Реферат: Формации конечных групп

--PAGE_BREAK--Лемма 12 [6].Пусть <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458061540-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> – монолитическая группа с неабелевым монолитом <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458071478-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">. Тогда если простое число <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458071567-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> делит порядок группы <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458071478-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">, то <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1458071742-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">.

Лемма 13 [1, с. 26].Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_1458072043-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">-корадикал <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_1458072246-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> не имеет фраттиниевых <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">-главных факторов. Тогда если <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458072442-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> – монолитическая группа из <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458072530-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">, то <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458072684-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">.

Лемма 14[2, с.168]. Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458047903-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> – формации, причем <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458047903-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> – локальна и <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458061540-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> – группа минимального порядка из <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_1458073192-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">. Тогда <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458061540-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> монолитична, ее монолит совпадает с <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_1458073391-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> и если <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_1458073391-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> – <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458071567-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">-группа, то <img width=«127» height=«23» src=«ref-1_1458073731-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">.

Лемма 15[2, с.171]. Если в группе <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458061540-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1458074182-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> (<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458071567-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> – некоторое простое число), то существует точный неприводимый <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1458074486-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">-модуль, где <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1458074683-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> – поле из <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458071567-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> элементов.

Лемма 16 [4].Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">-насыщенная формация и <img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1458047356-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> – ее <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">-локальный спутник. Если <img width=«119» height=«21» src=«ref-1_1458075265-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">, то <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1458075576-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">.

Лемма 17 [4]. Пусть <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1458075692-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1458075786-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> – минимальные <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">-локальные <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458075990-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">-значные спутники формаций <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1458076082-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> и <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1458076176-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> соответственно. Тогда <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1458076297-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> в том и только в том случае, когда <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1458076465-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">.

Лемма 18 [10]. Пусть <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1458076627-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> (<img width=«29» height=«16» src=«ref-1_1458076882-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">), где <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458061540-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> – такая монолитическая группа с неабелевым монолитом <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1458077076-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, что <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1458077267-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> и <img width=«88» height=«20» src=«ref-1_1458077489-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">. Тогда <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> имеет единственную максимальную <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1458077760-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">-кратно <img width=«15» height=«13» src=«ref-1_1458060348-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">-насыщенную подформацию <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, причем <img width=«132» height=«23» src=«ref-1_1458078012-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">.
Основные результаты
Теорема 1.Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> равен 1, когда <img width=«76» height=«20» src=«ref-1_1458078898-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, где <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">-насыщенная нильпотентная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458047903-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> – минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">-насыщенная ненильпотентная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, при этом: 1) всякая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">-насыщенная нильпотентная подформация из <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> входит в <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1458080056-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">; 2) всякая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">-насыщенная ненильпотентная подформация <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1458076082-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> из <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> имеет вид <img width=«85» height=«20» src=«ref-1_1458080670-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">

Доказательство.Необходимость. Пусть <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> равен 1. Так как <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> входит некоторая минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">-насыщенная ненильпотентная подформация <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">. По условию <img width=«72» height=«17» src=«ref-1_1458081630-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> – максимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">-насыщенная подформация в <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">. Значит, <img width=«80» height=«20» src=«ref-1_1458056722-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">.

Достаточность.Пусть <img width=«80» height=«20» src=«ref-1_1458056722-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, где <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">-насыщенная нильпотентная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">, <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> – минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">-насыщенная ненильпотентная подформация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">. Понятно, что <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458083207-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">. Пусть <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">-дефекты <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">-насыщенных формаций <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> и <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> равны соответственно <img width=«9» height=«15» src=«ref-1_1458055596-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">, <img width=«16» height=«12» src=«ref-1_1458084020-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> и <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">. Поскольку <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">-насыщенная нильпотентная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">, то <img width=«40» height=«15» src=«ref-1_1458084517-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">. Так как <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> – минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">-насыщенная ненильпотентная формация, то ее <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">-дефект <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство <img width=«127» height=«17» src=«ref-1_1458085153-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">. Если <img width=«33» height=«15» src=«ref-1_1458085334-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">, то <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> – нильпотентная формация, что противоречит условию <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458083207-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">. Таким образом, <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1458085910-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> – максимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">-насыщенная подформация в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">, то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм
<img width=«427» height=«20» src=«ref-1_1458086314-796.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">

<img width=«249» height=«20» src=«ref-1_1458087110-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">
Следовательно, <img width=«89» height=«20» src=«ref-1_1458087634-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> – максимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">-насыщенная подформация в <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">. Тогда, поскольку <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458083207-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">, то всякая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">-насыщенная нильпотентная подформация из <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> входит в <img width=«89» height=«20» src=«ref-1_1458087634-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">.

Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> нет минимальных <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">-насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">.

Пусть теперь <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1458076082-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> – произвольная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">-насыщенная ненильпотентная подформация из <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">. Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1458089486-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">. Следовательно, применяя лемму 3, получаем <img width=«219» height=«20» src=«ref-1_1458089628-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">. Теорема доказана.

