Реферат: Полный курс лекций по математике
--PAGE_BREAK--<img width=«368» height=«12» src=«ref-1_295822255-264.coolpic» v:shapes="_x0000_s1097"> 0
<img width=«98» height=«2» src=«ref-1_295822519-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1106">
М(х, у) – произвольные точки гиперболы, (х, у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию
│F1M-F2M│=2a.
Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.
Ответ: 1)х²/16 — у²/4 = 1; 2) а=<img border=«0» width=«32» height=«24» src=«ref-1_295822676-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> = 4; в=<img border=«0» width=«25» height=«23» src=«ref-1_295822903-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> = 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= <img border=«0» width=«24» height=«27» src=«ref-1_295799958-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">(а² + в²) = <img border=«0» width=«55» height=«24» src=«ref-1_295823505-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">= <img border=«0» width=«33» height=«24» src=«ref-1_295823760-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">= 2<img border=«0» width=«24» height=«24» src=«ref-1_295823992-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">,
Е=с/а=(2<img border=«0» width=«24» height=«24» src=«ref-1_295823992-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">)/4 = (<img border=«0» width=«24» height=«24» src=«ref-1_295823992-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">)/2;
Е=(<img border=«0» width=«24» height=«24» src=«ref-1_295823992-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">)/2 >1.
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1) у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)
2) х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)
<img width=«416» height=«233» src=«ref-1_295824876-3989.coolpic» v:shapes="_x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122">
РИС.3
0
<img width=«12» height=«243» src=«ref-1_295828865-271.coolpic» v:shapes="_x0000_s1123"><img width=«146» height=«140» src=«ref-1_295829136-1751.coolpic» v:shapes="_x0000_s1128">РИС.4
<img width=«407» height=«164» src=«ref-1_295830887-1822.coolpic» v:shapes="_x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136">
М (х, у) – произвольная точка парабола,
(х, у) – текущие координаты произвольной точки,
х = -р/2 – уравнение директрисы.
FM = d, гдеd – расстояние от точки М до директрисы.
В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0.
Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = — р/2
Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = — р/2
Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:
1) у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
Ответ:
<img width=«2» height=«204» src=«ref-1_295832709-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1149"><img width=«12» height=«215» src=«ref-1_295832876-278.coolpic» v:shapes="_x0000_s1146"> <img width=«12» height=«224» src=«ref-1_295833154-268.coolpic» v:shapes="_x0000_s1137">1)
<img width=«2» height=«213» src=«ref-1_295833422-166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1139"> <img width=«185» height=«137» src=«ref-1_295833588-1590.coolpic» v:shapes="_x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1143"> <img width=«127» height=«136» src=«ref-1_295835178-1491.coolpic» v:shapes="_x0000_s1148 _x0000_s1150">
<img width=«253» height=«12» src=«ref-1_295836669-256.coolpic» v:shapes="_x0000_s1147"> <img width=«233» height=«12» src=«ref-1_295836925-254.coolpic» v:shapes="_x0000_s1138"> 0 0
y² = 4x, p=2, F(1,0)
х = -1 – уравнение директрисы
3)
<img width=«126» height=«244» src=«ref-1_295837179-2101.coolpic» v:shapes="_x0000_s1031 _x0000_s1034 _x0000_s1157 _x0000_s1160 _x0000_s1161"> <img width=«262» height=«226» src=«ref-1_295839280-1187.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030 _x0000_s1162 _x0000_s1164 _x0000_s1272">
<img width=«194» height=«88» src=«ref-1_295840467-1368.coolpic» v:shapes="_x0000_s1166"><img width=«272» height=«12» src=«ref-1_295841835-257.coolpic» v:shapes="_x0000_s1163"><img width=«243» height=«12» src=«ref-1_295842092-258.coolpic» v:shapes="_x0000_s1158"> 0
<img width=«242» height=«42» src=«ref-1_295842350-355.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028 _x0000_s1159"> <img width=«31» height=«2» src=«ref-1_295842705-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1165">
Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1)
У = -1 – уравнение директрисы.
<img width=«12» height=«173» src=«ref-1_295842860-303.coolpic» v:shapes="_x0000_s1275">Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а, в) и радиусом R; (рис.6)
<img width=«571» height=«145» src=«ref-1_295843163-4523.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027 _x0000_s1276 _x0000_s1277 _x0000_s1278 _x0000_s1279 _x0000_s1280 _x0000_s1281 _x0000_s1282 _x0000_s1283"> продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?
Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид:
х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0
<img width=«154» height=«144» src=«ref-1_295847686-2923.coolpic» v:shapes="_x0000_s1286">
<img width=«12» height=«231» src=«ref-1_295850609-283.coolpic» v:shapes="_x0000_s1291">2)
<img width=«51» height=«40» src=«ref-1_295850892-371.coolpic» v:shapes="_x0000_s1295 _x0000_s1297"> <img width=«50» height=«32» src=«ref-1_295851263-235.coolpic» v:shapes="_x0000_s1292 _x0000_s1296"> <img width=«21» height=«2» src=«ref-1_295851498-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1287"> <img width=«2» height=«21» src=«ref-1_295851653-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1294">
<img width=«401» height=«12» src=«ref-1_295851807-262.coolpic» v:shapes="_x0000_s1285"> -1
2) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.
Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом <img border=«0» width=«59» height=«48» src=«ref-1_295852069-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> и определяемое равенством <img border=«0» width=«59» height=«48» src=«ref-1_295852069-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> = а11а22-а12а21.
Например, Вычислить определитель <img border=«0» width=«57» height=«45» src=«ref-1_295852703-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26
Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.
Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом <img border=«0» width=«93» height=«72» src=«ref-1_295852980-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> и определяемое равенством <img border=«0» width=«93» height=«72» src=«ref-1_295852980-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 – (а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).
Например, <img border=«0» width=«73» height=«71» src=«ref-1_295853846-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= — 10
Перечислим свойства определителей:
1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.
3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.
4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Например, <img border=«0» width=«93» height=«72» src=«ref-1_295852980-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> = <img border=«0» width=«137» height=«72» src=«ref-1_295854632-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
Алгебраическое дополнение. Минор.
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.
Например, в определителе, <img border=«0» width=«73» height=«71» src=«ref-1_295853846-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> Минором к элементу 4 является М13= <img border=«0» width=«49» height=«45» src=«ref-1_295855503-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">= = 10+2=12.
Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij, умноженный на (-1)i+j, т.е.
Аij = (-1)i+jMij
В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4*<img border=«0» width=«49» height=«45» src=«ref-1_295855503-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> = 10+2=12.
В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.
Продолжим изложение свойств определителей.
6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.
Например, <img border=«0» width=«93» height=«72» src=«ref-1_295852980-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> = а11*А11 +а12*А12+а13*А13; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.
