Реферат: Вивчення функцій рядів Фур`є

--PAGE_BREAK--
те стане ясно, що множник при синусі
<img width=«117» height=«51» src=«ref-1_1513875103-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">
є кусочно-безперервною функцією від t у проміжку <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_1513875508-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">. У цьому випадку по лемі цей інтеграл при <img width=«47» height=«15» src=«ref-1_1513875656-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> прагне до нуля, так що й саме існування межі для часткової суми ряду Фур'є й величина цієї межі цілком визначається поводженням одного лише інтеграла


<img width=«281» height=«76» src=«ref-1_1513875781-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">
Але в цей інтеграл входять лише значення функції f(x), що відповідають зміні аргументу в проміжку від <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1513876750-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> до <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1513876878-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">. Цим міркуванням доводиться «принцип локалізації», що складає в наступному:

Поводження ряду Фур'є функції f(x) у деякій крапці <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513877013-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> залежить винятково від значень, прийнятих цією функцією в безпосередній близькості розглянутої крапки, тобто в як завгодно малій її околиці.

Таким чином, якщо взяти дві функції, значення яких у довільно малій околиці <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513877013-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> збігаються, то як би вони не розходилися поза цією околицею, що відповідають цим функціям ряди Фур'є поводяться в крапці <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513877013-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> однаково: або обоє сходяться, і притім до однієї й тій же сумі, або обоє розходяться.
4. Подання функцій рядів Фур'є
Накладемо на функцію f(x) більше важка вимога, а саме-припустимо її у проміжку <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1513853194-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.

Тоді має місце загальна теорема:

Теорема. Якщо функція f(x) з періодом <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1513840179-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">кусочно-диференцуєма в проміжку <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1513853194-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, то її ряд Фур'є в кожній крапці <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513863698-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> сходиться й має суму
<img width=«148» height=«36» src=«ref-1_1513877830-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
Ця сума, мабуть, дорівнює <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1513878213-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, якщо в крапці <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513863698-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> функція безперервна.

Доказ. Відзначимо, що рівність (14) має місце для кожної функції f(x), що задовольняє поставленим умовам. Якщо, зокрема, взяти<img width=«55» height=«23» src=«ref-1_1513878559-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, то <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_1513878801-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, і з (14) одержимо, що
<img width=«113» height=«68» src=«ref-1_1513879048-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">
Множачи обидві частини рівності на постійне число <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513879603-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> й віднімаючи результат з (14), знайдемо
<img width=«427» height=«76» src=«ref-1_1513879697-1376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">
для нашої мети потрібно довести, що інтеграл праворуч при <img width=«47» height=«15» src=«ref-1_1513875656-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">прагне до нуля.

Представимо його у вигляді
<img width=«144» height=«51» src=«ref-1_1513881198-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> (15)
де покладено
<img width=«313» height=«66» src=«ref-1_1513881782-838.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> (16)
якби нам удалося встановити що ця функція кусочно-безперервна, то з леми попереднього параграфа варто було б уже, що інтеграл (15) має межу нулю при <img width=«47» height=«15» src=«ref-1_1513875656-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">. Але в проміжку <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1513882745-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> функція g(x) взагалі безперервна, за винятком хіба лише кінцевого числа крапок, де вона може мати перегони-тому що така функція f(x). Залишається відкритим лише питання про поводження функції g(x) при <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1513882962-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.

Ми доведемо існування кінцевої межі
<img width=«89» height=«32» src=«ref-1_1513883094-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">;
поклавши тоді g(0)=K, ми в крапці t=0 одержимо безперервність, і застосування леми виявиться виправданим. Але другий множник у правій частині рівності (16) явно має межею одиницю; звернемося до вираження квадратних дужках.

Нехай, для простати, спочатку крапка <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513877013-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> лежить усередині проміжку, де функція f(x) диференцуєма. Тоді <img width=«187» height=«24» src=«ref-1_1513883515-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, і кожне зі співвідношень
<img width=«117» height=«41» src=«ref-1_1513884020-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> <img width=«112» height=«41» src=«ref-1_1513884460-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> (17)
прагне до межі <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1513884890-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, а <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_1513885127-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">— до нуля. Якщо ж <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513877013-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> є «крапка стику», то при цьому вона може виявитися як крапкою безперервності, так і крапкою розриву. У першому випадку ми знову зштовхнемося з відношенням (17), але вони будуть прагнути цього разу до різних меж, відповідно-до похідній праворуч і до похідної ліворуч. До аналогічного результату прийдемо й у випадку розриву, але тут <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1513878213-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> заміниться значеннями <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_1513885558-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> тих функцій, від склеювання яких вийшла дана, а межами відносин (17) будуть однобічні похідні згаданих функцій при <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513863698-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">.

Отже, наш висновок справедливо у всіх випадках.


5. Випадок неперіодичної функції
Вся побудована вище теорія виходила із припущення, що задана функція визначена для всіх речовинних значень x і притім має період <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1513840179-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">. Тим часом найчастіше доводиться мати справа з неперіодичною функцією f(x), інший раз навіть заданої тільки в проміжку <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1513886047-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">.

