Реферат: Решение оптимизационной задачи линейного программирования

--PAGE_BREAK--3.     ОБОСНОВАНИЕ И ОПИСАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЫ


3.1. 
П
РИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
Любая задача линейного программирования приводится к стандартной (канонической) форме основной задачи линейного программирования, которая формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения переменных X1, X2, Xn, удовлетворяющих ограничениям в виде равенств:

A11X1+ A12X2+ … + A1nXn= B1;

A21X1+ A22X2+ … + A2nXn= B2;

……………………………………

Am1X1+ Am2X2+ … + AmnXn = Bm;

Xj≥, j=1,…,n

и обращающих в максимум линейную функцию этих переменных:

E = C1X1+ C2X2+ … + CnXn Þ
max

При этом также требуется, чтобы правые части равенств были неотрицательны, т.е. должны соблюдаться условия:

Bj≥ 0, j=1,…,n

Приведение к стандартной форме необходимо, таккакбольшинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы. Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия:

— перейти от минимизации целевой функции к ее максимизации;

— изменить знаки правых частей ограничений;

— перейти от ограничений-неравенств к равенствам;

— избавиться от переменных, не имеющих ограничений на знак.

Для решения нашей задачи воспользуемся симплекс-методом, так как этот метод предназначен для решения задач линейного программирования любой размерности.
3.2. ОСНОВНАЯ ИДЕЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Экстремум целевой функции всегда достигается в угловых точках области допустимых решений. Симплекс-метод, называемый также методом последовательного улучшения плана, реализует перебор угловых точек области допустимых решений в направлении улучшения значения целевой функции. Основная идея этого метода следующая. Прежде всего, находится какое-либо допустимое начальное (опорное) решение, т.е. какая-либо угловая точка области допустимых решений. Процедура метода позволяет ответить на вопрос,  является ли это решение оптимальным. Если «да», то задача решена. Если «нет», то выполняется переход к смежной угловой точке области допустимых решений, где значение целевой функции улучшается, т.е. к нехудшему допустимому решению. Если некоторая угловая точка имеет несколько смежных, то вычислительная процедура метода обеспечивает переход к той из них, для которой улучшение целевой функции будет наибольшим. Процесс перебора угловых точек области допустимых решений повторяется, пока не будет найдена точка, которой соответствует экстремум целевой функции Е.

При построении начального базиса в заданной задаче использовался метод искусственного базиса, поэтому найденное решение не является допустимым. В этом случае для решения задачи необходимо использовать двухэтапный симплекс-метод.
3.3. ДВУХЭТАПНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
Задача с помощью этого метода решается в два этапа: сначала отыскивается начальное допустимое решение, не содержащее искусственных переменных, а затем на основе найденного решения ищется оптимальное решение исходной задачи. Основные шаги, реализации метода следующие.

1. Задача линейного программирования сводится к стандартной форме.

2. Строится искусственный базис.

3. Составляется искусственная целевая функция: сумма всех искусственных переменных.

4. Реализуется первый этап двухэтапного метода: с помощью обычных процедур симплекс-метода выполняется минимизация искусственной целевой функции. Если ее минимальное значение равно 0, то соответствующее решение является допустимым решением исходной задачи. Очевидно, что при нулевом значении искусственной целевой функции все искусственные переменные также нулевые (так как искусственная целевая функция — их сумма, и все они неотрицательны). Если минимальное значение искусственной целевой функции оказывается отличным от нуля, это означает, что задача не имеет допустимых решений.

5. Реализуется второй этап двухэтапного метода: найденное на шаге 4 допустимое решение используется в качестве начального решения исходной задачи для поиска ее оптимального решения.
4.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦ
4.1. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
Для приведения данной задачи к стандартной форме необходимо лишь перейти от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные балансовые неотрицательные переменные. Также для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части ограничений на комплектацию деталей на 5:

X1 + X2+ X3 + X7= 8;

X4 + X5+ X6 + X8= 8;

2X1– X2+ 6X4– 3X5= ;

2X1– 2X3+ 6X4– 2X6=;

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8≥.

E=X1+ X2+ 2X3+ 3X4+ 3X5+ 2X6  Þ
max

где Х7 , Х8– остаточные переменные.

          Итак, нашу исходную задачу мы привели к стандартной форме основной задачи линейного программирования.
4.2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ
Для задачи, представленной в стандартной форме, количество переменных обычно больше, чем количество ограничений. Поэтому для нахождения начального решения задачи требуется выразить m переменных (т.е. количество переменных, равное количеству уравнений) через остальные n-m переменных, принять эти n-m переменных равными нулю и, таким образом, найти значения m переменных(в заданной задаче m=4иn=8). Переменные, значения которых принимаются равными нулю, называются небазисными, а остальные m переменных — базисными. Значения базисных переменных неотрицательны (некоторые из них могут оказаться равными нулю). Количество базисных переменных всегда равно количеству ограничений. Найденное таким образом решение называется начальным допустимым базисным решением. Оно соответствует всем ограничениям.