7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.
Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0.
Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.
Пример. Вычислить определитель <img border=«0» width=«83» height=«71» src=«ref-1_295856450-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> двумя способами.
первый способ. <img border=«0» width=«83» height=«71» src=«ref-1_295856450-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.
Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. <img border=«0» width=«83» height=«71» src=«ref-1_295856450-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> = -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2<img border=«0» width=«50» height=«45» src=«ref-1_295857506-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> + 5(-1)2+2<img border=«0» width=«37» height=«45» src=«ref-1_295857771-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> +(-1)3+2<img border=«0» width=«38» height=«45» src=«ref-1_295858025-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.
Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
<img width=«11» height=«87» src=«ref-1_295858270-366.coolpic» v:shapes="_x0000_s1298"> а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1
а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2
а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3
Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i = <img border=«0» width=«21» height=«25» src=«ref-1_295858636-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, j = <img border=«0» width=«21» height=«25» src=«ref-1_295858636-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">) называются коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:
<img width=«11» height=«87» src=«ref-1_295858270-366.coolpic» v:shapes="_x0000_s1299"> а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0
а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0
а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0
и называется однородной.
По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.
Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:
Δ = <img border=«0» width=«93» height=«72» src=«ref-1_295852980-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">
Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где
Δх1= <img border=«0» width=«87» height=«72» src=«ref-1_295859855-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> ; Δх2= <img border=«0» width=«87» height=«72» src=«ref-1_295860282-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">; Δх3= <img border=«0» width=«87» height=«72» src=«ref-1_295860695-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">.
Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна.
Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).
Пример. Решить систему уравнений:
<img width=«11» height=«87» src=«ref-1_295861115-367.coolpic» v:shapes="_x0000_s1300">Х + 2у – z = 1
-3х + у = 2z = 0
х + 4у + 3z = 2
1) Вычислим определитель системы ∆ = <img border=«0» width=«81» height=«71» src=«ref-1_295861482-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.
Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х = <img border=«0» width=«70» height=«71» src=«ref-1_295861821-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> = 5; ∆у = <img border=«0» width=«81» height=«71» src=«ref-1_295862151-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> = 13; ∆z = <img border=«0» width=«71» height=«71» src=«ref-1_295862480-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> = 1.
3) По формулам Крамера находим решение системы:
Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;
Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).
По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Пример Решить систему уравнений.
<img width=«31» height=«88» src=«ref-1_295862806-499.coolpic» v:shapes="_x0000_s1301">х — у+z=1
х + у – z=2
5х + у – z=7
1) Составим и вычислим определитель системы ∆= <img border=«0» width=«78» height=«71» src=«ref-1_295863305-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> = 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х =<img border=«0» width=«79» height=«71» src=«ref-1_295863579-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> = 0, ∆у = <img border=«0» width=«69» height=«71» src=«ref-1_295863869-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> = -2
Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.
Тема 7. Алгебра матриц.
<img width=«144» height=«125» src=«ref-1_295864163-991.coolpic» v:shapes="_x0000_s1316">Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,
а11 а12 а13…а1п
а21 а22 а23…а2п
……………… = Ам*п= //аij//
ам1 ам2 ам3…амп , где
m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Разновидности матриц.
1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n.
2. Матрица называется квадратной, если m=n.
3. Матрица называется матрицей — строкой, если m=1.
4. Матрица называется матрицей — столбцом, если n=1.
<img width=«59» height=«59» src=«ref-1_295865154-512.coolpic» v:shapes="_x0000_s1317">Например, 1) 1 2 3 = А2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)
<img width=«40» height=«68» src=«ref-1_295865666-427.coolpic» v:shapes="_x0000_s1318"> 0 –1 5
2) 1 2 — квадратная матрица.
3 4
3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.
4) <img width=«40» height=«116» src=«ref-1_295866093-461.coolpic» v:shapes="_x0000_s1319"> 7
12 матрица столбец.
5
3
5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
<img width=«58» height=«87» src=«ref-1_295866554-504.coolpic» v:shapes="_x0000_s1321"><img width=«69» height=«97» src=«ref-1_295867058-603.coolpic» v:shapes="_x0000_s1320">Например, 1 0 0 5 1 –3
2 6 0 или 0 4 2
-1 –2 8 0 0 -1
6) <img width=«69» height=«87» src=«ref-1_295867661-611.coolpic» v:shapes="_x0000_s1322">Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
Например, 1 0 0
0 –2 0
0 0 5
7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.
<img width=«69» height=«97» src=«ref-1_295868272-603.coolpic» v:shapes="_x0000_s1323">1 0 0
Е = 0 1 0
0 0 1 .
Алгебра матриц.
1.
Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.
Ам*п = Вм*пó аij = bij (i = <img border=«0» width=«27» height=«25» src=«ref-1_295868875-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, j = <img border=«0» width=«24» height=«25» src=«ref-1_295869091-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">)
ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,
обозначение (i = <img border=«0» width=«27» height=«25» src=«ref-1_295868875-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.
2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.
<img width=«78» height=«49» src=«ref-1_295869521-494.coolpic» v:shapes="_x0000_s1325"><img width=«77» height=«49» src=«ref-1_295870015-473.coolpic» v:shapes="_x0000_s1324">Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5
<img width=«97» height=«59» src=«ref-1_295870488-564.coolpic» v:shapes="_x0000_s1331"><img width=«126» height=«59» src=«ref-1_295871052-568.coolpic» v:shapes="_x0000_s1330"><img width=«68» height=«59» src=«ref-1_295871620-516.coolpic» v:shapes="_x0000_s1326"><img width=«69» height=«59» src=«ref-1_295872136-541.coolpic» v:shapes="_x0000_s1327"> 3 1 –6 , 1 –6 4 , то
А+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5 -2 0 9
3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2
3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
<img width=«78» height=«40» src=«ref-1_295872677-435.coolpic» v:shapes="_x0000_s1334"> αА = //α aij//.
Например, вычеслить 4 А, если А =
<img width=«97» height=«40» src=«ref-1_295873112-448.coolpic» v:shapes="_x0000_s1339"> <img width=«78» height=«40» src=«ref-1_295873560-435.coolpic» v:shapes="_x0000_s1336">4А = 4 *
4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:
сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej
(i= <img border=«0» width=«27» height=«25» src=«ref-1_295868875-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">; j= <img border=«0» width=«24» height=«25» src=«ref-1_295869091-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">), т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.
Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
<img width=«87» height=«50» src=«ref-1_295874425-490.coolpic» v:shapes="_x0000_s1343"> <img width=«49» height=«59» src=«ref-1_295874915-469.coolpic» v:shapes="_x0000_s1341">Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.
Пример. Вычислить АВ, если А = В =
Решение: АВ=С
<img width=«79» height=«80» src=«ref-1_295875384-762.coolpic» v:shapes="_x0000_s1344 _x0000_s1346"> <img width=«146» height=«80» src=«ref-1_295876146-1327.coolpic» v:shapes="_x0000_s1348 _x0000_s1349"> <img width=«118» height=«80» src=«ref-1_295877473-1101.coolpic» v:shapes="_x0000_s1350 _x0000_s1351"> <img width=«117» height=«61» src=«ref-1_295878574-613.coolpic» v:shapes="_x0000_s1345 _x0000_s1347">
С= * = =
С11=1*3+2*2=7;
С12=1*4+2*(-1)=2
С13=1*1+2*(-2)= -3
С14=1*3+2*4=11
С21=2*3+4*2=14;
С22=2*4+4*(-1)=4
С23=2*1+4*(-2)= -6
С24=2*3+4*4=22
С31=3*3+1*2=11
С32=3*4+1(-1)=11
С33=3*1+1*(-2)=1
С34=3*3+1*4=13
<img width=«97» height=«77» src=«ref-1_295879187-641.coolpic» v:shapes="_x0000_s1353">
Ответ: А*В=С=
<img width=«40» height=«69» src=«ref-1_295879828-425.coolpic» v:shapes="_x0000_s1354">
<img width=«40» height=«68» src=«ref-1_295880253-411.coolpic» v:shapes="_x0000_s1355">Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,
В = 2 1 3 4
1 3
<img width=«59» height=«59» src=«ref-1_295880664-506.coolpic» v:shapes="_x0000_s1358"><img width=«40» height=«69» src=«ref-1_295881170-413.coolpic» v:shapes="_x0000_s1357"><img width=«40» height=«59» src=«ref-1_295881583-426.coolpic» v:shapes="_x0000_s1356">Сравним эти произведения.
1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7
3 4 1 3 10 15
С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;
<img width=«39» height=«68» src=«ref-1_295882009-411.coolpic» v:shapes="_x0000_s1363">С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15
<img width=«59» height=«59» src=«ref-1_295882420-523.coolpic» v:shapes="_x0000_s1364"> <img width=«40» height=«59» src=«ref-1_295882943-428.coolpic» v:shapes="_x0000_s1362"> 2) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8
1 3 3 4 10 14
d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8
d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14
Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.
<img width=«40» height=«97» src=«ref-1_295883371-444.coolpic» v:shapes="_x0000_s1365">Пример. Вычислить АВ, если А=(40-21); В=<img border=«0» width=«12» height=«160» src=«ref-1_295883815-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> <img border=«0» width=«25» height=«93» src=«ref-1_295883995-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">
<img width=«40» height=«97» src=«ref-1_295884237-439.coolpic» v:shapes="_x0000_s1366">Решение: АВ=(40-21)*<img border=«0» width=«12» height=«160» src=«ref-1_295883815-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> <img border=«0» width=«25» height=«93» src=«ref-1_295883995-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)
Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.
Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.
5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.
6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.
Основные свойства операций над матрицами:
А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.
Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.
<img width=«68» height=«68» src=«ref-1_295885098-580.coolpic» v:shapes="_x0000_s1367">Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3
1 3 4 ,
Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?
<img width=«59» height=«59» src=«ref-1_295885678-510.coolpic» v:shapes="_x0000_s1368">Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)
1 3 4
Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.
Второе – на 55 тыс. руб.
Третье – на 90 тыс. руб.
Тема 8. Понятие множества.
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.
Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.
Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.
<img width=«21» height=«30» src=«ref-1_295886188-283.coolpic» v:shapes="_x0000_s1369">Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество.
Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается
В С А.
Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.
Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}
Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.
Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.
Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.
Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.
Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.
Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
А∩В = {6, 8}
А \ В = {1, 3}
Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.
Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.
Очевидно, что N С Z C Q C R
Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.
<img width=«297» height=«51» src=«ref-1_295886471-527.coolpic» v:shapes="_x0000_s1370 _x0000_s1371 _x0000_s1372 _x0000_s1373 _x0000_s1374"> продолжение
--PAGE_BREAK--
Рис.1
Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.
Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (илисегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в — открытым интервалом (а, в); неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].
Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
<img width=«21» height=«40» src=«ref-1_295886998-339.coolpic» v:shapes="_x0000_s1377">Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:
/х/=
По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.
Свойства абсолютных величин:
1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ — │у│,
3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│
Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).
Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а — ε<х<а+ε.
Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.
<img width=«174» height=«77» src=«ref-1_295887337-1099.coolpic» v:shapes="_x0000_s1382">Интервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).
Рис.2
<img width=«373» height=«21» src=«ref-1_295888436-373.coolpic» v:shapes="_x0000_s1378 _x0000_s1379 _x0000_s1380 _x0000_s1381">
а – ε а а+ε
Тема 9. Функция. Классификация функций.
Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У).
Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.
х – независимая переменная (аргумент).
у – зависимая переменная,
ƒ – закон соответствия, знак функции.
Пусть Х и У множества вещественных чисел.
Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1
Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).
Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).
Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.
х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).
Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).
Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.
Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках
х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.
Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | — 1| / 1= 1;
f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.
f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.
Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.
Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.
Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 — 2 = 3а4 – 5а2 + 1.
2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.
Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.
в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).
Например, у = х2 (Рис.1); у = <img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_295888809-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> (Рис.2)
<img width=«12» height=«239» src=«ref-1_295889026-262.coolpic» v:shapes="_x0000_s1387"><img width=«12» height=«239» src=«ref-1_295889288-279.coolpic» v:shapes="_x0000_s1384"><img width=«125» height=«179» src=«ref-1_295889567-1931.coolpic» v:shapes="_x0000_s1386"> у
у
<img width=«283» height=«81» src=«ref-1_295891498-1149.coolpic» v:shapes="_x0000_s1388 _x0000_s1389"> <img width=«259» height=«12» src=«ref-1_295892647-254.coolpic» v:shapes="_x0000_s1385">
0 х 0 х
Рис. 1. Рис. 2.
<img width=«31» height=«97» src=«ref-1_295892901-475.coolpic» v:shapes="_x0000_s1390">Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:
1, если х – рациональное число.
f(х) =
0, если х – иррациональное число.
Основные элементарные функции.
Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:
1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.
2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1.
3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1
4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х.
5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,
у = arcctg х.
Сложная функция. (суперпозиция функций).
Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.
Например, у = <img border=«0» width=«81» height=«29» src=«ref-1_295893376-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">)/(sin2х+3) или у = 2 — tg х.
<img width=«107» height=«144» src=«ref-1_295893661-1069.coolpic» v:shapes="_x0000_s1393"><img width=«144» height=«144» src=«ref-1_295894730-621.coolpic» v:shapes="_x0000_s1394"><img width=«334» height=«12» src=«ref-1_295895351-259.coolpic» v:shapes="_x0000_s1392"><img width=«12» height=«239» src=«ref-1_295895610-279.coolpic» v:shapes="_x0000_s1391">Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.
У
Рис.3
Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.
1 класс алгебраических функций:
а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, …, Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена.
б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.
в) Иррациональная функция, например, у = <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_295895889-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> + х2.
2 класс трансценденных функций.
а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция,
б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,
в) все тригонометрические функции,
г) все обратные тригонометрические функции,
д) функции вида у = хL, где L – иррациональное число. Например, у = хπ.
Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.
Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х — а|< ε.
Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.
Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) — b|<ε.
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.
(lim – сокращенное слово limit(предел)).
Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.
<img width=«12» height=«239» src=«ref-1_295896124-280.coolpic» v:shapes="_x0000_s1402">При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.
<img width=«12» height=«239» src=«ref-1_295896404-249.coolpic» v:shapes="_x0000_s1396"> y y
<img width=«199» height=«56» src=«ref-1_295896653-1093.coolpic» v:shapes="_x0000_s1407"> <img width=«173» height=«111» src=«ref-1_295897746-1269.coolpic» v:shapes="_x0000_s1401"> f(a) y= f(x)
<img width=«87» height=«2» src=«ref-1_295899015-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1404"><img width=«2» height=«116» src=«ref-1_295899171-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1405"><img width=«2» height=«87» src=«ref-1_295899334-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1399"><img width=«59» height=«2» src=«ref-1_295899491-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1398"> y = f (x)
<img width=«97» height=«2» src=«ref-1_295899647-166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1406"> b
<img width=«277» height=«12» src=«ref-1_295899813-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1403"><img width=«268» height=«12» src=«ref-1_295900073-255.coolpic» v:shapes="_x0000_s1397"> 0
0 a x а х
Рис.1 Рис.2
<img width=«12» height=«249» src=«ref-1_295900328-281.coolpic» v:shapes="_x0000_s1415"> <img width=«12» height=«240» src=«ref-1_295900609-269.coolpic» v:shapes="_x0000_s1408">
<img width=«125» height=«163» src=«ref-1_295900878-1353.coolpic» v:shapes="_x0000_s1419"> y
<img width=«78» height=«2» src=«ref-1_295902231-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1420"><img width=«125» height=«59» src=«ref-1_295902392-786.coolpic» v:shapes="_x0000_s1418"><img width=«106» height=«69» src=«ref-1_295903178-792.coolpic» v:shapes="_x0000_s1413"> f(a)
<img width=«69» height=«2» src=«ref-1_295903970-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1414"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_295904126-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1411"><img width=«112» height=«65» src=«ref-1_295904279-781.coolpic» v:shapes="_x0000_s1412"> f(a)
<img width=«2» height=«21» src=«ref-1_295905060-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1417"><img width=«278» height=«12» src=«ref-1_295905216-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1416"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_295905060-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1410"><img width=«240» height=«12» src=«ref-1_295905632-259.coolpic» v:shapes="_x0000_s1409">
0 a x 0 a x
Рис.3 Рис.4
На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b. На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, илиlim f(x) = f(a).
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.
Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)
2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)
3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
lim С*f(x) = С *lim f(x)
Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.
4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.
Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель — нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.
Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.
Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.
Выделяют неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).
Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00.
Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.
В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.
продолжение
--PAGE_BREAK--Пример 1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].
Решение:
1) Подставим точку х = — 2 в нашу функцию, получим lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] =
= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).
2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/
Пример 2. lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]
Решение:
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х2, получим:lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = lim [(х2*
(1 – 4/х2) / (x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х2 = 4 / 00 = 0,. lim 1/х =
1/00=0 и. lim 2/х2 = 2/00
Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.
Первый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).
Второй замечательный предел. . lim (1+1/х)х = ℮, где ℮=2, 7, …
иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.
Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).
Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3
Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).
Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]
= 5/2* [(lim (sin5x / 5х))/ lim(sin2x / 2х)] = 5/2
Пример.
5Найти lim (1+(1/2x))x = 100.
Решение: lim (1+(1/2x))2x * (1/2) = ℮1/2=<img border=«0» width=«24» height=«27» src=«ref-1_295799958-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">℮
Пример.
6Найти lim (1+(1/(x-1))x = 100.
Решение: lim [1+(1/(x-1))]x -1+1= lim [(1+(1/(x-1)))x -1 * (1+(1/(x-1)))1] = ℮*1 = ℮
Тема 11. Производная и дифференциал.
Приращение аргумента, приращение функции.
<img width=«316» height=«12» src=«ref-1_295906276-261.coolpic» v:shapes="_x0000_s1467"><img width=«12» height=«297» src=«ref-1_295906537-278.coolpic» v:shapes="_x0000_s1466">Пусть функция у= f(х) определена в точке х0и некоторой ее окрестности, придадим точке х0приращение Δх и получим точку х0+Δх, значение функции в этой точке – f(х0+Δх). Разность значений f (х0+Δх) – f(х0) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х0+Δх) – f(х0). Рис. 1
у Рис.1
<img width=«182» height=«178» src=«ref-1_295906815-1481.coolpic» v:shapes="_x0000_s1469 _x0000_s1471">
Δу
<img width=«87» height=«116» src=«ref-1_295908296-411.coolpic» v:shapes="_x0000_s1309 _x0000_s1468 _x0000_s1470">
х0 х0+ Δх
Производная функция у = f(х), в точке х0определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f`(x0) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).
Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy илиdf. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.
Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.
Правила дифференцирования функций.
Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.
1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)
2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x)+ V`(x) * U`(x)
3. (C*U(x))` = CU`(x), C — const
4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) — V`(x) * U(x)]/ V2(x)
Таблица производных.
1. C` = 0, C – const.
2. x` = 1
3. (xα)` = α xα – 1, α Є R
4. (ax)` = ax lnx, a>0, a≠1
5. (ln x)` = 1/x
6. (sin x)` = cos x
7. (cos x)` = — sin x
8. (tg x)` = 1/(cos x)2
9. (ctg x)` = — 1/(sin x)2
10. (arcsin x)` = 1/<img border=«0» width=«51» height=«27» src=«ref-1_295908707-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">2)
11. (arccos x)` = — 1/<img border=«0» width=«51» height=«27» src=«ref-1_295908707-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">2)
12. (arctg x)` = 1/(1 + x2)
13. (arcctg x)` = — [1/(1 + x2)]
правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.
Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.
Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ∆х = 0,1
Решение: f(х) = х2, f(х+∆х) = (х+∆х)2
Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)2 – x2 = x2+2x*∆x+∆x2 – x2 = 2x*∆x + ∆x2/
Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01 = 0,21
Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.
