Реферат: Шпаргалка по Математике 4
1. ЧР наз. сходящимся, если КК сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то | 3. Интегральный ПК сх.Р: | 5. Признак Коши: | 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля: Признак Дирихле: Ряд an bn сходится, если: | 9. Действия над рядами. По определению полагают: Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно. |
11. КК РС функ. ряда:
| 13. Признаки РС ф. рядов. Признак Абеля: Ряд
сходится равномерно на X, если: 1) Ряд an сх. равн. на X; 2) функции bn ( x ) ограничены в совокупности и "x образуют монотонную последовательность. Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множествеX, если: 1) Част. суммы an ( x ) ( n =1,…, N ) в совокупности ограничены; 2) посл-ть bn ( x ) ( n =1,2,…) монотонна "x и равномерно на X стремится к нулю при n ® µ . | 15. Непрерывность и lim пер. Th : {ft; t ÎT }, ft: X ® C ; B - база в T. Если ft сх.равн. к f на X при базе B и функции ft непрерывны в точке x ÎX , то функция f :X ® C тоже непрерывна в этой точке. Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве. Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве. | 17. Интегрирование и lim . Th : {ft, t ÎT }, ft :[a ,b ]®C ; B - база T; Если функции семейства интегрируемы на [a ,b ] и ft сх. равн. к f на [a ,b ] при базе B, то предельная функция f :[a ,b ]®C тоже интегрируема на отрезке [a ,b ] и Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a ,b ] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a ,b ], | 19. Характер сх. ст. ряда. Th : Степенной ряд сходится в круге K = {z ÎC | | z – z0 | < R }, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара: Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга K сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно. |
21. Дифф. и ò ст. рядов: Th : Если круг K ÎC сходимости ст. ряда не сводится к единственной точке z = z , то внутри K сумма f ( z ) этого ряда дифференцируема, причем Кроме того, f ( z ) :K ®C можно интегрировать по любому гладкому пути g:[0,1]®K, и если то | 23. Ряд Тейлора. Аналитическая в точке a ф-я f (x ) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд Остаточный член в форме Лагранжа : в форме Коши : Основные разложения: | 25. Алгебры функций. Совокупность A вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной ) алгеброй функций на X, если из f ,g ÎA и a ÎR ( C ) следует, что | 27. Теорема Стоуна: Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C (K ,R ). | 29 . Теорема Вейерштрасса: Если f ÎC ([a , b ],C ), то $ {Pn; n ÎN } многочленов Pn :[a , b ]®C , что Pn сх. равн. к f на [a , b ]. При этом, если f ÎC ([a , b ],R ), то и многочлены Pn можно выбрать из C ([a . b ],R ). |
31. Дифф. и непр. собств. ò (пар) . Непрерывность: P = {(x , y )ÎR 2 | x Î[a , b ], y Î[c , d ]}. Если функция f :P ®R непрерывна, то ф-я непрерывна в любой точке y Î[c , d ]. Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл принадлежит к классу C (1) ([c , d ], R ), причем | 33. Пр. Вейерш.РС несоб. ò ( пар ). Пусть f ( x , y ), g ( x , y ) интегрируемы по x на любом отрезке [a , b ]Ì[a , w ] "y ÎY . Если "x Î[a , w ], "y ÎY | f ( x , y ) | ≤ g ( x , y ), а интеграл сходится равномерно на Y, то интеграл сходится абсолютно "y и равномерно на мн-ве Y . | 35. lim перех. под. знаком.н. ò . Th : Пустьf ( x , y ) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x Î[a , w ), и пусть BY -база в Y . Следствие: Пусть "y ÎY ÌR вещ. ф-я f ( x , y ) неотрицательна и непрерывна на x Î[a , w ). Если с ростом y ф-ции f ( x , y ), монотонно возрастая, стр. к j (x ), jÎC ([a , w ],R ) и то справедливо равенство (*). | 37. Дифф. н. ò (пар). Th : Если а) ф-ции f ( x , y ), f ’ y ( x , y ) непрерывны на {(x,y)ÎR 2 | x Î[a , w ),y Î[c , d ]}, b) интеграл c) интеграл то он сх. равн. на Y; при этом ф-я F ( y ) оказывается дифференцируемой и | 39. Интегрирование н. ò (пар): Если f ( x , y ) непрерывна на {(x , y )ÎR 2 | x Î[a , w ),y Î[c , d ]} и интеграл то ф-я F интегрируема на [c , d ] и |
