Реферат: Лекции по матану III семестр переходящие в шпоры

--PAGE_BREAK--1 Сведение
2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.

Если  фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î[a,b] непрерывна на у, на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = <img width=«61» height=«43» src=«ref-1_291109364-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл: <img width=«151» height=«48» src=«ref-1_291109685-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">, наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.
2 Необходимый
признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:<img width=«55» height=«25» src=«ref-1_291110184-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

Док-во: <img width=«113» height=«25» src=«ref-1_291110422-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">

Sn=u1+u2+…+un

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, поэтому:

<img width=«144» height=«43» src=«ref-1_291110752-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.

№5
1 Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат
Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, yс помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x= x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0:<img width=«79» height=«59» src=«ref-1_291111247-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

<img width=«129» height=«53» src=«ref-1_291111614-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">

2 Интегральный признак

сходимости ряда. Ряд Дирихле

Т1Пущай дан рядт <img width=«29» height=«37» src=«ref-1_291106792-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">(1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3…>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на [1,+¥] такая, что f(n) = Un, "nÎN, то для сходимости ряда (1) необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:<img width=«47» height=«40» src=«ref-1_291112305-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: <img width=«33» height=«37» src=«ref-1_291112564-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">, aÎRСей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при a>0 общий член оного un=1/naà0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/xa  (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла: <img width=«35» height=«40» src=«ref-1_291112822-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Возможны три случая:

1 a>1, <img width=«140» height=«67» src=«ref-1_291113079-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0<a<1,

<img width=«128» height=«64» src=«ref-1_291113663-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">

Интеграл и ряд расходится

3 a=1,

<img width=«107» height=«64» src=«ref-1_291114220-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> 

Интеграл и ряд расходится


№ 6
    продолжение
--PAGE_BREAK--1 Двойной интеграл
в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j) где r= |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j= угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j<=2p.

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x= r×cosj, y= r×sinj.

Якобиан преобразования будет равен:

<img width=«155» height=«77» src=«ref-1_291114723-678.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">И формула при переходе примет вид:

<img width=«124» height=«53» src=«ref-1_291115401-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">

2 Признаки сравнения

Т(Признаки сравнения)

Пущай <img width=«29» height=«37» src=«ref-1_291115843-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> и <img width=«29» height=«37» src=«ref-1_291116089-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> ряды с неотрицательными членами и для любого nвыполняется нер-во:

un<=vn(1)тогда

1 Если ряд vnсходится, то сходится и ряд un

2 если ряд unрасходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!

Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Т3 Засекреченная

Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:

<img width=«59» height=«32» src=«ref-1_291116333-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> (0<k<+¥) тада оба эти ряда сходятся.

№7
1 Вычисление площади плоской области с помощью 2ного интеграла
Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то

<img width=«107» height=«44» src=«ref-1_291116604-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

Если Д огр линиями в полярных координатах, то

<img width=«59» height=«31» src=«ref-1_291117054-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

2 Признаки Даламбера и Коши

Т(Признак Далембера)

Пущай для ряда unс положит членами существует предел:

<img width=«68» height=«37» src=«ref-1_291117334-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, то

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел:<img width=«67» height=«28» src=«ref-1_291117626-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">, тогда

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут. Вот.

№8
1 Вычисление объема
с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр  снизу плоскостью оху, сверху z= f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:<img width=«84» height=«31» src=«ref-1_291117906-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:

z = |f(x,y)|>=0.

тогда <img width=«100» height=«72» src=«ref-1_291118218-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1, f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:

<img width=«147» height=«53» src=«ref-1_291118767-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">

2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные знаки (один ♀, другой ♂), если считать каждый член сего ряда положительным то его можно записать в виде: <img width=«64» height=«37» src=«ref-1_291119296-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> 

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…

2) <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_291119584-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">

то ряд сходится, а его сумма и остаток rnудовлетворяют неравенствам: 0<=S<=unи |rn|<=un+1

Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.

Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.

№9
    продолжение
--PAGE_BREAK--1 Вычисление
площади поверхности

с помощью двойного интеграла.

Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z= f(x,y) и имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция f×(x,y) непрерывна и имеет  непрерывные частные производные: тогда площадь поверхности Р вычисляется:

<img width=«141» height=«45» src=«ref-1_291119822-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">

для ф-ций вида x= m(y,z) или y= j(x,z) там будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy.

2 Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная

сходимость рядов.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:

u1+u2…+un=<img width=«29» height=«37» src=«ref-1_291115843-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">(1), где un– может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:

|u1|+|u2|…+|un|=<img width=«33» height=«37» src=«ref-1_291120566-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">(2),

Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.

Т. Признак абсолютной сходимости:

Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при этом:

<img width=«33» height=«40» src=«ref-1_291120816-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"><=<img width=«33» height=«37» src=«ref-1_291120566-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

Доквы:

т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| "nÎN, то переходя к пределу получим:

<img width=«33» height=«37» src=«ref-1_291120566-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><=<img width=«97» height=«35» src=«ref-1_291121566-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"><img width=«33» height=«40» src=«ref-1_291120816-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">

Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un– Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней.

Т(Римана)

Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число Sможно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых

№10

1 Вычисление массы,

координат центра масс,

моментов инерции плоской

материальной пластины с

помощью 2ного интеграла.

Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:

<img width=«84» height=«31» src=«ref-1_291122138-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, где r(х, у) – поверхностная плотность.

Координаты центра масс выч по ф-ле:

<img width=«93» height=«59» src=«ref-1_291122442-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

<img width=«95» height=«59» src=«ref-1_291122863-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

если пластина однородная, т. е. r(х, у) – const, то ф-лы упрощаются:

<img width=«64» height=«59» src=«ref-1_291123291-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"><img width=«65» height=«59» src=«ref-1_291123638-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох

<img width=«95» height=«31» src=«ref-1_291123998-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"><img width=«96» height=«31» src=«ref-1_291124329-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">

Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:

<img width=«97» height=«32» src=«ref-1_291124655-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"><img width=«97» height=«32» src=«ref-1_291124985-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"><img width=«129» height=«32» src=«ref-1_291125318-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

J0=Jx+Jy

если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.

2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.

Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную сумму: <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">(2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда nпорядка, а ряд: un+1? un+2… — его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 ÎЕ получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а из (2) – числовой ряд<img width=«48» height=«37» src=«ref-1_291125954-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.

Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при "xΠ Ef(x) = <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_291126226-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x) определенная при "xÎЕ равенством

S(x)=<img width=«48» height=«37» src=«ref-1_291125954-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)

<img width=«68» height=«25» src=«ref-1_291126752-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существует

<img width=«95» height=«36» src=«ref-1_291127022-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> и

<img width=«92» height=«28» src=«ref-1_291127374-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

№11
    продолжение
--PAGE_BREAK--1 Тройные интегралы
Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области Vтрехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f(x,y,z). Разобьем область Vна nпроизвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами DV1… DVnВ каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(xi,hi,ci) составим сумму: <img width=«23» height=«37» src=«ref-1_291127692-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">f(xi,hi,ci)×DVi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за lмаксимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при là0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области VИ обозначается:

<img width=«96» height=«56» src=«ref-1_291127928-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональнуюпоследовательность {fn)x)} xÎEназ. равномерно сходящейся ф-цией fна м-ж Е, если для Îe>0, сущ номер N, такой, что для "т х ÎEи "n>Nвыполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции fна сем м-ж. тогда пишут: fnàf.

<img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его частичной суммы., т. ен. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) àf(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500 выдумывали.)

Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)

Если числовой ряд: <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291128582-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">(7),

где a>=0 сходится и для "xÎEи "n= 1,2… если выполняется нер-во |un(x)|<=an(8), ряд <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">(9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.

