Реферат: Методы решения уравнений содержащих параметр
--PAGE_BREAK--Отметим следующие задания (№№889, 914-917), содержащие параметр, на исследование функции на монотонность. Также отметим номера 926-929, так как в них необходимо решить уравнения третьей и четвертой степени графическим методом.Особое геометрическое и алгебраическое значение имеют задачи с параметром, которые предложены в главе «Первообразная и интеграл». Предложено следующее задание (номера 1061, 1062): найти значения параметра, который содержится в функции, если известна площадь фигуры, ограниченной этой функцией.
В конце изучения курса алгебры и начала анализа в 11 классе выделен параграф для решения уравнений, содержащих параметр. В параграфе объясняется, что такое параметр на простейших уравнениях, рассматриваются линейные и квадратные уравнения.
Задачи, которые предлагаются для этой темы, где предложены различные задания для обобщения всех умений решения задач (номера 1855-1880).
Обобщая все задачи с параметром можно заявить, что данный учебник предлагает параметр как для углубленного изучения пройденных тем, как для изучения непосредственно самого параметра (см. [ REF _Ref103319553 \w \h 36], [ REF _Ref103319560 \w \h 37]).
2.3. Алимов Ш.А. и др. «Алгебрас 7 по 9 класс» и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»
Начнем анализ этой группы учебников с 7 класса.
Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№123-125), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124). Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.
После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений (см. [ REF _Ref103319574 \w \h 25]).
Алгебра8 класс.
Уравнения, содержащие параметр, встречаются впервые при изучении квадратных уравнений (№№ 414, 428, 442-443, 448). Из них можно выделить номера 442, 443, 448, в которых предлагаются задания на исследование количества корней уравнения в зависимости от значения параметра.
При изучении квадратичной функции рассматривается всего два номера с заданиями, содержащими параметр (№№602, 603). В этих заданиях необходимо найти значение параметра, если известно пересечение двух функций в заданной точке и параметр, содержится в коэффициенте одной из функций.
На этом авторы прекращают использование параметра при изучении тем учебника, но большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных уравнений ( №№ 791, 792, 809, 818, 819, 822). Все номера одного характера – исследовать корни квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в зависимости от значений параметра.
Уравнения аналогичного характера авторы приводят для внеклассной работы (№№ 889-896, 900, 902).
Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что авторы применяли уравнения, содержащие параметр, именно там, где его использование очень широко – при изучении квадратных уравнений. В этой теме количество задач, содержащих параметр, не может быть ограничено.
При изучении курса алгебры 9 класса уравнения, содержащие параметр предлагаются только в задачах для внеклассной работы (№№ 826-833). Предлагаются квадратные уравнения, где необходимо:
а) найти значения параметра, при которых уравнение имеет или не имеет корни;
б) определить принадлежность корней уравнения тому или иному числовому множеству.
Также предлагаются неравенства с параметром, где необходимо найти значение параметра, если неравенство выполняется при всех значениях неизвестной (см. [ REF _Ref103319582 \w \h 26]).
Алгебра и начала анализа10-11 класс.
В этом учебнике при изучении уравнения <shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image045.wmz» o:><img width=«67» height=«20» src=«dopb75058.zip» v:shapes="_x0000_i1057"> рассматривается принадлежность корня множествам <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image047.wmz» o:><img width=«65» height=«52» src=«dopb75059.zip» v:shapes="_x0000_i1058">, <shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image049.wmz» o:><img width=«52» height=«52» src=«dopb75060.zip» v:shapes="_x0000_i1059">. И это тоже в какой-то степени уравнение с параметром решаемое методом «ветвлений» (пункт REF _Ref103062990 \r \h 4.1.1). Аналогично при рассмотрении уравнения <shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image051.wmz» o:><img width=«69» height=«16» src=«dopb75061.zip» v:shapes="_x0000_i1060">, <shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image053.wmz» o:><img width=«56» height=«23» src=«dopb75055.zip» v:shapes="_x0000_i1061">, <shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image054.wmz» o:><img width=«64» height=«23» src=«dopb75056.zip» v:shapes="_x0000_i1062">.
Обобщая знания, полученные при изучении третьей главы «Тригонометрические уравнения и неравенства», предложено тригонометрическое уравнение четвертой степени с параметром, классифицированное как задача повышенной трудности.
При повторении курса алгебры и начала анализа 10 класса в системе задач не встречается заданий с параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не уделяют внимания к параметру как таковому.
При изучении производной авторы предлагают четыре упражнения с параметром (№№ 544-547), где дана функция, зависящая как от неизвестной, так и от параметра и нужно найти значения параметра, если производная имеет определенный знак или равна нулю.
При изучении же темы «Применение производной к исследованию функций» система задач содержит всего одно задание с параметром (№559).
Аналогично, в системе задач темы «Интеграл» предложена всего одна задача с параметром (№ 670), где нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой, где заключен параметр, и прямой.
При повторении курса алгебры и начала анализа 11 класса предложена одна задача с параметром (№718). В системе задач при итоговом повторении всего курса алгебры содержатся задачи с параметром, аналогичные всем рассмотренным ранее (в предыдущих учебниках и данном). Такими являются: №№ 781, 782 – это при повторении решения уравнений; №№ 828-830 – при повторении решения неравенств.
Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что предложены примерные виды заданий, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Одними из таких заданий являются задачи с параметром (№№ 974-976).
В отличие от учебника Мордковича система задач с параметрами предложена только для углубленного изучения и повторения пройденного материала (см. [ REF _Ref103319246 \w \h 27]).
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
· в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;
· ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;
· во всех учебниках задания однотипны;
3. Основные виды уравнений, содержащих параметр
3.1. Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр
Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.
Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image055.wmz» o:><img width=«244» height=«27» src=«dopb75062.zip» v:shapes="_x0000_i1063">. Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:
1. <shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image057.wmz» o:><img width=«172» height=«24» src=«dopb75063.zip» v:shapes="_x0000_i1064">, тогда <shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image059.wmz» o:><img width=«99» height=«24» src=«dopb75064.zip» v:shapes="_x0000_i1065">,
2. <shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image061.wmz» o:><img width=«121» height=«24» src=«dopb75065.zip» v:shapes="_x0000_i1066"> и <shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image063.wmz» o:><img width=«65» height=«24» src=«dopb75066.zip» v:shapes="_x0000_i1067">, тогда решений нет,
3. <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image065.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75067.zip» v:shapes="_x0000_i1068"> и <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image067.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb75068.zip» v:shapes="_x0000_i1069">, тогда <shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image069.wmz» o:><img width=«83» height=«51» src=«dopb75069.zip» v:shapes="_x0000_i1070">,
4. <shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image071.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75070.zip» v:shapes="_x0000_i1071">, <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image073.wmz» o:><img width=«204» height=«27» src=«dopb75071.zip» v:shapes="_x0000_i1072">, тогда <shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image075.wmz» o:><img width=«93» height=«51» src=«dopb75072.zip» v:shapes="_x0000_i1073">,
5. <shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image077.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75070.zip» v:shapes="_x0000_i1074">, <shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image078.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75073.zip» v:shapes="_x0000_i1075">, тогда решений нет,
6. <shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image080.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75070.zip» v:shapes="_x0000_i1076">, <shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image081.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75074.zip» v:shapes="_x0000_i1077">, тогда <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image083.wmz» o:><img width=«131» height=«53» src=«dopb75075.zip» v:shapes="_x0000_i1078">.
Контрольные значения параметра определяются уравнением <shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image085.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75076.zip» v:shapes="_x0000_i1079">. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.
Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:
1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.
2. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image055.wmz» o:><img width=«244» height=«27» src=«dopb75062.zip» v:shapes="_x0000_i1080">.
3. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых <shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image065.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75067.zip» v:shapes="_x0000_i1081">.
Если уравнение <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image065.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75067.zip» v:shapes="_x0000_i1082"> имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.
На бесконечном множестве решений уравнения <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image065.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75067.zip» v:shapes="_x0000_i1083"> проводится решение уравнения <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image087.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb75077.zip» v:shapes="_x0000_i1084">, выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image065.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75067.zip» v:shapes="_x0000_i1085"> и <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image067.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb75068.zip» v:shapes="_x0000_i1086">, соответствует третий тип не особых частных уравнений.
4. Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image075.wmz» o:><img width=«93» height=«51» src=«dopb75072.zip» v:shapes="_x0000_i1087">.
5. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.
Множеству значений параметра, для которых <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image077.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75070.zip» v:shapes="_x0000_i1088"> и <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image078.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75073.zip» v:shapes="_x0000_i1089">, соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где <shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image080.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75070.zip» v:shapes="_x0000_i1090"> и <shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image081.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75074.zip» v:shapes="_x0000_i1091">, частные уравнения имеют два различных действительных корня (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1],[ REF _Ref103319628 \w \h 7]).
Пример. Решить уравнение
2а∙(а-2)∙х = а-2. (2)
Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0 и а≠2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}
и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0уравнение (2) принимает вид 0∙х=2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2уравнение (2) принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х =<shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image089.wmz» o:><img width=«67» height=«44» src=«dopb75078.zip» v:shapes="_x0000_i1092">=<shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image091.wmz» o:><img width=«27» height=«48» src=«dopb75079.zip» v:shapes="_x0000_i1093">.
0твет: 1) если а=0, то корней нет;
2) если а=2, то х — любое действительное число;
3) если а≠0, а≠2, то х = <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image093.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb75080.zip» v:shapes="_x0000_i1094">.
Пример. Решить уравнение
(а — 1)∙ х2+2∙ (2а+1)∙ х + (4а+3) =0. (3)
Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Дело в том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a=1 уравнение (3) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = – <shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image095.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb75081.zip» v:shapes="_x0000_i1095">.
2) Из множества значений параметра а≠1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0при а=ао, то при переходе значения D через точку аодискриминант может изменить знак (например, при а<аоD < 0, а при а>аоD > 0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<аокорней нет, так как D < 0, а при а>аоD > 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
<shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image097.wmz» o:><img width=«20» height=«41» src=«dopb75082.zip» v:shapes="_x0000_i1096"> =(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем <shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image097.wmz» o:><img width=«20» height=«41» src=«dopb75082.zip» v:shapes="_x0000_i1097"> = 5а+4.
Из уравнения <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image097.wmz» o:><img width=«20» height=«41» src=«dopb75082.zip» v:shapes="_x0000_i1098">=0 находим <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image099.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75083.zip» v:shapes="_x0000_i1099"> — второе контрольное значение параметра а. При этом если <shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image101.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75084.zip» v:shapes="_x0000_i1100">, то D < 0; если <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image103.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75085.zip» v:shapes="_x0000_i1101">, то D ≥ 0; и <shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image105.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb75086.zip» v:shapes="_x0000_i1102">.
Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда <shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image101.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75084.zip» v:shapes="_x0000_i1103">и в случае, когда <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image103.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75085.zip» v:shapes="_x0000_i1104"> и <shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image105.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb75086.zip» v:shapes="_x0000_i1105">.
Если <shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image101.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75084.zip» v:shapes="_x0000_i1106">, то уравнение (3) не имеет действительных корней;
если же <shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image107.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75087.zip» v:shapes="_x0000_i1107"> и <shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image105.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb75086.zip» v:shapes="_x0000_i1108">, то находим <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image109.wmz» o:><img width=«199» height=«51» src=«dopb75088.zip» v:shapes="_x0000_i1109">;
если <shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image111.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75083.zip» v:shapes="_x0000_i1110">, то <shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image112.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75076.zip» v:shapes="_x0000_i1111"> и тогда <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image113.wmz» o:><img width=«56» height=«48» src=«dopb75089.zip» v:shapes="_x0000_i1112">.
Ответ: 1) если <shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image101.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75084.zip» v:shapes="_x0000_i1113">, то корней нет;
2) если а = 1, то х =<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image115.wmz» o:><img width=«31» height=«48» src=«dopb75090.zip» v:shapes="_x0000_i1114">;
3) если <shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image117.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb75083.zip» v:shapes="_x0000_i1115">, то <shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image118.wmz» o:><img width=«56» height=«48» src=«dopb75089.zip» v:shapes="_x0000_i1116">;
4) если <shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image119.wmz» o:><img width=«63» height=«71» src=«dopb75091.zip» v:shapes="_x0000_i1117">, то <shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image121.wmz» o:><img width=«199» height=«51» src=«dopb75092.zip» v:shapes="_x0000_i1118">.
3.2. Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным
Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1]).
Пример. Решить уравнение
<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image123.wmz» o:><img width=«251» height=«53» src=«dopb75093.zip» v:shapes="_x0000_i1119">. (4)
Решение. Значение а=0является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:
х2+2 (1 — а) х +а2 — 2а — 3=0. (5)
Найдем дискриминант уравнения (5) <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image097.wmz» o:><img width=«20» height=«41» src=«dopb75082.zip» v:shapes="_x0000_i1120">= (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4. Находим корни уравнения (5): х1 =а + 1, х2 = а — 3. При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Если х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а = — 2.
Таким образом, при а = - 2 х1-посторонний корень уравнения (4).
Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а = — 3.
Таким образом, при а = — 3 x1- посторонний корень уравнения (4).
Если х2+1 =0, т. е. (а-3)+1=0, то а=2.
Таким образом, при а=2х2 — посторонний корень уравнения (4)'.
Если х2+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1.
Таким образом, при а = 1 х2- посторонний корень уравнения (4).
При а = — 3 получаем х= — 6; при a = — 2 х = — 5;
При a=1 х = 1+1=2; при a=2 х=2+1=3. Итак, можно записать
Ответ: 1) если a = — 3, то х = — 6;
2) если a = -2, то х = — 5;
3) если a=0, то корней нет;
4) если a = 1, то х=2;
5) если а=2, то х=3;
6) если <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image125.wmz» o:><img width=«63» height=«135» src=«dopb75094.zip» v:shapes="_x0000_i1121">, то х1 = а + 1, х2 = а – 3.
3.3. Иррациональные уравнения, содержащие параметр
Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:
1. ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра.
2. в решении уравнений вида <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image127.wmz» o:><img width=«140» height=«29» src=«dopb75095.zip» v:shapes="_x0000_i1122"> при возведении в квадрат необходимо учитывать знак <shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image129.wmz» o:><img width=«56» height=«24» src=«dopb75096.zip» v:shapes="_x0000_i1123"> и проводить проверку корней.
При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.
Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности при решении (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1]).
Пример. Решить уравнение х — <shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image131.wmz» o:><img width=«57» height=«25» src=«dopb75097.zip» v:shapes="_x0000_i1124"> = 1. (6)
Решение: метод решения: возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image133.wmz» o:><img width=«115» height=«26» src=«dopb75098.zip» v:shapes="_x0000_i1125"> (7)
продолжение
--PAGE_BREAK--При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2х2 – 2х + (1 — а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение: а = 0,5. Отсюда:
1) при а > 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image135.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb75099.zip» v:shapes="_x0000_i1126">);
2) при а = 0,5 х = 0,5;
3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).
2) при подстановке х2 = 0,5 ( 1 — <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image135.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb75100.zip» v:shapes="_x0000_i1127">) в (7) получим:
-0,5 ( 1 + <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image135.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb75100.zip» v:shapes="_x0000_i1128">) = <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image138.wmz» o:><img width=«161» height=«29» src=«dopb75101.zip» v:shapes="_x0000_i1129">
Так как левая часть равенства отрицательна, то х2 не удовлетворяет исходному уравнению.
3) Подставим х1 = 0,5 ( 1 + <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image135.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb75100.zip» v:shapes="_x0000_i1130">) в уравнение (7):
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image140.wmz» o:><img width=«284» height=«64» src=«dopb75102.zip» v:shapes="_x0000_i1131">.
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image142.wmz» o:><img width=«100» height=«44» src=«dopb75103.zip» v:shapes="_x0000_i1132">, то можно возвести полученное равенство в квадрат:
<shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image144.wmz» o:><img width=«219» height=«60» src=«dopb75104.zip» v:shapes="_x0000_i1133">.
Имеем истинное равенство при условии, что <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image142.wmz» o:><img width=«100» height=«44» src=«dopb75103.zip» v:shapes="_x0000_i1134">.
Это условие выполняется, если а≥1. Так как равенство истинно при а≥1, а х1 может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х1– корень уравнения при а≥1.
Ответ.
1. при а ≥ 1 х = 0,5∙(1 + <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image135.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb75099.zip» v:shapes="_x0000_i1135">);
2. при а <1 уравнение не имеет решений.
3.4. Показательные уравнения, содержащие параметр
Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: а f(x) = b φ(х) (*), где а>0, b>0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:
1) При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.
2) При а=1, b≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.
3) При а≠1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.
4) При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.
5) При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) тождественно уравнению <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image146.wmz» o:><img width=«189» height=«44» src=«dopb75105.zip» v:shapes="_x0000_i1136"> (c>0, c≠1) на области D (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1]).
Пример. Решить уравнение: а х+ 1 = b 3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image148.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb75106.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> R, а > 0, b >0.
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
2) При а = b = 1, х <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image148.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb75106.zip» v:shapes="_x0000_i1138"> R;
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image150.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb75107.zip» v:shapes="_x0000_i1139"> х = 3;
4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х+ 1 = 1 или х + 1 = 0 <shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image150.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb75107.zip» v:shapes="_x0000_i1140"> х = -1;
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image150.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb75107.zip» v:shapes="_x0000_i1141"> х = 1;
6) При <shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image152.wmz» o:><img width=«44» height=«48» src=«dopb75108.zip» v:shapes="_x0000_i1142">, <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image154.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75109.zip» v:shapes="_x0000_i1143"> получим: уравнение <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image156.wmz» o:><img width=«93» height=«20» src=«dopb75110.zip» v:shapes="_x0000_i1144">, которое не имеет решения;
7) При а ≠ b и <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image158.wmz» o:><img width=«45» height=«48» src=«dopb75111.zip» v:shapes="_x0000_i1145"> (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:
<shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image160.wmz» o:><img width=«129» height=«25» src=«dopb75112.zip» v:shapes="_x0000_i1146">, х + 1 = (3 – х) log ab, <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image162.wmz» o:><img width=«99» height=«47» src=«dopb75113.zip» v:shapes="_x0000_i1147">.
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или <shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image152.wmz» o:><img width=«44» height=«48» src=«dopb75108.zip» v:shapes="_x0000_i1148">, <shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image154.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75109.zip» v:shapes="_x0000_i1149"> уравнение не имеет решений;
при а = b = 1, х <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image148.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb75106.zip» v:shapes="_x0000_i1150"> R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3;
при а ≠ 1, b = 1 х = -1;
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) <shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image162.wmz» o:><img width=«99» height=«47» src=«dopb75113.zip» v:shapes="_x0000_i1151">.
3.5. Логарифмические уравнения, содержащие параметр
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1]).
Пример. Решить уравнение
2 – log <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image164.wmz» o:><img width=«15» height=«28» src=«dopb75114.zip» v:shapes="_x0000_i1152"><shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image166.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb75115.zip» v:shapes="_x0000_i1153">(1 + х) = 3 log а <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image168.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75116.zip» v:shapes="_x0000_i1154"> - log <shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image170.wmz» o:><img width=«15» height=«25» src=«dopb75117.zip» v:shapes="_x0000_i1155"><shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image166.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb75115.zip» v:shapes="_x0000_i1156">(х2 – 1)2.
Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
log а а2 + log a(х2 — 1) = log а (<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image168.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75116.zip» v:shapes="_x0000_i1157">)3 + log a<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image166.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb75115.zip» v:shapes="_x0000_i1158"><shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image172.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75118.zip» v:shapes="_x0000_i1159">,
log а (а2 (х2 — 1)) = log а ((<shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image168.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75116.zip» v:shapes="_x0000_i1160">)3<shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image172.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75118.zip» v:shapes="_x0000_i1161">),
а2 (х2 — 1) = (х — 1) <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image174.wmz» o:><img width=«96» height=«27» src=«dopb75119.zip» v:shapes="_x0000_i1162">,
а2 (х — 1) (х + 1) = (х — 1) <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image176.wmz» o:><img width=«96» height=«27» src=«dopb75119.zip» v:shapes="_x0000_i1163">.
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1) и на <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image177.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb75120.zip» v:shapes="_x0000_i1164">. Тогда получим <shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image179.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb75121.zip» v:shapes="_x0000_i1165">= <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image168.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75116.zip» v:shapes="_x0000_i1166">.
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4 (х + 1) = х – 1 <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image150.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb75107.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> а4х + а4 = х – 1<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image150.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb75107.zip» v:shapes="_x0000_i1168"> х( 1 — а4 ) = а4 + 1.
Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image181.wmz» o:><img width=«69» height=«44» src=«dopb75122.zip» v:shapes="_x0000_i1169">.
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image183.wmz» o:><img width=«67» height=«44» src=«dopb75123.zip» v:shapes="_x0000_i1170">.
Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:
<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image185.wmz» o:><img width=«89» height=«44» src=«dopb75124.zip» v:shapes="_x0000_i1171">, <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image187.wmz» o:><img width=«69» height=«44» src=«dopb75125.zip» v:shapes="_x0000_i1172">.
Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а < 1.
Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1 <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15310.files/image181.wmz» o:><img width=«69» height=«44» src=«dopb75122.zip» v:shapes="_x0000_i1173">.
Замечание: Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.
4. Основные методы решения уравнений, содержащих параметр
4.1. Аналитический метод
4.1.1. Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод «ветвления»
В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.
Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким методом («ветвления») (см. [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319710 \w \h 6], [ REF _Ref103319718 \w \h 10], [ REF _Ref103319726 \w \h 13]).
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image189.wmz» o:><img width=«159» height=«25» src=«dopb75126.zip» v:shapes="_x0000_i1174">.