Начальное решение  проще всего найти в случае, когда в каждом ограничении есть переменная, которая входит в него с коэффициентом 1 и при этом отсутствует в других ограничениях. Такие переменные принимаются в качестве базисных (они образуют начальный базис задачи). Остальные (небазисные) переменные принимаются равными нулю. Таким образом, базисные переменные принимают значения, равные правым частям ограничений.

Итак, для нахождения начального допустимого решения необходимо, чтобы в каждое из уравнений входила переменная с коэффициентом 1 и не входила в другие уравнения (базисная переменная). В нашем случае мы имеем только 2 базисные переменные (X7иX8), не хватает еще двух базисных переменных. Их можно создать с помощью специального способа, который называется построением искусственного базиса.
4.3. П
ОСТРОЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА
Методы искусственного базиса предназначены для построения начального базиса (т.е. для получения начального решения) в случаях, когда его построение непосредственно на основе стандартной формы невозможно. При использовании искусственного базиса начальное решение оказывается недопустимым; от него по определенным алгоритмам выполняется переход к начальному допустимому решению.

Для того, чтобы построить искусственный базис, необходимо в каждое уравнение стандартной формы, не содержащее базисных переменных (т.е. полученное из ограничения-равенства или «не меньше»), добавить по одной искусственной переменной. В нашем случае это:

2X1– X2+ 6X4– 3X5+ Х9= ;

           2X1– 2X3+ 6X4– 2X6+ Х10=.

где Х9и Х10– искусственные переменные, не имеющие никакого физического смысла, причем Х9, Х10≥0.

Послепостроения искусственного базиса, придав нулевые значения всем  переменным, кроме базисных, получим начальный базис: Х7, Х8, Х9, Х10. Всего в базисе имеется четыре переменные и их значения равны правым частям ограничений, т.е.:

Х7= 8;

Х8= 8;


Х9= ;

Х10= .

Теперьнеобходимо решить эту задачу, т.е. найти оптимальное допустимое решение. Для этого воспользуемся двухэтапным симплекс-методом.
4.4.
ПЕРВЫЙ ЭТАП ДВУХЭТАПНОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Итак, на первом этапе двухэтапного метода отыскивается начальное допустимое решение. Для этого выполним следующие действия:

1.      Строим искусственную целевую функцию – сумму всех искусственных

переменных:

W= X9+ X10Þ
min

2.      Так   как  целевая  функция  должна  быть  выражена  только  через  небазисные

переменные, то выражаем искусственные переменные X9 и X10 через небазисные переменные, а затем, упростив полученное выражение, переписываем искусственную целевую функцию:

X9 = — 2X1+ X2— 6X4+ 3X5;

X10 =— 2X1+ 2X3— 6X4+ 2X6.

W= — 4X1+ X2+ 2X3– 12X4+ 3X5+ 2X6Þ
min

3.      Для приведения к стандартной форме направим искусственную целевую

функцию на максимум, для этого умножим обе ее части на –1:

 -W=  4X1— X2— 2X3+ 12X4— 3X5— 2X6Þ
max

4.      Определяем начальное, недопустимое решение. Базис состоит из четырех

переменных, из них две искусственные, остальные две — остаточные. Базисные переменные принимают значения, равные ограничениям задачи. Остальные переменные считаем равными нулю. В этом случае целевая функция Е принимает значение, искусственная целевая функция –
W также принимает значение 0.

5.     Составляем исходную симплекс-таблицу:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


БР

E

-1

-1

-2

-3

-3

-2











-W

-4

1

2

-12

3

2











X
7


1

1

1







1







8

X
8








1

1

1



1





8

X
9


2

-1



6

-3







1





X
10


2



-2

6



-2







1



Таблица 2
.Симплекс-таблица №1.

Итак, в первом столбце таблицы указаны базисные переменные, в последнем столбце — их значения, а также значения целевой и искусственной целевой функций. В заголовке таблицы перечисляются все используемые переменные. В строках таблицы указываются коэффициенты ограничений задачи.

6.      Реализуем  первый  этап  двухэтапного метода:  с помощью процедур симплекс-

метода выполняем максимизацию функции -
W. При этом переменные, включаемые в базис, выбираются по W-строке (т.е. на каждом цикле в базис включается переменная, которой соответствует максимальный по модулю отрицательный элемент в W-строке; столбец, соответствующий этой переменной, становится ведущим). В нашем случае это столбец X
4, т. к. коэффициент при этой переменной в W-строке равен –12. Ведущую строку определяем следующим образом: рассчитываем так называемые симплексные отношения, т. е. отношения текущих значений базисных переменных к положительным  коэффициентам ведущего столбца, соответствующим данным базисным переменным. Затем берем минимальное из этих отношений и по тому, какой строке оно соответствует, определяем ведущую строку. У нас есть три таких отношения: по переменной Х
8 (8/1=8),  Х
9 (0/6=0) и Х
10 (0/6=0). Получилось два минимальных значения, значит, возьмем любое из них, например по переменной Х
9. После находим ведущий элемент, он расположен на пересечении ведущей строки и ведущего столбца (в нашем случае он равен 6). Затем определяем переменные, которые будем исключать из базиса и включать в него. Переменную, которой соответствует ведущий столбец, будем включать в базис вместо переменной, которой соответствует ведущая строка. Далее все преобразования выполняем по обычным формулам симплекс-метода или по «правилу прямоугольника». Преобразованиям подвергается вся симплекс-таблица, включая E-строку, W-строку и столбец решений.Получаем новую симплекс-таблицу:

БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


БР

E



-1,5

-2



-4,5

-2





0,5





-W



-1

2



-3

2





2





X
7


1

1

1







1







8

X
8


-0,33

0,17





1,5

1



1

-0,17



8

X
4


0,33

-0,17



1

-0,5







0,17





X
10




1

-2



3

-2





-1

1



Таблица 3
.Симплекс-таблица №2.

