Реферат: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

КУРСОВАЯ РАБОТА студента 2-го курса: Полякова Е.В.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Днепропетровск 2000г.

1. Общая постановка и анализ задачи.

1.1. Введение.

Требуется найти определенный интеграл

I = />

по квадратурной формуле Чебышева.

Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.

Известно,/> что определенный интеграл функции /> типа /> численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y=/> (Рис.1).

/>

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона — Лейбница

/>= F(b) — F(a)

где

F’(x) = f(x)

Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.

Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла />по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].

Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования — квадратурными .

Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида



/>




где

xk — выбранные узлы интерполяции;

Ak — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но

не от вида функции (k=0,1,2,........, n).

R — остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.

При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек

xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)

xo= a; xn= b;

h= (b-a)/n ;

и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах

yi= f(xi); ( i = 0,1,2,......,n)

1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти

/>




По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда

/>




где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

/>

Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:

1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);

2.для полинома степени n последняя формула точная.







Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:

/>




где

/>

(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0, А1,.., АN.




Определитель системы есть определитель Вандермонда




/>

Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.

Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :

1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.

Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла




/>/>y

/>/>/>/>/>/>/>/>


/>





/>


0 a b x

рис 1.3.1 Криволинейная трапеция

/>

Рис. 1.3.2. Метод трапеций.




/>

Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

/>,

для метода средних прямоугольников:

/>.

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) — значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1,… ,xn=b с шагом

/>

Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4]… [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения

s1=y1+y2+… +y2m-1

s2=y2+y4+… +y2m

получим обобщенную формулу Симпсона:

/>

Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:

/>

где xk I (x2к-2,x2к)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу вида:




/>




функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах




f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n




f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n




f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n




… .




f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn




получим формулу Чебышева.

/>




Значения х1, х2,.., хn для различных n приведены в таблице 3.




Таблица 3 – Значения х1, х2,.., хn для различных n.

n

I

ti

n

i

ti

2

1;2

± 0,577350

6

1;6

± 0,866247

3

1;3

± 0,707107




2;5

± 0,422519




2

0




3;4

± 0,266635

4

1;4

± 0,794654

7

1;7

± 0,883862




2;3

± 0,187592




2;6

± 0,529657

5

1;5

± 0,832498




3;5

± 0,321912




2;4

± 0,374541




4

0




3

0










2. Решение контрольного примера




/>




где a=0; b= />; при n=5;




f(x) = sin(x);




/>




/>

i

xi

yi

1

0,131489

0,131118

2

0,490985

0,471494

3

0,785

0,706825

4

0,509015

0,487317

5

0,868511

0,763367




x1= p/4+p/4*t1=p/4+p/4(-0,832498)=0,131489




x2= p/4+p/4*t2=p/4+p/4(-0,374341)=0,490985




x3= p/4+p/4*t3=p/4+p/4*0=0,785




x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015




x5=1- x1=1-0,131489=0,868511

y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118

y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494




y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825




y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317




y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367




/>




I = p/10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =

=p/10*2,560121=0,8038779.

--PAGE_BREAK--3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

Процедура VVOD — заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi

Процедура FORM — используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi

Процедура CHEB — используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.

Процедура TABL — это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент — функция)




При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.

После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.

После этого используем процедуры FORM и CHEB .

Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.

4. Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.

Листинг программы.

Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program integral;




uses crt;




const n=5;

k=-0.832498;

l=-0.374541;

z=0.0;




type aa=array[1..n] of real;




var x,y:aa;

a,b,h,ich:real;




{ заполнение х-сов в массив х[5] }




procedure vvod(var a,b:real;var c:aa);

var i:integer;

t:aa;

Begin

t[1]:=k;

t[2]:=l;

t[3]:=z;

t[4]:=l;

t[5]:=k;




for i:=1 to n-1 do

c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]);

for i:=n-1 to n do

c[i]:=1 — c[n+1-i];

end;




{ заполнение y-ков в массиве у[5] }




procedure form(var x:aa; var y:aa);

var i:integer;

Begin

for i:=1 to n do

y[i]:=sin(x[i]); {функция}

end;




{ процедура для расчета интеграла по квадратурной

формулеЧебышева}




procedure cheb(var y:aa;var ich:real);

var i:integer;

Begin




ich:=0;

for i:=1 to n do

ich:=ich+y[i]*h;

end;




{ процедура вывода таблицы}




procedure tabl;

var i:integer;

Begin

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| i | t| x|y |');

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');

writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');

writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');




writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln(' ___________________________________ ');

end;







Begin




clrscr;

writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');

writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А ');

writeln;

writeln('Введите границы интегрирования a,b:');

readln(a,b);

vvod(a,b,x);

h:=(b-a)/n;

writeln('h=',h:9:6);

form(x,y);

cheb(y,ich);

tabl;

writeln('I=',ich:8:6);




end.



















Вывод результата :






П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я

О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А




Введите границы интегрирования a,b:

0 1.5708

h= 0.314160

____________________________

| i | t | x | y |

____________________________

| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|

| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|

| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|

| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|

| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

____________________________

I=0.804383







Списоклитературы:

1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“

2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ — М.: Физмат.

3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“

4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”

5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.

6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/