Реферат: Общие свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ГРУПП С УСЛОВИЕМ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ />-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-33 ____________
Цыганцова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп
2 Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой-субнормальных подгрупп
3 Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами />обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств />и знак строгого включения />;
/>и /> — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/>— пустое множество;
/>— множество всех />, для которых выполняется условие />;
/>— множество всех простых чисел;
/>— некоторое множество простых чисел, т.е. />;
/>— дополнение к />во множестве всех простых чисел; в частности, />;
примарное число — любое число вида />;
/>— множество всех целых положительных чисел.
/>— некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел />.
Запись />означает, что />предшествует />в упорядочении />, />.
Пусть /> — группа. Тогда:
/>— порядок группы />;
/>— порядок элемента />группы />;
/>— единичный элемент и единичная подгруппа группы />;
/>— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>— множество всех различных простых делителей натурального числа />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>— подгруппа Фраттини группы />, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/>— подгруппа Фиттинга группы />, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/>— коммутант группы />;
/>— />--холловская подгруппа группы />;
/>— силовская />--подгруппа группы />;
/>— дополнение к силовской />--подгруппе в группе />, т.е. />--холловская подгруппа группы />;
--PAGE_BREAK--/>— группа всех автоморфизмов группы />;
/>— />является подгруппой группы />;
нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/>— />является нормальной подгруппой группы />;
/>— подгруппа />характеристична в группе />, т.е. />для любого автоморфизма />;
/>— индекс подгруппы />в группе />;
/>;
/>— централизатор подгруппы />в группе />;
/>— нормализатор подгруппы />в группе />;
/>— центр группы />;
/>— циклическая группа порядка />;
Если />и /> — подгруппы группы />, то:
/>— прямое произведение подгрупп />и />;
/>— полупрямое произведение нормальной подгруппы />и подгруппы />.
Группа />называется:
примарной, если />;
бипримарной, если />.
Скобки />применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/>— подгруппа, порожденная всеми />, для которых выполняется />.
Группу />называют />--нильпотентной, если />.
Группу />порядка />называют />--дисперсивной, если выполняется />и для любого />/>имеет нормальную подгруппу порядка />. Если при этом упорядочение />таково, что />всегда влечет />, то />--дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь />называется />-цепью (с индексами />); если при этом />является максимальной подгруппой в />для любого />, то указанная цепь называется максимальной />-цепью.
Ряд подгрупп />называется:
субнормальным, если />для любого />;
нормальным, если />для любого />.
Нормальный ряд называется главным, если />является минимальной нормальной подгруппой в />для всех />.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
/>— класс всех групп;
/>— класс всех абелевых групп;
/>— класс всех нильпотентных групп;
/>— класс всех разрешимых групп;
/>— класс всех />--групп;
/>— класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть /> — некоторый класс групп и /> — группа, тогда:
/>— />--корадикал группы />, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп />из />, для которых />. Если /> — формация, то />является наименьшей нормальной подгруппой группы />, факторгруппа по которой принадлежит />. Если /> — формация всех сверхразрешимых групп, то />называется сверхразрешимым корадикалом группы />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Формация />называется насыщенной, если всегда из />следует, что и />. Класс групп />называется наследственным или />-замкнутым, если из того, что />, следует, что и каждая подгруппа группы />также принадлежит />.
Пусть /> — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа />группы />называется:
/>-нормальной, если />;
/>-абнормальной, если />.
Максимальная />-цепь />называется />-субнормальной, если для любого />подгруппа />/>-нормальна в />. Подгруппа />группы />называется />-субнормальной, если существует хотя бы одна />-субнормальная максимальная />-цепь.
Группа />называется группой с плотной системой />-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп />и />группы />, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе />существует такая />-субнормальная подгруппа />, что />. В этом случае также говорят, что множество />-субнормальных в />подгрупп плотно.
Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп />удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп />, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из />. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными />-тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы />, обладающая некоторым свойством />, называется плотной в />, если для любых двух подгрупп />из />, где />не максимальна в />, найдется />-подгруппа />такая, что />. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы />, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа />является />-субнормальной в />, если существует цепь подгрупп
/>
такая, что />является />-нормальной максимальной подгруппой в />для любого />. Если />совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, />-замкнутой насыщенной формацией), то />-субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных />--подгруппами, />--субнормальными или />--абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если /> — />-замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее />-субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда /> — класс всех />-нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда /> — произвольная />-замкнутая насыщенная формация либо />-нильпотентных, либо />-дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для />-субнормальных подгрупп
Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп, где /> — произвольная насыщенная />-замкнутая формация.
Группа />называется группой с плотной системой />-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп />и />группы />, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе />существует такая />-субнормальная подгруппа />, что />. В этом случае также говорят, что множество />-субнормальных в />подгрупп плотно.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — непустая />-замкнутая насыщенная формация, /> — подгруппа группы />. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) />;
2) если />/>-субнормальна в />и />является подформацией формации />, то />/>-субнормальна в />.
Доказательство. 1) Из того, что
/>
следует, что />. Это значит, что />.
2) Так как />, то />и />. Отсюда следует, что каждая />-нормальная максимальная подгруппа является />-нормальной максимальной. Лемма доказана.
Пусть /> — непустая />-замкнутая насыщенная формация. Если множество всех />-субнормальных подгрупп плотно в группе />, то справедливы следующие утверждения:
1) если />, то в />множество всех />-субнормальных подгрупп плотно;
2) если /> — подгруппа из />, то множество всех />-субнормальных подгрупп из />является плотным в />.
Доказательство. 1) Пусть /> — нормальная подгруппа группы />. В фактор-группе />рассмотрим две произвольные подгруппы />, из которых первая не максимальна во второй. Тогда />и />не максимальна в />. По условию, в />существует />-субнормальная подгруппа />такая, что />. Следовательно, />/>-субнормальна в />.
2) Пусть /> — подгруппа из />и /> — две произвольные подгруппы из />такие, что />не максимальна в />. Тогда, по условию, в />существует />-субнормальная подгруппа />, для которой />. Ввиду леммы, />/>-субнормальна в />. Лемма доказана.
Если /> — />-субнормальная подгруппа группы />, то
/>.
Доказательство. По определению, существует цепь
/>
такая, что />является />-нормальной максимальной подгруппой в />при любом />. Таким образом, />и потому
/>
для каждого />. Следовательно, />.
Пусть /> — непустая />-замкнутая насыщенная формация, /> — группа, у которой множество всех ее />-субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:
1) если /> — />-абнормальная максимальная подгруппа группы />, то либо />, либо каждая />-абнормальная максимальная подгруппа из />принадлежит />;
2) если />и />, то />либо максимальна в />, либо />-субнормальна в />.
Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть /> — />-абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая />. Допустим, что />обладает />-абнормальной максимальной подгруппой />, не принадлежащей />. Тогда в />имеется />-абнормальная максимальная подгруппа />. По условию, в />найдется такая />-субнормальная подгруппа />, что />. Ясно, что />. По лемме ,
/>.
Так как />/>-субнормальна, то она содержится в />-нормальной максимальной подгруппе, и поэтому />. Значит, />. Последнее противоречит следующему:
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
Докажем 2). Пусть />и />. Допустим, что />не максимальна в />. По условию, в />найдется такая />-субнормальная подгруппа />, что />. Так как />/>-замкнута, то />. Поэтому />/>-субнормальна в />. Теперь ясно, что />/>-субнормальна в />. Лемма доказана.
Пусть /> — насыщенная />-замкнутая формация, /> — группа с нормальной силовской />-подгруппой />, удовлетворяющая следующим условиям:
1) />;
2) холлова />-подгруппа />-группы />является максимальной в />и принадлежит />;
3) любая собственная подгруппа из />/>-субнормальна в />.
Тогда />является минимальной не />-группой.
Доказательство. Из условия прямо следует, что />совпадает с />и является минимальной нормальной подгруппой в />. Понятно, что каждая />-абнормальная максимальная подгруппа из />сопряжена с />и поэтому принадлежит />. Пусть /> — произвольная />-нормальная максимальная подгруппа из />. Тогда />. Так как />/>-замкнута, то />. Подгруппа />является собственной в />и по условию />-субнормальна в />. По теореме,
/>.
Итак, каждая максимальная подгруппа из />принадлежит />. Лемма доказана.
2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой />-субнормальных подгрупп
В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп, где /> — произвольная насыщенная />-замкнутая формация.
Пусть далее /> — некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.
Пусть /> — произвольная насыщенная />-замкнутая формация, /> — />-дисперсивная группа с плотной системой />-субнормальных подгрупп, не принадлежащая />, у которой все />-абнормальные максимальные подгруппы принадлежат />. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) /> — максимальная подгруппа в />;
2) /> — максимальна в />-абнормальной максимальной подгруппе из />.
Доказательство. Пусть /> — группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме /> — />-группа. Пусть /> — />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. Тогда />содержит некоторую />-холлову подгруппу />. По нашему предположению, />не максимальна в />. Тогда по лемме />/>-субнормальна в />. Если /> — />-максимальный простой делитель />, то подгруппа />нормальна в />. Тогда, по теореме ,
/>.
Противоречие. Пусть /> — множество простых делителей порядка группы />, больших />при упорядочении />. По доказанному выше множество />не пусто. Тогда />. По индукции />максимальна в />. Противоречие. Лемма доказана.
Пусть /> — произвольная насыщенная />-замкнутая формация, /> — />-дисперсивная группа с плотной системой />-субнормальных подгрупп, не принадлежащая />. Тогда любая />-абнормальная максимальная подгруппа из />либо принадлежат />, либо является минимальной не />-группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. Предположим, что утверждения леммы не выполняются и в />существует />-абнормальная максимальная подгруппа />, не удовлетворяющая утверждениям леммы. Ввиду леммы и теоремы, />, где /> — />-абнормальная максимальная подгруппа из />, /> — />-группа, />. Очевидно, что />содержит некоторую />-холлову подгруппу />из />.
продолжение--PAGE_BREAK--
1. Предположим, что />. Если />, то каждая />-нормальная максимальная подгруппа группы />будет иметь вид />, где /> — некоторая максимальная подгруппа из />. Так как />не максимальна в />, то, по лемме, />/>-субнормальна в />. Тогда по теореме />и /> — минимальная не />-группа. Предположим теперь, что />. Если предположить, что />, то />не максимальна в />. Тогда />. Если />не />-максимальный простой делитель порядка группы />, то в />существует нормальная силовская />-подгруппа />, />. Тогда подгруппа
/>.
Если />-холлова подгруппа />из />не максимальна в />, то применяя лемму и теорему, получаем, что />. Пусть />максимальна в />. Тогда каждая собственная подгруппа из />будет не максимальна в />и, следовательно, по лемме, />-субнормальна в />. Если подгруппа />, то, по теореме, />. />максимальна в />, так как в противном случае />не максимальна в />. Применяя лемму и теорему, получаем, что /> — минимальная не />-группа и />-корадикал группы />является силовской />-подгруппой. Так как по нашему предположению />, то порядок группы />делится на />и, следовательно, />. Тогда, по теореме, />. Противоречие. Значит, /> — />-максимальный простой делитель порядка группы />. Тогда />и каждая собственная подгруппа из />не максимальна в />. Если />/>-субнормальна в />, то по теореме />. Так как />не максимальна в />, то, по условию, найдется />-субнормальная в />подгруппа />такая, что
/>.
Так как />, то
/>.
Отсюда следует, что />и />. Очевидно, что />. Подгруппа />содержится в некоторой />-нормальной максимальной подгруппе />из />.
1.1 />
Тогда /> — />-максимальный простой делитель порядка группы />и силовская />-подгруппа />группы />нормальна в />. Отсюда следует, что />. Так как /> — />-группа, то />содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе />группы />. По индукции />либо принадлежит формации, либо является минимальной не />-группой. Если /> — минимальная не />-группа, то />и />. Противоречие. Значит, />. Пусть /> — />-главный фактор из />. Но так как />, то /> — />-главный фактор и выполняется изоморфизм />. Так как />, то /> — />-центральный />-главный фактор. Противоречие.
1.2 />, />
Так как />, то />содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе />группы />. Тогда в />существует />-абнормальная максимальная подгруппа />. Если />не максимальна в />, то, по лемме, />/>-субнормальна в />. Противоречие. Значит, />максимальна в />. По условию найдется />-субнормальная в />подгруппа />такая, что
/>.
Так как />, то />. Если />, то />и, следовательно, />/>-субнормальна в />. Значит, />. Но тогда />/>-субнормальна в />. Противоречие.
продолжение--PAGE_BREAK--
2. />и /> — минимальная нормальная подгруппа в />. Если каждая максимальная подгруппа из />/>-субнормальна в />, то /> — минимальная не />-группа. Значит, в />найдется максимальная подгруппа />, не />-субнормальная в />. Очевидно, что />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа />содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе />из />. Так как />не максимальна в />, то, по условию, в />существует />-субнормальная подгруппа />такая, что />. Так как />и />, то />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа />содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе />из />. По индукции />либо принадлежит />, либо является минимальной не />-группой.
2.1 />
Тогда />. Если предположить, что />является />-максимальным простым делителем порядка группы />, />, то силовская />-подгруппа />нормальна в />и, по теореме,
/>.
Значит, /> — />-максимальный простой делитель порядка группы />. Это значит, что />и />. Пусть /> — минимальная не />-группа. Тогда />совпадает с силовской />-подгруппой группы />и, следовательно, />. Получили, что />. С другой стороны, />/>-субнормальна в />, а значит, и в />. Поэтому
/>.
Противоречие. Значит, />. Это значит, что />. Из того, что />максимальна в />, а />максимальна в />, следует, что /> — абелева дополняемая в />подгруппа. Так как />и />, то />и />. По теореме Гашюца />имеет дополнение />в />. Так как />не максимальна в />, то, по условию, найдется />-субнормальная в />подгруппа />такая, что />. Из того, что />следует, что />. Но тогда />/>-субнормальна в />. Противоречие.
2.2 />
Тогда /> — силовская />-подгруппа группы />. Рассмотрим />-холлову подгруппу />группы />, содержащую />. Так как />, то />содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе группы />. Если />не максимальна в />, то />будет />-субнормальна в />. Потому />максимальна в />. Ввиду теоремы /> — />-группа. Если />, то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит, /> — минимальная нормальная подгруппа в />. />максимальна в />. Подгруппа />содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе />группы />. Так как />не максимальна в />, то, по условию, найдется />-субнормальная в />подгруппа />такая, что />. Так как />, то />. Но подгруппа />будет содержаться в подгруппе />группы />. Если />, то />/>-субнормальна в />. Если же />, то получаем противоречие с тем, что /> — />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. Теорема доказана
3. Описание конечных не />-групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп
В работе Закревской Л.Н. был исследован вопрос о строении группы />, в которой множество всех ее />-субнормальных подгрупп плотно для случая, когда /> — класс всех />-нильпотентных групп. При рассмотрении произвольной формации возможен случай, когда />. Строение таких групп исследуется в в данном разделе.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — произвольная насыщенная />-замкнутая формация, /> — группа с плотной системой />-субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации />, />. Тогда />разрешима.
Доказательство. Пусть />и /> — группа минимального порядка, для которой теорема не верна. Так как />, то />содержит все силовские />-подгруппы, />. Следовательно, каждая />-субнормальная подгруппа должна содержать все силовские />-подгруппы, />.
Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />и />. Тогда если в ней существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется />-субнормальная подгруппа />такая, что />. Тогда, по доказанному, />содержит все силовские />-подгруппы, />. Противоречие. Значит, в />нет вторых максимальных подгрупп и />.