Решение. Пусть <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image191.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb75127.zip» v:shapes="_x0000_i1175">. Тогда <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image193.wmz» o:><img width=«155» height=«55» src=«dopb75128.zip» v:shapes="_x0000_i1176">
Переходим к равносильной системе
<shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image195.wmz» o:><img width=«199» height=«84» src=«dopb75129.zip» v:shapes="_x0000_i1177"><shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image197.wmz» o:><img width=«23» height=«17» src=«dopb75130.zip» v:shapes="_x0000_i1178"><shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image199.wmz» o:><img width=«144» height=«84» src=«dopb75131.zip» v:shapes="_x0000_i1179">
Очевидно, при <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image201.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb75132.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> уравнение системы не имеет решения.
Если <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image203.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb75133.zip» v:shapes="_x0000_i1181">, то тогда
<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image205.wmz» o:><img width=«87» height=«116» src=«dopb75134.zip» v:shapes="_x0000_i1182">
Следовательно, нужно проверить условия <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image207.wmz» o:><img width=«35» height=«19» src=«dopb75135.zip» v:shapes="_x0000_i1183"> и <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image209.wmz» o:><img width=«35» height=«17» src=«dopb75136.zip» v:shapes="_x0000_i1184">. То есть
<shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image211.wmz» o:><img width=«107» height=«103» src=«dopb75137.zip» v:shapes="_x0000_i1185"> <shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image213.wmz» o:><img width=«25» height=«17» src=«dopb75138.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image215.wmz» o:><img width=«141» height=«103» src=«dopb75139.zip» v:shapes="_x0000_i1187">
решая из системы первое неравенство, получаем что <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image217.wmz» o:><img width=«143» height=«24» src=«dopb75140.zip» v:shapes="_x0000_i1188">.
Решением второго есть <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image219.wmz» o:><img width=«208» height=«28» src=«dopb75141.zip» v:shapes="_x0000_i1189">. Решением системы будет пересечение интервалов, а, именно, <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image221.wmz» o:><img width=«228» height=«21» src=«dopb75142.zip» v:shapes="_x0000_i1190">.
Ответ. Если <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image223.wmz» o:><img width=«229» height=«27» src=«dopb75143.zip» v:shapes="_x0000_i1191">, то <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image225.wmz» o:><img width=«129» height=«52» src=«dopb75144.zip» v:shapes="_x0000_i1192">;
при остальных значениях параметра a уравнение решений не имеет.
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image227.wmz» o:><img width=«331» height=«31» src=«dopb75145.zip» v:shapes="_x0000_i1193">.
Решение. Имеем <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image229.wmz» o:><img width=«308» height=«31» src=«dopb75146.zip» v:shapes="_x0000_i1194">.
Достаточно рассмотреть три случая:
1. <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image231.wmz» o:><img width=«260» height=«65» src=«dopb75147.zip» v:shapes="_x0000_i1195">.
2. <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image233.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75148.zip» v:shapes="_x0000_i1196">.
<shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image235.wmz» o:><img width=«260» height=«31» src=«dopb75149.zip» v:shapes="_x0000_i1197">.
<shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image237.wmz» o:><img width=«288» height=«81» src=«dopb75150.zip» v:shapes="_x0000_i1198">
Делая замену <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image239.wmz» o:><img width=«139» height=«25» src=«dopb75151.zip» v:shapes="_x0000_i1199">, получаем, что <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image241.wmz» o:><img width=«79» height=«47» src=«dopb75152.zip» v:shapes="_x0000_i1200"> или <shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image243.wmz» o:><img width=«97» height=«49» src=«dopb75153.zip» v:shapes="_x0000_i1201">. То есть <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image245.wmz» o:><img width=«160» height=«47» src=«dopb75154.zip» v:shapes="_x0000_i1202"> или <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image247.wmz» o:><img width=«152» height=«47» src=«dopb75155.zip» v:shapes="_x0000_i1203">. Проверим, являются ли найденные значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image247.wmz» o:><img width=«152» height=«47» src=«dopb75155.zip» v:shapes="_x0000_i1204"> не подходит, тогда корнями являются значения <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image249.wmz» o:><img width=«160» height=«47» src=«dopb75154.zip» v:shapes="_x0000_i1205">.
3. <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image250.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75156.zip» v:shapes="_x0000_i1206">
<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image252.wmz» o:><img width=«275» height=«31» src=«dopb75157.zip» v:shapes="_x0000_i1207">
<shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image254.wmz» o:><img width=«208» height=«52» src=«dopb75158.zip» v:shapes="_x0000_i1208">
Делая замену <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image256.wmz» o:><img width=«136» height=«25» src=«dopb75159.zip» v:shapes="_x0000_i1209">, получаем <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image258.wmz» o:><img width=«79» height=«47» src=«dopb75160.zip» v:shapes="_x0000_i1210"> или <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image260.wmz» o:><img width=«97» height=«49» src=«dopb75161.zip» v:shapes="_x0000_i1211">. Аналогично, как и при <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image233.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75148.zip» v:shapes="_x0000_i1212">, проверкой устанавливаем, что только <shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image262.wmz» o:><img width=«159» height=«47» src=«dopb75162.zip» v:shapes="_x0000_i1213"> и <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image264.wmz» o:><img width=«168» height=«47» src=«dopb75163.zip» v:shapes="_x0000_i1214"> не являются корнями. Тогда <shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image266.wmz» o:><img width=«147» height=«47» src=«dopb75164.zip» v:shapes="_x0000_i1215"> является корнем. Итак,
Ответ. При <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image268.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75156.zip» v:shapes="_x0000_i1216">, <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image269.wmz» o:><img width=«147» height=«47» src=«dopb75164.zip» v:shapes="_x0000_i1217">;
при <shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image270.wmz» o:><img width=«248» height=«65» src=«dopb75165.zip» v:shapes="_x0000_i1218">;
при <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image272.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75148.zip» v:shapes="_x0000_i1219">, <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image273.wmz» o:><img width=«164» height=«47» src=«dopb75166.zip» v:shapes="_x0000_i1220">.
4.1.2. Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр
Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:
· «При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно много, ни одного»;
· Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие (см. [ REF _Ref103319701 \w \h 5]).
Пример. В зависимости от значения параметра <shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image275.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1221"> найти число корней уравнения
<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image276.wmz» o:><img width=«221» height=«55» src=«dopb75167.zip» v:shapes="_x0000_i1222">
Решение. Наличие сложного корня наводит на мысль выделения квадрата двучлена под внешним корнем.
<shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image278.wmz» o:><img width=«256» height=«239» src=«dopb75168.zip» v:shapes="_x0000_i1223">
Итак, мы вплотную подошли к задаче рассмотрения различных случаев параметра <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1224">.
Если <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image280.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb75169.zip» v:shapes="_x0000_i1225">, то уравнение не имеет решения.
Если <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image282.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb75170.zip» v:shapes="_x0000_i1226">, то рассмотрим <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image284.wmz» o:><img width=«75» height=«45» src=«dopb75171.zip» v:shapes="_x0000_i1227">. Если <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image286.wmz» o:><img width=«116» height=«51» src=«dopb75172.zip» v:shapes="_x0000_i1228">, то <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image288.wmz» o:><img width=«132» height=«51» src=«dopb75173.zip» v:shapes="_x0000_i1229">. При условии <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image290.wmz» o:><img width=«228» height=«55» src=«dopb75174.zip» v:shapes="_x0000_i1230">, и очевидно это уравнение имеет только один корень.
Ответ. При <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image292.wmz» o:><img width=«40» height=«41» src=«dopb75175.zip» v:shapes="_x0000_i1231"> – одно решение,
при <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image294.wmz» o:><img width=«41» height=«41» src=«dopb75176.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> – решений нет.
Пример. При каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image015.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb75043.zip» v:shapes="_x0000_i1233"> уравнение
<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image296.wmz» o:><img width=«212» height=«52» src=«dopb75177.zip» v:shapes="_x0000_i1234">
имеет единственное решение?
Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему
<shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image298.wmz» o:><img width=«223» height=«57» src=«dopb75178.zip» v:shapes="_x0000_i1235">
Решением неравенства является объединение промежутков <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image300.wmz» o:><img width=«223» height=«57» src=«dopb75179.zip» v:shapes="_x0000_i1236">. Уравнение системы имеет один корень когда <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image302.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75076.zip» v:shapes="_x0000_i1237">. <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image303.wmz» o:><img width=«104» height=«27» src=«dopb75180.zip» v:shapes="_x0000_i1238">, то есть при <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole="" filled=«t»><imagedata src=«15310.files/image305.wmz» o:><img width=«45» height=«47» src=«dopb75181.zip» v:shapes="_x0000_i1239"> <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image307.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75182.zip» v:shapes="_x0000_i1240">.
Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам: <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image309.wmz» o:><img width=«156» height=«57» src=«dopb75183.zip» v:shapes="_x0000_i1241">.Тогда
Ответ. При <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image305.wmz» o:><img width=«45» height=«47» src=«dopb75184.zip» v:shapes="_x0000_i1242"> уравнение имеет единственное решение.
Пример. При каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> уравнение
<shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image312.wmz» o:><img width=«335» height=«29» src=«dopb75185.zip» v:shapes="_x0000_i1244">.
имеет единственное решение?
Решение. Запишем равносильное уравнение.
<shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image314.wmz» o:><img width=«316» height=«27» src=«dopb75186.zip» v:shapes="_x0000_i1245">.
Теперь перейдем к следствию <shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image316.wmz» o:><img width=«184» height=«23» src=«dopb75187.zip» v:shapes="_x0000_i1246">. Откуда <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image318.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb75188.zip» v:shapes="_x0000_i1247">, <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image320.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb75189.zip» v:shapes="_x0000_i1248">. Возникла ситуация, которая дает нам возможность воспользоваться механизмом отсеивания корней.
Область определения исходного уравнения найдем из условий
<shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image322.wmz» o:><img width=«125» height=«113» src=«dopb75190.zip» v:shapes="_x0000_i1249">
Очевидно, <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image324.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb75191.zip» v:shapes="_x0000_i1250"> и <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image326.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb75192.zip» v:shapes="_x0000_i1251"> удовлетворяют первым двум условиям. Тогда для единственности решения достаточно потребовать
<shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image328.wmz» o:><img width=«287» height=«108» src=«dopb75193.zip» v:shapes="_x0000_i1252">
Найдем решение первой системы, преобразуем ее.
<shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image330.wmz» o:><img width=«79» height=«137» src=«dopb75194.zip» v:shapes="_x0000_i1253">
Имеем, что решением первой системы является объединение интервалов <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image332.wmz» o:><img width=«231» height=«52» src=«dopb75195.zip» v:shapes="_x0000_i1254">.
Вторая система решения не имеет.
Ответ. <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image334.wmz» o:><img width=«259» height=«52» src=«dopb75196.zip» v:shapes="_x0000_i1255">.
4.1.3. Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения на множество значений переменной <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image336.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75197.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> (см. [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319765 \w \h 12], [ REF _Ref103319726 \w \h 13]).
Пример. При каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1257"> оба корня уравнения <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image338.wmz» o:><img width=«220» height=«27» src=«dopb75198.zip» v:shapes="_x0000_i1258"> больше 3?
Решение. Корнями данного уравнения будут
<shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image340.wmz» o:><img width=«245» height=«68» src=«dopb75199.zip» v:shapes="_x0000_i1259">
Для условия необходимо выполнение системы
<shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image342.wmz» o:><img width=«248» height=«63» src=«dopb75200.zip» v:shapes="_x0000_i1260">
Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том случае если выражение под корнем равно нулю.
Решим уравнение <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image344.wmz» o:><img width=«184» height=«27» src=«dopb75201.zip» v:shapes="_x0000_i1261">.
Ответ. Ни при каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1262"> оба корня данного уравнения не могут быть больше 3.
4.1.4. Параметр как равноправная переменная
Во всех разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем равноправная с другими. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один тип (а точнее метод решения) задач с параметрами (см. [ REF _Ref103319701 \w \h 5]).
Пример. Указать все значения параметра <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1263">, для которых уравнение <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image346.wmz» o:><img width=«175» height=«29» src=«dopb75202.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> имеет решение?
Решение. Обозначим <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image348.wmz» o:><img width=«135» height=«28» src=«dopb75203.zip» v:shapes="_x0000_i1265">. Исходное уравнение <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image350.wmz» o:><img width=«119» height=«29» src=«dopb75204.zip» v:shapes="_x0000_i1266">, с учетом <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image352.wmz» o:><img width=«39» height=«28» src=«dopb75205.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, равносильно системе
<shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image354.wmz» o:><img width=«133» height=«87» src=«dopb75206.zip» v:shapes="_x0000_i1268">
Рассмотрим квадратное уравнение, относительно параметра <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image356.wmz» o:><img width=«196» height=«27» src=«dopb75207.zip» v:shapes="_x0000_i1270">. Найдем дискриминант рассматриваемого уравнения <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image358.wmz» o:><img width=«443» height=«27» src=«dopb75208.zip» v:shapes="_x0000_i1271">.
<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image360.wmz» o:><img width=«371» height=«48» src=«dopb75209.zip» v:shapes="_x0000_i1272">, так как <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image362.wmz» o:><img width=«47» height=«23» src=«dopb75210.zip» v:shapes="_x0000_i1273"> и <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image364.wmz» o:><img width=«61» height=«20» src=«dopb75211.zip» v:shapes="_x0000_i1274">, то <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image366.wmz» o:><img width=«123» height=«23» src=«dopb75212.zip» v:shapes="_x0000_i1275">. Поэтому последняя система равносильна <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image368.wmz» o:><img width=«84» height=«57» src=«dopb75213.zip» v:shapes="_x0000_i1276">
Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image370.wmz» o:><img width=«72» height=«27» src=«dopb75214.zip» v:shapes="_x0000_i1277">. Вершина параболы – есть точка с координатами <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image372.wmz» o:><img width=«65» height=«52» src=«dopb75215.zip» v:shapes="_x0000_i1278">. Минимум функции есть значение ординаты вершины параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1279"> принимает значения в отрезке <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image374.wmz» o:><img width=«63» height=«52» src=«dopb75216.zip» v:shapes="_x0000_i1280"> на отрезке <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image376.wmz» o:><img width=«56» height=«24» src=«dopb75217.zip» v:shapes="_x0000_i1281">.
Ответ. <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image378.wmz» o:><img width=«89» height=«47» src=«dopb75218.zip» v:shapes="_x0000_i1282">
Замечание: другой способ решения будет рассмотрен позднее (см. пункт REF _Ref101707432 \r \h 4.2.4).
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image380.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb75219.zip» v:shapes="_x0000_i1283">.
Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами.
Решение. Это уравнение равносильно системе
<shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image382.wmz» o:><img width=«139» height=«57» src=«dopb75220.zip» v:shapes="_x0000_i1284">
Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5.
<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image384.wmz» o:><img width=«291» height=«113» src=«dopb75221.zip» v:shapes="_x0000_i1285">
Откуда, учитывая <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image386.wmz» o:><img width=«49» height=«23» src=«dopb75222.zip» v:shapes="_x0000_i1286">, получаем
Ответ. <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image388.wmz» o:><img width=«273» height=«49» src=«dopb75223.zip» v:shapes="_x0000_i1287">.
4.1.5. Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений
В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям.
Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий.
Необходимые условия задач этого пункта:
1) В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.
2) Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.
Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М1, координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.
Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1], [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319765 \w \h 12]).
Пример. При каких <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> уравнение <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image390.wmz» o:><img width=«409» height=«31» src=«dopb75224.zip» v:shapes="_x0000_i1289"> имеет одно решение.
Решение. При замене <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image336.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75197.zip» v:shapes="_x0000_i1290"> на <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image392.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb75225.zip» v:shapes="_x0000_i1291"> (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image394.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb75226.zip» v:shapes="_x0000_i1292"> – решение то и <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image396.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb75227.zip» v:shapes="_x0000_i1293"> – решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то <shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image398.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb75228.zip» v:shapes="_x0000_i1294">.
Тогда <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image400.wmz» o:><img width=«325» height=«31» src=«dopb75229.zip» v:shapes="_x0000_i1295">. Так как <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image402.wmz» o:><img width=«168» height=«28» src=«dopb75230.zip» v:shapes="_x0000_i1296">, то <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image404.wmz» o:><img width=«339» height=«29» src=«dopb75231.zip» v:shapes="_x0000_i1297">, что возможно только для случая равенства и при <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image406.wmz» o:><img width=«57» height=«23» src=«dopb75232.zip» v:shapes="_x0000_i1298">. Тогда получаем <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image408.wmz» o:><img width=«124» height=«23» src=«dopb75233.zip» v:shapes="_x0000_i1299">. Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image410.wmz» o:><img width=«45» height=«47» src=«dopb75234.zip» v:shapes="_x0000_i1300">.
продолжение
--PAGE_BREAK--Ответ. При <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image412.wmz» o:><img width=«45» height=«47» src=«dopb75234.zip» v:shapes="_x0000_i1301"> уравнение имеет одно решение.
4.1.6. «Каркас» квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент.
Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. Где <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image413.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb75235.zip» v:shapes="_x0000_i1302">– конструируют «каркас», на котором строится теория квадратичной функции (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1], [ REF _Ref103320090 \w \h 2], [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319628 \w \h 7], [ REF _Ref103319929 \w \h 8], [ REF _Ref103319952 \w \h 18], [ REF _Ref103320026 \w \h 21], [ REF _Ref103320139 \w \h 22])
Пример. При каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1313"> все пары чисел <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image430.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb75246.zip» v:shapes="_x0000_i1314">, удовлетворяющие неравенству <shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image432.wmz» o:><img width=«176» height=«29» src=«dopb75247.zip» v:shapes="_x0000_i1315">, одновременно удовлетворяют и <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image434.wmz» o:><img width=«77» height=«27» src=«dopb75248.zip» v:shapes="_x0000_i1316">?
Решение. Часто бывает удобно начать решение задачи с рассмотрения упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить задачу: при каком соотношении <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image436.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb75249.zip» v:shapes="_x0000_i1317"> и <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image438.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75250.zip» v:shapes="_x0000_i1318"> все решения неравенства <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image440.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb75251.zip» v:shapes="_x0000_i1319"> одновременно являются решениями неравенства <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image442.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb75252.zip» v:shapes="_x0000_i1320">. Ответом на этот вопрос очевиден: <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image444.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb75253.zip» v:shapes="_x0000_i1321">.
Тогда в этом примере нужно, чтобы <shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image446.wmz» o:><img width=«209» height=«28» src=«dopb75254.zip» v:shapes="_x0000_i1322"> при всех <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image336.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75197.zip» v:shapes="_x0000_i1323">.
<shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image448.wmz» o:><img width=«261» height=«27» src=«dopb75255.zip» v:shapes="_x0000_i1324">.
Найдем дискриминант, <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image450.wmz» o:><img width=«275» height=«29» src=«dopb75256.zip» v:shapes="_x0000_i1325"> <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image452.wmz» o:><img width=«185» height=«27» src=«dopb75257.zip» v:shapes="_x0000_i1326">. Дискриминант меньший либо равный нулю определит искомый параметр.
<shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image454.wmz» o:><img width=«353» height=«27» src=«dopb75258.zip» v:shapes="_x0000_i1327">, что равносильно системе
<img width=«215» height=«92» src=«dopb75259.zip» v:shapes="_x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087"><shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image459.wmz» o:><img width=«385» height=«73» src=«dopb75260.zip» v:shapes="_x0000_i1328">
<shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image461.wmz» o:><img width=«131» height=«52» src=«dopb75261.zip» v:shapes="_x0000_i1329">
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1089" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«324» height=«132» src=«dopb75262.zip» v:shapes="_x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102"><shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image466.wmz» o:><img width=«257» height=«132» src=«dopb75263.zip» v:shapes="_x0000_i1330">
Ответ. <shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image468.wmz» o:><img width=«45» height=«20» src=«dopb75264.zip» v:shapes="_x0000_i1331">
4.1.7. «Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы
Пример. При каких значениях <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> наибольшее значение трехчлена <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image470.wmz» o:><img width=«176» height=«27» src=«dopb75265.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> меньше 4.
Решение.
a. Так как графиком трехчлена является парабола, то необходимость наибольшего значения меньшего 4 обязывает параметр <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image472.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75241.zip» v:shapes="_x0000_i1334">.
b. Наибольшее значение будет в вершине параболы.
<shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image473.wmz» o:><img width=«171» height=«52» src=«dopb75266.zip» v:shapes="_x0000_i1335">. Ограничение <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image475.wmz» o:><img width=«124» height=«23» src=«dopb75267.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> тоже обязательно. Решением этого неравенства есть <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image477.wmz» o:><img width=«51» height=«24» src=«dopb75268.zip» v:shapes="_x0000_i1337">. Учитывая необходимость <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image479.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75241.zip» v:shapes="_x0000_i1338">, то <shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image480.wmz» o:><img width=«79» height=«24» src=«dopb75269.zip» v:shapes="_x0000_i1339">.
<shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image482.wmz» o:><img width=«443» height=«103» src=«dopb75270.zip» v:shapes="_x0000_i1340">
так как <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image479.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75241.zip» v:shapes="_x0000_i1341">, то решением будет объединение <shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image484.wmz» o:><img width=«272» height=«57» src=«dopb75271.zip» v:shapes="_x0000_i1342">. Тогда Ответ. <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image486.wmz» o:><img width=«151» height=«57» src=«dopb75272.zip» v:shapes="_x0000_i1343">.
4.1.8. Корни квадратичной функции. Теорема Виета
Рассмотрим квадратное уравнение <shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image488.wmz» o:><img width=«117» height=«27» src=«dopb75273.zip» v:shapes="_x0000_i1344">. Найдем корни этого уравнения <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image490.wmz» o:><img width=«152» height=«52» src=«dopb75274.zip» v:shapes="_x0000_i1345">. По теореме Виета выполняется следующая система уравнений <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image492.wmz» o:><img width=«105» height=«57» src=«dopb75275.zip» v:shapes="_x0000_i1346">, где <shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image494.wmz» o:><img width=«157» height=«52» src=«dopb75276.zip» v:shapes="_x0000_i1347"> и <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image496.wmz» o:><img width=«159» height=«52» src=«dopb75277.zip» v:shapes="_x0000_i1348">. Рассмотрим задачу, решение которой при использовании теоремы Виета намного упрощается.
Пример. При каком значении параметра <shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1349"> сумма квадратов корней уравнения <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image498.wmz» o:><img width=«204» height=«27» src=«dopb75278.zip» v:shapes="_x0000_i1350"> принимает наименьшее значение?
Решение. Найдем дискриминант, <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image500.wmz» o:><img width=«83» height=«23» src=«dopb75279.zip» v:shapes="_x0000_i1351">. Уравнение имеет два корня при любом <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image502.wmz» o:><img width=«153» height=«24» src=«dopb75280.zip» v:shapes="_x0000_i1352">. Используя теорему Виета, найдем <shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image504.wmz» o:><img width=«304» height=«28» src=«dopb75281.zip» v:shapes="_x0000_i1353">. Таким образом, найдем наименьшее значение функции <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image506.wmz» o:><img width=«141» height=«27» src=«dopb75282.zip» v:shapes="_x0000_i1354"> на множестве <shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image508.wmz» o:><img width=«127» height=«24» src=«dopb75283.zip» v:shapes="_x0000_i1355">. Поскольку при <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image510.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75284.zip» v:shapes="_x0000_i1356"> <shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image512.wmz» o:><img width=«119» height=«25» src=«dopb75285.zip» v:shapes="_x0000_i1357">, а при <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image514.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75286.zip» v:shapes="_x0000_i1358"> <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image516.wmz» o:><img width=«125» height=«25» src=«dopb75287.zip» v:shapes="_x0000_i1359">, то наименьшее значение при <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image518.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75288.zip» v:shapes="_x0000_i1360">.
Ответ. <shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image520.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75288.zip» v:shapes="_x0000_i1361">.
4.1.9. Аппарат математического анализа(касательная к прямой)
Учащиеся, как правило, затрудняются с определением касательной к кривой (типичен ошибочный ответ: «Касательная – это прямая, имеющая с кривой одну общую точку»), не видят связь между касательной к графику и ее производной, не понимают смысла переменных в уравнении касательной, не могут применить соответствующие факты к решению задач, особенно геометрического характера. Пояснить учащимся суть вещей могут помочь, например, следующие задачи (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1], [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319862 \w \h 19], [ REF _Ref103320026 \w \h 21]).
Пример. При каком значении параметра k касательная к графику функции <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image521.wmz» o:><img width=«92» height=«28» src=«dopb75289.zip» v:shapes="_x0000_i1362"> образует с осью ОХ угол, равный <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image523.wmz» o:><img width=«20» height=«48» src=«dopb75290.zip» v:shapes="_x0000_i1363">, и отсекает от второй четверти треугольник, площадь которого равна <shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image525.wmz» o:><img width=«39» height=«51» src=«dopb75291.zip» v:shapes="_x0000_i1364">?
Решение. Пусть <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image527.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb75292.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> – координаты точки касания. Уравнение касательной к графику функции <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image529.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb75293.zip» v:shapes="_x0000_i1366"> в точке <shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image531.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb75292.zip» v:shapes="_x0000_i1367"> имеет вид
<shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image532.wmz» o:><img width=«199» height=«25» src=«dopb75294.zip» v:shapes="_x0000_i1368">.
По условию имеем <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image534.wmz» o:><img width=«99» height=«49» src=«dopb75295.zip» v:shapes="_x0000_i1369">, <shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image536.wmz» o:><img width=«143» height=«48» src=«dopb75296.zip» v:shapes="_x0000_i1370">. Тогда <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image538.wmz» o:><img width=«88» height=«53» src=«dopb75297.zip» v:shapes="_x0000_i1371">. Уравнение касательной становится таким: <shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image540.wmz» o:><img width=«281» height=«28» src=«dopb75298.zip» v:shapes="_x0000_i1372">. Найдем координаты точки пересечения касательной с осями.
При <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image542.wmz» o:><img width=«132» height=«28» src=«dopb75299.zip» v:shapes="_x0000_i1373">.
При <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image544.wmz» o:><img width=«121» height=«25» src=«dopb75300.zip» v:shapes="_x0000_i1374">.
Тогда, с учетом второй четверти и <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image546.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75301.zip» v:shapes="_x0000_i1375">:
<shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image548.wmz» o:><img width=«287» height=«161» src=«dopb75302.zip» v:shapes="_x0000_i1376">
Ответ. <shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image550.wmz» o:><img width=«68» height=«25» src=«dopb75303.zip» v:shapes="_x0000_i1377">
Пример. Найти все значения параметра <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1378">, при которых на графике функции <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image552.wmz» o:><img width=«189» height=«29» src=«dopb75304.zip» v:shapes="_x0000_i1379"> существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой <shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image554.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb75305.zip» v:shapes="_x0000_i1380">.
Решение. Ясно, что угловой коэффициент касательной, о которой говорится в условии, равен 2. Тогда, если <shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image336.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75197.zip» v:shapes="_x0000_i1381"> – абсцисса точки касания, то <shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image556.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb75306.zip» v:shapes="_x0000_i1382">, то есть <shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image558.wmz» o:><img width=«211» height=«51» src=«dopb75307.zip» v:shapes="_x0000_i1383">.
Остается потребовать, чтобы это уравнение имело единственный корень. <shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image560.wmz» o:><img width=«176» height=«52» src=«dopb75308.zip» v:shapes="_x0000_i1384">. При <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image562.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75309.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> уравнение не имеет смысла, при <shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image564.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75310.zip» v:shapes="_x0000_i1386"> уравнение равносильно:
<shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image566.wmz» o:><img width=«248» height=«121» src=«dopb75311.zip» v:shapes="_x0000_i1387">
Введем замену <shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image568.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb75312.zip» v:shapes="_x0000_i1388">. Тогда <shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image570.wmz» o:><img width=«164» height=«27» src=«dopb75313.zip» v:shapes="_x0000_i1389">. Для единственности корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, <shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image572.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb75076.zip» v:shapes="_x0000_i1390">.
<shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image573.wmz» o:><img width=«164» height=«104» src=«dopb75314.zip» v:shapes="_x0000_i1391">
При таких значениях параметра <shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1392"> корнем уравнения является <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image575.wmz» o:><img width=«89» height=«49» src=«dopb75315.zip» v:shapes="_x0000_i1393">, который, как очевидно, принимает отрицательные значения.
Ответ. <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image577.wmz» o:><img width=«93» height=«25» src=«dopb75316.zip» v:shapes="_x0000_i1394">.
Пример. Найти критические точки функции <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image579.wmz» o:><img width=«167» height=«28» src=«dopb75317.zip» v:shapes="_x0000_i1395">.
Решение. Напомним определение критической точки. Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической.
Имеем <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image581.wmz» o:><img width=«335» height=«55» src=«dopb75318.zip» v:shapes="_x0000_i1396">. Поскольку найденная производная существует во всех внутренних точках области определения функции <shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image529.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb75293.zip» v:shapes="_x0000_i1397">, то критические точки следует искать среди корней уравнения <shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image583.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb75319.zip» v:shapes="_x0000_i1398">, откуда <shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image585.wmz» o:><img width=«92» height=«48» src=«dopb75320.zip» v:shapes="_x0000_i1399">. Осталось потребовать, чтобы <shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image587.wmz» o:><img width=«196» height=«48» src=«dopb75321.zip» v:shapes="_x0000_i1400">.
Ответ. Если <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image589.wmz» o:><img width=«44» height=«47» src=«dopb75322.zip» v:shapes="_x0000_i1401">, то <shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image585.wmz» o:><img width=«92» height=«48» src=«dopb75320.zip» v:shapes="_x0000_i1402"> - критическая точка;
если <shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image591.wmz» o:><img width=«44» height=«47» src=«dopb75323.zip» v:shapes="_x0000_i1403"> - критических точек нет.
4.2. Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход
Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности, экстремумах и так далее.
Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий первообразной и интеграла. Задачи, которые приведены ниже, призваны пояснить школьнику смысл всех этих понятий и показать возможности их применения (см. [ REF _Ref103319818 \w \h 14]).
Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое свойство функции является основным в решении.
4.2.1. Область значения функции
Иногда задачи не содержат прямой подсказки использовать область значения функции. Такая необходимость возникает в ходе решения. [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319818 \w \h 14]
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image593.wmz» o:><img width=«160» height=«29» src=«dopb75324.zip» v:shapes="_x0000_i1404">.
Решение. Так как <shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image595.wmz» o:><img width=«43» height=«28» src=«dopb75325.zip» v:shapes="_x0000_i1405">, то пусть <shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image597.wmz» o:><img width=«163» height=«25» src=«dopb75326.zip» v:shapes="_x0000_i1406">. Получаем <shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image599.wmz» o:><img width=«311» height=«25» src=«dopb75327.zip» v:shapes="_x0000_i1407">. Очевидно, при <shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image601.wmz» o:><img width=«49» height=«47» src=«dopb75328.zip» v:shapes="_x0000_i1408"> решение имеется. Найдем корни <shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image603.wmz» o:><img width=«197» height=«47» src=«dopb75329.zip» v:shapes="_x0000_i1409">, так как <shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image605.wmz» o:><img width=«72» height=«24» src=«dopb75330.zip» v:shapes="_x0000_i1410">, то рассмотрим три случая:
1. <shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image607.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb75331.zip» v:shapes="_x0000_i1411">, тогда <shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image609.wmz» o:><img width=«169» height=«47» src=«dopb75332.zip» v:shapes="_x0000_i1412">
2. <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image611.wmz» o:><img width=«87» height=«47» src=«dopb75333.zip» v:shapes="_x0000_i1413">, <shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image613.wmz» o:><img width=«305» height=«47» src=«dopb75334.zip» v:shapes="_x0000_i1414">
3. <shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image615.wmz» o:><img width=«72» height=«47» src=«dopb75335.zip» v:shapes="_x0000_i1415">, <shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image617.wmz» o:><img width=«305» height=«47» src=«dopb75336.zip» v:shapes="_x0000_i1416">
Ответ. Если <shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image611.wmz» o:><img width=«87» height=«47» src=«dopb75333.zip» v:shapes="_x0000_i1417">, то <shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image619.wmz» o:><img width=«344» height=«52» src=«dopb75337.zip» v:shapes="_x0000_i1418">;
если <shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image607.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb75331.zip» v:shapes="_x0000_i1419">, то <shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image621.wmz» o:><img width=«195» height=«47» src=«dopb75338.zip» v:shapes="_x0000_i1420">;
если <shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image615.wmz» o:><img width=«72» height=«47» src=«dopb75335.zip» v:shapes="_x0000_i1421">, то <shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image623.wmz» o:><img width=«344» height=«52» src=«dopb75339.zip» v:shapes="_x0000_i1422">.
Пример.Решить уравнение <shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image625.wmz» o:><img width=«156» height=«29» src=«dopb75340.zip» v:shapes="_x0000_i1423">.
