Реферат: Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсова робота
Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор — груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.
Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою />й всі групи, ізоморфні />.
Якщо група (підгрупа) належать класу />, то вона називається />групою (/> — підгрупою).
Визначення 1.2. Клас груп />називається формацією, якщо виконуються наступні умови:
1) кожна фактор — група будь — якої групи з />також належить />;
2) із />завжди треба />.
Якщо формації />й />такі, що />, то />називається підформацією формації />.
По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина />всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація />– це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас />усіх /> — груп, клас />всіх абелевих груп, клас />всіх нильпотентних груп, клас />усіх /> — груп (/>– фіксоване простої число), клас />всіх нильпотентних /> — груп, клас />всіх розв'язних груп, клас />всіх розв'язних /> — груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.
Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої множини формацій також є формацією;
2) якщо />– деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення />, то об'єднання />є формацією.
Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай />– непуста формація. Позначимо через />і /> — корадикалом групи />перетинання всіх тих нормальних підгруп />з />, для яких />.
Очевидно, /> — корадикал будь — якої групи є характеристичною підгрупою. /> — корадикал групи />позначають інакше через />і називають /> — корадикалом. /> — корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, /> — розв'язний корадикал, /> — корадикал і т.д. /> — корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, /> — корадикал зберігається при гомоморфізмах.
Лема 1.2. Нехай />– непуста формація, />. Тоді справедливі наступні твердження:
1) />
2) якщо />те />
3) якщо />й />, те />
Доказ. Нехай />. Тоді
/>
Звідси треба, що />. З іншого боку,
/>
звідки одержуємо />. З />і />треба рівність />. Твердження 1) доведено.
Нехай />– природний гомоморфізм групи />на />Очевидно,
/>
звідки треба рівність />. Зокрема, якщо />, те />. Лема доведена.
Визначення 1.4. Нехай />і />– деякі формації. Якщо />, то покладемо />Якщо />, те позначимо через />клас всіх тих груп />, для яких />Клас />називається добутком формацій />і />.
З визначення 1.4 треба, що добуток формацій />є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій />є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій />причому добуток />уже визначений, то />Зокрема, якщо />для будь — якого />те ми приходимо до поняття ступеня />
Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.
Теорема 1.1. Добуток будь — яких двох формацій також є формацією.
Лема 1.3. Нехай />і />– нормальні підгрупи групи />. Тоді кожний головний фактор групи />/> — ізоморфний або деякому головному фактору групи />, або деякому головному фактору групи />
Доказ випливає з розгляду /> — ізоморфізму />
Теорема 1.2. Нехай />– деяка формація, />– клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать />Нехай />– об'єднання формацій />Тоді />– підформація формації />
Доказ. З леми 1.3 виводимо, що />– формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас />є формацією. Якщо />– мінімальна нормальна підгрупа групи />, то по індукції />для деякого натурального />. Але тоді або />, або />– /> — корадикал групи />. Тому що />, те звідси випливає, що />, і теорема доведена.
Операції на класах груп
Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.
Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції />, застосованої до класу />позначається через />Ступінь операції />визначається так: />Добуток операцій визначається рівностями:
--PAGE_BREAK--/>
Уведемо операції />в такий спосіб:
/>тоді й тільки тоді, коли />вкладається як підгрупа в якусь /> — групу;
/>тоді й тільки тоді, коли />вкладається як нормальна підгрупа в якусь /> — групу;
/>тоді й тільки тоді, коли />є гомоморфним образом якоїсь /> — групи;
/>тоді й тільки тоді, коли />співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних /> — підгруп;
/>тоді й тільки тоді, коли />має нормальні підгрупи />такі, що
/>
/>тоді й тільки тоді, коли />є розширенням /> — групи за допомогою /> — групи;
/>тоді й тільки тоді, коли />має нормальну підгрупу />таку, що />
Якщо />, то замість />пишуть />Оборотний увага на той факт, що якщо />– нормальні підгрупи групи />, причому />для кожного />, то />Помітимо ще, що операцію />можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа />прямого добутку />називається підпрямим добутком груп />якщо проекція />на />збігається з />Легко бачити, що />тоді й тільки тоді, коли />є добуток деякого кінцевого числа /> — груп.