41. | 43. Ряды Фурье. Если X – Л.П. со скал. пр-ем <, >, а {lk }–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить рядФурье : Экстремальное свойство: "y ÎL ||x – xl ||≤||x – y ||. Равенство возможно только при y =xl . Неравенство Бесселя : Равенство Парсеваля : | 45. Гильбертово пр-во. Линейное нормированное пр-во наз. гильбертовым, если оно полно и имеет бесконечную размерность. | 47. Тригонометр. ряд Фурье. Систему экспонент {einx ;n ÎN } называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R ([-p ,p ], C ) отн. скал. пр-ния в-в. Сопоставляемый ф. f триг.ряд наз. триг.рядом Фурье ф-ции f . Th : (ТРФ )"f ÎR ([-p ,p ],C )сх.к f в средн., т.е.f =ТРФ, | 49. Лемма Римана. Если локально интегрируемая ф-я f :[w 1 ,w 2 ]®R абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [w 1 ,w 2 ], то |
51. Д.У.сх.ряда Фурье в т. Гов., что f :U ® C , заданная в проколотой окр-ти точки x ÎR , удовлетворяет усл. Дини, если а) в т. x $ оба односторонних предела б) сходится абсолютно следующий интеграл: Th : f :R ®C – 2p-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-p,p]. Если f удовл. в т. x ÎR условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x, причем | 53.Свойства пр-ва CL 2 [-∞,+ ∞] _____________ | 55. Преобразование Фурье. называется нормиров.преобр. Фурье ф-ции f :R ® C . называется интегралом Фурье ф-ции f . Свойства: 1. Линейность преобразования Фурье. 2. Th : f :R ® C – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R . Если ф-я f удовл. Усл. Дини в x ÎR , то её òФурье сх. в этой точке к значению ½(f (x- )+f (x+ )). | 57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер. f :R ®C – лок. инт. на Rn ф-ция. Функция называется преобр. Фурье функции f . Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных x 1 , …, xn . | 59. Теорема обращения. Оператор, определяемый равенством называется обратным преорбазованием Фурье . Формула обращения преобразования Фурье : или в форме интеграла Фурье |
10. Сх. и РС семейства f (ПАР) _________________________ | 8. Теорема Римана: Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу. | 6. Признак Лейбница: Условно сходищимся наз. ряд an, если ряд an сходится, а ряд |an | -расходится.(n=1,2,…)
сходится (вообще гов. не абсолютно), если В этом случае для остатка ряда имеем оценку | 4. Признак Даламбера: | 2. Признак сравнения I : Признак сравнения II : |
20. Теоремы Абеля. Первая Теорема Абеля: Если степенной ряд сх. в концевой точке x = R интервала сход-ти, то Вторая Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в некоторой точке zÎС , то он сходится равномерно на отрезке с концами z 0 ,z . | 18. Дифференцирование и lim . Th : {ft, t ÎT }–семейство ft: X ®C , определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X; B - база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство {ft ’, t ÎT } производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции j :X ®C , а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x ÎX, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f :X ®C , причем f ’ = j . | 16. Теорема Дини: Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная. Следствие: Если члены ряда an (x ) (n =1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции an: K ® R и ряд сходится на K к непрерывной функции. То он сходится на K равномерно. | 14. Условия комм. 2х пр.пер: Th : {Ft ;t ÎT }, Ft: X ® C ; BX – база в X ,BT – база в T. Если при базе BT cем-во сх. равн. на X к F :X ® C , а "t $
