Реферат: Логические формулы и операции Виды и правила вопросов
Логические операции .
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.
Выделяют следующие логические операции: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.
1. Операция инверсия (отрицание):
Отрицание — это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
Обозначается:
В естественном языке: соответствует словам «неверно, что...» и частице «не»
Диаграмма Эйлера-Венна:
Принимаемые значения:
Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества соответствует множество, дополняющее его до универсального множества. | |
Пример: Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли ( A)
2. Операция конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) (логическое умножение):
Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначается:
В естественном языке: соответствует союзу «и»
Принимаемые значения:
Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам. | |
Примеры:
1. 10 делится на 2 (A — и). 5 больше 3 (B — и). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B — и) .
2. 10 не делится на 2 (A — л). 5 больше 3 (B — и). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A B — л) .
3. 10 делится на 2 (A — и). 5 не больше 3 (B — л). 10 делится на 2 и 5 не больше 3 (A B — л) .
4. 10 не делится на 2 (A — л). 5 не больше 3 (B — л). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B — л) .
3. Операция дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) (логическое сложение):
Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Обозначается:
В естественном языке: соответствует союзу«или»
Принимаемые значения:
Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В. | |
Примеры:
1. 10 делится на 2 (A — и). 5 больше 3 (B — и). 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A B — и) .
2. 10 не делится на 2 (A — л). 5 больше 3 (B — и). 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A B — и) .
3. 10 делится на 2 (A — и). 5 не больше 3 (B — л). 10 делится на 2 или 5 не больше 3 (A B — и) .
4. 10 не делится на 2 (A — л). 5 не больше 3 (B — л). 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 (A B — л) .
4. Операция импликация (лат. лат. implico — тесно связаны) (логическое сложение):
Импликация — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Обозначается: о
В естественном языке: соответствует обороту «если ..., то ...»
Принимаемые значения: л
Примеры:
1. Данный четырёхугольник — квадрат (A — и). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B — и). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность(A B — и) .
2. Данный четырёхугольник — не квадрат (A — л). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B — и). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность(A B — и) .
3. Данный четырёхугольник — квадрат (A — и). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B — л). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность(A B — л) .
4. Данный четырёхугольник — не квадрат (A — л). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B — л). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность(A B — и) .
5. Операция эквиваленция (двойная импликация):
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Обозначается: о
В естественном языке: соответствует оборотам речи«тогда и только тогда»; «в том и только в том случае»
Принимаемые значения:
Примеры:
1. 24 делится на 6 (A — и). 24 делится на 3 (B — и). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3(A B — и) .
2. 24 не делится на 6 (A — л). 24 делится на 3 (B — и). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3(A B — л) .
3. 24 делится на 6 (A — и). 24 не делится на 3 (B — л). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3(A B — л) .
4. 24 не делится на 6 (A — л). 24 не делится на 3 (B — л). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3(A B — и) .
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация и эквиваленция.
Логические формулы.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Определение логической формулы:
1. Всякая логическая переменная и символы «истина» («1» ) и «ложь» («0» ) — формулы.
2. Если А и В — формулы, то , (А &В), (А v В), (А B), (А В) — формулы.
3. Никаких других формул в алгебре логики нет.
В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.
Пример:
Рассмотрим высказывание «если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог».
Обозначим буквой A высказывание: «купить яблоки» , буквой B — высказывание: «купить абрикосы» , буквой C — высказывание: «испечь пирог».
Тогда высказывание «если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог» формализуется в виде формулы:
(A v B) C
Формула выполнимая — если при определенных сочетаниях значений переменных она принимает значение «истина» («1» ) или «ложь» («0» ).
Как показывает анализ формулы (A v B) C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B иC она принимает значение «истина», а при некоторых других сочетаниях — значение «ложь».
Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v A, соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный.
Тавтология — тождественно истинная формула, или формула принимающая значение «истина» («1» ) при любых входящих в нее значениях переменных.
Логически истинные высказывания — высказывания, которые формализуются тавтологиями.
В качестве другого примера рассмотрим формулу А & A, которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо A обязательно ложно.
Противоречие — тождественно ложная формула, или формула принимающая значение «ложь» («0» ) при любых входящих в нее значениях переменных.
Логически ложные высказывания — высказывания, которые формализуются противоречиями.
Равносильные формулы — две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных.
Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом .
Равносильное преобразование формулы — замена формулы другой, ей равносильной.