Решение: (х2)` = lim ∆f / ∆х
Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x2, подставим, получим
(x2)` = lim ∆f / ∆х= lim (2x*∆x+∆x2)/∆x = lim [∆x (2х+ ∆х)]/ ∆x = 2x
Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1
Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),
∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х — ∆х – (1 – х) = 1-х — ∆х – 1 + х = — ∆х
при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.
Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.
Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х.
Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *℮х.
Решение: у` = (x2)` *℮х + x2 *(℮х)` = 2x ℮х + x2 *℮х ln℮
ln ℮ = log℮℮ = 1. y` = 2x℮x + x2 * ℮x
Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`.
Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] /(х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2) / (x2+1)2
продолжение
--PAGE_BREAK--Производные от сложных функций.
Формула для нахождения производной от сложной функции такова:
[f (φ(х))]` = fφ`(φ(x)) * φ`(x)
Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx * cosx.
Пример 7. Найти dy, если у = sin 3х
Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.
Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/
Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx
Производные высших порядков.
Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d3y) / (dx3).
производная четвертого порядка уIV= f IV(x) = (d4y) / (dx4).
производная n-oго порядка у(n)= f (n)(x) = (d n y) / (dxn).
Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``.
Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2 +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х.
Пример. y=хsinx. Найти у```.
Решение. y` = sinx + xcosx
y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx
y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.
Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие
F ` (x)=f(x).
Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2для любых х Є (-∞, ∞).
Действительно, F`(x) = 2x = f(x).
F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:
F2(x) = F1(x) + C,
Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">f(x)dx, где <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> — знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом
<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">f(x)dx = F(x) + C,
F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. (<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">(f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d(<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">f(x)dx) = f(x)dx.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">d(F(x)) = F(x) + C.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
<img border=«0» width=«147» height=«29» src=«ref-1_295910289-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, где к — число
5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">(f(x) +φ(x))dx = <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">f(x)dx + <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">φ(x)dx.
Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.
Таблица неопределенных интегралов.
1. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">хαdx = [xα+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R
2. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">dx/x = ln│x│+C
3. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">ax = (ax/ln a)+C, <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">exdx = ex+C
4. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">sinx dx = -cosx + C
5. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">cosx dx = sinx + C
6. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">dx/(cosx)2 = tgx + C
7. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">dx/(sinx)2 = -ctgx + C
8. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">dx /<img border=«0» width=«31» height=«27» src=«ref-1_295813819-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">2-x2) = (arcsin x/a) + C
9. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">dx / <img border=«0» width=«31» height=«27» src=«ref-1_295813819-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">2 – x2) = (-arccos x/a) +C
10. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">dx / a2 +x2 = 1/a arctg x/a +C
11. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">dx / a2 +x2 = — 1/a arcctg x/a +C
12. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">dx / a2 -x2 = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C
13. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">dx / <img border=«0» width=«23» height=«27» src=«ref-1_295914261-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">a2 +x2) = ln │x+ <img border=«0» width=«31» height=«27» src=«ref-1_295813819-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">2+x2)│ +C.
Пример 1. Вычислить <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">(2х2-3<img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_295888809-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> -1)dx.
Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">(2х2-3<img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_295888809-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> -1)dx = 2<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">х2dx — 3<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">х1/2dx — <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">dx=
= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 — 2<img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_295888809-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">3 – x +C.
Пример 2. <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">(2/<img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_295888809-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> -1/х + 4sinx)dx = <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">2х –1/2dx – ln │х│ — 4cosx + C =
= 2[(x1/2 *2)/1] – ln │x│ — 4 cosx +C = 4<img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_295888809-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> -ln│x│- 4cosx + C.
Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.
Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.
Например, <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">e –x^2 dx, <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">sinх2dx,<img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">cosх2dx, <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">sinx/x dx, <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">cosx/x dx, <img border=«0» width=«21» height=«29» src=«ref-1_295909197-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">dx/lnx – «неберущиеся» интегралы, т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) = sinx2и т.д.
Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона — Лейбница.
Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим
∆хi= xi – xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сiнайдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)∆x1, f(C2)∆x2, …, f(Ci)∆xi, …, f(Cn)∆xn, рассмотрим сумму этих произведений:
f(C1)∆x1 + f(C2)∆x2 + … + f(Ci)∆xi + … + f(Cn)∆xn = Σ f(Ci)∆xi.
Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом элементарном отрезке разбиения.
Геометрический смысл интегральной суммы.
<img width=«78» height=«2» src=«ref-1_295918167-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1491"><img width=«59» height=«2» src=«ref-1_295918326-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1490"><img width=«58» height=«2» src=«ref-1_295918481-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1489"><img width=«2» height=«172» src=«ref-1_295918633-174.coolpic» v:shapes="_x0000_s1484"><img width=«2» height=«135» src=«ref-1_295918807-170.coolpic» v:shapes="_x0000_s1483"><img width=«2» height=«135» src=«ref-1_295918807-170.coolpic» v:shapes="_x0000_s1482"><img width=«12» height=«258» src=«ref-1_295919147-270.coolpic» v:shapes="_x0000_s1480">Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1
<img width=«220» height=«210» src=«ref-1_295919417-1989.coolpic» v:shapes="_x0000_s1492"><img width=«410» height=«12» src=«ref-1_295921406-266.coolpic» v:shapes="_x0000_s1481"> y = f(x)
<img width=«2» height=«220» src=«ref-1_295921672-178.coolpic» v:shapes="_x0000_s1488"><img width=«2» height=«210» src=«ref-1_295921850-174.coolpic» v:shapes="_x0000_s1487"><img width=«2» height=«210» src=«ref-1_295921850-174.coolpic» v:shapes="_x0000_s1486"> у
<img width=«2» height=«163» src=«ref-1_295922198-173.coolpic» v:shapes="_x0000_s1485">
S1 S2 S3
0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в х
Рис.1
Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.
С1, С2, С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.
S1 = f1(C1) ∆x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х1 = х1-х0,
S2 = f2(C2) ∆x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х2 = х2-х1,
S3 = f3(C3) ∆x3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х3 = х3-х2,
S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1)∆x1 + f2 (C2)∆x2 + f3 (C3)∆x3 = Σ f(Ci)∆xi.
Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
Понятие определенного интеграла.
Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆хi, где i=1,2,…п
Определение. Пусть предел интегральной суммы Σ f(Ci)∆xiпри стремлении max ∆хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка
[a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается <img border=«0» width=«60» height=«56» src=«ref-1_295922371-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, т.е <img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> = lim Σ f(Сi)∆xiпри
max ∆xi →0
Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.
Некоторые свойства определенного интеграла.
10. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
<img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> = <img border=«0» width=«56» height=«55» src=«ref-1_295923303-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> = <img border=«0» width=«60» height=«55» src=«ref-1_295923605-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> и т.д.
20. <img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> есть число.
30. <img border=«0» width=«61» height=«53» src=«ref-1_295924227-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> = — <img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">, а<b
40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
<img border=«0» width=«69» height=«55» src=«ref-1_295924848-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> = m<img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, где m – const.
50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
<img border=«0» width=«260» height=«55» src=«ref-1_295925489-657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
60. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.
<img width=«2» height=«21» src=«ref-1_295789091-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1502"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_295789091-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1501"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_295789091-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1500"><img width=«221» height=«12» src=«ref-1_295926605-259.coolpic» v:shapes="_x0000_s1499"><img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> =<img border=«0» width=«116» height=«55» src=«ref-1_295927174-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">,
Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула продолжение
--PAGE_BREAK--называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на[а; b].
<img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> = F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функцииf(x).
Например,<img border=«0» width=«44» height=«51» src=«ref-1_295927891-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> — вычислить.
1) Находим первообразную для функции х2, т.е. неопределенный интеграл от х2, произвольную постоянную С приравняем к нулю.
<img border=«0» width=«44» height=«51» src=«ref-1_295927891-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> = x3/3 │ = 1/3 – 0/3 = 1/3
2) Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.
Пример 1. Вычислить <img border=«0» width=«115» height=«51» src=«ref-1_295928405-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">│= sin π/2 – sin π/6 = 1 – ½ = 1/2
Пример 2. Вычислить <img border=«0» width=«176» height=«49» src=«ref-1_295928746-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">│= 22 – 24/4 – [ (-1)2 – ((-1)4/4)] =
= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.
Тема 14. Несобственные интегралы.
Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а; b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом <img border=«0» width=«56» height=«51» src=«ref-1_295929235-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">. Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.
<img border=«0» width=«56» height=«51» src=«ref-1_295929235-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">= Ф(х), х ≥ а.
Определение. <img border=«0» width=«63» height=«51» src=«ref-1_295929833-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥), вводится он как предел функции Ф(t) при t ®¥, т.е.
<img border=«0» width=«159» height=«52» src=«ref-1_295930150-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 1. Вычислить <img border=«0» width=«32» height=«49» src=«ref-1_295930631-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">
Решение <img border=«0» width=«32» height=«49» src=«ref-1_295930631-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> = lnx │ = lim lnx – ln2 = ∞ — ln2 = ∞. Интеграл расходится.
Пример 2. Вычислить <img border=«0» width=«32» height=«49» src=«ref-1_295931155-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
Решение <img border=«0» width=«32» height=«49» src=«ref-1_295931155-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> = <img border=«0» width=«49» height=«49» src=«ref-1_295931699-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> = x –2/-2 │ = -1/(2x 2) │= -1/2 (lim 1/x2 – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2
Интеграл сходится к ½.
По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].
<img border=«0» width=«163» height=«55» src=«ref-1_295931968-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">
Определение сходимости <img border=«0» width=«64» height=«53» src=«ref-1_295932439-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> аналогично предыдущему.
Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-¥;¥).
<img border=«0» width=«216» height=«51» src=«ref-1_295932750-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, а – некоторое число.
Интеграл <img border=«0» width=«64» height=«49» src=«ref-1_295933272-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> сходится, если оба интеграла <img border=«0» width=«64» height=«49» src=«ref-1_295933564-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> и<img border=«0» width=«61» height=«51» src=«ref-1_295933866-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> сходящиеся, если же один из них расходится, то <img border=«0» width=«64» height=«49» src=«ref-1_295933272-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> — расходится.
Пример 3. Вычислить <img border=«0» width=«57» height=«55» src=«ref-1_295934455-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> .
Решение. <img border=«0» width=«196» height=«56» src=«ref-1_295934752-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">.
Рассмотрим <img border=«0» width=«48» height=«52» src=«ref-1_295935271-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> = ex │ = e0– lim ex = e0– 1/e∞ = 1-0 = 1.
Интеграл сходящийся к 1.
Рассмотрим <img border=«0» width=«48» height=«53» src=«ref-1_295935546-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> = ex │ =lim ex — e 0= e∞ – 1 = ∞.
Этот интеграл расходится, значит <img border=«0» width=«64» height=«49» src=«ref-1_295933272-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> — расходящийся несобственный интеграл.
В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл <img border=«0» width=«77» height=«68» src=«ref-1_295936126-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">. этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.
Доказано, что <img border=«0» width=«92» height=«53» src=«ref-1_295936467-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">2p).
Несобственные интегралы от разрывных функций.
Если y = f(x) непрерывна на [а; b), но lim f(x) = ¥, то вводится понятие несобственного интеграла от разрывной функции.
Определение. Если существует и конечен предел lim <img border=«0» width=«69» height=«55» src=«ref-1_295936818-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">, где e > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале [а; b) и обозначается<img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">, т.е. <img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> =lim <img border=«0» width=«69» height=«55» src=«ref-1_295937775-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">
В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла
<img border=«0» width=«61» height=«55» src=«ref-1_295922683-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">= lim <img border=«0» width=«71» height=«55» src=«ref-1_295938412-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">, если lim f(x) = ¥
Пример 4. Вычислить <img border=«0» width=«101» height=«51» src=«ref-1_295938750-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> = 2х1/2 │ = 2(<img border=«0» width=«23» height=«23» src=«ref-1_295939133-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> -lim<img border=«0» width=«27» height=«24» src=«ref-1_295939342-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">) =2.
Интеграл сходится к 2.
Тесты к теме 1.
1. На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по Колмогорову)?
1: 2
2: 4
3: 1
4: 5
2. К какому времени относится начало периода элементарной математики?
1-: XV в
2: I век н.э
.
3:VI-Vвек до н.э.
4: XII в.
3. Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?
1: функция
2: число
3:совокупность чисел
4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).
4. Перечислите основные черты математического мышления.
1: логические рассуждения, математическая интуиция;
2: доказательство;
3: математическая интуиция;
4: умение правильно считать.
5. Какие два вида умозаключений преобладают в математике?
1: моделирование, дедукция.
2: индукция, интуиция;
3: абстрагирование, интуиция;
4: индукция, дедукция;
6. Является ли математика искусством вычислять или наукой?
1: наука,
2: искусство вычислять.
Тесты к тема 2
1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?
1: Определение основных понятий данной науки.
2: Утверждение, требующее доказательства.
3: Утверждение, принимаемое без доказательств.
4: Некоторое логическое рассуждение.
2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных?
1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода?
2: О смысле основных понятий.и Об истинности аксиом.
3: Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода?
3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?
1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.
2: Аксиоматическое построение геометрии.
3: Мифы Древней Греции.
4: Учение о параллельных прямых.
4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии?
1: Гаусс, Бойяй
2: Лагранж, Ферма
3: Пуассон, Эйлер
4: Коши, Буняковский
5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?
1;1804
2: 1800
3: 1850
4: 1900.