Мыполучили новое решение (Х
7
, Х
8
, Х
4
, Х
10
)=(8,8,0,0). Это решение недопустимо, так как в базисе содержится искусственная переменная Х
10. Выполим очередную итерацию. По строке –Wдля включения в  базис  выбираем  переменную  X
5  (т.к. –3– максимальное по модулю отрицательное число). Столбец X
5становится ведущим. По минимальному симплексному отношению ( 8/1,5=5,33; 0/3=0) для исключения из базиса выбираем переменную Х
10. Ведущий элемент равен 3. После проведенных пересчетов получаем новую симплекс-таблицу:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


БР

E





-5





-5





-1

1,5



-W

















1

1



X
7


1

1

1







1







8

X
8


-0,33

-0,33

1





2



1

0,33

-0,5

8

X
4


0,33



-0,33

1



-0.33







0,17



X
5




0,33

-0,67



1

-0,67





-0,33

0,33



Таблица 4
.Симплекс-таблица №3.
4.5. ВТОРОЙ ЭТАП ДВУХЭТАПНОГО СИМЛЕКС-МЕТОДА
Итак, как видно из Таблицы 4, все искусственные переменные вышли из базиса, искусственная целевая функция обнулилась – значит, первый этап двухэтапного симплекс-метода закончен, найдено начальное допустимое решение: (
Х
1
,X
2
,X
3
,X
4
,X
5
,X
6
) = (0,0,0,0,0,0), целевая функция Е=0. Теперь  переходим к реализации второго этапа: вычеркиваем из таблицы строку искусственной целевой функции и столбцы искусственных переменных; над новой таблицей выполняем обычные процедуры симплекс-метода, а именно: ведущий столбец определяется также, как и для первого этапа двухэтапного симплекс-метода, единственное различие состоит в том, что максимальный по модулю отрицательный коэффициент находим по Е-строке целевой функции. Расчет ведем до тех пор, пока в Е-строке не останется отрицательных коэффициентов:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


БР

E





-5





-5







X
7


1

1

1







1



8

X
8


-0,33

-0,33

1





2



1

8

X
4


0,33



-0,33

1



-0,33







X
5




0,33

-0,67



1

-0,67







Таблица 5
.Симплекс-таблица №4.

Нашеначальное допустимое решение не является оптимальным, так как в Е-строке содержатся отрицательные коэффициенты. Определим по Е-строке новую переменную для включения в базис. Это переменная X
3, т.к. –5– максимальное по модулю отрицательное число (коэффициент Е-строки при переменной X
6также равен –5, поэтому выбрали любую из этих переменных, например X
3). Столбец X
3становится ведущим. По минимальному симплексному отношению ( 8/1=8; 8/1=8) для исключения из базиса выбираем переменную Х
7(симплексное отношение при переменной X
8также равно 8, поэтому выбрали любую из этих переменных). Ведущий элемент равен 1. После проведенных пересчетов получаем новую симплекс-таблицу:

БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


БР

E

5

5







-5

5



40

X
3


1

1

1







1



8

X
8


-1,33

-1,33







2

-1

1



X
4


0,67

0,33



1



-0,33

0,33



2,67

X
5


0,67

1





1

-0,67

0,67



5,33

Таблица 6
.Симплекс-таблица №5.

Итак, как видно из таблицы, некоторые из искомых переменных, а именно Х
3, Х4иХ5,началирасти, что привело и к росту значения целевой функции – из нулевого значения она приняла значение40. Это можно объяснить тем, что из точки начального допустимого решения мы перешли к соседней угловой точке области допустимых решений, причем в этой соседней точке рост целевой функции максимален. Однако в Е-строке есть еще отрицательный коэффициент, поэтому продолжим расчеты.

Определимпо Е-строке новую переменную для включения в базис. Это переменная X
6, т.к. –5– максимальное по модулю отрицательное число. Столбец X
6становится ведущим. По минимальному симплексному отношению ( 0/2=0) для исключения из базиса выбираем переменную Х
8. Получаем новую симплекс-таблицу:

БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


БР

E

1,67

1,67









2,5

2,5

40

X
3


1

1

1







1



8

X
6


-0,67

-0,67







1

-0,5

0,5



X
4


0,44

0,11



1





0,17

0,17

2,67

X
5


0,22

0,55





1



0,33

0,33

5,33

Таблица 7
.Симплекс-таблица №6.

          Так как все коэффициенты E-строки таблицы 7 положительные, то оптимальное решение найдено. Оптимальный план состоит в том, чтобы токарный станок работал над деталями типа 3 8 часов за смену, то есть всю рабочую смену, и не работал над деталями типа 1 и 2 вообще. Станок-автомат должен работать за смену 2,67 часа над деталями типа 1 и 5,33 часа над деталями типа 2 и не должен работать над деталями типа 3. При этом за смену будет выпускаться максимально возможное количество комплектов деталей, а именно 40 комплектов. Ни один из станков не будет простаивать.
5. А
НАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
В окончательной симплекс-таблице, содержащей оптимальное решение, содержится не только само оптимальное решение, но и другая информация. На основе последней симплекс-таблицы решаются задачи анализа на чувствительность — определение влияния изменений в исходных данных задачи на оптимальное решение. Интерпретация симплекс-таблицы и анализ на чувствительность полностью зависят от содержательного смысла конкретной задачи. В нашем случае мы имеем дело с задачей о распределения ресурсов, а именно ресурсов времени.


    продолжение
--PAGE_BREAK--5.1. СТАТУС РЕСУРСОВ


По статусу ресурсы делятся на дефицитные и недефицитные. Если некоторый ресурс при реализации оптимального плана расходуется полностью, он называется дефицитным, если не полностью — недефицитным.

Статус ресурсов определяется по значениям остаточных переменных Х
7
иХ
8, введенных в исходную систему ограничений для приведения ее к стандартной форме. Эти переменные означают остатки ресурсов при реализации оптимального плана. Ни одна из остаточных переменных не входит в оптимальное решение, т.е. их значения равны нулю. Это означает, что токарный станок и станок-автомат использовались все выделенное для их работы время, т.е. запасы времени работы станков являются дефицитными ресурсами. Увеличение запасов дефицитных ресурсов позволяет увеличить значение целевой функции, а снижение этих запасов приводит к уменьшению целевой функции.
5.2. Ц
ЕННОСТЬ РЕСУРСОВ
Ценность ресурса — это величина увеличения значения целевой функции при увеличении запасов данного ресурса на единицу (или соответственно величина уменьшения целевой функции при снижении запаса ресурса). Другое название этой величины — теневая (скрытая) цена. В симплекс-таблице, соответствующей оптимальному решению, теневые цены содержатся в E-строке и представляют собой коэффициенты при остаточных переменных, соответствующим остаткам ресурсов. Таким образом, ценность времени работы токарного станка  и станка-автомата соответственно равна по 2,5 комплекта деталей. Другими словами,если запас времени работы токарного станка увеличить (уменьшить) на 1 час, то количество производимых комплектов деталей увеличится (уменьшится) на 2,5 единицы, и, аналогично, если увеличить (уменьшить) время работы станка-автомата станка на 1 час, то количество комплектов увеличится (уменьшится) на 2,5 комплекта.


5.3. АНАЛИЗ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К ИЗМЕНЕНИЯМ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ОГРАНИЧЕНИЙ


Для анализа решения на чувствительность к изменению запасов времени работы станков (без изменения других исходных данных задачи) используются коэффициенты из столбцов остаточных переменных Х
7
и Х
8 (соответственно для токарного станка и станка-автомата) в последней симплекс-таблице. Например, если запас времени работы токарного станка изменился на d часов и стал равен 8+d часов, то новое оптимальное решение находится по следующим формулам:

Х3= 8 + 1*d

X6= – 0,5*d

X4= 2,67 + 0,17*d

X5= 5,33 + 0,33*d

E = 40 + 2,5*d

При составлении этих формул использовали коэффициенты из столбца остаточной переменной Х
7 в последней симплекс-таблице. По содержательному смыслу эти формулы означают изменение времени работы токарного станка или станка-автомата над каждой из деталей в сутки при изменении запаса дефицитного ресурса. Формула E = 40 + 2,5*d означает изменение количества производимых комплектов деталей в сутки. Например, если время работы токарного станка станет не 8, а 6 часов в сутки, т.е. уменьшится на 2 часа (d=-2), то базисные переменные, а также целевая функция примут следующие значения:

Х3= 6; Х6= 1; Х4= 2,33; Х5= 4,67; Е = 35.

Все остальные переменные равны нулю (они не являются базисными).

Как видно, из-за уменьшения запаса времени работы токарного станка уменьшилось время работы этого станка над деталями типа 3, но вместе с тем увеличилось время работы станка-автомата над этими же деталями. Так как станок-автомат стал работать за смену 1 час над деталями третьего типа, то он уменьшил свое время работы над деталями типа 1 и 2 (ранее он отдавал все свое время на обработку только этих деталей). И, очевидно, что если время работы токарного станка уменьшилось, то уменьшится и количество комплектов деталей, производимых в сутки.

Таким образом, для исследования влияния изменения запаса ресурса на оптимальное решение нет необходимости решать задачу заново (с новым ограничением). Для нахождения оптимального решения достаточно по окончательной симплекс-таблице исходной задачи составить уравнения и подставить в них величину изменения запаса ресурса (значение d).

