Реферат: функция

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ

ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ

ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА

Реферат

Тема: «Функция»

Выполнил: Ярмонтович Д.А.

Проверила:

УССУРИЙСК 2006

СОДЕРЖАНИЕ

· 1)Введние

· 2)Линейная функция

· 3)Квадратичная функция

· 4)Степенная функция

· 5)Показательная функция (экспонента)

· 6)Логарифмическая функция

· 7)Тригонометрическая функция

· -Функция синус

-Функция косинус

· -Функция тангенс

· -Функция котангенс

· 8)Обратная функция

· -Arcsinx

· -Arctgx

· 9)Список Литературы

введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .

Переменная х — независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х .

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )

Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )

Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f (х1 )< f (х2 )

Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f (х1 )> f (х2 )

Линейная функция.

Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число — свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению — положительному направлению оси .

График линейной функции — прямая

1. Область определения – все действительные числа.

2. Область значений – все действительные числа.

3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).

4. Линейная функция ни четная ни нечетная.

5. Функция возрастает если k>0,

Функция убывает если k<0.

6. Функция непрерывна.

Квадратичная функция.

Это функция вида ,

Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .

Парабола ()

В общем случае вершина лежит в точке . Если , то «рога» параболы направлены вверх, если , то вниз.

.Парабола с вершиной в точке ()

1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.

2. При b ¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b =0 квадратичная функция – четная.

Рис. 4 Рис. 5

4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

5. Функция имеет единственную критическую точку

6. x =- b /(2 a ). Если a >0, то в точке x =- b /(2 a ) функция имеет минимум. При x <- b /(2 a ) функция монотонно убывает, при x >- b /(2 a ) монотонно возрастает.

a. Если а <0, то в точке x =- b /(2 a ) функция имеет максимум. При x <- b /(2 a ) функция монотонно возрастает, при x >- b /(2 a ) монотонно убывает.

b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x =- b /(2 a ) и ординатой y = -(( b 2 -4 ac )/4 a ) называется вершиной параболы .

7. Область изменения функции: при a >0 – множество значений функции [-(( b 2 -4 ac )/4 a ); + ¥ ); при a <0 – множество значений функции (- ¥ ;-(( b 2 -4 ac )/4 a )] .

8. График квадратичной функции пересекается с осью y в точке y = c. В случае, если b 2 -4 ac >0, график квадратичной функции пересекает ось x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b 2 -4 ac =0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x =- b /(2 a ); если b 2 -4 ac <0, пересечения с осью x нет.

a. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x =- b /(2 a ) – образа оси ординат при параллельном переносе r =(- b /(2 a ); 0) .

b. График функции

9. f ( x )= ax 2 + bx + c

10. (или f ( x )= a ( x + b /(2 a ))2 -( b 2 -4 ac )/(4 a )) может быть получен из графика функции f ( x )= x 2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r =(- b /(2 a ); 0) ;

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r =(0; -(( b 2 -4 ac )/(4 a ))) .

Степенная функция.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число — чётное, то и функция — чётная (то есть при всех ); если число — нечётное, то и функция — нечётная (то есть при всех ).

График степенной функции при

б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если — чётное число, то и — чётная функция; если — нечётное число, то и — нечётная функция.

График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если — не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

График степенной функции при

1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.

2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.

3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.

5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

( x a ) ¢ = a . x a -1 .

Степенная функция x a монотонно возрастает во всей области определения при a <0.

0 1 x 0 1 x

7. При a <0 и a >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a <1 – вогнутостью вниз.

Показательная функция (экспонента).

Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

.График показательной функции при

При вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при

1. Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.

2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.

3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a x )¢ =a x lna

4. При а >1 функция монотонно возрастает, при а <1 монотонно убывает.

5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y =1.

7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

Логарифмическа я функция .

Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

График логарифмической функции при

При график получается такой:

График логарифмической функции при

1. Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).

2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

( loga x) ¢ = 1/(x ln a).

4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0<a <1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

5. При любом основании a >0, a ¹1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

6. При а >1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a <1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

тригонометрические функции

Функции sin a , cos a , tg a , ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sina, cosa, tga, ctga.

Функция синус

. Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:

График функции

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значения – промежуток [-1; 1].

3. Функцияsin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.

4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

sin (х+2p)= sin х.

5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n ÎZ .

6. Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при xÎ (2pn; p+2pn ), n ÎZ ,

sin х<0 при xÎ (p+2pn; 2p+2pn ), n ÎZ .

7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х)¢ =cos x.

8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn ), n ÎZ ,

и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn ),n ÎZ .

9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n ÎZ, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n ÎZ .

Функция косинус.

. Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков:

1.График функции Область определения – множество всех действительных чисел.

2.Область значения – промежуток [-1; 1].

3.Функцияcos х – четная: cos (-х)=cos х.

4.Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

cos (х+2p)= cos х.

5.Нули функции: cosх=0 при x=(p/2)+2pn, n ÎZ .

6.Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn )), n ÎZ ,

cos х<0 при xÎ ((p/2)+2pn ); ((3p)/2)+ 2pn )), n ÎZ .

7.Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х)¢ =-sin x.

8.Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn ), n ÎZ ,

и убывает при xÎ (2pn; p+ 2pn ),n ÎZ .

Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n ÎZ, и максимальные

Функция тангенс.

(в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

1.График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn, n ÎZ .

2.Область значения – множество всех действительных чисел.

3.Функцияtg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.

4.Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

tg (х+p)= tg х.

5.Нули функции: tg х=0 при x=pn, n ÎZ .

6.Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при xÎ (pn; (p/2)+pn ), n ÎZ ,

tg х<0 при xÎ ((-p/2)+pn; pn ), n ÎZ .

7.Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х)¢ =1/cos2 x.

8.Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn ), n ÎZ ,

Функция котангенс.

(в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.

1.График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n ÎZ .

2.Область значения – множество всех действительных чисел.

3.Функциясtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

4.Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

сtg (х+p)= ctg х.

5.Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n ÎZ .

6.Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при xÎ (pn; (p/2)+pn ), n ÎZ ,

ctg х<0 при xÎ ((p/2)+pn; p(n +1)), n ÎZ .

7.Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х)¢ =-(1/sin2 x).

8.Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (pn; p(n +1)), n ÎZ .

Обратные тригонометрические функции.

Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.

Arcsin x :

1. Область определения – [-1; 1].

2. Область значений – [-П\2; п\2].

3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)

Графики главной ветви и

Arctg x :

1. Область определений – R.

2. Область значений — интервал (-П\2; П\2).

3. Монотонно возрастающая функция.

4. прямые у=-П\2 и у=П\2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13)

Графики главной ветви и

Список использованной литературы