Теорема 2.Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">-приводимая формация, <img width=«35» height=«17» src=«ref-1_1458059607-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">. Тогда и только тогда <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> равен 2, когда <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> удовлетворяет одному из следующих условий: 1) <img width=«116» height=«20» src=«ref-1_1458090782-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, где <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_1458091103-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">, <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> и <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1458091331-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> – различные минимальные <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">-насыщенные ненильпотентные формации; 2) <img width=«76» height=«20» src=«ref-1_1458091621-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">, где <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_1458091103-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458047903-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">-неприводимая формация <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">-дефекта 2, <img width=«49» height=«20» src=«ref-1_1458092417-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">, причем если <img width=«35» height=«16» src=«ref-1_1458092566-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">, то <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458092672-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">.

Доказательство. Заметим, чтопри <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458092831-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">, справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что <img width=«35» height=«16» src=«ref-1_1458092566-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.

Необходимость.Пусть <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> равен 2, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458054840-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> – такая максимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">-насыщенная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">, что <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">-дефект формации <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458054840-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> равен 1. По теореме 1 получаем <img width=«81» height=«20» src=«ref-1_1458093908-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">, где <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> – минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">-насыщенная ненильпотентная формация, а <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_1458091103-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">. Если в формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> имеется еще одна минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">-насыщенная ненильпотентная подформация <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1458091331-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">, отличная от <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, то, в силу леммы 4, <img width=«47» height=«20» src=«ref-1_1458095023-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. Значит,
<img width=«288» height=«20» src=«ref-1_1458095188-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">
и выполнено условие 1).

Пусть теперь в формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> нет отличных от <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> минимальных <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">-насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">-приводимая формация, то в <img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1458096361-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> найдется такая группа <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">, что <img width=«108» height=«20» src=«ref-1_1458096562-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">. Понятно, что <img width=«73» height=«20» src=«ref-1_1458096860-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">. Ввиду леммы 5 <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">-дефект формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> меньше или равен 2. Поскольку <img width=«75» height=«20» src=«ref-1_1458097356-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"> и <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">-дефект формации <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458054840-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> равен 1, то <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">-дефект формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> не равен 0. Допустим, что <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">-дефект формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> получаем, что <img width=«87» height=«20» src=«ref-1_1458098479-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">, где <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1458098742-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">. Значит, <img width=«255» height=«20» src=«ref-1_1458098898-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> где <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1458099423-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">. Но тогда в силу леммы 2 <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> равен 1. Противоречие. Поэтому <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">-дефект формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> равен 2. Тогда <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_1458100136-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">, так как иначе <img width=«111» height=«20» src=«ref-1_1458100264-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">, что противоречит максимальности формации <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458054840-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> в формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">. Таким образом, <img width=«240» height=«20» src=«ref-1_1458100727-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">

Предположим, что <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">-неприводимая формация. Заметим, что если <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458101455-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> и <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">-насыщенная формация, то <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> является насыщенной формацией. Действительно, из <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">-насыщенности формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> получаем, что для любой группы <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> из условия <img width=«124» height=«20» src=«ref-1_1458102124-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> следует, что <img width=«41» height=«16» src=«ref-1_1458102434-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">. Но <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458102555-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">. Значит, <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458102717-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">. Тогда получаем, что из условия <img width=«75» height=«20» src=«ref-1_1458102940-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> следует, что <img width=«41» height=«16» src=«ref-1_1458102434-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">. Таким образом, <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">-кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> – приводимая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">-кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458103573-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">. Тогда получаем, что формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> удовлетворяет условию 2).

Пусть теперь <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">-приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">-насыщенных подформаций однопорожденной формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">.

Обозначим через <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_1458104315-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> максимальную <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">-насыщенную подформацию формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">, имеющую <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">-дефект, равный 1. Так как <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">-приводимая формация, то в <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_1458105089-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> существует такая группа <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458105217-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">, что <img width=«119» height=«20» src=«ref-1_1458105316-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">. Ввиду максимальности формации <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_1458104315-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> в формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> справедливо <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1458105812-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">. По теореме 1 и предположению единственности <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> получаем, что <img width=«91» height=«20» src=«ref-1_1458106164-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">, где <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1458106439-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> – некоторая нильпотентная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">-насыщенная подформация формации <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_1458104315-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">.

Тогда <img width=«267» height=«20» src=«ref-1_1458106841-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">. Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">, получаем, что либо формация <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_1458107477-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> (где <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1458107747-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1458108031-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> является <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">-приводимой формацией <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">-дефекта 2. Понятно, что <img width=«56» height=«20» src=«ref-1_1458108473-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">, так как иначе <img width=«51» height=«20» src=«ref-1_1458108657-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">, что противоречит максимальности формации <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_1458104315-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"> в <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1458108031-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">.