Предположим, что />. Тогда каждая максимальная подгруппа группы />будет />-абнормальной в />. Пусть />некоторая неединичная силовская подгруппа группы />. Если предположить, что в />существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется />-субнормальная в />подгруппа />такая, что />. Отсюда следует, что />. Противоречие. Следовательно, /> — простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа />из />имеет простой порядок и, значит, />разрешима, что противоречит нашему предположению.
Пусть теперь />. Так как, по доказанному, />, то />. Тогда по индукции /> — разрешимая группа. По доказанному, каждая силовская подгруппа фактор-группы />имеет простой порядок, и, значит, />разрешима. Следовательно, разрешима и сама группа />. Лемма доказана.
Пусть /> — непустая />-замкнутая насыщенная формация, /> — группа, в которой множество всех />-субнормальных подгрупп плотно, />. Тогда /> — группа одного из следующих типов:
1) />, />, />;
2) />, />, />максимальна в />, />, />;
3) />, />, />.
Доказательство. По лемме, />разрешима. Так как />, то ясно, что />. Положим />и рассмотрим холлову />-подгруппу />группы />. Если единичная подгруппа не является максимальной в />, то существует />-субнормальная в />подгруппа />такая, что />. По лемме, />и, значит, /> — />-группа. Получили противоречие. Таким образом, />равен либо 1, либо является простым числом.
Рассмотрим теперь холлову />-подгруппу />группы />. Пусть /> — нормальная максимальная подгруппа из />. Пусть />, />. Если 1 не максимальна в />, то между 1 и />можно вставить />-субнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме, является />-числом. Понятно, что этот индекс делится на />. Получаем противоречие. Значит, />равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.
Если />, то ясно, что />либо типа 1), либо типа 3). Пусть /> — простое число. Если /> — простое число, то /> — группа типа 1). Пусть />, где /> — простые числа. Предположим, что в />существует подгруппа />порядка />. Так как 1 не максимальна в />, то между 1 и />существует, по условию, />-субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, является />-числом. Но этот индекс делится и на />. Остается принять, /> — максимальная подгруппа группы />. Но тогда />и /> — группа типа 2). Теорема доказана.
Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.
Пусть /> — такая />-замкнутая насыщенная формация />-нильпотентных групп, что />не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть /> — любое простое число, не входящее в />. Тогда всякая группа порядка />, где /> — любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка />или />является группой типа 3) теоремы. Предположим, что />и существует такое простое число />, что />и />(в частности, можно взять />и />). В сплетении />группы />порядка />с группой />порядка />возьмем подгруппу Шмидта />. Тогда />имеет порядок />и является группой типа 2) теоремы.
продолжение--PAGE_BREAK--
Заключение
В данной работе рассматривались конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп, где /> — произвольная />-замкнутая насыщенная формация. В первом разделе данной главы установлены общие свойства, которые могут быть использованы для изучения строения конечных групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп. Во втором разделе исследуются свойства максимальных подгрупп в конечных группах с плотной системой />-субнормальных подгрупп. В частности, установленно, что в />-дисперсивной группе с плотной системой />-субнормальных подгрупп каждая />-абнормальная максимальная подгруппа либо принадлежат />, либо является минимальной не />-группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. В третьем разделе данной главы описаны конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп в случае, когда /> — произвольная />-замкнутая насыщенная формация и />.
Литература
1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. — 1948. — Т. 60,№ 8. — C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. — Минск: Наука и техника, 1984. — 71--88.
3.Закревская Л.Н. Конечные группы с />-плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. — Мн.: Наука и техника, 1986. — 59--69.
4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Бел. навука, 2003. — 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. — 1964. — № 155. — С. 1003--1005.
6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. — 1972. — Т. 11, № 2. — C. 183--190.
7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. — Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. — С. 197--217.
8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. — Киев: Инст. математики АН УССР, 1976. — С. 111--138.
9.Семенчук В.Н. Минимальные не />-группы // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — C. 348--382.
10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. — С. 5--29.
11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. — 1967. — № 6. — С. 111--131.
12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. — 1968. — № 1. — С. 45--50.
13.Чунихин С.А. О />-свойствах конечных групп // Матем. сб. — 1949. — Т. 25, № 3. — с. 321--346.