Тесты к теме 3.
1 Что представляет собой мнимая единица ?
1: корень кв. из -1,
2: –1
3: ( i )^2
4: (-1)^2
2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0
1: Х1=1/2; Х2=3/2
2: Корней нет
3: Х1,2=1/2+-3/2i
4: Х1=2, Х2=-1
3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.
1: Z=1-i
2:Z= -1+i
3:Z=2+3i
4: Z=1+2i
4. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.
1:Z= 4
2:Z=-8+3i
3: Z= -2+6i
4: Z=4-i
продолжение
--PAGE_BREAK--5. Найти Z”, если Z=2-i.
1: Z= -2-i
2:Z= -2+i
3:Z= 2+i
4: Z= 2
6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части.
1:Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3
2:Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0
3:Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3
4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3
7. Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0
1: Х=2
2: Корней нет
3: Х1,2=+-2i
4: Х=-2
8. Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие.
1; (-3;2)
2: (3,2)
3: (3, -2)
4: (-3,0)
9. Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.
1: Z=1/5-3i
2:Z=4/13 – 7/13i
3:Z=1/26-3i
4: Z=1-i
Тесты к теме 4.
1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).
Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0
1: М1(3,1);
2: М2(2,3);
3: М3(6,0);
4: М4(-3,-1).
2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1, у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки.
1: у=-1,
2: у=0,
3: у=1,
4: у=5.
3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки.
1: х=0,
2: х=4,
3: х=1,
4: х= -4.
4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.
1: АВ=2.
2: АВ=4,
3: АВ=8,
4: АВ=4 * корень кв. из 2,
5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.
1) 2х+3у-1=0
4х+6у+1=0
2) х+у+5=0
х-у-3=0
3) х+5=0
2х+5у=0
4) х-2у+3=0
2х-у-1=0
1: 2х+3у-1=0
4х+6у+1=0
2: х+у+5=0
х-у-3=0
3: х+5=0
2х+5у=0
4: х-2у+3=0
2х-у-1=0
6.Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0,4)х^2 +у^2=1
Найти среди них уравнение прямой.
1: у^2=х,-
2: х — у=0,
3: у=х^2+1
4: х^2+у^2=1
7.Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси ординат.
1: в=-1
2: в=1
3: в=1/2
4: в=0
8.Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х-у+3=0
1: х=2у
2: 2х-у=0;
3: х+у-2=0;
4: 2х-у+4=0;
9.Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.
1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у
1: х+у-5=0, у=+х+2
2: х+у-5=0, 2х=у
3: у=х+2, у=2х
4: у=х+2, 3х-3у+1=0.
10.Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.
1: А(1,1);
2: А(-5,0);
3: А(5,0);
4: А(0,5)
Тесты к теме 5.
1.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом равным 2.
1: х^2 + у^2 = 4
2: х^2 + у^2 = 2
3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4
4: х^2 = 2
2.Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на этой окружности: М1(0, 0), М2(1, 2), М3( — 1, 3); М4(0, 2).
1: М2(1, 2),
2: М1(0, 0),
3: М3( — 1, 3),
4: М4(0, 2),
3.Из четырех уравнений найти уравнение эллипса.
1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9
1: нет уравнения эллипса
2: х/25 + у/16 = 1
3: х^2/9 + у^2/4 = 1
4: х^2 + у^2 = 9
4.Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений:
1) х/16 — у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2 + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1
1: х^2 + 2у^2 = 1
2: х/16 — у/9 = 1,
3: х^2 + у^2 = 1,
4: х^2 – у^2 = 1,
5.Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между фокусами F1 F2= 8.
1:x^2/64+y^2/9=1
2:x^2/16+y^2/9=1
3:x^2/8+y^2/9=1
4:x^2/25+y^2/9=1
6.Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет Е=0,5.
1:x^2/6+y^2/2=1
2:x^2/6+y^2/9=1
3:x^2/36+y^2/27=1
4:x^2+y^2=1
7.х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот.
1:y=+-х
2:у=+-1/2х;
3:y=+-1/18 х
4:y=1/3х
8.На параболеу^2=6х найти точку с абциссой равной 6
1:М(0,6)
2:М(6,6)
3:М(6,0)
4:М1(6,6) и М2(6,-6)
9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F.
1:F(3/2;0)
2:F(3,0)
3:F(0,6)
4:F (0,3)
10.Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4.
1:x/81 — y/4=1
2:x^2/9+y^2/4=1
3:x^2/81 — y^2/16=1
4:x^2 — y^2=9
Тесты к теме 6.
1. Вычислить определитель !2 3!
!4 5!
1: -2,
2: 22,
3: 2,
4: 7,
2. Вычислить определитель !2 3!
!4 5!
1:-5,
2: 10,
3: 1,
4: 0,
3. Справедливо ли равенство !2 8 10! !1 4 5!
!1 3 -1! =2 !1 3 –1! ?
!2 0 !1 !2 0 1!
1: Нет,
2: Да,
4. Дан определитель !1 5 3! Найти минор М21 к элементу а21 = 6.
!6 1 0!
!3 0 –1!.
1: М21= 0,
2: М21= -2,
3: М21= 1,
4: М21= 4,
5.Дан определитель !1 5 3! Найти алгеброическое дополнение А21 к
!6 1 0! элементу а21 = 6.
!3 0 –1!.
1: А21= 2,
2: А21= -2,
3: А21= 1,
4: А21= 4,
6. Если элементы второй строки определителя умножить на соответствующие алгебраические дополнения и произведения сложить, то получим:
1: отрицательное число,
2: ноль,
3: любое число,
4: величину определителя,
<img width=«40» height=«59» src=«ref-1_295939565-440.coolpic» v:shapes="_x0000_s1531">7. Дана система уравнений х+у=3
2х-3у=1.
Имеет ли эта система единственное решение?
1: Да,
2: Нет.
<img width=«40» height=«59» src=«ref-1_295940005-469.coolpic» v:shapes="_x0000_s1532">8. Дана система уравнений х — у=1
4х-4у=4
1: система не имеет решения,
2: система имеет единственное решение,
3: система неопределенная,
<img width=«30» height=«87» src=«ref-1_295940474-496.coolpic» v:shapes="_x0000_s1533">9. Дана система 2х-3у+5z=1
х+у-z =2
3х-у-2z=3
Указать свободные члены:
1:(5, -1, -2);
2: (2, 1, 3);
3: (-3, 1, -1);
4: (1, 2, 3);
10. Может ли определитель иметь три строки и два столбца?
1: Да.
2: Нет,
Тесты к теме 7.
1. Выберите правильное утверждение:
1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов.
2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов.
3) Матрица не может состоять из одной строки.
4) Матрица не может состоять из одного столбца.
