Реферат: Численный расчет дифференциальных уравнений
--PAGE_BREAK--ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯРешить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1называется шагом интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
y/=f(x,y) (1)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0 (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b]на nравных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения у(хi)»yiвычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…);каждое звено МiMi+1этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.
Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|£a, |y-y0|£b}удовлетворяет условиям:
|f(x, y1)- f(x, y2)| £N|y1-y2| (N=const),
|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £M (M=const),
то имеет место следующая оценка погрешности:
|y(xn)-yn| £hM/2N[(1+hN)n-1], (3)
где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn— приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn*оценивается формулой
|yn-y(xn)|»|yn*-yn|.
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Модифицированный метод Эйлераболее точен.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)
с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n
<img width=«12» height=«195» src=«ref-1_298125030-263.coolpic» v:shapes="_x0000_s1049"> равных частей.На малом участке [x0,x0+h]
у интегральную кривую заменим прямой
<img width=«2» height=«21» src=«ref-1_298125293-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050"><img width=«98» height=«31» src=«ref-1_298125446-442.coolpic» v:shapes="_x0000_s1051"><img width=«59» height=«98» src=«ref-1_298125888-616.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052"><img width=«171» height=«83» src=«ref-1_298126504-994.coolpic» v:shapes="_x0000_s1053"> Nk/ y=y(x) линией. Получаем точку Мк(хк, ук).
<img width=«146» height=«40» src=«ref-1_298127498-517.coolpic» v:shapes="_x0000_s1054"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298128015-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1055"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_298125293-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1056">
<img width=«21» height=«2» src=«ref-1_298128323-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1057"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_298128476-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1058"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_298128323-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1059"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_298128780-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1060"><img width=«2» height=«22» src=«ref-1_298128933-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1061"><img width=«2» height=«2» src=«ref-1_298129088-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1062"><img width=«2» height=«2» src=«ref-1_298129088-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1063"><img width=«2» height=«2» src=«ref-1_298129088-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1064"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298129589-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1065"><img width=«2» height=«2» src=«ref-1_298129088-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1066"> Мк Мк/
<img width=«2» height=«22» src=«ref-1_298128933-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1067"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_298130064-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1068"><img width=«2» height=«11» src=«ref-1_298130220-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1069">
yk+1
<img width=«2» height=«21» src=«ref-1_298128780-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298128015-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1071"><img width=«2» height=«11» src=«ref-1_298130679-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298130832-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1073"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298130832-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1074">
yk
<img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298129589-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1075"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298131297-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298131297-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1077"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_298129589-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1078">
<img width=«291» height=«12» src=«ref-1_298131756-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079"><img width=«2» height=«2» src=«ref-1_298129088-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1080"> хкхк1/2xk+h=xk1 х
Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).
Делим отрезок (хк, хк1) пополам:
xNk/=xk+h/2=xk+1/2
yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/.В этой точке строим следующую касательную:
y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=αk
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αки определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:
ук+1=ук+αкh
xk+1=xk+h
(4) αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)
yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.
Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.
Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагомh, затем с шагом 2hи берут 1/3разницы этих значений:
| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),
где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.
Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:
y/=z
z/=f(x,y,z)
Тем самым преобразуются начальные условия:y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.
РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА
Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
y/=2x-y
Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2
Начальные условия:у0=1;
Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:
1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+αh; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;
f(x0,y0)=2*0-1=-1
y(x1/2)=1-1*0,1=0,9
α=2*0,1-0,9=-0,7
y1=1-0,1*0,2=0,86
2). y(x2)=y(x1)+α1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3
y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2
f(x1,y1)=2*0,2-0,86=-0,46
y(x1+1/2)=0,86-0,46*0,1=0,814
α1=2*0,3-0,814=-0,214
y2=0,86-0,214*0,2=0,8172
3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5
f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172
y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548
α2=2*0,5-0,81548=0,18452
y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104
4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7
f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896
y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936
α3=2*0,7-0,89=0,5113064
y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528
5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9
f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472
y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;
α4=2*0,9-1,02=0,779271248
y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953
2. Дано уравнение второго порядка:
y//=2x-y+y/
Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;
Замена: y/=z
z/=2x-y+z
Начальные условия: у0=1
z0=1
1).x1=0,2; x1/2=0,1
y(z1)=y(z0)+αh z(x1,y1)=z(x0,y0)+βh
y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2
f(z0,y0)=f10=1 f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0
y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1
α=z0=1 β=2*0,1-1,1+1=0,1
y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02
2).x2+0,4; x1+1/2=0,3
f11=z1=1,02 f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22
y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042
α1=z1+1/2=1,042 β1=2*0,3-1,302+1,042=0,34
y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088
3).x3=0,6; x2+1/2=0,5
f12=z2=1,088 f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796
y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596
α2=z2+1/2=1,13596 β2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876
y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752
4).x4=0,8; x3+1/2=0,7
f13=z3=1,211752 f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616
y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368
α3=z3+1/2=1,289368 β3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008
y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216
5).x5=1; y4+1/2=0,9
f14=z4=1,39827216 f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656
y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816
α4=z4+1/2=1,508752816 β4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546
y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике