Реферат: МНОГОЧЛЕНЫ

Определение. Пусть Р– заданное поле (R или С), а х – некоторый формальный символ. Выражение вида:

aкхк + aк-1хк-1+... + a1х + a0х0, где индекс кÎZ0 :a0,a1,... ,aкÎR,

называется многочленом от переменного или (неизвестного) х над полем Р. По соглашению пишут х0=1, а многочлен записывают в виде

aк хк + aк-1хк-1+... + a1х + a0(3.1)

Элементы a0,a1,... ,aкÎR, называются коэффициентами многочлена; коэффициент a0,называется свободным членом. Если все коэффициенты равны нулю, то соответствующий многочлен называется нулевым и обозначается нулем.

Наибольший индекс к, при котором aк¹ 0, называется степенью (или порядком) многочлена, а aк – старшим коэффициентом многочлена. Нулевой многочлен степени не имеет.

Если хÎR и Р=R, то многочлен представляет собой числовую функцию одного действительного переменного. Такая функция называетсяполиномом или целой рациональной функцией.

Многочлены переменного х будем обозначать f(x),g(x)и т.п., а множество многочленов над полем Р – Р[x].

Два многочлена из множества Р[x]

f(x)= aк хк +... + a1х + a0и g(x)= bm xm +... + b1x + b0

будем считать равными и записывать f(x)= g(x), если m = к (одинаковая степень) и ai = bi , для i = 0,1,.. .,к.

Многочлен можно записывать и в порядке возрастания индексов

a0+ a1х +... + aк-1хк-1+ aк хк (3.2)

Заметим, что многочлен g(x) степени m всегда можно заменить равным ему многочленом с индексом к >m, добавив к g(x) многочлен

b m+(к-m) x m+(к-m) +... + b m+1x m+1, где b m+1= b m+2=... = b m+(к-m) = 0, т.е.

g(x)= b0+ b1х +... +b m хm + 0хm+1+ 0хm+2+.. .+0хк.

Стало быть, любой многочлен можно рассматривать как последовательность {b0,b1,.. .,bm,0, 0... } изР, в которой все члены с некоторого индекса равны нулю.