Док-вы:

Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e>0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, "n>Nи вып. нерво <img width=«53» height=«37» src=«ref-1_291129105-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = <img width=«168» height=«40» src=«ref-1_291129382-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">

Это означает, что Sn(x) àS(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12
    продолжение
--PAGE_BREAK--1 Замена переменных
в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V= f(x,y,z)  взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан

<img width=«104» height=«83» src=«ref-1_291129903-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">

то справедлива формула:

<img width=«113» height=«59» src=«ref-1_291130351-559.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,zформулами: x=rcosj,  y=rsinj, z=z(0<=r<=+¥, 0<=j<= 2p, -¥<=z<=+¥)

Якобианпреобразования:

<img width=«107» height=«131» src=«ref-1_291130910-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

<img width=«136» height=«56» src=«ref-1_291131575-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

При переходе к сферическим координатам: r? jq, связанными с z,y,zформулами x=rsinq×cosj, 

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0<=r<=+¥, 0<=j<= 2p,

0<=q<=2p)

Якобиан преобразования:

<img width=«139» height=«91» src=«ref-1_291132042-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">

Т. е. |J|=r2×sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет:

<img width=«132» height=«61» src=«ref-1_291132553-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

2 Свойства равномерно

сходящихся рядов

Т1 Если ф-ция un(x), где х ÎЕ непрерывна в т. х0 ÎEи ряд <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">(1) равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">также непрерывна в т. х0.

Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) ÎRи непрерывная на отр. [a,b] и ряд <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">(3) равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 Î[a, b] <img width=«57» height=«40» src=«ref-1_291133926-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">(4) тоже равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b: <img width=«107» height=«40» src=«ref-1_291134240-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.

Т3 (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) ÎRи непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных <img width=«45» height=«37» src=«ref-1_291134682-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">(6) равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">  сходится хотя бы в одной точке x0 Î[a,b] то он сходится равномерно на всем отрезке [a,b], его сумма S(x) = <img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

S’(x)= <img width=«45» height=«37» src=«ref-1_291134682-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">(9)

В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:

(<img width=«43» height=«37» src=«ref-1_291125693-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">)’ = <img width=«45» height=«37» src=«ref-1_291134682-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

Soряд (7) можно почленно дифференцировать

№13

1 Приложения

тройных интегралов

Объем тела<img width=«67» height=«31» src=«ref-1_291136269-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

Масса тела: <img width=«107» height=«31» src=«ref-1_291136562-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, где r(М) = r(x,y,z) — плотность.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

<img width=«119» height=«85» src=«ref-1_291136892-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

Момент инерции относительно начала координат:

<img width=«143» height=«32» src=«ref-1_291137494-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">

Координаты центра масс:

<img width=«88» height=«44» src=«ref-1_291137888-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">
<img width=«87» height=«44» src=«ref-1_291138221-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">

<img width=«87» height=«44» src=«ref-1_291138551-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> m– масса.

Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxyотносит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) = const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2 Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a+a1x+a2x2+… + anxn= <img width=«44» height=«37» src=«ref-1_291138884-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">(1) xÎRчленами которого являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = <img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291139155-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">(2)

 Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|

№14
1 Определение криволинейных
интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на nэлементарных дуг точками t0..tnпусть Dlkдлина kчастной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(xk,hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:

d1 =<img width=«23» height=«37» src=«ref-1_291127692-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> f(xk,hk)×Dlk

d2 =<img width=«23» height=«37» src=«ref-1_291127692-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> Р(xk,hk)×Dхk

d3 =<img width=«23» height=«37» src=«ref-1_291127692-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> Q(xk,hk)×Dyk,

гдеDхk = xk-xk-1, Dyk= yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги  будет называться предел интегральной суммы d1  при условии, что max(Dlk) à

<img width=«109» height=«31» src=«ref-1_291140165-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">

Если предел интегральной суммы d2 или d3 при là0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l= ABи обозначается:

<img width=«56» height=«31» src=«ref-1_291140525-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> или <img width=«56» height=«31» src=«ref-1_291140797-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">

  сумму: <img width=«56» height=«31» src=«ref-1_291140525-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">+<img width=«56» height=«31» src=«ref-1_291140797-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

<img width=«107» height=«31» src=«ref-1_291141621-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l= AB. Сама кривая lназ контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl– дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

<img width=«119» height=«31» src=«ref-1_291141961-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:

<img width=«123» height=«53» src=«ref-1_291142322-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">

В случае, когда l– замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура lназывают положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру lпробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

<img width=«103» height=«31» src=«ref-1_291142829-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

<img width=«64» height=«31» src=«ref-1_291143160-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> и три интеграла 2 рода:

<img width=«185» height=«31» src=«ref-1_291143443-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

<img width=«44» height=«37» src=«ref-1_291138884-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">(1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда (1) если для любого х такого, что |x|<Rряд (1) сходится, а для "х таких. что |x|>Rряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. интервалом сходимости.

Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R0<=R<=+¥при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно

Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. xабсолютно иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x= -R, x=+Rдля ряда (1) или x= x0-R, x=x0+Rдля ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю числовую прямую при R= +¥или вырождаться в одну точку при R= 0.

Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или бесконечный): <img width=«53» height=«48» src=«ref-1_291144219-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, то радиус сходимости будет равен этому пределу.

Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин <img width=«53» height=«29» src=«ref-1_291144504-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">и по Даламберу исследуем его на сходимость:

<img width=«135» height=«57» src=«ref-1_291144765-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">(5)

1)Рассмотрим случай, когда <img width=«53» height=«37» src=«ref-1_291145257-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> конечен и отличен от 0. Обозначив его через Rзапишем (5) в виде <img width=«96» height=«43» src=«ref-1_291145533-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">При числовом значении х степенной ряд становится числовым рядом, поэтому по Даламберу ряд (1) сходится если |x|/R<1, т. е. |x|<R, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (1) сходится  абсолютно  при |x|<Rиначе ряд расходится.

2)Пусть<img width=«53» height=«37» src=«ref-1_291145257-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> = ¥  тогда из(5) следует, что <img width=«89» height=«43» src=«ref-1_291146194-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">для любого х ÎRИтак ряд (1) сходится при любом х причем абсолютно.

3) Пусть<img width=«53» height=«37» src=«ref-1_291145257-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> =0 тогда из (5) следует, что <img width=«93» height=«43» src=«ref-1_291146823-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> и ряд расходится для любого х. Он сходится только при х = 0 В этом сл-е R= 0.

Т3 Если существует предел конечный или бесконечный <img width=«48» height=«28» src=«ref-1_291147177-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, то <img width=«71» height=«41» src=«ref-1_291147434-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">(10)

№15

1 условия

существования и вычисления

криволинейных интегралов.

Кривая Lназ. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её параметрических уравнений:

<img width=«47» height=«29» src=«ref-1_291147735-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">(1)

имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой Lназ особыми  точками, если они соответствуют значению параметра tÎ[a,b] для которых (j’(t))2+(y’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).

Если кривая L=ABзадана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y),  P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным:

<img width=«141» height=«40» src=«ref-1_291148014-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«159» height=«40» src=«ref-1_291148524-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«161» height=«40» src=«ref-1_291148969-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

Отседоважа вытекаает штаа:

<img width=«116» height=«64» src=«ref-1_291149418-627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

В частности, если кривая АВ задана уравнением y= y(x), a<=x<=b, где у(х) непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр tполучим: <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_291150045-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
<img width=«176» height=«40» src=«ref-1_291150301-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

<img width=«124» height=«40» src=«ref-1_291150770-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

<img width=«152» height=«40» src=«ref-1_291151166-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах a<= j<= bгде ф-ция r(j) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол j. x= r(j)×cos(j), 

y= r(j)×sin(j).

