Реферат: Построение и анализ функции спроса на товар

--PAGE_BREAK--Определение формы связи между результирующим (у) и объясняющим (х) факторами и расчет параметров уравнения парной регрессии


Построим, используя исходные данные в таблице 1, систему нормальных уравнений по формуле (1) и решим ее относительно неизвестных а и b:
<img width=«14» height=«98» src=«ref-1_888527008-170.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026"><img border=«0» width=«97» height=«45» src=«ref-1_888527178-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> (1)

<img border=«0» width=«120» height=«45» src=«ref-1_888527630-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">

<img width=«14» height=«62» src=«ref-1_888528191-137.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">1716 = 11*a+ 4950*b, => <img border=«0» width=«132» height=«41» src=«ref-1_888528328-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">

813800 = 4950*a+ 2502500*b

<img border=«0» width=«307» height=«41» src=«ref-1_888528657-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">

813800 = 772200 — 2227500*b + 2502500*b

41600 = 275000*b, => b= 0,1513, а = 87,927
Уравнение регрессии имеет вид:
ŷ = 87,927 + 0,1513х,
Сравним фактические и расчетные расходы на потребление товара А (таблица 2) и построим график полученной функции ŷ (рисунок 1).

<img border=«0» width=«486» height=«205» src=«ref-1_888529252-8276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">

Рисунок 1 — Сравнение фактических и расчетных расходов на потребление товара А для линейного уравнения регрессии
По формуле ŷ = a
+
b
х (2) (где, а— регрессионная постоянная, точка пересечения линии регрессии с осью OY, b— коэффициент регрессии, угол наклона линии регрессии, характеризующий отношение D
Y
¤
D
X,ŷ — теоретическое значение объясняемой переменной) рассчитаем ŷ.
Таблица 2 Сравнение фактических и расчетных значений расходов на потребление товара А при прямолинейной зависимости

    продолжение
--PAGE_BREAK--Расчет коэффициентов корреляции и детерминации, проверка правильности выбранных факторов и формы связи


Мы выяснили возможность установления корреляционной связи между значениями х и соответствующими значениями у. Теперь необходимо выяснить, как изменение факторного признака влияет на изменение результативного признака.

Вычислим коэффициента корреляции по формуле (3) для расчета линейного коэффициента корреляции:
<img border=«0» width=«284» height=«68» src=«ref-1_888537528-1424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">

получим: (3)

<img border=«0» width=«326» height=«49» src=«ref-1_888538952-875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">
Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от минус 1 до плюс 1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи — прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной зависимости — знак минус.

В нашем примере r
= 0,990.

Кроме того, можно рассчитать коэффициент детерминации d, который равен квадрату коэффициента корреляции.

В нашем примере d= 0,981.

Это значит, что изменение расходов на товар А можно на 98,1% объяснить изменением дохода.

Остальные 1,9% могут явиться следствием:

недостаточно хорошо подобранной формы связи;

влияния на зависимую переменную каких-либо других неучтенных факторов.

Целесообразно проверить, не улучшится ли результат, если принять криволинейную форму связи.

Воспользуемся степенной функцией вида: ŷ = axb


Логарифмируем:
lgŷ = lga+ blgx. (4)

<img width=«14» height=«62» src=«ref-1_888539827-138.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">24,07 = 11*a + 28,85*b, => а= <img border=«0» width=«112» height=«42» src=«ref-1_888539965-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

63,26 = 28,85*a + 75,98*b

63,26 = 28,85 (<img border=«0» width=«112» height=«42» src=«ref-1_888539965-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">) + 75,98*b,

0,1282 = 0,31*b, => b = 0,4092

а= <img border=«0» width=«189» height=«42» src=«ref-1_888540571-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

lg у= 1,1149 + 0,4092 lgх
Для нахождения параметров а иbвсю процедуру МНК проделываем не с величинами у и х, а с их логарифмами. После решения системы нормальных уравнений (2) получаем: lga= 1,1149; b= 0,4092.

Уравнение регрессии: lgŷ = 1,1149 + 0,4092 lgx

Сравним фактические и расчетные расходы на потребление товара А (таблица 3) и построим график полученной функции ŷ (рисунок 2).