Изменение запасов ресурсов (т.е. правых частей ограничений)  может привести к недопустимости оптимального базиса, найденного для исходной задачи. Так как на все переменные, используемые в задаче, накладывается требование неотрицательности, допустимый диапазон изменения запаса ресурса (т. е. диапазон допустимых значений d) находят из системы неравенств. Таким образом, допустимый диапазон изменения запаса времени работы токарного станка, при котором состав переменных в базисе оптимального решения не изменяется, находится из условия:

Х3= 8 + 1*d > 0

Х6= – 0,5*d > 0

Х4= 2,67+ 0,17*d > 0

Х5= 5,33+ 0,33*d > 0

Решив данную систему неравенств, получим, что –8 < d < . Таким образом, базис оптимального решения будет состоять из переменных (Х
3
, Х
6
, Х
4
, Х
5
), если запас времени работы токарного станка будет находиться в диапазоне от до 8 часов. Выход значения d за границы этого диапазона приведет к недопустимости найденного нами оптимального решения, так как минимум одна из базисных переменных окажется отрицательной, и для того, чтобы найти оптимальное решение, нам придется решать задачу заново.

Аналогично выполняется анализ на чувствительность к изменению запаса времени работы станка-автомата.
5.4. А
НАЛИЗ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К ИЗМЕНЕНИЯМ   КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
В данной задаче коэффициенты целевой функции имеют сложный физический смысл, поэтому анализ на чувствительность к изменению ее коэффициентов производить не будем.

    продолжение
--PAGE_BREAK--6.     ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ


Данная задача по своему содержанию является частично целочисленной. Переменные X1, X2, X3, X4, X5, X6,обозначающие время работы определенного станка над деталями определенного типа, должны принимать целые значения. В то же время, переменные Х7 , Х8, обозначающие время простоя соответственно токарного станка и станка-автомата, могут принимать дробные значения. Для поиска оптимального целочисленного решения воспользуемся методом Гомори для частично целочисленных задач.
6.1. 
МЕТОД ГОМОРИ ДЛЯ ЧАСТИЧНО ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ
Метод Гомори для нахождения целочисленного решения относится к большой группе методов, называемых методами отсечений. Эти методы основаны на введении в задачу дополнительных ограничений, позволяющих учесть требование целочисленности. Основная идея методов отсечений состоит в том, что на полученное оптимальное нецелочисленное решение накладывается дополнительное ограничение, которое делает это решение недопустимым, но и не отсекает ни одного целочисленного решения от области допустимых решений.

Ограничения составляются по финальной симплекс-таблице, в которой получено оптимальное нецелочисленное решение. При этом на первоначальную систему ограничений накладывается новое ограничение по следующей формуле:

L1*W1+ L2*W2+ … +Ln*Wn ≥ {Bi} ,где

<img width=«2» height=«118» src=«ref-1_299311285-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032">                Aij,                                       если Aij≥0 и Wjможет быть дробной,        (1)

             ({Bi}*Aij)/({Bi}-1),             если Aij<0 и Wjможет быть дробной,         (2)

Lj=      {Aij},                                   если{Aij}£{Bi} и Wiдолжнабыть целой, (3)

            {Bi}*(1-{Aij})/(1-{Bi}),     если{Aij}>{Bi} и Wiдолжнабыть целой, (4)

j=1,…,n

где Wn– небазисная переменная;

Bi  — базисная переменная, имеющая максимальную дробную часть ( дробная часть числа – это разность между этим числом и максимальным целым числом, не превосходящим его);

Aij– коэффициент, стоящий на пересечении строки i-ой базисной переменной и столбца  j-ой небазиснойпеременной;

            Далее полученное ограничение приводится к стандартному виду:

-L1*W1— L2*W2— … -Ln*Wn+ Sr = -{Bi}

где r – номер итерации алгоритма.

            Здесь Sr– неотрицательная остаточная переменная, не имеющая никакого содержательного смысла; в оптимальном целочисленном решении эта переменная оказывается равной нулю.

            В нашем случае переменная, имеющая максимальную дробную часть – это Х
4
({2,67}=0,67), она должна быть целой, переменные Х
7и Х8 могут быть дробными, переменные Х
1 и Х
2 должны быть целыми, поэтому, согласно выше приведенной формуле, составим новое  дополнительное ограничение.Так как все коэффициенты на пересечениях базисной переменной Х
4и небазисных переменных Х
1 , Х
2 , Х
7, Х
8
≥ 0(0,44≥0, 0,11≥0, 0,17≥0), токоэффициентыпри переменных Х
1 и Х
2 рассчитали по формуле (3):
L
1
={0,44}=0,44, L2
={0,11}=0,11, а коэффициентыпри переменных Х
7 и Х
8 рассчитали по формуле (1):
L
3
=0,17, L4
=0,17. {В
4
}={
Х
4
} = {2,67} = 0,67.Ограничение будет иметь вид: 

0,44Х1+ 0,11Х2+ 0,17Х7+ 0,17Х8≥ 0,67

          Можноубедиться, что это ограничение сделало наше оптимальное решение недопустимым ( если подставить Х1=0, Х2=0, Х7=0, Х8=0, — значения переменных, полученных в оптимальном нецелочисленном решении, то получим 0≥0,67 – неверно).