Визначення 2.2. Клас />називається замкнутим щодо операції />або, більш коротко, /> — замкнутим, якщо />
Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно /> — замкнуть і /> — замкнуть. /> — замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. /> — замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він /> — замкнутий (відповідно /> — замкнуть).
Лема 2.1. />. Якщо клас груп />містить одиничну групу й /> — замкнуть, то />
Доказ. Щодо операцій />і />твердження очевидно. Нехай />– довільний клас груп. Ясно, що />Якщо />, те в />найдеться нормальна підгрупа />така, що />. Група />має нормальну підгрупу />таку, що />й />Але тоді />Тому що />, те/>, а виходить, />Таким чином, />, що й потрібно.
Нехай />. Якщо />, то />має нормальну /> — підгрупу />таку, що />Група />має нормальну /> — підгрупу />таку, що />. Тому що />й />, те з /> — замкнутості класу />треба, що />. Виходить, />, тобто />. Зворотне включення очевидно.
Лема 2.2. Для будь — якого класу />справедливо наступне твердження: />
Доказ. Якщо />, то />Нехай />Якщо />, те/>, а виходить, />. Таким чином, />. Нехай />. Тоді />має такі нормальні підгрупи />, що />Група />має такі нормальні підгрупи />, що />Тому що />, те/>, що й доводить рівність />
Лема 2.3. Для будь — якого класу />має місце включення />
Доказ. Якщо />, то />. Нехай />і група />є підпрямим добутком груп />, де />. Розглянемо функцію />/>. Функція />є гомоморфізмом групи />в групу />. Ясно, що
/>
є добуток груп />, причому />. Отже, />, і лема доведена.
Лема 2.4. />
У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.
Визначення 2.3. Клас груп />називається класом Фиттинга, якщо він одночасно /> — замкнутий і /> — замкнуть.
Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор — група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.
Визначення 2.4. Нехай />непустий /> — замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через />і назвемо /> — радикалом групи />добуток всіх її нормальних /> — підгруп.
Класи />є радикальними. /> — радикал групи />– це її підгрупа Фиттинга />/> — радикал позначають інакше через />і називають /> — радикалом. /> — радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни /> — нильпотентний радикал, /> — замкнутий радикал і т.д. Клас усіх /> — нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним; />– це /> — нильпотентний радикал групи />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій />
Теорема 2.1. Нехай />і />– формації, причому або />, або />замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді />– формація, що збігається з добутком />
Визначення 2.5. Нехай />– деяка множина груп. Нехай />– перетинання всіх тих формацій, які містять />клас />називається формацією, породженої множиною груп />
Помітимо, що операцію />часто позначають інакше через />Якщо />те пишуть />замість />, причому в цьому випадку />називають формацією, породженою групою />.
Теорема 2.2. Для будь — якого класу />має місце рівність: />
Доказ. Якщо />, те/>, і твердження вірно. Нехай />. Тому що />, те клас />є /> — замкнутим. />є клас і />по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо
/>
Останнє означає /> — замкнутість класу />. Отже, />– формація, що містить />, тому що />. Виходить, />. Зворотне включення очевидно.
Лема 2.5. Для будь — яких елементів />групи />виконуються рівності />Якщо />– підгрупи групи />, то виконуються наступні твердження:
1) />
2) />для будь — якого гомоморфізму />групи />; зокрема, якщо група />з />нормалізує />й />, те />нормалізує й />
Лема 2.6 Нехай />– підгрупа нильпотентної групи />, причому />. Тоді />
Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь — якому натуральному />виконується включення:
/>
При />це вірно, тому що />, а виходить, />. Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь />. Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо
/>
/>
/>
Тим самим (*) доведено.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо />– така підгрупа групи />, що />, то />
Доказ. Нехай />– нильпотентна нормальна підгрупа групи />, а />– така підгрупа з />, що />. Доведемо індукцією по />, що />. Це вірно, якщо />. Тому будемо вважати, що />. Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку />
/>
Очевидно, підгрупа />нормалізує />й />. Позначимо через />підгрупу групи />, породжену підгрупами />. Оскільки проекції />на множники прямого добутку />рівні />, те />. Помітимо ще, що />, де />нормально в />і нильпотентна як добуток з />.