Поскольку <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1458108031-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> – собственная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">-насыщенная подформация формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">, то число разрешимых подформаций формации <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1458108031-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507"> меньше чем у <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">. Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> имеется лишь конечное множество разрешимых <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">-насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация <img width=«95» height=«21» src=«ref-1_1458109798-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> (где <img width=«177» height=«21» src=«ref-1_1458110086-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо <img width=«125» height=«20» src=«ref-1_1458110522-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">, где <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1458110857-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">-приводимая формация <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">-дефекта 2, <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1458111377-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518"> – наименьшая неединичная разрешимая подформация формации <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1458097270-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">, такая что <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1458111713-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">.

Обозначим через <img width=«32» height=«20» src=«ref-1_1458111979-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> максимальную <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">-насыщенную подформацию формации <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1458110857-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">, имеющую нильпотентный <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">-дефект, равный 1. Так как <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1458110857-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">-приводимая формация, то в <img width=«73» height=«20» src=«ref-1_1458113029-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> существует такая группа <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1458113276-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">, что <img width=«165» height=«20» src=«ref-1_1458113461-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">. Ввиду максимальности формации <img width=«32» height=«20» src=«ref-1_1458111979-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> в формации <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1458110857-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532"> справедливо <img width=«131» height=«20» src=«ref-1_1458114238-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">. По теореме 1 и предположению единственности <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> получаем, что <img width=«119» height=«20» src=«ref-1_1458114682-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">, где <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1458115021-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> – некоторая нильпотентная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">-насыщенная подформация формации <img width=«32» height=«20» src=«ref-1_1458111979-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">. Тогда

<img width=«376» height=«20» src=«ref-1_1458115566-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">

Но <img width=«84» height=«19» src=«ref-1_1458116281-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> по предположению индукции. Следовательно, формация <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1458110857-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"> не может быть <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">-приводимой формацией. Значит, <img width=«113» height=«21» src=«ref-1_1458116910-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, где <img width=«227» height=«21» src=«ref-1_1458117225-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">, <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1458117732-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">-неприводимая формация <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">-дефекта 2. Необходимость доказана.

продолжение
--PAGE_BREAK--Достаточность.Пусть <img width=«120» height=«20» src=«ref-1_1458118249-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">, где <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_1458091103-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">, <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458057306-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> и <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1458091331-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> – различные минимальные <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">-насыщенные ненильпотентные формации. Пусть <img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1458047356-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">, <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1458119178-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">, <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1458119178-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> и <img width=«16» height=«12» src=«ref-1_1458084020-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558"> <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">-дефекты формаций <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1458119710-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1458119710-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> и <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> соответственно. Тогда по лемме 2 <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">не превосходит<img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1458120260-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">. С другой стороны по лемме 5 <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">больше либо равен <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1458120260-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">. Таким образом, <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> равен 2.

Аналогично рассматривается случай, когда <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_1458120950-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">, где <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_1458091103-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458047903-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">-неприводимая формация <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">-дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3.Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> – <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">-насыщенная формация <img width=«44» height=«20» src=«ref-1_1458121994-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">. Тогда и только тогда формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">-неприводимая формация <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">-дефекта 2, когда <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458122547-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">, где <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> – такая монолитическая группа с цоколем <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">, что выполняется одно из следующих условий:

1) <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458122974-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">, где <img width=«67» height=«20» src=«ref-1_1458123126-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588"> – <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1458064954-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">-группа, <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_1458064345-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">, а <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> – группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1.1) циклическая примарная группа порядка <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458123652-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"><img width=«44» height=«20» src=«ref-1_1458123778-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">;

1.2) неабелева группа порядка <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1458123915-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> простой нечетной экспоненты<img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1458124040-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">;

1.3) монолитическая группа с цоколем <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1458124164-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> – <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1458124478-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">-группа;

2) <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> – неабелева группа, <img width=«91» height=«20» src=«ref-1_1458124669-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">, а группа <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1458124861-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">удовлетворяет одному из следующих условий:

2.1) <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">-группа, где <img width=«35» height=«16» src=«ref-1_1458125230-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">;

2.2) элементарная абелева <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">-группа, <img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1458125440-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">;

2.3) подпрямое произведение групп изоморфных <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">, где <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> – такая монолитическая группа с цоколем <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1458125761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">, что <img width=«56» height=«19» src=«ref-1_1458125847-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> – неабелева группа, <img width=«91» height=«20» src=«ref-1_1458126068-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">;

3) <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611"> – <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1458124478-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">-группа, формация <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458126449-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> имеет <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">-дефект 1, <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> – <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">-базисная группа, где <img width=«119» height=«20» src=«ref-1_1458127076-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">, <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458127404-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">, а <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619"> – такая монолитическая группа с цоколем <img width=«52» height=«17» src=«ref-1_1458127628-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">, что выполнено одно из следующих условий:

3.1) <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458127818-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621"> – группа Шмидта с <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458127976-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, где <img width=«67» height=«20» src=«ref-1_1458128127-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> – абелева <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1458064954-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">-группа, <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_1458064345-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> и <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_1458128565-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626"> – простое число,<img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458128703-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">;

3.2) <img width=«56» height=«19» src=«ref-1_1458125847-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> – неабелева группа, причем <img width=«89» height=«20» src=«ref-1_1458129058-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">;

3.3) <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1458125761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630"> – <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1458124478-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">-группа.

Доказательство. Необходимость.Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> – <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">-неприводимая формация <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">-дефекта 2, <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635"> – максимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">-насыщенная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> с каноническим спутником <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1458130196-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">. Заметим, что ввиду леммы 7 спутник <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1458130196-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> является <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">-локальным. Тогда <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643"> является минимальной <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">-насыщенной не <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">-формацией. Пусть <img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1458047356-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> и <img width=«16» height=«12» src=«ref-1_1458084020-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648"> – минимальные <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">-локальные спутники формаций <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> и <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> соответственно. В силу замечания 2 [4] имеем <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1458131515-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">, для всех <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_1458064345-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">.

Применяя лемму 8, получим, что <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458122547-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">, где <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> – такая монолитическая группа с цоколем <img width=«52» height=«17» src=«ref-1_1458132281-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">, что либо <img width=«108» height=«20» src=«ref-1_1458132474-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">(, <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1458069779-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> и <img width=«28» height=«20» src=«ref-1_1458132836-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> – <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1458132951-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">-критическая формация для всех <img width=«36» height=«16» src=«ref-1_1458133226-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">, либо <img width=«40» height=«13» src=«ref-1_1458133349-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663"> и <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1458133474-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664"> – <img width=«33» height=«20» src=«ref-1_1458133603-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">-критическая формация. По теореме 1 <img width=«88» height=«20» src=«ref-1_1458133792-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">, где <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> – минимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">-насыщенная ненильпотентная подформация формации <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">, <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_1458134414-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">.

Предположим, что <img width=«127» height=«20» src=«ref-1_1458134538-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">. Тогда найдется простое число <img width=«128» height=«20» src=«ref-1_1458134792-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">. Пусть <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1458135042-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674"> – группа порядка <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">. Тогда <img width=«121» height=«20» src=«ref-1_1458135242-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">. Так как <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> – максимальная <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">-насыщенная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680"> и <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1458135895-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">, то <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1458136067-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">. Но формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683"> является <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">-неприводимой по условию теоремы. Противоречие. Следовательно, <img width=«127» height=«20» src=«ref-1_1458136569-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">.

Пусть <img width=«19» height=«16» src=«ref-1_1458136813-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686"> и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1458136909-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687"> – минимальные <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">-локальные спутники формаций <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690"> и <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458137310-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691"> соответственно. По лемме 9 формации <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692"> и <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458137310-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693"> имеют такие внутренние <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">-локальные спутники <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1458137797-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"> и <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458137897-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">, принимающие соответственно значения <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1458137986-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">, при <img width=«87» height=«20» src=«ref-1_1458138178-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">, <img width=«72» height=«20» src=«ref-1_1458138375-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700">, при <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458138549-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701">, <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_1458138679-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">, при <img width=«84» height=«20» src=«ref-1_1458138842-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">, и <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1458139036-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">, при <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_1458139209-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">, <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1458139390-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">, при <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458138549-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">, <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1458139671-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">, при <img width=«75» height=«20» src=«ref-1_1458139828-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">. Ввиду леммы 10 справедливо равенство <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1458140007-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">.

В силу леммы 11 <img width=«93» height=«20» src=«ref-1_1458140268-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">, где <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> – такая монолитическая группа с цоколем <img width=«52» height=«17» src=«ref-1_1458127628-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">, что либо <img width=«107» height=«20» src=«ref-1_1458140834-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">, либо <img width=«40» height=«13» src=«ref-1_1458141033-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715"> и выполняется одно из следующих условий:

(1) <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458127818-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"> –группа Шмидта с <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458127976-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">, где <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458141467-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718"> – абелева <img width=«9» height=«15» src=«ref-1_1458141691-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">-группа, <img width=«33» height=«16» src=«ref-1_1458141770-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> и <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_1458128565-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721"> – простое число;

(2) <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1458125761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722"> – неабелева <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458142104-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">-группа <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458142198-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">, где <img width=«44» height=«20» src=«ref-1_1458142388-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725">.

Заметим, что если <img width=«56» height=«20» src=«ref-1_1458142512-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">, то любая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">-насыщенная подформация из <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728"> является насыщенной. Следовательно, любая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">-насыщенная подформация формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731"> является <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">-кратно насыщенной. По лемме 6 при <img width=«36» height=«17» src=«ref-1_1458053944-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733"> всякая <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458046886-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">-кратно насыщенная формация с <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">-дефектом 2 приводима. Поэтому при <img width=«56» height=«20» src=«ref-1_1458142512-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736"> формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737"> не может быть <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458050787-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">-неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом, <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1458143939-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">.

Допустим, что <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740"> – неабелев цоколь группы <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">. Пусть <img width=«108» height=«20» src=«ref-1_1458132474-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742"> и <img width=«36» height=«16» src=«ref-1_1458133226-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">. Тогда по лемме 12 имеем <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1458144668-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">. Значит, <img width=«221» height=«21» src=«ref-1_1458144885-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">

Пусть для формации <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746"> выполнено условие (1). Предположим, что <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458145495-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">. Так как <img width=«149» height=«20» src=«ref-1_1458145619-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">, то имеем <img width=«167» height=«21» src=«ref-1_1458145891-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">. Тогда <img width=«101» height=«20» src=«ref-1_1458146285-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">-насыщенная не <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1458146787-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">-формация. Значит, <img width=«93» height=«21» src=«ref-1_1458146952-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">, <img width=«92» height=«20» src=«ref-1_1458147218-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">и <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458147676-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">. Используя лемму 9, имеем

<img width=«316» height=«21» src=«ref-1_1458147788-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">.

Следовательно, <img width=«236» height=«21» src=«ref-1_1458148437-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">.

Покажем, что <img width=«91» height=«20» src=«ref-1_1458124669-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">. Действительно, если <img width=«85» height=«20» src=«ref-1_1458149163-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">, то найдется такое <img width=«75» height=«20» src=«ref-1_1458149350-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">, что <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458149525-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">. Поскольку <img width=«127» height=«20» src=«ref-1_1458149654-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">, то <img width=«81» height=«20» src=«ref-1_1458149896-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">. Тогда <img width=«160» height=«21» src=«ref-1_1458150084-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">. Так как <img width=«11» height=«12» src=«ref-1_1458150461-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768"> делит порядок <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">, то по лемме 12 имеем <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458150628-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">. Тогда <img width=«215» height=«20» src=«ref-1_1458150804-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">-насыщенная не <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1458151488-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">-формация. Поскольку<img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458151618-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775"> и <img width=«36» height=«17» src=«ref-1_1458151799-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">, то <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458151906-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777">. Так как при этом <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1458152137-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778"> и <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458152372-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">, то <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1458152607-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">. Но <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458149525-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">. Противоречие. Поэтому <img width=«91» height=«20» src=«ref-1_1458124669-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782">.

По лемме 9 имеем <img width=«332» height=«21» src=«ref-1_1458153151-675.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783"> Следовательно, <img width=«207» height=«20» src=«ref-1_1458153826-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784"> и <img width=«100» height=«20» src=«ref-1_1458154281-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785"> является минимальной <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">-насыщенной не <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1458154783-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">-формацией.

Ясно также, что <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1458155082-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">, поскольку в противном случае <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791"> равен 1 в силу леммы 11.

Если <img width=«69» height=«20» src=«ref-1_1458155575-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">, то <img width=«127» height=«21» src=«ref-1_1458155738-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">. Значит, <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458156112-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794"> является минимальной <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796">-насыщенной не <img width=«37» height=«20» src=«ref-1_1458156554-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">-формацией. Поэтому <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1458156754-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">. Значит, <img width=«128» height=«21» src=«ref-1_1458157019-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">, и формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800"> удовлетворяет условию 2.1) теоремы.

Если <img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1458125440-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">, то <img width=«149» height=«21» src=«ref-1_1458157564-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802">. Тогда <img width=«101» height=«21» src=«ref-1_1458157956-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">. Так как <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1458155082-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">, то <img width=«151» height=«21» src=«ref-1_1458158473-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805">, т.е. <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1458124861-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806"> является элементарной абелевой <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807">-группой, и формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808"> удовлетворяет условию 2.2) теоремы.

Пусть для формации <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809"> выполнено условие (2). Покажем, что <img width=«120» height=«20» src=«ref-1_1458159388-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">. Предположим, что существует <img width=«123» height=«20» src=«ref-1_1458159618-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">. Тогда <img width=«163» height=«20» src=«ref-1_1458159855-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812">. Значит, <img width=«99» height=«20» src=«ref-1_1458160228-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815">-насыщенная не <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_1458160726-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">-формация. Последнее невозможно, так как <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458160856-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">. Поэтому <img width=«153» height=«20» src=«ref-1_1458161052-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818">. Но <img width=«83» height=«20» src=«ref-1_1458161321-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">. Следовательно, <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458161516-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820">.

Ввиду леммы 12, <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458161628-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">. Так как <img width=«111» height=«20» src=«ref-1_1458161855-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822">, то <img width=«101» height=«20» src=«ref-1_1458146285-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823"> – минимальная не <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1458162460-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">-формация. Значит, <img width=«120» height=«21» src=«ref-1_1458162745-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">. Но, как нетрудно показать, <img width=«153» height=«21» src=«ref-1_1458163088-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">. Если <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1458163485-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">, то по лемме 11 <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829"> равен 1. Противоречие. Следовательно, <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1458155082-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830"> и <img width=«152» height=«21» src=«ref-1_1458164205-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">. Но тогда <img width=«193» height=«21» src=«ref-1_1458164562-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832"> Так как при этом группа <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833"> является монолитической группой с неабелевым цоколем <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1458125761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">, то применяя лемму 13 получим, что <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1458124861-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835"> – подпрямое произведение групп изоморфных группе <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836">. Таким образом, группа <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837"> удовлетворяет условию 2.3) теоремы.

Пусть теперь <img width=«93» height=«20» src=«ref-1_1458140268-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838"> – такая формация, что <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839"> – монолитическая группа с цоколем <img width=«52» height=«17» src=«ref-1_1458127628-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">, <img width=«107» height=«20» src=«ref-1_1458140834-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">. Так как <img width=«83» height=«20» src=«ref-1_1458166391-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">, то <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458166585-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">. Но тогда <img width=«100» height=«20» src=«ref-1_1458154281-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">-насыщенная не <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1458146787-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">-формация. Значит, <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1458163485-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848"> и по лемме 11 получаем, что <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850"> равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.

Пусть <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851"> – абелева <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1458064954-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852">-группа, <img width=«37» height=«16» src=«ref-1_1458064345-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">. Тогда по лемме 14 имеем <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1458168201-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">. Пусть формация <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855"> удовлетворяет условию (1).

Предположим, что <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458145495-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">. Тогда <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458166585-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">. Значит, <img width=«123» height=«20» src=«ref-1_1458168817-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860">-насыщенная не <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1458146787-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861">-формация. Пусть <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862"> – группа минимального порядка из <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1458169612-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863">. Тогда <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864"> является монолитической группой с цоколем <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1458124164-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">. Ясно, что <img width=«196» height=«20» src=«ref-1_1458170154-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866"> и <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458170592-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1458170812-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868">-модуль <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458171008-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869">. Обозначим через <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458171096-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870">. Ввиду леммы 16 группа <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1458171247-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">. Так как <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1458171362-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">, то <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458171673-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">. Поскольку <img width=«155» height=«20» src=«ref-1_1458171920-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874"> и формация <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875"> разрешима, то <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876"> – абелева <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877">-группа для некоторого простого числа <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458172550-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">. Но <img width=«132» height=«20» src=«ref-1_1458172679-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879">. Если <img width=«32» height=«15» src=«ref-1_1458173009-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880">, то группа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881"> нильпотентна. Поскольку <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1458173216-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">, то <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_1458173451-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883"> – группа простого порядка <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884">. Но тогда по лемме 11 получаем, что <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886"> равен 1. Противоречие. Поэтому <img width=«32» height=«15» src=«ref-1_1458173917-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">. Так как при этом <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458174021-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">, то <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458174174-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">, что невозможно. Поэтому <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458147676-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">.

Но тогда <img width=«105» height=«20» src=«ref-1_1458174443-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891"> и <img width=«123» height=«20» src=«ref-1_1458168817-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894">-насыщенная не <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1458154783-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">-формация.

Рассмотрим группу <img width=«140» height=«21» src=«ref-1_1458175580-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896">. Тогда <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897"> является монолитической группой с цоколем <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1458176048-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898">. Поскольку <img width=«156» height=«20» src=«ref-1_1458176359-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899"> и формация <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900"> разрешима, то <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901"> – абелева <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902">-группа для некоторого простого числа <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903">. Ясно, что <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458170592-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904">. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1458170812-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905">-модуль <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458171008-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906">. Обозначим через <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458171096-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907">. Ввиду леммы 16 группа <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1458171247-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908">. Так как <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1458171362-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909">, то <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458171673-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910">. Но <img width=«135» height=«21» src=«ref-1_1458178396-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911">. Значит, <img width=«44» height=«16» src=«ref-1_1458178739-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912">. Но <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913"> – монолитическая группа. Значит, <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914"> – <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_1458055517-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915">-группа. Если <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458179129-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916">, то <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458174174-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917">, что невозможно. Значит, <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1458179402-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918">. Если <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_1458173451-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919">, то по лемме 11 <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921"> равен 1. Противоречие. Следовательно, <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_1458179925-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922">. Поскольку <img width=«103» height=«20» src=«ref-1_1458180060-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923">, то <img width=«35» height=«15» src=«ref-1_1458180364-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924">. Таким образом, <img width=«115» height=«20» src=«ref-1_1458180474-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925"> и <img width=«85» height=«20» src=«ref-1_1458180779-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926">. Тогда <img width=«28» height=«20» src=«ref-1_1458132836-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1927"> – минимальная не <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458181084-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1928">-формация. Поскольку группа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1929"> нильпотентна, то любая собственная подгруппа из <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930"> принадлежит <img width=«28» height=«20» src=«ref-1_1458132836-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931">. Таким образом, <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932"> – минимальная не <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458181084-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933">-группа. Так как при этом <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934"> – <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935">-группа, то <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936"> либо циклическая примарная группа порядка <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1458123652-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937">, либо неабелева группа порядка <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1458123915-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938"> простой нечетной экспоненты <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939">. Но тогда группа <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458182343-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940"> удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.