Решение. Рассмотрим область допустимых значений <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image627.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb75341.zip» v:shapes="_x0000_i1424">. Отсюда <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image629.wmz» o:><img width=«85» height=«20» src=«dopb75342.zip» v:shapes="_x0000_i1425">, <shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image631.wmz» o:><img width=«71» height=«24» src=«dopb75343.zip» v:shapes="_x0000_i1426">. Тогда получаем равносильное уравнение
<shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image633.wmz» o:><img width=«272» height=«29» src=«dopb75344.zip» v:shapes="_x0000_i1427">.
Откуда <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image635.wmz» o:><img width=«241» height=«51» src=«dopb75345.zip» v:shapes="_x0000_i1428">. Учтем два случая, так как <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image627.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb75341.zip» v:shapes="_x0000_i1429">, то <shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image637.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb75346.zip» v:shapes="_x0000_i1430">.
1. <shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image639.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75347.zip» v:shapes="_x0000_i1431">. Тогда <shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image641.wmz» o:><img width=«224» height=«28» src=«dopb75348.zip» v:shapes="_x0000_i1432">.
2. <shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image643.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75349.zip» v:shapes="_x0000_i1433">. При <shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image645.wmz» o:><img width=«77» height=«20» src=«dopb75350.zip» v:shapes="_x0000_i1434"> <shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image647.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb75351.zip» v:shapes="_x0000_i1435">, а <shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image639.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75347.zip» v:shapes="_x0000_i1436">. Этот случай мы рассмотрели. Тогда рассмотрим случай <shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image649.wmz» o:><img width=«101» height=«51» src=«dopb75352.zip» v:shapes="_x0000_i1437">. Откуда <shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image651.wmz» o:><img width=«84» height=«51» src=«dopb75353.zip» v:shapes="_x0000_i1438">. Итак,
Ответ. Если <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image653.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb75354.zip» v:shapes="_x0000_i1439"> решений нет;
если <shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image639.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75347.zip» v:shapes="_x0000_i1440">, <shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image655.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75309.zip» v:shapes="_x0000_i1441">;
если <shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image643.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb75349.zip» v:shapes="_x0000_i1442">, <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image651.wmz» o:><img width=«84» height=«51» src=«dopb75353.zip» v:shapes="_x0000_i1443">.
4.2.2. Наибольшее и наименьшее значения
При решении задач весьма полезным оказывается следующее обстоятельство. Если в уравнении <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image656.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb75355.zip» v:shapes="_x0000_i1444">, где <shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image658.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb75356.zip» v:shapes="_x0000_i1445">, <shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image660.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb75357.zip» v:shapes="_x0000_i1446">, а <shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image662.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb75358.zip» v:shapes="_x0000_i1447"> для всех <shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image664.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb75356.zip» v:shapes="_x0000_i1448">, то можно перейти к равносильной системе уравнений (см. [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319818 \w \h 14], [ REF _Ref103319862 \w \h 19]) <shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image665.wmz» o:><img width=«83» height=«55» src=«dopb75359.zip» v:shapes="_x0000_i1449">
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image667.wmz» o:><img width=«347» height=«45» src=«dopb75360.zip» v:shapes="_x0000_i1450">.
Решение. Произведем преобразование правой части. <shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image669.wmz» o:><img width=«413» height=«45» src=«dopb75361.zip» v:shapes="_x0000_i1451">. Тогда наше уравнение будет иметь вид <shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image671.wmz» o:><img width=«361» height=«44» src=«dopb75362.zip» v:shapes="_x0000_i1452">.
Оценим левую и правую части уравнения <shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image673.wmz» o:><img width=«411» height=«44» src=«dopb75363.zip» v:shapes="_x0000_i1453">. Тогда заключаем, что обе части уравнения должны быть равны единице и это нас приводит к системе <shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image675.wmz» o:><img width=«177» height=«57» src=«dopb75364.zip» v:shapes="_x0000_i1454">
Запишем равносильную систему <shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image677.wmz» o:><img width=«164» height=«55» src=«dopb75365.zip» v:shapes="_x0000_i1455">
Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение.
<shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image679.wmz» o:><img width=«425» height=«55» src=«dopb75366.zip» v:shapes="_x0000_i1456">
Решением последней системы будут <shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image681.wmz» o:><img width=«113» height=«97» src=«dopb75367.zip» v:shapes="_x0000_i1457"> и <shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image683.wmz» o:><img width=«108» height=«97» src=«dopb75368.zip» v:shapes="_x0000_i1458">.
Тогда Ответ. Если <shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image685.wmz» o:><img width=«81» height=«49» src=«dopb75369.zip» v:shapes="_x0000_i1459">, то <shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image687.wmz» o:><img width=«104» height=«49» src=«dopb75370.zip» v:shapes="_x0000_i1460">
Если <shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image689.wmz» o:><img width=«81» height=«49» src=«dopb75371.zip» v:shapes="_x0000_i1461">, то <shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image691.wmz» o:><img width=«99» height=«49» src=«dopb75372.zip» v:shapes="_x0000_i1462">.
Пример. Найти все действительные значения <shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1463">, при которых область определения функции
<shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image693.wmz» o:><img width=«371» height=«33» src=«dopb75373.zip» v:shapes="_x0000_i1464">
совпадает с множеством всех действительных чисел.
Решение. Область определения будет все действительные числа, если функция будет определена, то есть задача состоит в нахождении значений параметра <shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image695.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1465">.
Для этого необходимо решить систему
<shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image696.wmz» o:><img width=«192» height=«132» src=«dopb75374.zip» v:shapes="_x0000_i1466">
Учитывая условие <shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image698.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75375.zip» v:shapes="_x0000_i1467">, решением последнего неравенства будет являться интервал <shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image700.wmz» o:><img width=«88» height=«27» src=«dopb75376.zip» v:shapes="_x0000_i1468">.
Ответ. При <shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image702.wmz» o:><img width=«28» height=«16» src=«dopb75377.zip» v:shapes="_x0000_i1469"><shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image704.wmz» o:><img width=«88» height=«27» src=«dopb75376.zip» v:shapes="_x0000_i1470"> условие выполняется.
4.2.3. Монотонность
Прежде всего заметим, что в случае возрастания (убывания) функции <shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image705.wmz» o:><img width=«41» height=«24» src=«dopb75378.zip» v:shapes="_x0000_i1471"> имеет место равносильность уравнений <shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image707.wmz» o:><img width=«96» height=«24» src=«dopb75379.zip» v:shapes="_x0000_i1472"> и <shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image709.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb75228.zip» v:shapes="_x0000_i1473"> (см. [ REF _Ref103319701 \r \h 5], [ REF _Ref103319818 \r \h 14]).
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image710.wmz» o:><img width=«140» height=«25» src=«dopb75380.zip» v:shapes="_x0000_i1474">
Решение. Так как функция монотонна и возрастает, а значение справа фиксировано, то данное уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что <shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image712.wmz» o:><img width=«43» height=«16» src=«dopb75381.zip» v:shapes="_x0000_i1475"> - корень.
Ответ. <shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image714.wmz» o:><img width=«43» height=«16» src=«dopb75381.zip» v:shapes="_x0000_i1476">.
Пример. Для <shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image715.wmz» o:><img width=«72» height=«47» src=«dopb75382.zip» v:shapes="_x0000_i1477"> решить уравнение
<shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image717.wmz» o:><img width=«261» height=«52» src=«dopb75383.zip» v:shapes="_x0000_i1478">
Решение. Перепишем данное уравнение в виде <shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image719.wmz» o:><img width=«292» height=«52» src=«dopb75384.zip» v:shapes="_x0000_i1479">.
Пусть <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image721.wmz» o:><img width=«361» height=«52» src=«dopb75385.zip» v:shapes="_x0000_i1480">.
Тогда исходное уравнение становится таким
<shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image723.wmz» o:><img width=«192» height=«55» src=«dopb75386.zip» v:shapes="_x0000_i1481">
Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image725.wmz» o:><img width=«108» height=«27» src=«dopb75387.zip» v:shapes="_x0000_i1482">. Функция возрастает на промежутке <shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image727.wmz» o:><img width=«77» height=«52» src=«dopb75388.zip» v:shapes="_x0000_i1483">, так как <shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image729.wmz» o:><img width=«209» height=«48» src=«dopb75389.zip» v:shapes="_x0000_i1484">, то <shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image731.wmz» o:><img width=«71» height=«20» src=«dopb75390.zip» v:shapes="_x0000_i1485">. Следовательно, принадлежат промежутку монотонности функции <shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image733.wmz» o:><img width=«41» height=«24» src=«dopb75391.zip» v:shapes="_x0000_i1486">. Отсюда имеем <shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image735.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb75392.zip» v:shapes="_x0000_i1487">. Тогда <shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image737.wmz» o:><img width=«67» height=«17» src=«dopb75393.zip» v:shapes="_x0000_i1488">, то есть <shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image739.wmz» o:><img width=«396» height=«52» src=«dopb75394.zip» v:shapes="_x0000_i1489">. Сопоставим с исходным и получим <shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image741.wmz» o:><img width=«135» height=«48» src=«dopb75395.zip» v:shapes="_x0000_i1490">.
Для <shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image743.wmz» o:><img width=«72» height=«47» src=«dopb75382.zip» v:shapes="_x0000_i1491"> полученное квадратное уравнение имеет положительный дискриминант <shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image744.wmz» o:><img width=«207» height=«72» src=«dopb75396.zip» v:shapes="_x0000_i1492">.
Ответ. <shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image746.wmz» o:><img width=«241» height=«47» src=«dopb75397.zip» v:shapes="_x0000_i1493">.<shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image748.wmz» o:><img width=«169» height=«52» src=«dopb75398.zip» v:shapes="_x0000_i1494">
Замечание: другой способ решения будет рассмотрен ниже (в пункте REF _Ref101709628 \r \h 4.2.4).
Пример. Определить число корней уравнения <shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image750.wmz» o:><img width=«175» height=«25» src=«dopb75399.zip» v:shapes="_x0000_i1495">.
Решение. Имеем <shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image752.wmz» o:><img width=«175» height=«25» src=«dopb75400.zip» v:shapes="_x0000_i1496">.
Функция <shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image754.wmz» o:><img width=«201» height=«28» src=«dopb75401.zip» v:shapes="_x0000_i1497"> возрастает на <shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image756.wmz» o:><img width=«121» height=«52» src=«dopb75402.zip» v:shapes="_x0000_i1498">. Тогда <shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image758.wmz» o:><img width=«288» height=«52» src=«dopb75403.zip» v:shapes="_x0000_i1499">. Исходное уравнение имеет не более одного корня. При <shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image760.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75404.zip» v:shapes="_x0000_i1500"> он единственен.
Ответ. Если <shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image762.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75404.zip» v:shapes="_x0000_i1501">, то уравнение имеет единственный корень;
если <shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image763.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75405.zip» v:shapes="_x0000_i1502">, корней нет.
4.2.4. Четность. Периодичность. Обратимость
Пример. Указать все значения параметра <shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1503">, для которых уравнение <shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image765.wmz» o:><img width=«175» height=«29» src=«dopb75202.zip» v:shapes="_x0000_i1504"> имеет решения (см. [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319818 \w \h 14]).
Решение. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим сразу систему
<shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image766.wmz» o:><img width=«127» height=«57» src=«dopb75406.zip» v:shapes="_x0000_i1505">
Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image768.wmz» o:><img width=«76» height=«27» src=«dopb75407.zip» v:shapes="_x0000_i1506"> при <shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image770.wmz» o:><img width=«63» height=«20» src=«dopb75408.zip» v:shapes="_x0000_i1507">. Отметим, что эта функция обратима и обратной к ней является <shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image772.wmz» o:><img width=«81» height=«28» src=«dopb75409.zip» v:shapes="_x0000_i1508">. Так как функция возрастающая, то общие точки лежат на прямой <shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image774.wmz» o:><img width=«40» height=«21» src=«dopb75410.zip» v:shapes="_x0000_i1509">. Получаем <shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image776.wmz» o:><img width=«80» height=«57» src=«dopb75411.zip» v:shapes="_x0000_i1510">. Решение которой нам известно.
Ответ. <shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image778.wmz» o:><img width=«85» height=«47» src=«dopb75412.zip» v:shapes="_x0000_i1511">.
Пример. Решить уравнение <shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image780.wmz» o:><img width=«120» height=«25» src=«dopb75413.zip» v:shapes="_x0000_i1512">.
Решение. Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image782.wmz» o:><img width=«105» height=«27» src=«dopb75414.zip» v:shapes="_x0000_i1513"> и <shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image784.wmz» o:><img width=«109» height=«28» src=«dopb75415.zip» v:shapes="_x0000_i1514"> они взаимно обратные и возрастающие. Тогда <shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image786.wmz» o:><img width=«79» height=«23» src=«dopb75416.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> равносильно исходному.
Ответ. <shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image788.wmz» o:><img width=«76» height=«23» src=«dopb75417.zip» v:shapes="_x0000_i1516">.
Пример. Для <shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image790.wmz» o:><img width=«72» height=«47» src=«dopb75382.zip» v:shapes="_x0000_i1517"> решить уравнение <shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image791.wmz» o:><img width=«261» height=«52» src=«dopb75383.zip» v:shapes="_x0000_i1518">.
Решение. Очевидно <shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image792.wmz» o:><img width=«85» height=«48» src=«dopb75418.zip» v:shapes="_x0000_i1519">, то <shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image794.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75419.zip» v:shapes="_x0000_i1520">. Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image796.wmz» o:><img width=«136» height=«48» src=«dopb75420.zip» v:shapes="_x0000_i1521">. Она возрастает на <shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image798.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb75421.zip» v:shapes="_x0000_i1522">. Следовательно, при <shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image800.wmz» o:><img width=«85» height=«48» src=«dopb75418.zip» v:shapes="_x0000_i1523"> эта функция обратима, причем функция <shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image801.wmz» o:><img width=«171» height=«52» src=«dopb75422.zip» v:shapes="_x0000_i1524"> является для нее обратной. Отсюда <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image748.wmz» o:><img width=«169» height=«52» src=«dopb75398.zip» v:shapes="_x0000_i1525">. Заметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения. Решение же уравнения приведено было выше.
Ответ. <shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image746.wmz» o:><img width=«241» height=«47» src=«dopb75397.zip» v:shapes="_x0000_i1526">.
4.3. Графический метод. Координатная плоскость (x;y)
Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.
Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной <shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image336.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75197.zip» v:shapes="_x0000_i1527"> от параметра <shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1528">.
На плоскости <shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image803.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb75423.zip» v:shapes="_x0000_i1529"> функция <shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image805.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb75424.zip» v:shapes="_x0000_i1530"> задает семейство кривых зависящих от параметра <shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1531">. Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см.[ REF _Ref103319362 \w \h 1], [ REF _Ref103319917 \w \h 4], [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319929 \w \h 8], [ REF _Ref103319934 \w \h 9], [ REF _Ref103319939 \w \h 11], [ REF _Ref103319947 \w \h 16]).
4.3.1. Параллельный перенос
Пример. Для каждого значения параметра <shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1532"> определить число решений уравнения <shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image807.wmz» o:><img width=«107» height=«32» src=«dopb75425.zip» v:shapes="_x0000_i1533">.
Решение. Построим график функции <shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image809.wmz» o:><img width=«108» height=«32» src=«dopb75426.zip» v:shapes="_x0000_i1534">.
продолжение
--PAGE_BREAK-- SHAPE \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1104" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«544» height=«326» src=«dopb75427.zip» v:shapes="_x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
Рассмотрим <shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image816.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb75428.zip» v:shapes="_x0000_i1536">. Это прямая параллельна оси ОХ.
Ответ. Если <shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image818.wmz» o:><img width=«157» height=«25» src=«dopb75429.zip» v:shapes="_x0000_i1537">, то решений нет;
если <shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image820.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb75288.zip» v:shapes="_x0000_i1538">, то 3 решения;
если <shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image821.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb75430.zip» v:shapes="_x0000_i1539">, то 2 решения;
если <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image823.wmz» o:><img width=«65» height=«20» src=«dopb75431.zip» v:shapes="_x0000_i1540">, 4 решения.
4.3.2. Поворот
Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах <shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image825.wmz» o:><img width=«85» height=«24» src=«dopb75432.zip» v:shapes="_x0000_i1541"> - прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.
Пример. При каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1542"> уравнение <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image827.wmz» o:><img width=«168» height=«27» src=«dopb75433.zip» v:shapes="_x0000_i1543"> имеет единственное решение?
Решение. Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image829.wmz» o:><img width=«52» height=«20» src=«dopb75434.zip» v:shapes="_x0000_i1544"> и <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image831.wmz» o:><img width=«160» height=«29» src=«dopb75435.zip» v:shapes="_x0000_i1545">. График второй функции – это полуокружность с центром в точке с координатами <shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image833.wmz» o:><img width=«36» height=«24» src=«dopb75436.zip» v:shapes="_x0000_i1546"> и радиусом =1 (рис. 2).
<shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image835.wmz» o:><img width=«237» height=«33» src=«dopb75437.zip» v:shapes="_x0000_i1547">, дуга АВ.
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1128" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«353» height=«314» src=«dopb75438.zip» v:shapes="_x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154 _x0000_s1155">Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно <shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image839.wmz» o:><img width=«16» height=«48» src=«dopb75439.zip» v:shapes="_x0000_i1548"> <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image841.wmz» o:><img width=«16» height=«48» src=«dopb75440.zip» v:shapes="_x0000_i1549">. Угловой коэффициент касательной равен <shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image843.wmz» o:><img width=«24» height=«48» src=«dopb75441.zip» v:shapes="_x0000_i1550">. Легко находится из системы
<shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image845.wmz» o:><img width=«175» height=«87» src=«dopb75442.zip» v:shapes="_x0000_i1551">
Итак, прямые семейства <shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image829.wmz» o:><img width=«52» height=«20» src=«dopb75434.zip» v:shapes="_x0000_i1552"> имеют с дугой только одну общую точку при <shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image847.wmz» o:><img width=«137» height=«52» src=«dopb75443.zip» v:shapes="_x0000_i1553">.
Ответ. <shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image849.wmz» o:><img width=«137» height=«52» src=«dopb75443.zip» v:shapes="_x0000_i1554">.
Пример. При каких <shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image015.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb75043.zip» v:shapes="_x0000_i1555"> уравнение <shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image850.wmz» o:><img width=«160» height=«25» src=«dopb75444.zip» v:shapes="_x0000_i1556"> имеет решение?
Решение. Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image852.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb75445.zip» v:shapes="_x0000_i1557">. Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке <shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image854.wmz» o:><img width=«61» height=«24» src=«dopb75446.zip» v:shapes="_x0000_i1558"> и убывает на <shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image856.wmz» o:><img width=«48» height=«24» src=«dopb75447.zip» v:shapes="_x0000_i1559">. Точка <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image858.wmz» o:><img width=«52» height=«23» src=«dopb75448.zip» v:shapes="_x0000_i1560"> - является точкой максимума.
Функция же <shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image860.wmz» o:><img width=«51» height=«24» src=«dopb75042.zip» v:shapes="_x0000_i1561"> - это семейство прямых, проходящих через точку <shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image861.wmz» o:><img width=«39» height=«24» src=«dopb75449.zip» v:shapes="_x0000_i1562">. Обратимся к рисунку 2. Графиком функции <shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image852.wmz» o:><img width=«153» height=«28» src=«dopb75445.zip» v:shapes="_x0000_i1563"> является дуга АВ. Прямые <shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image860.wmz» o:><img width=«51» height=«24» src=«dopb75042.zip» v:shapes="_x0000_i1564">, которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число <shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image863.wmz» o:><img width=«25» height=«19» src=«dopb75450.zip» v:shapes="_x0000_i1565">, а ОВ — <shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image865.wmz» o:><img width=«17» height=«47» src=«dopb75451.zip» v:shapes="_x0000_i1566">.
Ответ. При <shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image867.wmz» o:><img width=«173» height=«47» src=«dopb75452.zip» v:shapes="_x0000_i1567"> уравнение имеет 1 решение;
при остальных значениях параметра <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image015.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb75043.zip» v:shapes="_x0000_i1568">решений нет.
4.3.3. Гомотетия. Сжатие к прямой
Пример. Найти все значения параметра <shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1569">, при каждом из которых уравнение <shape id="_x0000_i1570" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image869.wmz» o:><img width=«135» height=«29» src=«dopb75453.zip» v:shapes="_x0000_i1570"> имеет ровно 8 решений.
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1158" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«326» height=«268» src=«dopb75454.zip» v:shapes="_x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164 _x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176 _x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1179 _x0000_s1180 _x0000_s1181 _x0000_s1182 _x0000_s1183 _x0000_s1184 _x0000_s1185">Решение. Имеем <shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image876.wmz» o:><img width=«181» height=«29» src=«dopb75455.zip» v:shapes="_x0000_i1571">. Рассмотрим функцию <shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image878.wmz» o:><img width=«224» height=«29» src=«dopb75456.zip» v:shapes="_x0000_i1572">. Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами <shape id="_x0000_i1573" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image880.wmz» o:><img width=«39» height=«24» src=«dopb75449.zip» v:shapes="_x0000_i1573">, второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.
Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше <shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image881.wmz» o:><img width=«27» height=«20» src=«dopb75457.zip» v:shapes="_x0000_i1574"> и меньше <shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image883.wmz» o:><img width=«25» height=«20» src=«dopb75458.zip» v:shapes="_x0000_i1575">, то есть <shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image885.wmz» o:><img width=«91» height=«20» src=«dopb75459.zip» v:shapes="_x0000_i1576">. Заметим, что <shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image887.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb75460.zip» v:shapes="_x0000_i1577"> есть <shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image889.wmz» o:><img width=«20» height=«28» src=«dopb75461.zip» v:shapes="_x0000_i1578">.
Ответ. <shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image891.wmz» o:><img width=«117» height=«20» src=«dopb75462.zip» v:shapes="_x0000_i1579"> или <shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image893.wmz» o:><img width=«92» height=«20» src=«dopb75463.zip» v:shapes="_x0000_i1580">.