Нехай />– центр підгрупи />, />. Легко бачити, що />, причому />й />; аналогічно, />і />. Але тоді />, абелева й нормальна в. />Якщо />, те/>, де />, і якщо />, те/>, що тягне />. Отже, />. Якщо />абелева, те/>, і ми маємо
/>
Припустимо тепер, що />. Ясно, що />. Тому що
/>
те />нильпотентна щабля />. Тому що />, те />ізоморфна />й має щабель />, а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання />в />має щабель />. Тому що />нормалізує />й />, те />нормальна в. />Отже, />, причому />. По індукції
/>
Для групи />і її нильпотентної нормальної підгрупи />щабля />теорема також вірна по індукції. Тому
/>
Теорема доведена.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.
Доказ. Нехай />– підформація формації />. Якщо />, то по теоремі 2.3 має місце />, що й потрібно.
продолжение--PAGE_BREAK--
Екрани
Недоліком поняття групової функції />є те, що не завжди ущільнення /> — центрального ряду нормальними підгрупами є /> — центральним рядом.
Визначення 3.1. Відображення />класу />всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь — якої групи />виконуються наступні умови:
1) />– формація;
2) />для будь — якого гомоморфізму />групи />;
3) />.
З умови 2) випливає, що екран />приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо />– екран, те кожний f — центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f — центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f — центральними рядами, співпадає з формацією />.
Лема 3.1. Нехай />– екран, />– група операторів групи />, />– деяка нормальна /> — припустима підгрупа з />. Якщо />володіє нормальним /> — припустимим рядом, фактори якого /> — центральні відносно />, то один з таких рядів проходить через />.
Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:
/>
Нехай />. Тоді ряд
/>
буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й /> — ізоморфизми:
/>
Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь — якої непустої множини екранів також є екраном;
2) об'єднання будь — якого непустого ланцюга екранів також є екраном.
Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів />є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості />, уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь — якої групи />множина формацій />лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання />є формацією. Тим самим лема доведена.
Визначення 3.2. Екран />назвемо:
1) p — однорідним, якщо він p — постійний і для будь — якої групи />і її силовської p – підгрупи />має місце />;
2) однорідним, якщо він p — однорідний для будь — якого простого p;
3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;
4) композиційним, якщо для будь — якої групи />має місце />, де />пробігає всі фактори групи />
5) порожнім, якщо />для будь — якої неодиничної групи />;
6) /> — екраном, якщо />для будь — якої групи />.
/> — екран при />будемо називати одиничним екраном.
Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.
Приклад 3.1. Нехай />і />– непусті формації, причому />, а групова функція />така, що />для кожної групи />й />для будь — який групи />. Тоді />– однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.
Приклад 3.2. Нехай />– непуста формація, а групова функція />така, що для будь — який групи />виконуються умови:
1) />, якщо />не має абелевих композиційних факторів;
2) />, якщо />має хоча б один абелев композиційний фактор.
Тоді />– композиційний екран, що не є однорідним.
Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран />, досить кожному простому числу />поставити у відповідність деяку формацію />, а потім для будь — якої групи />покласти />, де />пробігає />.
Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран />, потрібно кожній простій групі />поставити у відповідність деяку формацію />, а потім для будь — якої групи />покласти />, де />пробігає всі композиційні фактори групи />.
Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь — якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;
2) перетинання будь — якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;
3) перетинання будь — якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.
Доказ. Нехай екран />є перетинанням множини екранів />. Припустимо, що всі екрани />є локальними, тобто для будь — яких />і />має місце рівність:
/>
де />пробігає всі підгрупи групи />. Тоді
/>
а виходить, />– локальний екран.
Лема 3.4. Об'єднання будь — якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.
