Реферат: Операторы в вейвлетном базисе

--PAGE_BREAK--

4. ОПЕРАТОРЫ
Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.

Нестандартная форма оператора Т с ядром K(
x,
y) достигается вычислением следующих выражений:

                                     <img width=«216» height=«29» src=«ref-1_294945149-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">                                      (4.1)

                                     <img width=«216» height=«29» src=«ref-1_294945619-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">                                      (4.2)

                                     <img width=«212» height=«29» src=«ref-1_294946096-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">                                       (4.3)
4.1 Оператор
d
/
dx

в вейвлетном базисе
Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/
dx. Матричные элементы <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_294946562-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">, <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_294946676-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_294946792-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> матриц <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_294946901-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">, <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_294947010-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">, <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_294947118-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> и <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_294947221-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> матрицы <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_294947328-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">, где i,
l,
j
ÎZдля оператора d/dx легко вычисляются как

                                  <img width=«321» height=«49» src=«ref-1_294947430-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">                           (4.4)         

                                  <img width=«320» height=«49» src=«ref-1_294948066-647.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">                           (4.5)

                                 <img width=«319» height=«49» src=«ref-1_294948713-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">                            (4.6)

                                  <img width=«309» height=«49» src=«ref-1_294949342-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">                              (4.7)

где

                                                   <img width=«169» height=«49» src=«ref-1_294949963-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">                                                (4.8)

                                                   <img width=«169» height=«49» src=«ref-1_294950411-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">                                                (4.9)

                                                   <img width=«167» height=«49» src=«ref-1_294950859-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">                                               (4.10)

                                                    <img width=«161» height=«49» src=«ref-1_294951305-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">                                                (4.11)

Кроме того, используя (1.8)  и (1.19), имеем

                                                        <img width=«160» height=«45» src=«ref-1_294951738-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">                                            (4.12)

                                                        <img width=«157» height=«45» src=«ref-1_294952180-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">                                             (4.13)

                                                         <img width=«159» height=«45» src=«ref-1_294952622-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">                                           (4.14)

Таким образом представление d/
dxполностью определяется величинами <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_294953061-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> или, другими словами, отображением d/
dxна подпространство V0.

Предложение 4.1.  1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_294953061-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, l
ÎZв (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:

                                           <img width=«256» height=«48» src=«ref-1_294953241-627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">                                 (4.15)

                                                                  <img width=«73» height=«36» src=«ref-1_294953868-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">                                                        (4.16)

где

                                                <img width=«132» height=«45» src=«ref-1_294954068-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">  <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_294954431-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">                                    (4.17)

2. Если <img width=«45» height=«17» src=«ref-1_294954603-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение с конечным числом ненулевых <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_294953061-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, а именно с <img width=«117» height=«19» src=«ref-1_294954827-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> и <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_294955020-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.

Замечание.Если М=1, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса Хаара (<img width=«93» height=«24» src=«ref-1_294955148-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">) <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_294955352-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">, <img width=«53» height=«41» src=«ref-1_294955475-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> мы получаем простейший конечный дифференциальный оператор <img width=«68» height=«45» src=«ref-1_294955638-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">.

Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_294955887-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_294955986-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> (<img width=«63» height=«24» src=«ref-1_294956088-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">) могут быть упрощены с помощью смены порядка суммирования в (5.10) и (5.11) и введения коэффициентов корреляции <img width=«73» height=«45» src=«ref-1_294956242-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">,  <img width=«73» height=«45» src=«ref-1_294956506-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> и  <img width=«76» height=«45» src=«ref-1_294956771-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">. Выражение для <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_294955887-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> особенно просто: <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_294957137-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">.

Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2].

Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом. Начать можно с <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_294957317-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">  и <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_294957465-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, а дальше итерировать, используя (4.15) для вычисления <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_294953061-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">.
4.2 Оператор
d
n
/
dx
n

в вейвлетном базисе

 

Так же как и для оператора d/
dx, нестандартная форма оператора dn/
dxnполностью определяется своим отображением на подпространство V0, т.е. коэффициентами

                                       <img width=«179» height=«49» src=«ref-1_294957703-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">,   l
ÎZ,                                (4.18)

если интеграл существует.

Предложение 4.2. 1. Если интеграл в выражении (4.18) существует, тогда коэффициенты <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_294953061-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, l
ÎZудовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

                                           <img width=«276» height=«49» src=«ref-1_294958260-727.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">                            (4.19)

                                                                <img width=«128» height=«37» src=«ref-1_294958987-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">                                            (4.20)

где <img width=«35» height=«25» src=«ref-1_294959306-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">  дано в формуле (4.17).

2. Пусть M≥ (
n+1)/2, где М – число исчезающих моментов. Если интеграл в (4.18) существует, тогда система (4.19)-(4.20) имеет единственное решение с конечным числом нулевых коэффициентов <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_294959427-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, а именно <img width=«52» height=«25» src=«ref-1_294959544-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> для <img width=«117» height=«19» src=«ref-1_294954827-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">. Также для четных n

                                                                 <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_294959893-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">                                                          (4.21)

                                                <img width=«92» height=«36» src=«ref-1_294960076-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">  <img width=«105» height=«21» src=«ref-1_294960333-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">                                         (4.22)

                                                                <img width=«75» height=«36» src=«ref-1_294960524-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">                                                         (4.23)

а для нечетных n

                                                                  <img width=«79» height=«25» src=«ref-1_294960744-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">                                                      (4.24)

                                                <img width=«100» height=«36» src=«ref-1_294960932-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">  <img width=«107» height=«21» src=«ref-1_294961201-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">                                      (4.25)

Замечание 3. Если M≥ (
n+1)/2, тогда решение линейной системы в Предложении 2 может существовать, когда интеграл в (4.18) не является абсолютно сходящимся.
           
