Реферат: Исследование математических моделей оптимизации обслуживания сложных систем

--PAGE_BREAK--I(G*,F*) = max min I(G,F), где G Є Щ, F Є Щ(n,y, р).                     (2.4)
Гарантированный выигрыш определяется как выигрыш, получаемый при наилучшей функции распределения G*(x) и наихудшей функции распределения F*(y). Ес­ли функционал (2.2) выражает потери, то необходимо брать максимум по F Є Щ(n,y, р) и минимум по G Є Щ.
Расчёт по статистическим данным:
Методика определения минимаксных периодов проведения плановых предупредительных профилактик гарантированных значений показателей качества функционирования:
Исходные данные для  расчета:
·                   вектор y = (y0=0,y1,y2,…,yn) и вектор р = (р0=0, р1, р2,…, рn);
·        средняя длительность плановой предупредительной профилактики Тpp;
·        средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Тap;
·        потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики Сpp;
·        потери за единицу времени при проведении внепланового  аварийно-профилактического  ремонта Сap;
·        прибыль C0, получаемая за единицу времени безотказной работы системы;
·        оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи.
Формулы для расчёта минимаксных периодов профилактик и гарантированных значений показателей качества функционирования:
·        Коэффициент готовности.Определяется номер k0при котором достигает максимума выражение
<imagedata src=«30276.files/image025.wmz» o:><img width=«478» height=«175» src=«dopb136298.zip» v:shapes="_x0000_i1037">,          (2.5)
где k = 0,1,2,..., n.
Если максимум Ak достигается при k0<n, то плановые предупредительные профилактики следует проводить в момент ф0 = yk0+1-0. Если k0 = n, то ф0 =∞, т.е. плановые предупредительные профилактики прово­дить нецелесообразно.
·                                                                                                Вероятность выполнения задачи.
Определяется номер k0(0 ≤ k0 ≤ n), для которого yk0– z  ≤ 0, yk0+1 – z > 0.
Определяется максимальное значение отношения выражений (1.6) к (1.7).
<shapetype id="_x0000_t87" coordsize=«21600,21600» o:spt=«87» adj=«1800,10800» path=«m21600,qx10800@0l10800@2qy0@11,10800@3l10800@1qy21600,21600e» filled=«f»><path arrowok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs=«21600,0;0,10800;21600,21600» textboxrect=«13963,@4,21600,@5»><imagedata src=«30276.files/image027.wmz» o:><img width=«14» height=«230» src=«dopb136299.zip» v:shapes="_x0000_s1055"> <img width=«132» height=«90» src=«dopb136300.zip» v:shapes="_x0000_s1056">  

                           
                              ,  при ф [0, yk+1 — z],
<imagedata src=«30276.files/image030.wmz» o:><img width=«340» height=«86» src=«dopb136301.zip» v:shapes="_x0000_s1057">                                                                        (2.6)
                                                                         , при  ф [ym — z, ym+1 — z].
     
<imagedata src=«30276.files/image032.emz» o:><img width=«412» height=«84» src=«dopb136302.zip» v:shapes="_x0000_s1058">  

                                                                                     , при  k0 = 0,1,2, n (2.7)
Точка, при которой достигается максимум выражение определяет минимаксный период проведения предупредительных профилактик.
·                   Средние удельные потери.
Определяется номер kо, при котором достигается минимум выражения
<shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:allowoverlap=«f»><imagedata src=«30276.files/image034.wmz» o: grayscale=«t»><img width=«348» height=«122» src=«dopb136303.zip» v:shapes="_x0000_i1042">.                       (2.8)
Точка ф0 = yk0+1-0  определяет сроки проведения плановых предупредительных профилактик.
·        Средняя удельная прибыль.
Определяется   номер kо, при котором   достигается максимум  выражения
<imagedata src=«30276.files/image036.wmz» o:><img width=«595» height=«174» src=«dopb136304.zip» v:shapes="_x0000_i1043">(2.9)
Точка ф0 = yk0+1-0   определяет сроки   проведения плановых предупредительных профилактик.
