53» src=«ref-1_1237519800-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">



Валовой продукт

X1

X2

….

Xn



<img width=«75» height=«49» src=«ref-1_1237520209-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">



Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:
<img width=«173» height=«50» src=«ref-1_1237520604-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> (3.1)
Величина условно чистой продукции Z, равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение (1) охватывает систему из п уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:


<img width=«213» height=«64» src=«ref-1_1237520989-663.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> (3.2)
Формула (3.2) описывает систему из nуравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что:
<img width=«121» height=«78» src=«ref-1_1237521652-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">.

<img width=«115» height=«78» src=«ref-1_1237522417-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">.
Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых материальных затрат А = (аij).

Коэффициент прямых материальных затрат аij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли:
<img width=«71» height=«56» src=«ref-1_1237523153-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">, i,j= 1, 2, …, n.  (3.3)
Формула 3.3 предполагает следующие допущения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А = (аij) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т. е. для выпуска j-й отраслью любого объема продукции Xj,- необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аijXj,-, т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:
<img width=«103» height=«29» src=«ref-1_1237523536-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">.  (3.4)
Подставляя (3.4) в балансовое соотношение (3.2), получаем
<img width=«144» height=«63» src=«ref-1_1237523900-614.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> (3.5)

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1237317148-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

или в матричной форме
<img width=«97» height=«19» src=«ref-1_1237524587-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> . (3.6)
С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

•Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X,-), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y,):
<img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1237524943-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">.  (3.7)
• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
<img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1237525389-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">.    (3.8)
•Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (3.7) и (3.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (E-A)–1 –матрицу, обратную матрице (Е — А). Если определитель матрицы (Е — А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (Е- А)–1 тогда систему уравнений в матричной форме (3.8) можно записать в виде
<img width=«76» height=«19» src=«ref-1_1237525610-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">. (3.9)
Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции n-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. норма больше единицы.

Пример

Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Уi,- для трехотраслевой экономической системы:
<img width=«169» height=«84» src=«ref-1_1237525910-1446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> <img width=«88» height=«84» src=«ref-1_1237527356-922.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">
Требуется:

1. Рассчитать все параметры межотраслевого баланса.

2. Заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи можно воспользоваться формулой (3.5), которая считается основным математическим соотношением межотраслевого баланса. Для этого составляется и решается соответствующая система линейных уравнений для нахождения объемов валовой продукции по отраслям. После этого вычисляются по приведенным формулам все остальные параметры.

Средства EXCEL позволяют организовать вычислительную процедуру более эффективно, решая задачу в матричной форме на основе формулы (3.9). Решение будем осуществлять в окне EXCEL, представленном табл. 3.2. Вначале в ячейки В2:D4 внесем матрицу коэффициентов прямых материальных затрат. Далее рассчитаем величины Е – А.
Таблица 3.2



A

B

C

D

E

F

G

1

2

3

4

5

6

7

8


А
Е-А



0,3

0,2

0,3
0,7

– 0,2

– 0,3



0,1

0,5

0,1
– 0,1

0,5

– 0,1



0,4

0

0,2
– 0,4

0

0,8







9

10

11

12

13


В





2,0408

0,8163

0,8673



0,6122

2,2448

0,5102



1,0204

0,4081

1,6836




Y



200

100

300

14

15

16

17

18


Х



775,5102

510,2041

729,5918











19

20

21

22


Xij



232.6531

155.102

232.6531



51.02041

255.102

57.02041



291.8367

0

145.9183









Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В = (Е- А)-1 и введем формулу для вычислений MOБP(B6:D8). Затем следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15: В17 для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемого по формуле


X = (Е- А)– 1 ∙ Y.
Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12,G10:G12). Затем следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER.

Межотраслевые поставки Хij вычисляем по формуле
<img width=«99» height=«29» src=«ref-1_1237528278-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">.
Заполняем схему МОБ (табл. 3.3).
Таблица 3.3

Производящие отрасли

Потребляющие отрасли

Конечный продукт

Валовой продукт

1

2

3

1

2

3

232,6

155,1

232,6

51,0

255,0

51,1

291,8

0,0

145,9

200

100

300

775,3

510,1

729,6

Условно чистая продукция

155,0

153,1

291,9

600



Валовой продукт

775,3

510,1

729,6



2015



    продолжение
--PAGE_BREAK--