4.4. Графический метод. Координатная плоскость (x;a)
Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.
Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем
1. Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image895.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb75464.zip» v:shapes="_x0000_i1581">.
2. В координатной плоскости xOa строим график функции <shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image895.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb75464.zip» v:shapes="_x0000_i1582">.
3. Рассмотрим прямые <shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image897.wmz» o:><img width=«73» height=«17» src=«dopb75465.zip» v:shapes="_x0000_i1583"> и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции <shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image895.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb75464.zip» v:shapes="_x0000_i1584">, б) пересекает график функции <shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image895.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb75464.zip» v:shapes="_x0000_i1585"> в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.
4. Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость <shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image899.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb75466.zip» v:shapes="_x0000_i1586">. Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д. (см. [ REF _Ref103319362 \w \h 1], [ REF _Ref103319701 \w \h 5], [ REF _Ref103319993 \w \h 23]).
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1187" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«301» height=«230» src=«dopb75467.zip» v:shapes="_x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190 _x0000_s1191 _x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1198 _x0000_s1199 _x0000_s1200 _x0000_s1201">Пример. При каких значениях параметра <shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1587"> уравнение <shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image903.wmz» o:><img width=«85» height=«25» src=«dopb75468.zip» v:shapes="_x0000_i1588"> имеет два корня?
Решение. Переходим к равносильной системе
<shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image905.wmz» o:><img width=«91» height=«55» src=«dopb75469.zip» v:shapes="_x0000_i1589">
<shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image907.wmz» o:><img width=«69» height=«100» src=«dopb75470.zip» v:shapes="_x0000_i1590">
Из графика видно, что при <shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image909.wmz» o:><img width=«85» height=«47» src=«dopb75471.zip» v:shapes="_x0000_i1591"> уравнение имеет 2 корня.
<shape id="_x0000_s1205" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«301» height=«324» src=«dopb75472.zip» v:shapes="_x0000_s1203 _x0000_s1204 _x0000_s1205 _x0000_s1206 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1209 _x0000_s1210 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1213 _x0000_s1214 _x0000_s1215 _x0000_s1216 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219 _x0000_s1220 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1223 _x0000_s1224">Ответ. При <shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image909.wmz» o:><img width=«85» height=«47» src=«dopb75471.zip» v:shapes="_x0000_i1592"> уравнение имеет два корня.
Пример. Найдите множество всех чисел <shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image019.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb75045.zip» v:shapes="_x0000_i1593">, для каждого из которых уравнение <shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image914.wmz» o:><img width=«236» height=«29» src=«dopb75473.zip» v:shapes="_x0000_i1594"> имеет только два различных корня.
Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:
<shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image916.wmz» o:><img width=«199» height=«29» src=«dopb75474.zip» v:shapes="_x0000_i1595">
Теперь важно не упустить, что <shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image918.wmz» o:><img width=«68» height=«23» src=«dopb75475.zip» v:shapes="_x0000_i1596">, <shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image920.wmz» o:><img width=«43» height=«16» src=«dopb75381.zip» v:shapes="_x0000_i1597"> и <shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image921.wmz» o:><img width=«51» height=«20» src=«dopb75476.zip» v:shapes="_x0000_i1598"> – корни исходного уравнения лишь при условии <shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image923.wmz» o:><img width=«57» height=«23» src=«dopb75477.zip» v:shapes="_x0000_i1599">. Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости <shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image925.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb75478.zip» v:shapes="_x0000_i1600">. На рисунке 5 искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.
Ответ. При <shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image927.wmz» o:><img width=«51» height=«20» src=«dopb75479.zip» v:shapes="_x0000_i1601">, или <shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image929.wmz» o:><img width=«115» height=«49» src=«dopb75480.zip» v:shapes="_x0000_i1602">, или <shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image931.wmz» o:><img width=«85» height=«49» src=«dopb75481.zip» v:shapes="_x0000_i1603">.
5. Опытное преподавание
Программа факультативных занятий на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр».
Курс лучше изучать в 11 классе, так как уравнения такого вида содержат задания итоговой аттестации. Курс рассчитан на систематизацию методов решения уравнений, содержащих параметр и их классификацию. Все методы, рассмотренные в данной работе, рассматривать на факультативах не имеет смысла. Необходимо рассмотреть основные методы решения наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах, а именно, методы решения квадратных уравнений, линейных, аналитический и графический методы и методы решения уравнений методом исследования области значения функции.
Цели факультатива:
1. познакомить учащихся с некоторыми методами решения уравнений, содержащих параметр;
2. показать применение различных методов при решении уравнений одного типа;
3. формировать умение видеть рациональный метод для решения конкретных типов уравнений, содержащих параметр;
4. формировать логическое мышление;
5. формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение сложных задач;
6. развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью;
7. подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы.
Планирование:
Данный курс рассчитан на 16 часов. Занятия проводятся по два часа. В эти часы не входит время, предоставленное для проверки знаний и умений и повторения.
Краткое содержание занятий
Занятие № 1.
Тема: Параметр и решение линейных уравнений и простейших квадратных уравнений с параметром.
Оно проведено и рассмотрено в опытном преподавании.
Занятие № 2.
Тема: Квадратные уравнения. Дискриминант. Старший коэффициент.
Цель занятия: познакомить учеников с методом исследования дискриминанта и старшего коэффициента квадратных уравнений, содержащих параметр.
Литература для учителя: см. [ REF _Ref103319362 \r \h 1],[ REF _Ref103319710 \r \h 6],[ REF _Ref103319952 \r \h 18],[ REF _Ref103320026 \r \h 21],[ REF _Ref103320139 \r \h 22].
Литература для ученика: см. [ REF _Ref103320026 \r \h 21], [ REF _Ref103320139 \r \h 22]
Краткое содержание: относительно знака дискриминанта и старшего коэффициента определить количество корней и найти их, определить при каких значениях параметра функция касается осей координат. Использование таблицы № 1 (стр. REF Таблица \h PAGEREF Таблица \# «0» \h 38_Ref106348874 \h ) при решении уравнений.
Занятие № 3.
Тема: Квадратные уравнения. Расположение корней.
Цель занятия: научить находить место расположение корней уравнения относительно некоторой точки или двух точек.
Литература для учителя: см. [ REF _Ref103319362 \r \h 1],[ REF _Ref103319710 \r \h 6],[ REF _Ref103319952 \r \h 18],[ REF _Ref103320026 \r \h 21],[ REF _Ref103320139 \r \h 22].
Литература для ученика: см. [ REF _Ref103320026 \r \h 21], [ REF _Ref103320139 \r \h 22]
Краткое содержание: используются теорема Виета (корни уравнения <shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image933.wmz» o:><img width=«117» height=«27» src=«dopb75273.zip» v:shapes="_x0000_i1604"> удовлетворяют системе <shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image934.wmz» o:><img width=«109» height=«57» src=«dopb75482.zip» v:shapes="_x0000_i1605">) и вершина параболы, для определения расположения корней относительно некоторых точек координатной оси.
Занятие № 4.
Тема: Аналитический метод. Метод «ветвлений».
Цель занятия: познакомить учеников с основным методом решения уравнений, содержащих параметр.
Литература для учителя: см. [ REF _Ref103319362 \r \h 1], [ REF _Ref103319701 \r \h 5], [ REF _Ref103319710 \r \h 6], [ REF _Ref103319628 \r \h 7], [ REF _Ref103319818 \r \h 14]
Литература для ученика: см. [ REF _Ref106347785 \r \h 3]
Краткое содержание: рассмотрение различных значений, принимаемых параметром. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению многочленов или выделение полного квадрата. Составление системы логических следований, при которых используется один из выше приведенных способов упрощения уравнения.
Занятие № 5.
Тема: Аналитический метод. Параметр как равноправная переменная.
Цель занятия: показать ученикам, что уравнения, содержащие параметр, можно решать не только относительно переменной, но и относительно параметра.
Литература для учителя: см. [ REF _Ref103319362 \r \h 1], [ REF _Ref103319701 \r \h 5], [ REF _Ref103319710 \r \h 6], [ REF _Ref103319628 \r \h 7], [ REF _Ref103319818 \r \h 14]
Литература для ученика: см. [ REF _Ref106347785 \r \h 3]
Краткое содержание: решение уравнений относительно параметра. Решение уравнений, не содержащих параметра, но использование методов решения уравнений, содержащих параметр. Например: решения уравнения четвертой степени не относительно переменной, а относительно числа (п. REF _Ref106349890 \r \h 4.1.4).
Занятие № 6.
Тема: Метод исследования области значения функции.
Цель занятия: научить учеников использовать область значения функции.
Литература для учителя: см. [ REF _Ref103319362 \r \h 1], [ REF _Ref106348140 \r \h 15]
Литература для ученика: см. [ REF _Ref106348140 \r \h 15]
Краткое содержание: если необходимо найти, при каких значениях переменной две функции равны, а пересечение их областей значений есть одно значение, то обе функции можно приравнять к этому значению и найти значение переменной (<shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image936.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb75355.zip» v:shapes="_x0000_i1606"> и <shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image937.wmz» o:><img width=«80» height=«28» src=«dopb75483.zip» v:shapes="_x0000_i1607">, а <shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image939.wmz» o:><img width=«77» height=«28» src=«dopb75484.zip» v:shapes="_x0000_i1608">, то уравнение равносильно системе <shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15310.files/image941.wmz» o:><img width=«81» height=«55» src=«dopb75485.zip» v:shapes="_x0000_i1609">).
Ученики при изучении области значения зачастую не понимают ее практического значения. Это занятие покажет им, как можно использовать данное свойство функций.
Занятие № 7.
Тема: Графический метод. Координатная плоскость (x, y).
Цель занятия: научить использовать, при решении уравнений, координатную плоскость.
Литература для учителя: см. [ REF _Ref103319362 \r \h 1], [ REF _Ref103319917 \r \h 4], [ REF _Ref103319934 \r \h 9], [ REF _Ref103319939 \r \h 11], [ REF _Ref103319862 \r \h 19], [ REF _Ref106348217 \r \h 24]
Литература для ученика: см. [ REF _Ref103319939 \r \h 11], [ REF _Ref106348217 \r \h 24]
Краткое содержание: Основой решения уравнений данным методом является построение графиков функций правой и левой частей и рассмотрение количества точек пересечения в зависимости от значения параметра. Поэтому задачи решаемые данным методом имеют свою специфику, а именно, рассматриваются задачи на нахождение количества корней уравнения при различных значениях параметра.
Занятие № 8.
Тема: Графический метод. Координатная плоскость (x, а).
Цель занятия: научить использовать, при решении уравнений, координатную плоскость (x, а); показать особенности решения при помощи этой плоскости.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Векторное пространство Решение задач линейного программирования графическим способом
20 Июня 2015
Реферат по математике
Линейная алгебра и математическое программирование
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Решение задач прогнозирования с помощью статистического пакета SPSS
20 Июня 2015
Реферат по математике
Решение задач с помощью ортогонального проектирования
1 Сентября 2013