Доказ. Нехай />– деякий ланцюг екранів, />– її об'єднання, />. По лемі 3.3 функція />є екраном, причому ясно, що постійність />тягне постійність екрана />. Припустимо, що все />є однорідними екранами. Тоді, якщо />– будь — яка група й />, те />. Отже,
/>
що й доводить однорідність екрана />.
Екрани формацій
Кожної групової функції />відповідає формація />.
Лема 3.5. />є непустою формацією для будь — якої групової функції />.
Визначення 3.3. Нехай />– деяка формація. Якщо />– такий екран, що />, то формація />називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що
/>– екран формації />,
/>має екран />,
продолжение--PAGE_BREAK--
екран />визначає формацію />,
/>визначається екраном />.
Формація />має одиничний екран. Одинична формація />має порожній екран.
Визначення 3.4. Екран />назвемо внутрішнім, якщо />– внутрішня групова функція, тобто />для будь — якої неодиничної групи />.
Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.
Доказ. Нехай />– екран формації />. Визначимо функцію />в такий спосіб: />для будь — якої групи />. Легко бачити, що />– екран, причому />. Якщо />й />– головний фактор групи />, то />. Тому що клас />/> — замкнуть, те/>, а виходить, />/> — центральний />Таким чином, />. Отже, />, тобто />– шуканий внутрішній екран.
Лема 3.7. Нехай />– екран формації />. Тоді />є екраном формації />.
Доказ. Нехай />– довільний головний фактор групи />. Нехай />. Тому що />, те />. Виходить, />, тобто />/> — в. />Звідси треба, що />.
Обернено, якщо />, те головний ряд групи />буде /> — центральним для будь — якого />, тобто />. Отже, />.
Лема 3.8. Перетинання />будь — якої непустої множини />екранів формації />знову є екраном формації />. Крім того, якщо в />є хоча б один внутрішній екран, те />– внутрішній екран.
Доказ. Те, що />– екран формації />, безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у />є внутрішній екран />. Тоді />для будь — якої групи />. Виходить, />– внутрішній екран.
Формація з однорідним екраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.
Доказ. Нехай формація />має однорідний екран. Через лему 3.6 формація />має внутрішній однорідний екран />. Побудуємо локальний екран />, що задовольняє наступній умові: />для будь — якого простого />. Тоді />й, отже, />. Припустимо, що формація />має групи, що не входять в />, і виберемо серед всіх таких груп групу />, що має найменший порядок. Тоді />є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи />. Тому що />, те для кожного />має місце
/>
Якщо />неабелева, то />й />. Якщо ж />– /> — група, то виходить, що />/> — центральна в. />А це суперечить тому, що />. Теорема доведена.
Локальна формація
Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.
Визначення 4.1. Формація />називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.
Визначення 4.2. Нехай />– внутрішній локальний екран формації />, що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації />. Тоді />називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації />.
Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація />має єдиний максимальний внутрішній локальний екран />, причому />задовольняє наступній умові: />для будь — якого простого числа p.
Визначення 4.3. Нехай />– локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації />назвемо мінімальним локальним екраном формації />.
Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.
Доказ. Нехай />– множина всіх локальних екранів формації />, причому />. Позначимо через />перетинання множини екранів />. У множині />є внутрішній екран, тому />– внутрішній екран формації />. По лемі 3.4 екран />є локальним. Через лему 3.8 />– шуканий екран.
Побудова локальних формацій
1. Формація всіх груп. Формація />має локальний екран />таким, що />для будь — якого простого />.
2. Формація одиничних груп. Формація />має порожній екран, що, мабуть, локальний.
3. Формація нильпотентних /> — груп. Нехай />– формація всіх нильпотентних /> — груп, />– такий локальний екран, що />для кожного />для кожного />. Очевидно, />– мінімальний локальний екран формації />.
4. Формація /> — груп. Нехай />– формація всіх /> — груп, />– такий локальний екран, що />для кожного />для кожного />. Очевидно, />–локальний екран формації />.