Расчёт по функции распределения времени безотказной работы системы:
Исходные данные для расчета:
·                   функция распределения времени безотказной работы системы F(t);
·        средняя длительность плановой предупредитель­ной профилактики Тpp;
·        средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Тap;
·        потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики Сpp;
·        потери за единицу времени при проведении внепланового  аварийно-профилактического  ремонта Сap;
·        прибыль C0, получаемая за единицу времени безотказной работы системы;
·        оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи.
·                   Коэффициент готовности:
<shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30276.files/image038.wmz» o:><img width=«207» height=«52» src=«dopb136305.zip» v:shapes="_x0000_i1044">                                                                    (2.10)
·                   Средние удельные затраты:
<shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30276.files/image040.wmz» o:><img width=«220» height=«25» src=«dopb136306.zip» v:shapes="_x0000_i1045">                                                                  (2.11)
·                   Средняя удельная прибыль:
<shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30276.files/image042.wmz» o:><img width=«257» height=«52» src=«dopb136307.zip» v:shapes="_x0000_i1046">                                                          (2.12)
·                   Вероятность выполнения задачи:
<shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«30276.files/image044.wmz» o:><img width=«308» height=«129» src=«dopb136308.zip» v:shapes="_x0000_i1047">                                               (2.13)
·                   Пример. Определим гарантированные значе­ния показателей качества
функционирования и сроки проведения плановых предупредительных профилактик системы, для которой заданы следующие исходные ха­рактеристики:
Tpp = 1 ч; Тap = 2 ч; сpp=1 ед/ч; сap=2 ед/ч; z = 25 ч; с0= 5 ед/ч;
y = (y0= 0;.y1 = l0; у2 = 20; у3 = 30; у4 = 40),
р = (р0  = 0; р1 = 0,1; р2 = 0.15; р3 = 0,3; р4 = 0,5).
·                   Коэффициент готовности
Вычислим величины Ak:
Таблица №2.1 – Величины коэффициента готовности
А0
А1
А2
A3
А4
0,891
0,938
0,950
0,852
0,922
Итак, получаем гарантированное значение коэффи­циента готовности, равное 0,952, если предупредитель­ные профилактики проводить через время ф0=40-0 ч.
·                   Вероятность выполнения задачи.
Определяем величину k0. Для данных, приведенных в таблице №2, k0=2(y2 – z < 0, y3 – z > 0). 
Таблица №2.2 – Величины вероятности выполнения задачи
y = 0
y = 5 — 0
y = 5 + 0
y = 10 — 0
y = 10 + 0
у = 15
0
0,924
0,76
0,594
0,581
0,600
Максимум достигается при у = 5 — 0 и равен 0,924. Следовательно, профилактики нужно проводить через 5 — 0 ч. и гарантированное значения вероятности выполнения задачи будет равно 0,924.
·                   Средние удельные затраты.
Вычисляем величины средних удельных затрат.
Результаты сведены в таблицу №2.3:
Таблица №2.3 – Величины средних удельных затрат
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
0,144
0,0829
0,0775
0,0847
0,1333
Таким образом, получаем, что профилактику необхо­димо проводить через время 30 — 0 ч. и при этом га­рантированное значение удельных затрат равно 0,0775 ед/ч.
·                   Средняя удельная прибыль.
Вычисляем величины средней удельной прибыли.
Результаты сведены в таблицу №2.4:
Таблица №2.4 – Величины средней удельной прибыли
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
4,37
4,61
4,674
4,677
4,55
Окончательно получаем, что профилактику необходимо проводить через время 40 — 0 ч., при этом гарантированное значение средней удельной прибыли равно 0,4677 ед/ч.
Результаты вычислений представлены в таблицах 2.5 и 2.6.