Пусть для формации <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941"> выполнено условие (2). Допустим, что <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458145495-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942">. Тогда <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458166585-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943">. Значит, <img width=«123» height=«20» src=«ref-1_1458168817-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946">-насыщенная не <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1458146787-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947">-формация. Поскольку <img width=«145» height=«20» src=«ref-1_1458183525-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948">, то <img width=«71» height=«20» src=«ref-1_1458183790-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949">. Так как при этом <img width=«36» height=«17» src=«ref-1_1458151799-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950">, то <img width=«156» height=«20» src=«ref-1_1458184066-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951">. Если <img width=«116» height=«20» src=«ref-1_1458184449-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952">, то <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458174174-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">, что невозможно. Значит, <img width=«115» height=«20» src=«ref-1_1458184924-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954">. Но <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1458152137-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955">. Следовательно, <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1458185489-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956">. Противоречие. Таким образом, <img width=«33» height=«17» src=«ref-1_1458147676-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957">.

Тогда <img width=«107» height=«20» src=«ref-1_1458185826-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958"> и <img width=«123» height=«20» src=«ref-1_1458168817-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961">-насыщенная не <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1458162460-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962">-формация. Выберем в <img width=«113» height=«21» src=«ref-1_1458186951-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963"> группу <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964"> минимального порядка. Тогда <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965"> – монолитическая группа с цоколем <img width=«95» height=«23» src=«ref-1_1458187483-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966"> и <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458170592-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967">. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1458170812-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968">-модуль <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458171008-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969">. Обозначим через <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458171096-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970">. Ввиду леммы 16 группа <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1458171247-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971">. Так как <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1458171362-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972">, то <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458188912-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973">. Предположим, что <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974"> – неабелев цоколь группы <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975">. Ввиду того, что <img width=«159» height=«20» src=«ref-1_1458189344-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976"> и

<img width=«216» height=«20» src=«ref-1_1458189718-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977">то <img width=«140» height=«20» src=«ref-1_1458190189-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978">. Следовательно, по лемме 13 имеем <img width=«101» height=«20» src=«ref-1_1458190458-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979">. Поскольку <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458190684-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980"> и <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1458190806-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981">, то группа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982"> изоморфна группе <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983">. Но тогда <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1458191232-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984">. Однако <img width=«139» height=«21» src=«ref-1_1458191541-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985">. Поэтому <img width=«81» height=«20» src=«ref-1_1458191921-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986"> и <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987">-дефект формации <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988"> равен 1. Противоречие. Следовательно, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989"> – абелева <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990">-группа, для некоторого простого числа <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458128703-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991">. Допустим, что <img width=«35» height=«16» src=«ref-1_1458125230-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992">. Пусть <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458192874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993"> – группа порядка <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994">. Тогда <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1458193052-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995">. Пусть <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458171008-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996"> – точный неприводимый <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1458193289-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997">-модуль и <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1458193481-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998">. Применяя лемму 16, получим <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458193634-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999">. Ввиду леммы 11 формация <img width=«83» height=«20» src=«ref-1_1458193758-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000"> имеет <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001">-дефект 1. Поскольку <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_1458194193-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002"> и <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1458194307-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003">, то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1458194457-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004">. Поскольку <img width=«159» height=«20» src=«ref-1_1458189344-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005"> и

<img width=«221» height=«20» src=«ref-1_1458194971-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006"> то <img width=«140» height=«20» src=«ref-1_1458190189-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007">. Следовательно, по лемме 13 имеем <img width=«105» height=«20» src=«ref-1_1458195728-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i2008"> Так как <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458190684-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009"> и <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1458190806-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010">, то группа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011"> изоморфна группе <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012">. Но <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1458125761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013"> – неабелева <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458142104-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014">-группа. Противоречие. Следовательно, данный случай невозможен.

Пусть формация <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015"> такая, что <img width=«107» height=«20» src=«ref-1_1458140834-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2016">. Так как <img width=«83» height=«20» src=«ref-1_1458166391-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2017">, то <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458166585-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018">. Но тогда <img width=«123» height=«20» src=«ref-1_1458168817-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021">-насыщенная не <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1458146787-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022">-формация. Пусть <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023"> – группа минимального порядка из <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1458169612-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024">. Тогда <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025"> является монолитической группой с цоколем <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1458124164-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026">. Понятно, что <img width=«196» height=«20» src=«ref-1_1458170154-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027"> и <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1458170592-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028">. Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1458170812-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029">-модуль <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458171008-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030">. Обозначим через <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458171096-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031">. Ввиду леммы 16 группа <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1458171247-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032">. Так как <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1458171362-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033">, то <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458171673-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034">.