то $ оба повторных предела и имеет место равенство этих пределов . | 12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда: u 1 ( x )+…+ un ( x )+… сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд c 1 + c 2 +…+ cn +… такой, что |
30. Собственные ò , их интег-е. Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида Если "t ò явл. собственным, то F есть собственный интеграл, зав. от параметра. Th : Если ф-яf :P ®R непрерывна в прямоугольнике P = {(x , y )ÎR 2 | x Î[a , b ], y Î[c , d ]}, то интеграл интегрируем на отрезке [c , d ] и имеет место рав-во | 28. Компл. вар. теоремы Стоуна: Если комплексная алгебра A функций f :X ® C не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C (X ,C ). | 26. Банахова Алгебра в С ( K ). Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B -пространством). Подмн-во пространства C ( K , Y ) наз. всюду плотным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f :K ®Y . | 24. Формула Стирлинга. где Или | 22. Аналит. ф. в действ. обл. |
40. Эйлеровы интегралы. | 38. Интеграл Дирихле. | 36. Непрерывность н. ò (пар): Если а) ф-я f ( x , y ) непрерывна на {(x,y)ÎR 2 | x Î[a , w ),y Î[c , d ]}, b ) интеграл то ф-я F ( y ) непрерывна на [c , d ]. | 34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н. ò . Th : Пусть f ( x , y ), g ( x , y ) "y ÎY интегрируемы по x на любом отрезке [a ,b ]Ì[a , w ]. Для равн.сх. интеграла на мн-ве Y достаточно: | 32. Несоб. ò (пар) , КК РС. Говорят, что несобственный интеграл зав. от пар. y ÎY, сх. равн. на мн-ве E ÌY, если КК: Чтобы несоб. ò (1) сходился равномерно на множестве E ÌY Û |
50. Ядра Дирихле. Dn называется ядром Дирихле. Ядро Дирихле 2p-периодично, четно, и, кроме того, | 48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф. а) Если ф-я f ( x ) четная, то б) если ф-я f ( x ) нечетная, то Ряд Фурье в комплексной форме : Th (О сх-ти в среднем) : "f ( x ) ÎR ([-p ,p ],C ) | 46. Предгильбертово пр-во. Линейное нормированное пр-во бесконечной размерности наз. предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем. | 44. Ортонорм. сист.в-в. Система в-в наз. { ek; k ÎK }ортонормированной, если "i , j ÎK < ei ,ej >=d i , j, где d i , j – символ Кронекера Система {x a; a ÎA } в-в нормир.пр-ваX наз. полной по отношению к мн-ву E ÌX, если "x ÎE можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы. В конечномерном пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X . Th : X – лин.пр-во со скал. пр-ем <, >; l 1 ,…, ln ,… – кон. или счет.сист.¹0 вз. ортогон.в-в X. Þ Эквив: a ) {lk } полна по отн. к E ÌX ; b ) "x ÎE ÌX им.место | 42. Интеграл Пуассона |
60. Теорема Планшереля. L 2 – пополнение (S , d ), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rn . | 58. Пространство S ( Rn ). S(Rn , C ) – сов-ть всех ф-ций f ÎC(∞) (Rn , C ), удовлетворяющих условию такие ф-ции наз. быстро убывающими . Если f ÎS, то Более того, | 56. Пр-е Фурье свертки. — Ф-лы, связывающие операции свертки и умножения функций посредством пр.Фурье. | 54. Теорема Фейера. f: R ®C – 2p-периодическая абс. инт-мая на [-p,p] ф-я. Тогда a) если на E ÌR f равномерно непрерывна, то b) если f ÎC (R ,C ), то c) еслиf непрерывна в x ÎR , то __________________________________________ | 52. ДУ РС триг. ряда Фурье. Th : Если f :[-p,p]®C такова, что а) f ÎC ( m -1) [-p,p], m ÎN ; b) f ( j ) (-p)= f ( j ) (p), j=0,1,…m – 1; c) f имеет на [-p,p] непрерывную производную f ( m ) порядка m >=1, то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномерно на отрезке [-p,p], причем отклонение n - й частичной суммы Sn (x ) ряда Фурье от f ( x ) на всем отрезке [-p,p] имеет оценку где {e n }–стремящаяся к нулю посл-ть положительных чисел. |