Приведя ограничение к стандартному виду, имеем:

-0,44Х1— 0,11Х2— 0,17Х7— 0,17Х8 + Х9= -0,67

            Добавим к нашей финальной симлекс-таблице строку и столбец, соответствующие построенному ограничению и новой базисной переменной Х
9:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


БР

E

1,67

1,67









2,5

2,5



40

X
3


1

1

1







1





8

X
6


-0,67

-0,67







1

-0,5

0,5





X
4


0,44

0,11



1





0,17

0,17



2,67

Х
5


0,22

0,55





1



0,33

0,33



5,33

X
9


-0,44

-0,11









-0,17

-0,17

1

-0,67

Таблица 8
.Симплекс-таблица №7.

Как видно, полученная симплекс-таблица содержит недопустимое решение (переменная Х
9имеет отрицательное значение). Произведем дальнейший пересчет таблицы, причем ведущую строку определяем максимальным по модулю отрицательным элементом столбца решений, а ведущий столбец – минимальным по модулю отношением элемента Е-строки к отрицательным элементам ведущей строки. Пересчет симплекс-таблицы осуществляется на основе стандартных процедур симплекс-метода.

Итак, переменная, исключаемая из базиса – это X
9, т.к. ее значение –0,67 — это максимальный по модулю отрицательный элемент столбца решений. В базис включаем переменную X
1, т.к. |1,67/(-0,44)|=3,8, |1,67/(-0,11)|=15,2, |2,5/(-0,17)|=14,7, 3,8 – минимальное по модулю отношение элемента Е-строки к отрицательным элементам ведущей строки.Ведущий элемент равен –0,44. Получим новую симплекс-таблицу:

БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


БР

E



1,25









1,875

1,875

3,75

37,5

X
3




0,75

1







0,625

-0,375

2,25

6,5

X
6




-0,5







1

-0,25

0,75

-1,5

1

X
4








1









1

2

Х
5




0,5





1



0,25

0,25

0,5

5

X
1


1

0,25









0,375

0,375

-2,25

1,5

Таблица 9
.Симплекс-таблица №8.

Все значения базисных переменных стали неотрицательными, это означает остановку вычислительного процесса на данной итерации и анализ полученных результатов. Как видно из таблицы, в базис вошла новая переменная Х
1, переменные Х
3, Х
4 и Х
5уменьшили свое значение, а переменная Х
6увеличилась. Значение целевой функции уменьшилось и стало равно 37,5, что объясняется тем, что оптимальное нецелочисленное решение было отсечено нашим дополнительным ограничением, и для поиска оптимального целочисленного решения мы ушли вглубь области допустимых решений, где значение целевой функции меньше оптимального. Наше решение все еще нецелочисленное, поэтому составим новое ограничение.

Переменная, имеющая максимальную дробную часть – это Х
3
({6,5}=0,5)(Х
1имеет такую же дробную часть, поэтому выбрали любую из них, например,Х
3), она должна быть целой, переменные Х
7, Х8 и Х
9 могут быть дробными, переменная Х
2 должна быть целой, поэтому, согласно формуле, составим новое  дополнительное ограничение.Так как коэффициенты на пересечениях базисной переменной Х
3и небазисных переменных Х
2 , Х
7, Х
9
≥ 0(0,75≥0, 0,625≥0, 2,25≥0), токоэффициентпри переменной Х
2 рассчитаем по формуле (3):
L
1
={0,75}=0,75, коэффициенты при переменных Х
7 и Х
9 рассчитаем по формуле (1):
L
3
=0,625, L4
=2,25. Так как коэффициент на пересечении базисной переменной Х
3и небазисной переменной Х
8
<0, то коэффициент при переменной Х
8рассчитаем по формуле (2): L2
=({6,5}*(-0,375))/({6,5}-1)=0,375.{В
3
}={
Х
3
} = {6,5} = 0,5.Ограничение будет иметь вид:

0,25Х2+    продолжение
--PAGE_BREAK--0,625Х7+0,375Х8+ 2,25Х9≥ 0,5

Или, после приведения к стандартному виду, получим:

-0,25Х2– 0,625Х7– 0,375Х8– 2,25Х9+ Х10= -0,5

Добавим это ограничение к нашей предыдущей симплекс-таблице:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


БР

E



1,25









1,875

1,875

3,75



37,5

Х
3




0,75

1







0,625

-0,375

2,25



6,5

X
6




-0,5







1

-0,25

0,75

-1,5



1

X
4








1









1



2

X
5


1

0,5





1



0,2

0,25

0,5



5

Х
1


1

0,25









0,375

0,375

-2,25



1,5

X
10




-0,25









-0,375

-0,375

-2,25

1

-0,5

Таблица 10. Симплекс-таблица №9.

Переменная, исключаемая из базиса – это X
10, т.к. ее значение –0,5 — это максимальный по модулю отрицательный элемент столбца решений. В базис включаем переменную X
9, т.к. |3,75/(-2,25)|=1,67, |1,25/(-0,25)|=5, |1,875/(-0,375)|=5, 1,67 – минимальное по модулю отношение элемента Е-строки к отрицательным элементам ведущей строки.Ведущий элемент равен –2,25. Получим новую симплекс-таблицу:



БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


БР

E



0,83









1,25

1,25



1,67

36,67

Х
3




0,5

1







0,25

-0,75



1

6

X
6




-0,33







1



1



-0,67

1,33

X
4




0,111



1





-0,17

-0,17



0,44

1,78

X
5




0,444





1



0,17

0,17



0,22

4,89

Х
1


1

0,5









0,75

0,75



-1

2

X
9




0,11









0,17

0,17

1

-0,44

0,22

Таблица 11. Симплекс-таблица №10.