продолжение--PAGE_BREAK--
5. Формація /> — нильпотентних груп. Нехай />– формація всіх /> — нильпотентних груп (/>– фіксоване простої число), />– такий локальний екран, що />для будь — якого простого числа />, відмінного від />. Покажемо, що />– екран формації />. Головний ряд /> — нильпотентної групи /> — центральний. Нехай />. Потрібно встановити, що />/> — нильпотентна. Нехай />– мінімальна нормальна підгрупа групи />. По індукції />/> — нильпотентна. Якщо />– /> — група, то звідси треба, що й />/> — нильпотентна. Якщо ж /> — група, те/>, тобто />. Якщо тепер />– /> — підгрупа з />, то через />підгрупа />/> — нильпотентна, а виходить, і />/> — нильпотентна. Тим самим показано, що />.
Теорема 5.1. У кожній /> — групі />підгрупа />збігається з перетинанням у />всіх головних /> — факторів групи />.
Наслідок 5.1.1. У будь — якій групі />підгрупа Фиттинга />збігається з перетинанням у />всіх головних факторів групи />.
Наслідок 5.1.2. Для кожної /> — розв'язної групи />має місце включення />.
Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). />для будь — якої розв'язної групи />.
Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант /> — групи /> — нильпотентний.
6. Формація /> — замкнутих груп. Нехай />– формація всіх /> — замкнутих груп (/>– деяка фіксована множина простих чисел), />– такий локальний екран, що />для кожного />для кожного />. Покажемо, що />– екран формації />.
Очевидно, />. Припустимо, що клас />не порожній, і виберемо в ньому групу />найменшого порядку. Тоді />має єдину мінімальну нормальну підгрупу />, причому />не є /> — групою. Нехай />. Тому що />, те/>, а виходить, />. Тому />– абелева /> — група. Тому що />/> — замкнута, те й />/> — замкнута, тобто />має нормальну /> — підгрупу />. Ясно, що />. Тому що />, те />. Легко бачити, що />, а виходить, і група />/> — замкнута. Тим самим показано, що />.
7. Формація /> — дисперсивних груп. Нехай />– деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел, />– формація всіх /> — дисперсивних груп. Покажемо, що />локально.
Розглянемо всілякі множини />простих чисел, що володіють наступною властивістю: />для всіх />. Нехай />– формація всіх /> — замкнутих груп. Очевидно, />. Тому що формації />локальні, то по лемі 3.4 формація />також є локальною.
8. Формація /> — розв'язних груп. Нехай />– формація всіх /> — розв'язних груп, />– такий локальний екран, що />для будь — якого простого />. Неважко помітити, що />– максимальний внутрішній локальний екран формації />. Зокрема, формація />є локальною.
9. Формація /> — груп. Нехай />– формація всіх /> — груп. Позначимо через />формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить />. Побудуємо локальний екран />такий, що />для кожного />для кожного />. Покажемо, що />. Ясно, що />. Нехай />, />– мінімальна нормальна підгрупа групи />. По індукції />. Якщо />– /> — група, то />/> — понад розв'язна. Нехай порядок />ділиться на деяке число />. Тоді, якщо />, те
/>
Звідси треба, що />– /> — група.
Лема 5.1. Нехай />– деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів /> — групи />й />. Тоді />– циклічна група порядку, що ділить />. Крім того, />– найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню />.
Доказ. Будемо вважати, що />– аддитивна абелева група. Тоді />можна розглядати як правий векторний простір розмірності />над полем />з />елементів. Нехай />– комутативне підкольцо кільця />, породжене елементами />й />. Через умову />є правим /> — модулем (визначення, пов'язані з /> — модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура, />– тіло. Тому що />комутативне, те />. Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із />замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому />– поле. Тому що /> — модуль не />приводимо, те />для будь — якого ненульового />; але тоді відображення />, є /> — гомоморфізмом /> — модуля />на />. Тому що ядро />є ідеал поля />, те />– ізоморфізм. Отже, />. Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому />циклічна й />ділить />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Нехай />– найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню />. Тоді />ділить />. Добре відомо, що поле />порядку />містить />порядку />. Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й />ділить/>, то />. Але тоді />й />. Лема доведена.