Таблица №2.5 — Расчёт по функции распределения.
Стратегия
Kг
Pвып
Cпр
Cпот
Стратегия B
0,95
0,92
0,46
0,07
Таблица №2.6 — Расчёт по статистическим данным.
Стратегия
Kг
Pвып
Cпр
Cпот
Стратегия B
0,94
0,92
0,48
0,07
2.3 Стратегия С
Стратегия С — восстановление системы проводится только в заранее назначенные моменты времени независимо от отказов системы. 
Для исследуемой в настоящем параграфе системы предполагается, что время самостоятельного проявления отказа разно бесконечности, т. е. появившийся в системе отказ самостоятельно не проявляется. Для такой системы планируется проведение различных восстановительных работ (плановых), при которых отказы обнаруживаются, устраняются и предупреждаются.
Пусть при t=0, когда начинается эксплуатация системы, назначается проведение плановых восстанови­тельных работ через случайное время з, распределен­ное по закону G(x). Если к назначенному моменту з система не отказала (о>з, где о — время безотказной работы, распределенное по закону F(x)), то в этот момент проводится плановая предупредительная профи­лактика, которая полностью обновляет систему и сред­няя длительность которой равна Тpp. Если к назначен­ному моменту система отказала (о≤з), то в этот момент проводится плановый аварийно-профилактический ремонт, который полностью обновляет систему и длит­ся в среднем время Тap. После окончания плановых работ весь процесс обслуживания полностью повторяется.
Определим случайный процесс x(t), характеризующий состояние системы в момент t, x(t):
·                   E0, если в момент t система работоспособна и проработает еще время, большее z≥0;
·        E1, если в момент t система работоспособна, но до отказа проработает время, меньшее z,
·        E2, если в момент t система простаивает в неработоспособном состоянии (скрытый  отказ);
·        E3, если в момент t в системе проводится плановый аварийно-профилактический ремонт;
·        E4, если в момент t в системе проводится плановая предупредительная профилактика.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1060" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><shape id="_x0000_s1066" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1067" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1068" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1069" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1070" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1071" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1072" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1073" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><shape id="_x0000_s1074" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight»><img width=«310» height=«209» src=«dopb136309.zip» v:shapes="_x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
Рисунок 3 – Диаграмма переходов процесса x(t) (Стратегия С)
Описанный процесс является регенерирующим (например, моментами регенерации являются моменты попадания в состояние То), а в предположении, что время, ремонта — непрерывная случайная величина, и апериодическим. При длительной эксплуатации системы характеристики качества функционирования выражаются дробно-линейным функционалом.
Как и ранее, будем предполагать, что функция распределения времени безотказной работы F(х)  известна лишь в отдельных точках. F(x) Є Щ(n,y, р). Задача состоит в том, чтобы определить гарантированную среднюю величину функционала I(G,F), т. е.
I(G*,F*) = max min I(G,F), где G Є Щ, F Є Щ(n,y, р).
и функцию G*(x), на которой это значение достигается. Если функционал (2.2.1) характеризует потери, то по G Є Щ берется минимум, a по F Є Щ(n,y, р) — максимум.
Расчёт по статистическим данным:
Методика определения минимаксных периодов проведения плановых предупредительных профилактик и гарантированных значений показателей качества функционирования
Исходные данные для расчета:
·      вектор y = (y0=0,y1,y2,…,yn) и   вектор р = (р0=0, р1, р2,…, рn);  
·     средняя длительность плановой предупредитель­ной профилактики Тpp;
·     средняя длительность   внепланового    аварийно-профилактического ремонта Тap;
·      потерн за единицу времени при проведении пла­новой предупредительной профилактики Сpp;
·     потери за единицу времени при проведении вне­планового  аварийно-профилактического  ремонта Сap;
·     прибыль C0, получаемая за единицу времени без­отказной работы системы;
·     оперативное время Z работы системы, необходи­мое для выполнения задачи;
·      потери за единицу времени при наличии в систе­ме скрытого отказа Сp.