<img border=«0» width=«400» height=«186» src=«ref-1_888541001-5888.coolpic» v:shapes=«Диаграмма_x0020_2»>

Рисунок 2 Сравнение фактических и расчетных расходов на потребление товара А для степенного уравнения регрессии
Таблица 3 Сравнение фактических и расчетных значений расходов на потребление товара А при степенной зависимости



Теснота криволинейной связи измеряется корреляционным отношением, обозначаемым через hи имеющим тот же смысл, что и r
.

Теоретическое корреляционное отношение может быть рассчитано по формуле:


h=, (5)
где s2фактор-дисперсия для теоретических значений ŷ (объясненная вариация);

s2общ— дисперсия для фактических значений у (необъясненная вариация).
<img border=«0» width=«20» height=«25» src=«ref-1_888546889-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">= <img border=«0» width=«103» height=«44» src=«ref-1_888547140-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

h= <img border=«0» width=«51» height=«26» src=«ref-1_888547469-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> = 0,978
В нашем примере h
= 0,978, hІ = 0,958.

Как видим, степенная форма связи точнее отражает зависимость потребления товара А от дохода.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Статистическая проверка гипотез


Статистическая гипотеза — это предположение о случайной величине, проверяемые по выборке (результатам наблюдений). Будем обозначать высказанные предположения (гипотезу) буквой Н. Наша цель — проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза Н имеющимся выборочным данным. Процедура сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными (x
1
,
x
2
,…,
xn) и количественная оценка степени достоверности полученного вывода называется статистической проверкой гипотез.

Результат сопоставления может быть отрицательным или неотрицательным. Отрицательный результат означает, что данные противоречат высказанной гипотезе, следовательно, от нее надо отказаться. Неотрицательный — данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, и ее можно принять в качестве одного из допустимых решений.

В регрессионном анализе проверке статистической значимости подвергаются коэффициенты регрессии и корреляции.

Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала необходимо определить остаточную сумму квадратов


s
2
ост
=
å
(
yi

— ŷ
i
) 2(6)
и ее среднее квадратическое отклонение
s=<img border=«0» width=«52» height=«48» src=«ref-1_888547876-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">(7)
Таблица 4



s= 122

s= <img border=«0» width=«37» height=«24» src=«ref-1_888548115-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> = 11,045
Затем определяется стандартная ошибка коэффициента регрессии по формуле:
<img border=«0» width=«149» height=«68» src=«ref-1_888548432-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> (8)

se (b) <img border=«0» width=«118» height=«32» src=«ref-1_888549213-723.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">
Таблица 5



Рассчитаем фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии по формуле
<img border=«0» width=«68» height=«44» src=«ref-1_888550316-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> (9), tb= <img border=«0» width=«88» height=«32» src=«ref-1_888550536-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">
Можно построить доверительный интервал для b. Из (9) имеем:


[b — tкр*se (b), b + tкр*se (b)].

0,513 — 2,26*0,021 < b < 0,1513 + 2, 26*0,021

0,1038 < b < 0, 1988.
Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для уравнения парной регрессии, линейной по параметрам определяется как:
<img border=«0» width=«219» height=«48» src=«ref-1_888551065-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> (10)
где s2фактор-дисперсия для теоретических значений ŷ (объясненная вариация);

s2ост— остаточная сумма квадратов;

r
2— коэффициент детерминации.
Fф= <img border=«0» width=«221» height=«32» src=«ref-1_888551709-1060.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
Выдвигаем ноль-гипотезу о том, что коэффициент регрессии статистически незначим:

H
: b= 0. Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t— критерия Стьюдента.

Определим стандартную ошибку коэффициента регрессии и рассчитаем фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии: se
(
b
) = 0,021; tb= 7, 205.

По таблице находим значение t-критерия с n-2 степенями свободы t0,05(9) = 2,26 и сравниваем с ним фактическое значение (tb).

Так как фактическое значение t-критерия Стьюдента превышает табличное, то ноль-гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии.

Оценка статистической значимости производится с помощью F— критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия Фишера: F
ф= 452,54.

По таблице находим значение F-критерия с (n
-2) степенями свободы F
0,05
(1,9) = 5,12 и сравниваем фактическое значение с табличным. В результате, отклоняем ноль-гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.
    продолжение
--PAGE_BREAK--