10. Формація />. Нехай />– непуста формація, />– такий локальний екран, що />для будь — якого простого />. Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що />– екран формації />. Зокрема, формації />і />є локальними формаціями.
Нехай />– локальний екран деякої підформації />з />. Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що />є локальним /> — екраном формації />. Таким чином, кожна локальна підформація формації />має внутрішній локальний /> — екран. Зокрема, будь — яка локальна підформація формації />має внутрішній локальний /> — екран.
Локальні формації із заданими властивостями
Нехай />– деяка операція, />– локальний екран формації />. Природно виникають два питання:
1) чи Буде />/> — замкнутої, якщо />/> — замкнута для будь — якого простого />?
2) чи Буде />/> — замкнутої для будь — якого простого />, якщо />/> — замкнута?
Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.
Теорема Слепова 20 Нехай />– деякий клас груп, />– максимальний внутрішній локальний екран формації />, />– фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:
1) якщо />, те />;
2) якщо />, те />.
Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай />– одна з операцій />, />. Припустимо, що />. Нехай />– (нормальна) підгрупа групи />й />. Розглянемо регулярне сплетення />, де />, />– елементарна абелева /> — група. По лемі 3.11. />Тому що />, те />. Розглянемо головний ряд групи />:
/>
Нехай />. Тому що />й />, те
/>
для кожного />. Отже, />, де />. По властивості регулярного сплетення />. Отже, />, і по лемі 3.10 підгрупа />є /> — групою. Тому що />й формація />є по теоремі 3.3 /> — замкнутої, то ми одержуємо, що />. Теорема доведена.
Теорема Подуфалова, Слепова 20 Нехай />– максимальний внутрішній локальний екран формації />. Формація />/> — замкнута (/> — замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого />формація />/> — замкнута (відповідно /> — замкнута).
Доказ. Необхідність. Припустимо, що />/> — замкнуто (/> — замкнута). Думаючи />й застосовуючи теорему 20, ми одержуємо, що />/> — замкнуто (/> — замкнута) для будь — якого простого />.
Достатність. Нехай для будь — якого простого />формація />є /> — замкнутою (/> — замкнутої). Нехай />– підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи />. Покажемо, що />. Тому що />, те />володіє /> — центральним головним рядом
/>
Нехай />. Тому що
/>
те/>, де />. Нехай />. За умовою />й />. Звідси, через />, випливає, що />. Тим самим установлено, що ряд
/>
є /> — центральним рядом групи />. Теорема доведена.
Для будь — якого натурального числа />/> — замкнутий клас />містить, по визначенню, кожну групу />, у вигляді добутку />нормальних /> — підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Клас груп />назвемо слабко /> — замкнутим, />, якщо />містить усяку групу />, що має />нормальних /> — підгруп з попарно взаємно простими індексами.
Легко помітити, що якщо />й />– підгрупи групи />причому />й />взаємно прості, те />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Теорема Слепова 20 Нехай />– локальний екран формації />й нехай для деякого натурального числа />виконується наступна умова: для будь — якого простого />формація />або збігається з />, або входить в />і є слабко /> — замкнутою. Тоді />слабко /> — замкнута.
Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в />, але />нормальних /> — підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу />найменшого порядку. Таким чином, />не належить />, але має нормальні /> — підгрупи />з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи />неодиничні.
Нехай />– мінімальна нормальна підгрупа групи />. У />підгрупи />мають попарно взаємно прості індекси й належать />. Тому що для />теорема вірна, те />. Ясно, що />– єдина мінімальна нормальна підгрупа групи />, причому />й />для кожного />. Через теорему 4.3. />Тому що />, те найдеться таке />, що />. Розглянемо />, де />пробігає все /> — головні фактори групи />. Тому що />, те/>, />. Можливі два випадки.
