Реферат: Матричный анализ

--PAGE_BREAK--Пусть дана <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_292189036-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">. Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_292201985-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. <img width=«275» height=«27» src=«ref-1_292202225-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">, Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):
<img width=«168» height=«91» src=«ref-1_292202742-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">.

Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут <img width=«140» height=«24» src=«ref-1_292189887-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">. Надо построить <img width=«136» height=«27» src=«ref-1_292203692-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">.

Построим:

<img width=«137» height=«45» src=«ref-1_292204060-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.

Обратим внимание, что <img width=«127» height=«51» src=«ref-1_292204483-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">.

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_292191946-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"><img width=«89» height=«24» src=«ref-1_292205101-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">


Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы <img width=«112» height=«75» src=«ref-1_292205419-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">.

<img width=«585» height=«99» src=«ref-1_292205827-1584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">Построим базисные многочлены:

<img width=«251» height=«44» src=«ref-1_292207411-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

<img width=«243» height=«44» src=«ref-1_292208003-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

<img width=«245» height=«44» src=«ref-1_292208560-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">

Тогда для функции
f(x), определенной
на спектре матрицы А, мы получим:

<img width=«439» height=«41» src=«ref-1_292209130-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">.

Возьмем <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_292209824-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">, тогда интерполяционный многочлен

<img width=«552» height=«117» src=«ref-1_292210089-1536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">.
Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. <img width=«209» height=«24» src=«ref-1_292185527-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">. В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

<img width=«377» height=«41» src=«ref-1_292212070-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">,

где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)<m.

Составим дробно-рациональную функцию:

<img width=«39» height=«44» src=«ref-1_292212815-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> и разложим ее на простейшие дроби.

<img width=«536» height=«82» src=«ref-1_292213099-1351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">

Обозначим: <img width=«127» height=«47» src=«ref-1_292214450-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">. Умножим (*) на <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_292214870-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> и получим

<img width=«563» height=«57» src=«ref-1_292215149-1101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

где <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_292216250-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">– некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_292216484-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">.

Если в (**) положить <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_292216484-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, получим:

<img width=«91» height=«47» src=«ref-1_292216954-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

<img width=«310» height=«68» src=«ref-1_292217332-707.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">

Для того, чтобы найти ak3надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент akiопределяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

<img width=«339» height=«76» src=«ref-1_292218039-916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">.

Пример: Найти
f(A),
если <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_292218955-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">, где
t
– некоторый параметр,

<img width=«87» height=«48» src=«ref-1_292219222-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">.


Найдем минимальный многочлен матрицы А:

<img width=«165» height=«48» src=«ref-1_292219531-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

<img width=«133» height=«48» src=«ref-1_292219933-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

<img width=«188» height=«23» src=«ref-1_292220351-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">.

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_292191946-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"><img width=«164» height=«48» src=«ref-1_292220910-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

<img width=«209» height=«69» src=«ref-1_292221404-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">

Умножим (*) на (х-3)

<img width=«157» height=«41» src=«ref-1_292222098-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">

при х=3

<img width=«60» height=«41» src=«ref-1_292222538-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">
Þ
<img width=«55» height=«44» src=«ref-1_292222830-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

Умножим (*) на (х-5)

<img width=«159» height=«41» src=«ref-1_292223098-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

<img width=«55» height=«44» src=«ref-1_292223538-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">.

Таким образом, <img width=«220» height=«41» src=«ref-1_292223814-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">  — интерполяционный многочлен.

<img width=«527» height=«133» src=«ref-1_292224278-1370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">


Пример 2.

Если <img width=«115» height=«75» src=«ref-1_292225648-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">, то доказать, что <img width=«133» height=«41» src=«ref-1_292226021-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

<img width=«223» height=«117» src=«ref-1_292226424-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> — характеристический многочлен.

<img width=«155» height=«41» src=«ref-1_292226996-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">

<img width=«152» height=«48» src=«ref-1_292227397-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

<img width=«136» height=«48» src=«ref-1_292227838-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

d2(x)=1
, тогда минимальный многочлен

<img width=«151» height=«41» src=«ref-1_292228277-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

<img width=«239» height=«61» src=«ref-1_292228672-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.

Рассмотрим
f(x)=sin x
на спектре матрицы:

<img width=«125» height=«116» src=«ref-1_292229321-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">
Þ
функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_292230052-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

<img width=«284» height=«99» src=«ref-1_292230291-759.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">
Þ
<img width=«88» height=«64» src=«ref-1_292231050-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">.

Умножим (*) на <img width=«61» height=«49» src=«ref-1_292231399-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">:

<img width=«260» height=«61» src=«ref-1_292231700-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">

<img width=«161» height=«80» src=«ref-1_292232316-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">.

Вычислим
g
, взяв производную (**):

<img width=«224» height=«51» src=«ref-1_292232867-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">. Полагая <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_292233359-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">,

<img width=«192» height=«61» src=«ref-1_292233604-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, т.е. <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_292234125-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">.

Итак, <img width=«301» height=«41» src=«ref-1_292234395-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">,

<img width=«236» height=«41» src=«ref-1_292234996-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">,

<img width=«183» height=«41» src=«ref-1_292235524-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">,

<img width=«277» height=«75» src=«ref-1_292235968-571.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">.

ЧТД.


Пример 3.