Интегральные уравнения второго рода
Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида

<img width=«188» height=«51» src=«ref-1_294961391-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">,

где ядро <img width=«115» height=«25» src=«ref-1_294961864-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">, а неизвестная функция f(
x) и функция в правой части <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_294962135-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">, <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_294962379-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">. Для простоты будем рассматривать интервал <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_294962621-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">и введём следующее обозначение для всех <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_294962754-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> и <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_294962955-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">:

<img width=«164» height=«51» src=«ref-1_294963127-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

Предположим, что {
φ1,
φ1,…} – ортонормальный базис для <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_294963570-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">; ядро представимо в этом базисе в следующем виде:

<img width=«153» height=«47» src=«ref-1_294963733-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">

где коэффициенты Kijвычисляются по формуле

<img width=«196» height=«51» src=«ref-1_294964166-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">,  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_294964697-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">

Аналогично функции fи gпредставимы в виде

<img width=«116» height=«45» src=«ref-1_294964847-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">,  <img width=«116» height=«45» src=«ref-1_294965180-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">,

где коэффициенты fiи giвычисляются по формулам:

<img width=«124» height=«51» src=«ref-1_294965511-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">,  <img width=«124» height=«51» src=«ref-1_294965879-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">,   i=1,2,…

Интегральное уравнение в этом случае соответствует бесконечной системе уравнений

<img width=«116» height=«47» src=«ref-1_294966246-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">,   i=1,2,…

Представление ядра может быть урезано до конечного числа слагаемых, что приводит к представлению интегрального оператора R:

<img width=«256» height=«51» src=«ref-1_294966554-686.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">,  <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_294962754-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_294963570-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">,

который аппроксимирует K. Тогда интегральное уравнение аппроксимируется системой nуравнений с nнеизвестными:

<img width=«116» height=«47» src=«ref-1_294967604-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">,  i=1,2,…,
n
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
function [a,r]=dif_r(wname)
[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

% вычисление коэффициентов a2k-1

len=length(LO_D);

a=zeros(len-1,1);

for k=1:len-1;

    for i=0:len-2*k;

        a(2*k-1)=a(2*k-1)+2*LO_D(i+1)*LO_D(i+2*k);

    end;

end;

% вычисление коэффициентов rl

f=zeros(len-2,1);

f(1)=-1/2;

R=zeros(len-2);

for l=len-2:-1:2;

    R(l,l)=-1;

    if (2*l<=len-2)

        R(l,2*l)=2;

    end;

    for n=1:2:len-1;

        if (abs(2*l-n)<len-2);

            if ((2*l-n)<0);

                R(l,abs(2*l-n))=-a(n)+R(l,abs(2*l-n));

            else

                R(l,2*l-n)=a(n)+R(l,2*l-n);

            end;

        end;

        if (abs(2*l+n)<len-2);

            if ((2*l+n)<0);

                R(l,abs(2*l+n))=-a(n)+R(l,abs(2*l+n));

            else

                R(l,2*l+n)=a(n)+R(1,2*l+n);

            end;

        end;

    end;

end;

for j=1:len-2;

    R(1,j)=j;

end;

r=inv(R)*f;
ПРИЛОЖЕНИЕ
2
function [al, bet, gam]=difcoef(wname,N)

% извлечение коэффициентов rl

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

[a,r]=dif_r(wname);

L=length(LO_D);

% вычисление значений αl, βl,  γl

J=length(r):-1:1;

R=[-r(J);0; r];

K=L+1;

al=zeros(2*L+1,1);

bet=al;

gam=al;

for i=-L+1:L+1;

for k=L+1:2*L;

    for k1=L+1:2*L;

        if(((2*i+k-k1+L)<length(R)+1)&&((2*i+k-k1+L)>0))

            al(i+L)=HI_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+al(i+L);

            bet(i+L)=HI_D(k-L)*LO_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+bet(i+L);

            gam(i+L)=LO_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+gam(i+L);

        end;

end;

end;

end;
ПРИЛОЖЕНИЕ 3

1.     
Вейвлет Добеши с
M=2.a1=1.1250
a3=-0.1250

r1=-0.6667 
r2=0.0833

2.     
Вейвлет
Добеши
с
M=3.
a1=1.1719  a3=-0.1953  a5=0.0234

r1=-0.7452 r2=0.1452  r3=-0.0146  r4=-0.0003

3.     
Вейвлет
Добеши
с
M=4.
a1=1.19628906249870  a3=-0.23925781249914
a5=0.04785156250041  a7=-0.00488281249997

r1=-0.79300950497055 
r2=0.19199897079726 
r3=-0.03358020705113 

r4= 0.00222404967066 
r5=0.00017220619000 
r6=-0.00000084085054

4.     
Вейвлет Добеши с
M=5.a1=1.21124267578280 
a3=
-0.26916503906311 a5=0.06921386718738

a7=-0.01235961914130  a9=0.00106811523422

r1=-0.82590601185686  r2=0.22882018706986  r3=-0.05335257193327

r4=0.00746139636621  r5=-0.00023923581985  r6=-0.00005404730164

r7=-0.00000025241171  r8=-0.00000000026960

5.     
Вейвлет
Добеши
с
M=6.

a1=1.22133636474683  a3=-0.29079437255810  a5=0.08723831176674

      a7=-0.02077102661228  a9=0.00323104858448  a11=-0.00024032592766

r1=-0.85013666156022  r2=0.25855294414318  r3=-0.07244058999853

      r4=0.01454551104340  r5=-0.00158856154379  r6=0.00000429689148

      r7=0.00001202657519  r8=0.00000042069120   r9=-0.00000000289967

      r10=0.00000000000070

    продолжение
--PAGE_BREAK--