Випадок 1. Нехай />. Тоді />неабелева й />. Звідси й з одиничності />випливає, що />. Але тоді />й, отже, />можна розглядати як деяку групу групи />, що діє тотожно на всіх /> — головних факторах групи />. По добре відомій теоремі Ф. Холу />нильпотентна. Тому що />до того ж нормальна в />, те />. Але тоді />для будь — якого />, а тому що формація />слабко /> — замкнута за умовою, те />. Але тоді />, тому що />й за умовою />. Одержали протиріччя.
Випадок 2. Нехай />. Тоді />входить в />і є /> — групою. Тому що />, те />абелева. Нехай />– максимальна підгрупа групи />, не утримуюча />. Тоді />, />, />, />. Звідси, через одиничність />, містимо, що />, a виходить, />. По лемі 3.10 />є /> — групою. Але тоді і />є /> — групою, причому />. Ми одержуємо, таким чином, що />для кожного />. Але тоді />, тому що />слабко /> — замкнута. Останнє означає, що />/> — центральна в />, що суперечить рівності />. Знову одержали протиріччя.
Теорема доведена.
Наслідок 20 Нехай група />має дві нормальні /> — понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді />/> — понадрозв'язна.
Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми 20 при />.
Наслідок 20 Нехай група />має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді />понад розв'язна .
Теорема Слепова 20 Нехай формація />має такий локальний екран />, що для будь — якого простого />формація />або збігається з />, або входить в />і є /> — замкнутою. Тоді />/> — замкнута.
Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми 20.
Теорема Слепова 20 Нехай />– максимальний внутрішній локальний екран формації />. Формація />/> — замкнута (слабко /> — замкнута, />) тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого />формація />/> — замкнута (відповідно слабко /> — замкнута).
Доказ. Достатність випливає з теорем 20 і 20. Нехай />/> — замкнута (слабко /> — замкнута, />). Нехай />, де />– нормальні /> — підгрупи (нормальні /> — підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що />, те />. Покажемо, що />.
Нехай />, де />, />– елементарна абелева /> — група. />для кожного />. Тому що />/> — замкнута (слабко /> — замкнута), те звідси випливає, що />. Якщо />– перетинання в />усіх /> — головних факторів групи />, то
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
Тому що />, те по лемі 3.10 підгрупа />є /> — групою. Але тоді />, тому що по теоремі 3.3 має місце рівність />.
Теорема доведена.
Лема Чунихина 20 Нехай />, />, />. Тоді />. Зокрема, якщо />й />, те />непроста.
Доказ. З рівності />треба, що
/>
Отже, />. Звідси, через />для кожного />, одержуємо />. Лема доведена.
Теорема Виландт 20 Група />розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у />попарно взаємно прості.
Доказ. Нехай група />має розв'язні підгрупи />, />і />з попарно взаємно простими індексами. Тоді />. Нехай />– мінімальна нормальна підгрупа з />. Тому що />розв'язно, те/>, />– простої число. Через умову теореми, />не ділить одночасно />й />. Нехай, для визначеності, />не ділить />. Це значить, що силовська /> — підгрупа з />є силовською /> — підгрупою групи />. Через теорему Силова />, де />. Тому що />й />, те по лемі 20 />. Таким чином, />– неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи />. У фактор — групі />індекси підгруп />, />і />попарно взаємно прості. По індукції />розв'язна, але тоді й />розв'язна. Теорема доведена.
Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.
Визначення. Клас груп />називається /> — замкнутим (/>– натуральне число), якщо />містить усяку групу />, що має />/> — підгруп, індекси яких у />при />попарно взаємно прості.
По визначенню, порожня формація /> — замкнута для кожного />. Єдиної /> — замкнутою непустою формацією, відмінної від />, умовимося вважати />.
Лема 20 Нехай />і />– /> — замкнуті класи груп. Тоді />також /> — замкнуть.
Доказ очевидно.
Наступна лема доведена Крамером.
Лема 20 Нехай формація />втримується в />і /> — замкнута, />. Тоді формація />є /> — замкнутою.