Формулы для расчета минимаксных периодов и гарантированных значений показателей качества функционирования:
·      Коэффициент готовности.
Определяется номер k0, при котором достигается максимум из выражений:
<imagedata src=«30276.files/image047.wmz» o:><img width=«290» height=«127» src=«dopb136310.zip» v:shapes="_x0000_i1049">  ,                          (3.1)
<imagedata src=«30276.files/image049.wmz» o:><img width=«304» height=«129» src=«dopb136311.zip» v:shapes="_x0000_i1050"> ,                          (3.2)
при  k = 0,1,2,..., n.
Если выражение (2.1) больше (2.2 ), то профилактики целесообразно проводить через время ф = yk0+ 0 и гарантированное значение коэффициента готовности равно (2.1). Если выражение (2.1) меньше (2.2 ), то про­филактики целесообразно проводить через время ф = yk0+1 — 0  и гарантированное значение коэффициента готовности равно правой части этого неравенства.
·                   Вероятность выполнения задачи.
Определяется номер k0(0≤k0≤n), для которого yk0– z ≤ 0, yk0+1 – z > 0.  Далее определяется максиму отношения выражения (2.3) к (2.4). 
<imagedata src=«30276.files/image051.wmz» o:><img width=«132» height=«90» src=«dopb136312.zip» v:shapes="_x0000_s1075">      
<img width=«26» height=«218» src=«dopb136313.zip» v:shapes="_x0000_s1076">                          
                            , при ф [0, yk0+1 — z],
          (3.3)
<imagedata src=«30276.files/image054.wmz» o:><img width=«448» height=«102» src=«dopb136314.zip» v:shapes="_x0000_s1077"> 

                                                                                             , при ф [ym – z, ym+1 – z].
Ф + Tап рk+1 + Tпп (1 – рk+1) ,  при ф [yk, yk+1], k = 0,1,2,…, n               (3.4)
Точка ф, при которой достигается этот максимум, определяет минимаксный период проведения предупредительных профилактик, а значение этого максимума есть гарантированное значение вероятности выполнения задачи.
·                   Средние удельные затраты.
Определяется номер k0, при котором достигается ми­нимум  из выражений:
<imagedata src=«30276.files/image056.wmz» o:><img width=«537» height=«167» src=«dopb136315.zip» v:shapes="_x0000_i1055">    (3.5)
<imagedata src=«30276.files/image058.wmz» o:><img width=«564» height=«167» src=«dopb136316.zip» v:shapes="_x0000_i1056"> (3.6)
Если при этом выражение (2.5) меньше (2.6), то предупредительную профилактику целесообразно проводить через время ф = yk0+ 0 и гарантированное значения средних удельных потерь равно (2.5). Если выражение (2.5) больше (2.6), то предупредительные профилактики целе­сообразно проводить через время ф = yk0+1 – 0 и гаран­тированное значение средних удельных потерь будет равно (2.6).
·                   Средняя удельная прибыль.
Определяется номер k0, при котором достигается максимум выражения:
<imagedata src=«30276.files/image060.wmz» o:><img width=«657» height=«107» src=«dopb136317.zip» v:shapes="_x0000_i1057">(3.7)
<imagedata src=«30276.files/image062.wmz» o:><img width=«655» height=«113» src=«dopb136318.zip» v:shapes="_x0000_i1058">(3.8)
Если при этом максимум совпадает с выра­жением (2.7), то предупреди­тельные профилактики целесообразно проводить через время ф  = yk0 — 0. а гарантированное значение средней удельной прибыли равно первому выражению. Если максимум совпадает с выражением (2.8), то преду­предительные профилактики целесообразно проводить через время ф  = yk0+1 — 0, а гарантированное значение средней удельной прибыли равно этому второму выра­жению при k=k0.
    продолжение
--PAGE_BREAK--