<img width=«175» height=«40» src=«ref-1_291151586-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

и у второго рода так же.

Прямая Lназ кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).
    продолжение
--PAGE_BREAK--2 Свойства степенных рядов
Т1 Если степенной ряд <img width=«44» height=«37» src=«ref-1_291138884-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">(1) имеет  радиус сходимости R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |x|<=r, 0<r<R(2) (или [-r,r]) целиком лежащем внутри интервала сходимости ряд (1) сходится равномерно.

Для ряда <img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291139155-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">отрезком равномерной сходимости будет отрезок |x-x0|<=rили ([x0-r,x0+r])

Т2 На любом отрезке |x-x0|<=rсумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2 соответственно рядов×<img width=«44» height=«37» src=«ref-1_291138884-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">(5), <img width=«57» height=«39» src=«ref-1_291153019-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">(6), <img width=«59» height=«37» src=«ref-1_291153330-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">(7) равны: R1=R2=R3. Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью формального интегрирования и дифференцирования имеют те же радиусы сходимости, что и исходный ряд.

Пусть ф-ция f(x) является суммой степенного ряда <img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291139155-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">(9)

Т4 Дифференцирование степенного ряда

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда (9):

f’(x)= <img width=«180» height=«44» src=«ref-1_291153914-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">При этом радиус сходимости полученного ряда = R

Т5  О интегрировании степенного ряда

Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция fимеет на интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости Rне меняется, однако на концах интервала может изменяться.

№16
1 Свойства криволинейных интегралов
Св-ва криволинейных интегралов 1 рода:

   1.Константа выносится за знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в виде  суммы интегралов:

  2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек и если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей ф-ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем:

<img width=«173» height=«31» src=«ref-1_291154402-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

   3. <img width=«123» height=«43» src=«ref-1_291154876-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

  4.Ф-ла среднего значения

если ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М, такая, что:

<img width=«100» height=«31» src=«ref-1_291155273-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">, где l– длина кривой

Криволинейный интеграл 2 рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и исчо при изменении направления прохождения кривой он меняет знак… И вапще все сказанное выше справедливо и для пространственной кривой (этта та которая с буквой зю)

2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть<img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291139155-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">(1) сходится при |x-x0|<Rа его сумма является ф-лой f(x)= <img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291139155-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">(2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1) .

Т1 Если ф-ция fраспространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= <img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291139155-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">, то  <img width=«71» height=«33» src=«ref-1_291156506-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

и справедлива формула: <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_291156802-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"><img width=«140» height=«39» src=«ref-1_291156971-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">(15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция fопределена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:<img width=«108» height=«39» src=«ref-1_291157390-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">(6) наз рядом Тейлора ф-ции fв т, х0

При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

<img width=«73» height=«37» src=«ref-1_291157772-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расходится всюду, кроме х=х0

2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сходится к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым  условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ(x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

<img width=«181» height=«91» src=«ref-1_291158114-861.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">где остаток rn(x) можно записать:

<img width=«136» height=«40» src=«ref-1_291158975-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">(8)

<img width=«137» height=«35» src=«ref-1_291159379-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">(9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0  производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е "xÎU(x0) |f(n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

№17
    продолжение
--PAGE_BREAK--1 Формула Грина
Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.

Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром Lи пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со  своими частными производными: <img width=«40» height=«33» src=«ref-1_291159784-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">в данной области. тогда имеет место ф-ла:

<img width=«195» height=«39» src=«ref-1_291160074-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">

И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.

Контур Lопределяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=dx1(y)<=x2(y) или

y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=bи y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл <img width=«59» height=«39» src=«ref-1_291160622-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:

<img width=«189» height=«75» src=«ref-1_291160954-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:

<img width=«140» height=«75» src=«ref-1_291161719-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

<img width=«131» height=«41» src=«ref-1_291162248-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

Итак двойной интеграл: <img width=«117» height=«39» src=«ref-1_291162662-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)

1Разложение ф-ции ех

<img width=«129» height=«35» src=«ref-1_291163092-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> ряд Маклорена.