Доказ. Нехай група />має /> — підгрупи />, />,…,/>,індекси яких у />попарно взаємно прості. Тому що />, те по теоремі 20 група />розв'язна. При будь — якому гомоморфізмі групи />образи підгрупи />належать />і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що /> — корадикал />групи />є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що />є /> — групою для якогось />. Підгрупа Фиттинга />групи />також є /> — групою. Індекс будь — якої підгрупи, що не містить />, ділиться на />. Тому />втримується принаймні в />підгрупах нашої системи підгруп />. Будемо вважати, що />, />. Тому що />є /> — групою, те />й />, />. Звідси й з наслідку випливає, що />, />. Тому що />, те ми одержуємо, що />, />. Скориставшись /> — замкнутістю формації />, ми приходимо до того, що />.
Лема доведена.
Теорема Крамер 20 Нехай />– такий локальний /> — екран формації />, що для будь — якого простого />формація />/> — замкнута, />. Тоді />/> — замкнута.
Доказ. Тому що />– /> — екран, то />для будь — якого простого />, а виходить, />. Нехай />. Через лему 4.5. />Якщо />, те />й />/> — замкнута; якщо ж />, те по лемі формація />/> — замкнута. У кожному разі />/> — замкнута. По лемі />/> — замкнута. Застосовуючи лему 20, ми бачимо, що й формація />/> — замкнута. Теорема доведена.
Тому що формація />має одиничний екран, що задовольняє умові теореми 20 при />, те ми одержуємо
продолжение--PAGE_BREAK--
Наслідок Кегель 20 Група />нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у />попарно взаємно прості.
Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.
Лема 20 Клас усіх /> — замкнутих груп /> — замкнуть.
Доказ таке ж, як і в теореми 20.
Лема 20 Кожна формація нильпотентних груп є /> — замкнутою.
Доказ. Нехай />– деяка формація нильпотентних груп. Нехай група />має /> — підгрупи />, />і />з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку 20 група />нильпотентна. Якщо />– найвищий ступінь простого числа />, що ділить />, то />ділить />для деякого />, тому що />не може ділити одночасно індекси всіх підгруп />, />і />. Якщо />ділить/>, то силовська /> — підгрупа />із />входить в />і є силовскою /> — підгрупою групи />. Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи />є /> — групами. Тому що />– формація, те звідси треба, що />.
Лема доведена.
Лема 20 Нехай />– якийсь /> — замкнутий гомоморф /> — замкнутих груп. Тоді клас />/> — замкнуть.
Доказ. Нехай група />має /> — підгрупи />, />і />з попарно взаємно простими індексами. По лемі 20 />має нормальну силовску /> — підгрупу />. Оскільки />є силовскої /> — підгрупою в />і />– гомоморф, те />. У групі />індекси підгруп />, />і />попарно взаємно прості. Тому через /> — замкнутість />маємо />. Лема доведена.
Лема 20 Для будь — якого простого />й будь — якої формації нильпотентних груп />клас />є /> — замкнутою формацією.
Доказ. По лемі 20 клас />/> — замкнуть. По лемі 20 клас />/> — замкнуть і по теоремі 1.1 є формацією.
Теорема 20 Нехай />– локальна підформація формації />, />– максимальний внутрішній локальний екран формації />. Якщо для будь — якого простого />формація />/> — замкнута, />, то />/> — замкнута.
Доказ. Нехай />. Через теорему 3.3 і леми 4.5, />. Формація />/> — замкнута. По лемі 20 формація />/> — замкнута. Теорема доведена.
Теорема Крамер 20 Будь — яка локальна підформація формації />є /> — замкнутою.
Доказ. Нехай />– локальна підформація формації />. />має внутрішній локальний /> — екран />. Нехай />– максимальний внутрішній локальний екран формації />. Тоді по теоремі 3.3 для будь — якого простого />має місце рівність />. Тому що />, те по лемі 20 формація />/> — замкнута. Тоді по теоремі 20 формація />/> — замкнута. Теорема доведена.
Наслідок Д/>рк 20 Нехай група />має чотири підгрупи, індекси яких у />попарно взаємно прості.
Висновок
У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації />формації />всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.
Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все — таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку — теорії формацій.
Література
1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003
2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006
3 Чунихин С.А. О /> — властивості кінцевих груп. –К., 2001
4 Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002