Ответ: 1)
Ответ: 2)
Ответ: 3)
Ответ: 4)
2. Может ли матрица состоять из одного элемента?
1: Да,
2: Нет,
3: Да, если это элемент не равен нулю.
3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, ½) на число (-2):
1: -7
2: (1, -1, 3, -1)
3: (-2, -1, 3, ½)
4: (-2, 2, -6, -1)
4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3?
1: Нет
2: Да.
5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4?
1: Нет.
2: Да.
6. Транспонирование матриц – это:
1) Перестановка местами двух столбцов.
2) изменение знака у всех элементов,
3) Перестановка местами двух строк,
4) перестановка местами строк и столбцов,
Ответ: 1)
Ответ: 2)
Ответ: 3)
Ответ: 4)
7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то транспонированная матрица будет иметь размерность:
1: 6*6
2: 6*7
3: 7*6
4: 7*7
8. Единичная матрица – это:
1: Матрица, у которой все элементы равны 1.
2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули
3: Матрица, определитель которой равен 1.
4: Матрица, содержащая только один элемент.
9. Если А=(1,3, -2), В= (-1)
(0 )
(2 ) , то А*В равно
1: -5
2: (-1 0 –4)
3: (-1)( 0 )(-4)
4: Перемножить нельзя
Тесты к теме 8.
1. N – множество натуральных чисел. Какое из множеств является его подмножеством: А= {2, 4, 6, 8…}, В= (N2, N3, N4,…}; С= {1, 1/2, 1/3, 1/4, …};
Д= {1, 0, 1}?
1: В,
2: А,
3: С,
4: Д,
2. Найти пересечение множеств А= {1, 3, 5, 7, 9} и В= {2, 4, 6, 8}.
Ответ: пустое множество,
1: {1}
2: {1,2,3,4,5,6,7,8}
3: {0}
3. Найти объединение множеств А и В, если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}.
1: AUB = {0}
2: AUB = 0
3: АUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
4: AUB = {2,4,6,8}
4. Найти разность множеств А \ В, если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}.
1: А\B = {3, 4}
2: A\B = {0,3,4}
3: A\B = {0,1,2}
4: A\B = {1,2,3}
5. Если /х/<2, то в виде двух неравенств его можно записать так:
1: -2<x<2
2: -2<=x<=2
3: 0<x<2
4: -2<x<0.
6. Если /х-1/<E, то E – окрестность точки 1 можно записать так:
1: -Е<x<Е
2: 1-Е<x<1+Е
3: 0<x<1+Е
4: -Е<x<0.
7. Если х принадлежит [-1, 3]. Какое из значений может принять х?
1: x<-1
2: -x= -3
3: x=0
4: x=4.
8. Если х не принадлежит (-2, 2). Какое из значений может принять х?
1: x= -1.
2: -x= 0
3: x=2
4: x= -4
9. Если –2<х<=0, то решением является:
1: (-2, 0)
2: (-2, 0]
3: (-2, 2)
4: [-2, 0].
10. Найти пересечение множеств (-2, 2) и (-3, 1):
1: (-3, 2)
2: [0, 1]
3: (-2, 1)
4: [-2, 0].
Тесты к теме 9. «Функция. Классификация функций».
1. Найти область определения функции у = (х-2)/(х^2 – 9)
1: (0, 2)
2: (-00, -9) U (9, 00).-
3: (2, 3).
4: (-00, -3) U (-3,3) U (3,00).
2 Найти область определения функции у = (х-1)^1/2
1: (-00, 00).
2: (0, 00).
3: [1, 00).
4: x = 0
3. Найти область определения функции у = lg(2+х)
1: (-2, 00).
2: [2, 00).
3: (-00, 00).
4: x = 0
4. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = 0.
1: у = -1.
2: у = 0.
3: у = 00.
4: у = 2
5. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = 1.
1: у = -1.
2: у = 1.
3: не существует.
4: у = 2
6. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = (а^2) +1.
1: у = не существует.
2: у = ([а^2]+1)/а^2.
3: у = -1.
4: у = [(а^2 + 1)^2]/а^2.
7. Дана функция у = (sinх)^2 +5. К какому классу функций она принадлежит?
1: Трансцендентная.
2: алгебраическая.
8. Написать целую алгебраическую функцию второй степени, в общем виде.
1: у = х^2.
2: у = [(А0)*х^2] + (А1)*х + А2.
3: у = [(А0)х^2]+1.
4: у = (х^2)/(х+1)
9. Указать дробно-рациональную функцию из заданных функций:
1) у=2*х/(1+х+х^2); 2) у=х/(sinх); 3) у=(2)^х/2; 4) у= lg(х+2)/(х-2)
Ответ: 1).
Ответ: 2).
Ответ: 3).
Ответ: 4).
10. Дана сложная функция у = [sin (1-х)]^2. Представить ее в виде цепочки простых функций.
1: U = sin x, V = U-1, y = (U-1)^2.
2: U = sin(1-x), y = U^2.
3: U = 1-х, V = sinU, y = V^2.
4 y = [sin(1-x)]^2 – простая функция
Тесты к теме 10.
1.Найти: lim [2/(x-1)];
1: 2
2: 0
3: не существует.
4: 1
2.Найти: lim [2/(x+2)];
1: не существует.
2: 0
3: 2/3
4: 1/2
3.Найти: lim [(х2+5х+6)/(x2-9)];
1: 0
2: 5/6
3: 1/2
4: 1/6
4.Найти: lim [(1+х2) / (x3+2х2+х-1)];
1: 1
2: 0
3: -1
4: 00
5.Найти: lim [х / sin x];
1: 1
2: 0
3: не существует.
4: 00
6.Найти: lim [sin5x / x];
1: не существует.
2: 0
3: 00
4: 5
7.Найти: lim [1+(1/(x+2))]х;
1: 00
2: 1
3: е
4: не существует
8.Найти: lim [1+(1/x)]2х;
1: е2
2: е
3: 1
4: 00
9. Является ли функция у=х2 непрерывной в точке х=2
1: Нет
2: Да
10. Является ли функция у=1/(2х+1) непрерывной в точке х=1
1: Да
2: Нет
Тесты к теме 11.
1. Найти приращение функции у=1/х, если х=1, ∆х=0,1.
1: — 1/11,
2: 0,1,
3: 0,01,
4: — 1,
2. Пользуясь определением производной, найти производную от функции у=х^3.
1: 3х^2∆х,
2: х^2,
3: 3х^2 — 1,
4: 3х^2,
3. Найти производную от функции у=хe^x, в точке х=0.
1: e+e^-1,
2: e^1,
3: 1,
4: ,
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Корреляционный анализ 2
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Определение оптимального плана замены оборудования 2
20 Июня 2015
Реферат по математике
Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Основные элементарные функции, их свойства и графики
20 Июня 2015