Решение все еще не целочисленное, поэтому переходим к следующей итерации. Переменная, имеющая максимальную дробную часть – это Х
5
({4,89}=0,89), она должна быть целой, переменные Х
7, Х8 и Х
10 могут быть дробными, переменная Х
2 должна быть целой, поэтому, согласно формуле, составим новое  дополнительное ограничение.Так как коэффициенты на пересечениях базисной переменной Х
5и небазисных переменных Х
2, X
7, X
8,Х
10
≥0(0,44≥0, 0,17≥0, 0,22≥0), токоэффициентпри переменной Х
2 рассчитаем по формуле (3):
L
1
={0,44}=0,44, коэффициенты при переменных Х
7, Х
9
и Х
10 рассчитаем по формуле (1):
L
2
=0,17, L3
=0,17, L
4
=0,22.{В
5
}={
Х
5
} = {4,89} = 0,89.Ограничение будет иметь вид:

0,44Х2+ 0,17Х7+ 0,17Х8+ 0,22Х10 ≥ 0,89

Или, после приведения к стандартному виду, получим:


-0,44Х2– 0,17Х7– 0,17Х8– 0,22Х10+ Х11= -0,89

Добавим это ограничение к нашей предыдущей симплекс-таблице:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


Х
11


БР

E



0,83









1,25

1,25



1,67



36,67

Х
3




0,5

1







0,25

-0,75



1



6

X
6




-0,3







1



1



-0,67



1,33

X
4




0,11



1





-0,17

-0,17



0,44



1,78

X
5




0,44





1



0,17

0,17



0,22



4,89

Х
1


1

0,5









0,75

0,75



-1



2

Х
9




0,11









0,17

0,17

1

-0,44



2

X
11




-0,44









-0,17

-0,17



-0,22

1

-0,89

Таблица 12. Симплекс-таблица №11.

Переменная, исключаемая из базиса – это X
11, т.к. ее значение –0,89 — это максимальный по модулю отрицательный элемент столбца решений. В базис включаем переменную X
2, т.к. |0,83/(-0,44)|=1,9, |1,25/(-0,17)|=7,4, |1,67/(-0,22)|=7,6, 1,9 – минимальное по модулю отношение элемента     продолжение
--PAGE_BREAK--Е-строки к отрицательным элементам ведущей строки.Ведущий элемент равен –0,44. После пересчетов получим получим новую симплекс-таблицу:


БП

X
1


X
2


X
3


X
4


X
5


X
6


X
7


X
8


X
9


X
10


Х
11


БР

E













0,938

0,94



1,25

1,89

35

Х
3






1







0,063

-0,938



0,75

1,125

5

X
6












1

0,125

1,125



-0,5

-0,75

2

X
4








1





-0,125

-0,125



0,5

-0,25

2

X
5










1











1

4

Х
1


1











0,563

0,563



-1,25

1,125

1

Х
9














0,125

0,125

1

-0,5

0,25



X
2




1









0,375

0,375



0,5

-2,25

2

Таблица 13. Симплекс-таблица №12.

Столбец решений не содержит  отрицательных элементов, все  переменные  X
1
, X
2,
  X
3
, X
4
, X
5
, X
6 принялицелочисленные значения, значит,оптимальное целочисленное решение найдено, оно равно: (X
1
,X
2,
X
3
,X
4
,X
5
,X
6
)=(1,2,5,2,4,2), целевая функция при этом принимает максимальное значение: Е=35.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

После проведенных вычислений, решив задачу оптимизации, мы получили следующие результаты: оптимальный план работы станков состоит в том, чтобы токарный станок работал 1 час над деталями типа 1, 2 часа над деталями типа 2 и 5 часов над деталями типа 3 за смену; станок-автомат должен работать 2 часа над деталями типа 1, 4 часа над деталями типа 2 и 2 часа над деталями типа 3 за смену. При этом количество комплектов деталей, выпускаемых цехом, будет максимально и равно 35.

В результате проведенного анализа на чувствительность к изменению запаса времени работы токарного станка получили, что если запас времени работы этого станка будет находиться в пределах от до 8 часов, то  базис оптимального решения останется неизменным, т.е. будет состоять из переменных (Х
3
, Х
6
, Х
4
, Х
5
).
 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. – Мн.: БГУИР, 1995.

2. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.2. – Мн.: БГУИР, 1996.

3. Смородинский С.С., Батин Н.В. Анализ и оптимизация систем на основе аналитических моделей. — Мн.: БГУИР, 1997.