Що б мати право застосувати до такої функції викладену теорію, уведемо замість її допоміжну функцію <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1513886207-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> певну в такий спосіб. У проміжку <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1513886435-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> ми ототожнюємо <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513886661-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> з f(x):
<img width=«224» height=«24» src=«ref-1_1513886880-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> (18)
потім думаємо
<img width=«159» height=«24» src=«ref-1_1513887380-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
а на інші речовинні значення x поширюємо функцію <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513886661-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> за законом періодичності.

До побудованого в такий спосіб функції <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513886661-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> з періодом <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1513840179-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> можна вже застосувати доведену теорему розкладання. Однак, якщо мова йде про крапку <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1513877013-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">, що строго лежить між <img width=«27» height=«15» src=«ref-1_1513841819-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197"> і <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513841919-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, те, через (18), нас довелося б мати справа із заданою функцією <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">. По тій же причині й коефіцієнти розкладання можна обчислити по формулах обчислення коефіцієнтів не переходячи до допоміжної функції. Коротше кажучи, все доведене вище безпосередньо переноситься на задану функцію <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, минаючи допоміжну функцію <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513886661-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">.

Особливої уваги, однак, вимагають кінці проміжку <img width=«49» height=«17» src=«ref-1_1513889309-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">. При застосуванні до функції <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513886661-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> теореми попереднього параграфа, скажемо, у крапці <img width=«39» height=«15» src=«ref-1_1513889655-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">, нам довелося б мати справа як зі значеннями допоміжної функції <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513886661-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> праворуч від <img width=«39» height=«15» src=«ref-1_1513889655-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, де вони збігаються вже зі значеннями <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> праворуч від <img width=«48» height=«15» src=«ref-1_1513890311-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">ю Тому для <img width=«49» height=«17» src=«ref-1_1513889309-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">як значення <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513890554-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> належало б взяти
<img width=«485» height=«44» src=«ref-1_1513890657-1180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">.
Таким чином, якщо задана функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> навіть безперервна при <img width=«49» height=«17» src=«ref-1_1513889309-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, але не має періоду <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1513840179-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">, так що <img width=«95» height=«23» src=«ref-1_1513892283-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, те-при дотриманні вимог сумою ряду Фур'є буде число
<img width=«101» height=«41» src=«ref-1_1513892637-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
відмінне як від <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_1513893055-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">, так і від <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1513893288-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">. Для такої функції розкладання має місце лише у відкритому проміжку <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_1513893511-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">.

Наступне зауваження так само заслуговує на особливу увагу. Якщо тригонометричний ряд
<img width=«241» height=«45» src=«ref-1_1513893757-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">
сходиться в проміжку <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_1513894482-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> до функції <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">, то через те, що його члени мають період <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1513840179-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">, він сходиться всюди, і сума його <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1513895040-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> теж виявляється періодичною функцією з періодом <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1513840179-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">. Але ця сума поза зазначеним проміжком взагалі вже не збігається з функцією <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">.




6. Випадок довільного проміжку
Припустимо, що функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> задана в проміжку <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1513895785-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> довільної довжини <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513895931-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> в ньому. Якщо вдатися до підстановки
<img width=«157» height=«41» src=«ref-1_1513896025-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">,
те вийде функція <img width=«45» height=«45» src=«ref-1_1513896440-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> від <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513896660-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> у проміжку <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1513886047-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">, теж кусочно-диференцуєма, до якої вже прикладемо розгляду попереднього параграфа. Як ми бачили, за винятком крапок розриву й кінців проміжку, можна розкласти її в ряд Фур'є:
<img width=«244» height=«45» src=«ref-1_1513896909-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">
коефіцієнти якого визначаються формулами Ейлера-Фур'є:
<img width=«176» height=«51» src=«ref-1_1513897684-569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> <img width=«172» height=«51» src=«ref-1_1513898253-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">

<img width=«112» height=«23» src=«ref-1_1513898819-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> <img width=«111» height=«23» src=«ref-1_1513899112-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">
повернемося тепер до колишньої змінного <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513899395-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">, думаючи
<img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1513899479-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">.
Тоді одержимо розкладання заданої функції <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">в тригонометричний ряд трохи зміненого виду:


<img width=«261» height=«45» src=«ref-1_1513899856-804.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> (19)
Тут косинуси й синуси беруться від кутів, кратних не <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513899395-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">, а <img width=«23» height=«41» src=«ref-1_1513900744-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">. Можна було б і формули для визначення коефіцієнтів розкладання перетворити тією же підстановкою до виду
<img width=«163» height=«51» src=«ref-1_1513900872-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> <img width=«153» height=«51» src=«ref-1_1513901434-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> (20)