радиус сходимости:

R=¥следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2Разложение sinxи cosxВ степенной ряд Маклорена

<img width=«183» height=«37» src=«ref-1_291163429-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">

сходится на всей числовой оси

<img width=«164» height=«37» src=«ref-1_291163887-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> сходится на всей числовой оси

3. f(x) = (1+x)a

<img width=«151» height=«53» src=«ref-1_291164321-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

Наз. биномиальный ряд с показателем a  Различают 2 случая:

   1- aÎN, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a+2) поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х. Получается формула Бинома Невтона: <img width=«47» height=«37» src=«ref-1_291164838-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">, где <img width=«75» height=«32» src=«ref-1_291165120-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> биномиальный коэффициент.

  2- aÎR>N(a¹0 х ¹0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

<img width=«157» height=«35» src=«ref-1_291165421-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

сходится при –1<x<=1

5 Разложение arctgxв степенной ряд Маклорена

<img width=«179» height=«35» src=«ref-1_291165815-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">сходится при -1<=x<=1

№18

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.

1.Интеграл<img width=«39» height=«31» src=«ref-1_291166240-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">  — длине дуги АВ

2.Механический смысл интеграла 1 рода.

Если f(x,y) = r(x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса: <img width=«73» height=«31» src=«ref-1_291166488-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

для пространственной там буква зю добавляется.

3.Координаты центра масс материальной дуги:

<img width=«100» height=«64» src=«ref-1_291166781-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу:

<img width=«183» height=«59» src=«ref-1_291167272-623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

5. Геометрический смысл интеграла 1 рода

Пусть ф-ция z= f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

<img width=«72» height=«31» src=«ref-1_291167895-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">, где S– площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.
№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

<img width=«79» height=«36» src=«ref-1_291168187-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

<img width=«124» height=«31» src=«ref-1_291168485-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов
№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область Wназ односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области Wтогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для "замкнутой кусочногладкой кривой Lв Wзначение криволинейного интеграла:

<img width=«119» height=«31» src=«ref-1_291168854-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">

2. Для все т. А и т. В области Wзначение интеграла <img width=«107» height=«31» src=«ref-1_291169200-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в W.

3. Выражение Pdx+Qdyпредставляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в Wсуществует ф-ция E=c(х, у) опред в Wтакая, что dE= Pdx+Pdy

4. В области W<img width=«47» height=«32» src=«ref-1_291169540-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

Отседоваследовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.

2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.
№21

1 Интегрирование в полных дифференциалах

Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) <img width=«40» height=«33» src=«ref-1_291159784-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">  — непрерывны в замкнутой области Wи выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в W, что равносильно условию: <img width=«47» height=«32» src=«ref-1_291169540-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">, тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение:

<img width=«140» height=«80» src=«ref-1_291170434-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">

или

<img width=«139» height=«44» src=«ref-1_291171035-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

А(x0,y0) Îl, В = (х, у) Îl

поэтому

F(x,y)=<img width=«84» height=«44» src=«ref-1_291171484-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

 где (х0, у0) – фиксированная точка Îl,  (x,y) – произвольная точка Îl, с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

<img width=«165» height=«44» src=«ref-1_291171831-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">2 Признаки сравнения
№22

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.

Если  фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î[a,b] непрерывна на у, на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = <img width=«61» height=«44» src=«ref-1_291172303-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл: <img width=«149» height=«48» src=«ref-1_291172624-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">, наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.
2 Признаки Даламбера и Коши
№23

1 2 ной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j) где r= |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j= угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j<=2p.

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x= r×cosj, y= r×sinj.

Якобиан преобразования будет равен:

<img width=«155» height=«77» src=«ref-1_291114723-678.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

И формула при переходе примет вид:

<img width=«124» height=«53» src=«ref-1_291115401-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница
№24
    продолжение
--PAGE_BREAK--