Пусть <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035"> – абелева <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036">-группа для некоторого простого числа <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_1458125143-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037">. Если <img width=«35» height=«16» src=«ref-1_1458125230-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038">, то <img width=«56» height=«20» src=«ref-1_1458200836-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039">. Противоречие. Значит, <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1458194457-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040">. Кроме того, понятно, что <img width=«44» height=«20» src=«ref-1_1458201132-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041">. Так как в противном случае <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_1458201259-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042"> и по лемме 11 формация <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458171673-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043"> имеет <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044">-дефект 1, что невозможно. Поскольку <img width=«159» height=«20» src=«ref-1_1458189344-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045"> и <img width=«217» height=«20» src=«ref-1_1458202262-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046">, то <img width=«140» height=«20» src=«ref-1_1458190189-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047">. Тогда по лемме 13 получим, что <img width=«101» height=«20» src=«ref-1_1458190458-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048">. Так как <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458190684-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049"> и <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458203367-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050">, то группа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051"> изоморфна группе <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052">.

Пусть <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458124387-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053"> – неабелев цоколь группы <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054">. Тогда так как <img width=«159» height=«20» src=«ref-1_1458189344-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055"> и <img width=«212» height=«20» src=«ref-1_1458204266-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056">, то <img width=«140» height=«20» src=«ref-1_1458190189-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057">. Применяя теперь лемму 13, заключаем, что <img width=«101» height=«20» src=«ref-1_1458205006-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i2058">. Так как <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458190684-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2059"> и <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458142198-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2060"> получаем, ввиду монолитичности <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2061">, что группы <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1458123559-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2062"> и <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1458125563-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2063"> изоморфны.

Кроме того, заметим, что <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1458190806-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i2064">. Поскольку иначе найдется группа <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458070493-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2065"> простого порядка <img width=«36» height=«15» src=«ref-1_1458172550-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i2066">, такая, что <img width=«128» height=«20» src=«ref-1_1458206277-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i2067">. Пусть <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458171008-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2068"> – точный неприводимый <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1458206700-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2069">-модуль и <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1458206893-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i2070">. Применяя лемму 16, получим <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458193634-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i2071">. Ввиду леммы 11 формация <img width=«83» height=«20» src=«ref-1_1458193758-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2072"> имеет <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2073">-дефект 1. Поскольку <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_1458194193-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2074"> и <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1458194307-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i2075">, то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1458190806-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i2076">. Таким образом, группа <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458182343-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2077"> удовлетворяет условию 1.3) теоремы.

Пусть теперь <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2078"> – <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1458124478-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2079">-группа и пусть формация <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2080"> удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда <img width=«104» height=«20» src=«ref-1_1458208488-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i2081"> или, соответственно,<img width=«109» height=«20» src=«ref-1_1458208739-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i2082">. Если <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458209039-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i2083">, то <img width=«57» height=«19» src=«ref-1_1458209193-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2084"> или <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458209384-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i2085">. Но <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458122886-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2086"> – <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1458124478-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2087">-группа. Значит, <img width=«43» height=«16» src=«ref-1_1458209809-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2088">. Противоречие. Поэтому <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458209932-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2089">. Но тогда <img width=«65» height=«20» src=«ref-1_1458210095-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2090"> – единственная максимальная подформация <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458210263-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2091"> и <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2092"> – <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2093">-базисная группа. Если <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458210566-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2094">, то по лемме 11 формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2095"> имеет <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2096">-дефект 1. Противоречие. Значит, <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458210970-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2097">. Так как при этом, <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458211114-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2098">, то <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2099">-дефект формации <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458211436-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i2100"> равен 1. Значит, <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2101"> удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы.

Пусть теперь для формации <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_1458134053-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2102"> выполняется условие <img width=«81» height=«20» src=«ref-1_1458211905-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i2103">. Тогда по лемме 8 <img width=«105» height=«21» src=«ref-1_1458212087-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i2104"> – минимальная <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_1458047445-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2105">-кратно <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1458045673-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2106">-насыщенная не <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2107">-формация. Снова применяя лемму 8, получим, что <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1458212686-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i2108"> – <img width=«35» height=«20» src=«ref-1_1458212931-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2109">-критическая формация, …, <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1458210263-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2110"> – минимальная не <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2111">-формация и <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2112"> – <img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1458047815-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2113">-базисная группа. Если <img width=«57» height=«20» src=«ref-1_1458210566-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2114">, то по лемме 11 формация <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1458045933-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2115"> имеет <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2116">-дефект 1. Противоречие. Значит, <img width=«59» height=«20» src=«ref-1_1458210970-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2117">. Так как при этом, <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_1458211114-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2118">, то <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_1458050277-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2119">-дефект формации <img width=«79» height=«20» src=«ref-1_1458211436-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i2120"> равен 1. Таким образом, группа <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458046100-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2121"> удовлетворяет условию 3.3) теоремы.

продолжение
--PAGE_BREAK--

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Теория о бесконечности простых чисел близнецов

1 Сентября 2013

Реферат по математике

Метод математической индукции

1 Сентября 2013

Реферат по математике

Методы математической статистики

1 Сентября 2013

Реферат по математике

Лекции по математической статистике

1 Сентября 2013