4.      Дегтярев Ю.И. Исследование операций. -  М.: Высшая школа, 1986.
УСЛОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
БР – базисное решение

БП – базисная переменная
   Условие  задачи.                                                                                                                                     Приложение.
+-----------------------------------------------------------------------+

¦   X1   ¦   X2   ¦   X3   ¦   X4   ¦   X5   ¦   X6   ¦Вид огр.¦Значение¦

+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------¦

¦   -1.00¦   -1.00¦   -2.00¦   -3.00¦   -3.00¦   -2.00¦    E   ¦        ¦

+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------¦

¦    2.00¦   -1.00¦    0.00¦    6.00¦   -3.00¦    0.00¦   ==   ¦    0.00¦

¦    2.00¦    0.00¦   -2.00¦    6.00¦    0.00¦   -2.00¦   ==   ¦    0.00¦

¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦   <=   ¦    8.00¦

¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦   <=   ¦    8.00¦

+-----------------------------------------------------------------------+
Вывод промежуточных результатов оптимизации.
+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

¦ N¦ БП ¦   X1   ¦   X2   ¦   X3   ¦   X4   ¦   X5   ¦   X6   ¦   X7   ¦   X8   ¦   X9   ¦   X10  ¦Баз.Реш.¦

+--+----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+---

¦ 1¦  E ¦   -1.00¦   -1.00¦   -2.00¦   -3.00¦   -3.00¦   -2.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+---

¦  ¦ -W ¦   -4.00¦    1.00¦    2.00¦  -12.00¦    3.00¦    2.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--

¦  ¦ X9 ¦    2.00¦   -1.00¦    0.00¦    6.00¦   -3.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  ¦ X10¦    2.00¦    0.00¦   -2.00¦    6.00¦    0.00¦   -2.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    0.00¦

¦  ¦ X7 ¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    8.00¦

¦  ¦ X8 ¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    8.00¦

+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
Ведущий элемент находится в 4  столбце и 1  строке.
Вывод промежуточных результатов оптимизации.
+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

¦ N¦ БП ¦   X1   ¦   X2   ¦   X3   ¦   X4   ¦   X5   ¦   X6   ¦   X7   ¦   X8   ¦   X9   ¦   X10  ¦Баз.Реш.¦

+--+----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--

¦ 2¦  E ¦    0.00¦   -1.50¦   -2.00¦    0.00¦   -4.50¦   -2.00¦    0.00¦    0.00¦    0.50¦    0.00¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+-

¦  ¦ -W ¦    0.00¦   -1.00¦    2.00¦    0.00¦   -3.00¦    2.00¦    0.00¦    0.00¦    2.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+

¦  ¦ X4 ¦    0.33¦   -0.17¦    0.00¦    1.00¦   -0.50¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.17¦    0.00¦    0.00¦

¦  ¦ X10¦    0.00¦    1.00¦   -2.00¦    0.00¦    3.00¦   -2.00¦    0.00¦    0.00¦   -1.00¦    1.00¦    0.00¦

¦  ¦ X7 ¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    8.00¦

¦  ¦ X8 ¦   -0.33¦    0.17¦    0.00¦    0.00¦    1.50¦    1.00¦    0.00¦    1.00¦   -0.17¦    0.00¦    8.00¦

+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
Ведущий элемент находится в 5  столбце и 2  строке.
Вывод промежуточных результатов оптимизации.
+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

¦ N¦ БП ¦   X1   ¦   X2   ¦   X3   ¦   X4   ¦   X5   ¦   X6   ¦   X7   ¦   X8   ¦   X9   ¦   X10  ¦Баз.Реш.¦

+--+----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--

¦ 3¦  E ¦    0.00¦    0.00¦   -5.00¦    0.00¦    0.00¦   -5.00¦    0.00¦    0.00¦   -1.00¦    1.50¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+

¦  ¦ -W ¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+

¦  ¦ X4 ¦    0.33¦    0.00¦   -0.33¦    1.00¦    0.00¦   -0.33¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    0.17¦    0.00¦

¦  ¦ X5 ¦    0.00¦    0.33¦   -0.67¦    0.00¦    1.00¦   -0.67¦    0.00¦    0.00¦   -0.33¦    0.33¦    0.00¦

¦  ¦ X7 ¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦    8.00¦

¦  ¦ X8 ¦   -0.33¦   -0.33¦    1.00¦    0.00¦    0.00¦    2.00¦    0.00¦    1.00¦    0.33¦   -0.50¦    8.00¦

+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
Вывод промежуточных результатов оптимизации.
+----------------------------------------------------------------------------------------+

¦ N¦ БП ¦   X1   ¦   X2   ¦   X3   ¦   X4   ¦   X5   ¦   X6   ¦   X7   ¦   X8   ¦Баз.Реш.¦

+--+----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+---

¦ 3¦  E ¦    0.00¦    0.00¦   -5.00¦    0.00¦    0.00¦   -5.00¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  +----+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+-

¦  ¦ X4 ¦    0.33¦    0.00¦   -0.33¦    1.00¦    0.00¦   -0.33¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  ¦ X5 ¦    0.00¦    0.33¦   -0.67¦    0.00¦    1.00¦   -0.67¦    0.00¦    0.00¦    0.00¦

¦  ¦ X7 ¦    1.00¦    1.00¦    1.00¦    0.00¦    продолжение
--PAGE_BREAK--