<img width=«112» height=«23» src=«ref-1_1513898819-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> <img width=«111» height=«23» src=«ref-1_1513899112-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">
Відносно кінців проміжку <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513902574-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">зберігають силу зауваження, зроблені в попередньому параграфі щодо крапок <img width=«51» height=«17» src=«ref-1_1513902695-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> Звичайно, проміжок <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_1513902824-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> може бути замінений будь-яким іншим проміжком довгі <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1513903038-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> зокрема, проміжком <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1513903140-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">. В останньому випадку формули (20) повинні бути замінені формулами
<img width=«163» height=«51» src=«ref-1_1513903369-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> <img width=«152» height=«51» src=«ref-1_1513903930-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> (20a)

<img width=«112» height=«23» src=«ref-1_1513898819-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> <img width=«111» height=«23» src=«ref-1_1513899112-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">
7. Випадок парних і непарних функцій
Якщо задана в проміжку <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1513886047-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> буде непарної, то очевидно
<img width=«84» height=«51» src=«ref-1_1513905441-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">


У цьому легко переконається:
<img width=«381» height=«51» src=«ref-1_1513905831-1208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">.
Таким же шляхом установлюється, що у випадку парної функції <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">:
<img width=«139» height=«51» src=«ref-1_1513907252-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">.
Нехай тепер <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> буде кусочно-диференцуєма в проміжку <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1513886047-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> парна функція. Тоді добуток <img width=«64» height=«23» src=«ref-1_1513908202-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> виявиться непарною функцією, і по сказаному
<img width=«175» height=«51» src=«ref-1_1513908476-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">
Таким чином, ряд Фур'є парної функції містить одні лише косинусів:
<img width=«159» height=«45» src=«ref-1_1513909030-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> (21)
Тому що <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1513909569-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">в цьому випадку буде теж парною функцією, те, застосувавши сюди друге зі зроблених вище зауважень, можемо коефіцієнти <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513909858-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> розкладання написати у вигляді
<img width=«153» height=«51» src=«ref-1_1513909955-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"><img width=«112» height=«23» src=«ref-1_1513898819-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">(22)


Якщо ж функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> буде непарної, то непарної буде й функція <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1513909569-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, так що
<img width=«175» height=«51» src=«ref-1_1513911271-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> <img width=«112» height=«23» src=«ref-1_1513898819-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">
Ми доходимо висновку, що ряд Фур'є непарної функції містить одні лише синусів:
<img width=«123» height=«45» src=«ref-1_1513912107-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">(23)
При цьому через парність добутку <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_1513912577-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">можна писати:
<img width=«169» height=«51» src=«ref-1_1513912868-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"><img width=«111» height=«23» src=«ref-1_1513899112-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> (24)
Відзначимо, що кожна функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, задана в проміжку <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1513886047-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, може бути представлена у вигляді суми парних і непарної тридцятимільйонних функцій:
<img width=«131» height=«23» src=«ref-1_1513914071-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">,
Де
<img width=«316» height=«41» src=«ref-1_1513914502-879.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">


Очевидно, що ряд Фур'є функції <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> саме й складеться з розкладання по косинусах функції <img width=«38» height=«21» src=«ref-1_1513915594-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> й розкладання по синусах функції <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1513915814-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">.

Припустимо, далі, що функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> задана лише в проміжку <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_1513916258-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">. Бажаючи розкласти її в цьому проміжку в ряд Фур'є ми доповнимо визначення нашої функції для значень x у проміжку <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_1513916409-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> по сваволі, а потім застосуємо сказане в пункті «Випадок неперіодичної функції».

Можна використовувати сваволю у визначенні функції в проміжку <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_1513916409-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> так, що б одержати для <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> розкладання тільки лише по косинусах або тільки по синусах. Дійсно, представимо семі, що для <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1513917086-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> ми думаємо <img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1513917234-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">, так що в результаті виходить парна функція в проміжку <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1513886047-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">. Її розкладання, як ми бачили, буде містити одні лише косинуси. Коефіцієнти розкладання можна обчислювати по формулах (22), куди входять лише значення спочатку заданої функції <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">.

Аналогічно, якщо доповнити визначення функції <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> за законом непарності, то вона стане непарної й у її розкладанні будуть одні лише синуси. Коефіцієнти її розкладання визначаються по формулах (24).

Таким чином, задану в проміжку <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_1513916258-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> функцію при дотриманні умов виявляється можливим розкладати як по косинусах, так і по одним лише синусах.

Особливого дослідження вимагають крапки <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513918293-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> й <img width=«39» height=«15» src=«ref-1_1513889655-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">. Тут обоє розкладання поводяться по-різному. Припустимо, для простоти, що задана функція <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1513857961-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> безперервна при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513918293-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> й <img width=«39» height=«15» src=«ref-1_1513889655-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">, і розглянемо спочатку розкладання по косинусах. Умова <img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1513917234-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">, насамперед, зберігає безперервність при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513918293-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">, так що ряд (21) при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513918293-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> буде сходитися саме к.<img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513919508-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> Тому що, далі,
<img width=«200» height=«23» src=«ref-1_1513919731-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">    продолжение
--PAGE_BREAK--