Пусть
f(x) определена на спектре матрицы, минимальный
многочлен которой имеет вид <img width=«148» height=«24» src=«ref-1_292236539-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. Найти интерполяционный многочлен
r(x)
для функции
f(x)
.

Решение: По условию
f(x)
определена на спектре матрицы А
Þ

f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2)
определены.

<img width=«259» height=«45» src=«ref-1_292236888-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">.


<img width=«372» height=«45» src=«ref-1_292237530-748.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">

<img width=«531» height=«24» src=«ref-1_292238278-747.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">

<img width=«408» height=«24» src=«ref-1_292239025-632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

<img width=«444» height=«51» src=«ref-1_292239657-906.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

<img width=«525» height=«51» src=«ref-1_292240563-1113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">

<img width=«275» height=«69» src=«ref-1_292241676-801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">

<img width=«325» height=«88» src=«ref-1_292242477-951.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

Если
f(x)=ln x


f(1)=0         f’(1)=1

f(2)=ln 2     f’(2)=0.5     f’’(2)=-0.25



4
.
Простые матрицы.



Пусть матрица <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_292243428-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен <img width=«499» height=«27» src=«ref-1_292243708-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">, где <img width=«63» height=«45» src=«ref-1_292244444-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, ki – алгебраическая кратность корня <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.

Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> <img width=«120» height=«25» src=«ref-1_292245167-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> — подпространство, <img width=«148» height=«24» src=«ref-1_292245507-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">, где r – ранг матрицы <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_292245865-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">.
Теорема.Если квадратная матрица А имеет собственное значение <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, а матрица <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_292245865-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> имеет <img width=«145» height=«24» src=«ref-1_292246607-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, то <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> имеет кратность <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_292247173-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">.
DF. Размерность <img width=«128» height=«24» src=«ref-1_292247415-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> называется геометрической кратностью собственного значения <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">.
В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:
Теорема.Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.
DF. Матрица <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_292243428-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.
Из линейной алгебры следует, что матрица <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_292243428-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> простая тогда и только тогда, когда <img width=«153» height=«24» src=«ref-1_292248533-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">.

Если матрица А простая, тогда существует nлинейно независимых собственных векторов x1, x2, …,xnтаких, что <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_292248896-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">, для <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_292249165-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">. Запишем это равенство в матричном виде:

<img width=«112» height=«43» src=«ref-1_292249397-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

<img width=«180» height=«24» src=«ref-1_292249776-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_292250173-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> и <img width=«128» height=«24» src=«ref-1_292250450-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">.
Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’совпадают. Действительно, собственные значения для А’это значения <img width=«201» height=«27» src=«ref-1_292250793-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность <img width=«129» height=«24» src=«ref-1_292251194-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">, тогда <img width=«244» height=«24» src=«ref-1_292251552-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">. Поэтому, если <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">  — собственное значение матрицы А, то и <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_292181763-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> является собственным значением матрицы А’, т.е. существует <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_292252446-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, что <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_292252674-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> (*) или <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_292252956-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">. Транспонируем (*) и получим <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_292253267-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> (транспонируем это равенство). В этом случае <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_292253551-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_292253758-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">  — называют правым собственным подпространством, <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_292254049-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> — называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует nлинейно независимых собственных векторов x1, x2, …, xnи существует nлинейно независимых собственных векторов y1, y2,…,yn, где x1, x2, …, xn такие, что <img width=«112» height=«24» src=«ref-1_292254342-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_292254635-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> (1); y1, y2,…,yn такие, что <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_292254876-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> (2), <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_292255145-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.

Запишем равенство (1) в  виде <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_292255432-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> (3) Þчто, если А – простая, то существуют матрицы X иY, что <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_292255696-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> или <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_292255925-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> (**).
DF. Множества векторов x1, x2, …, xn и y1, y2,…,yn удовлетворяющие условию  <img width=«183» height=«99» src=«ref-1_292256162-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">, т.е. <img width=«141» height=«48» src=«ref-1_292256609-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> называются квазиортогональными.
Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_292257031-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">.
Очень важной для матриц является следующая теорема:
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.Если А – простая матрица порядка nнад полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x1, x2, …, xn и y1, y2,…,yn – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то <img width=«127» height=«45» src=«ref-1_292257301-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, а сопутствующая матрица <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_292257707-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, где <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_292249165-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">.
Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

1.     <img width=«69» height=«27» src=«ref-1_292258196-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

2.     <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_292258470-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">

3.     <img width=«72» height=«27» src=«ref-1_292258777-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">

Пример. Показать, что матрица <img width=«77» height=«48» src=«ref-1_292259042-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А20,
p(x)=x20.


Решение:

<img width=«248» height=«48» src=«ref-1_292259324-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">

<img width=«407» height=«51» src=«ref-1_292259796-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

<img width=«289» height=«51» src=«ref-1_292260448-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">
Þ


существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

<img width=«117» height=«199» src=«ref-1_292260984-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«117» height=«149» src=«ref-1_292261712-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

Найдем левые собственные векторы:

<img width=«251» height=«72» src=«ref-1_292262264-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

<img width=«144» height=«176» src=«ref-1_292262870-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">

<img width=«135» height=«152» src=«ref-1_292263514-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

Найдем сопутствующие матрицы:

<img width=«229» height=«48» src=«ref-1_292264101-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

<img width=«211» height=«48» src=«ref-1_292264518-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

<img width=«351» height=«51» src=«ref-1_292264928-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--