Реферат: Виды доказательств
содержание
Прямое и косвенное доказательство… 3
Прямое доказательство… 4
Косвенное доказательство… 5
Следствия, противоречащие фактам… 7
Внутренне противоречивые следствия… 7
Разделительное доказательство… 9
Заключение… 11
ЛИТЕРАТУРА… 12
Прямое и косвенное доказательство
Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математикудовольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и вфизике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств.Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательствоизвестной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным; никто не можетсчесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способрассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательствавозникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает васдопустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реальногопонимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы наконецвыходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесьочутился».
Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент,заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначеего части лишатся связи, и оно в любой момент может рассыпаться, как карточныйдомик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию,каждая часть которой необходима на своем месте. Как раз такого целостногопонимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-топростое доказательство представилось ему блужданием в лабиринте: каждый шагпути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.
Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает.Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к имеющемусязнанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишьубеждаться в правильности каждого его последующего шага — это, по словамфранцузского математика А. Пуанкаре, равносильно такому наблюдению за игрой вшахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры.
Минимальное требование — это понимание логического выведениякак целенаправленной процедуры. Только в этом случае достигается интуитивнаяясность того, что мы делаем.
«Я принужден сознаться, — заметил как-то Пуанкаре, — чтоположительно не способен сделать без ошибки сложение. Моя память не плохая; ночтобы стать хорошим игроком в шахматы, она оказалась бы недостаточной. Почемуже она не изменяет мне в сложных математических рассуждениях, в которых запуталисьбы большинство шахматных игроков? Это происходит, очевидно, потому, что вданном случае память моя направляется общим ходом рассуждения. Математическоедоказательство не есть простое сцепление умозаключений: это умозаключения,расположенные в определенном порядке; и порядок, в котором расположены эти элементы.Если у меня есть чувство… этого порядка, вследствие чего я сразу могу обнятьвсю совокупность рассуждений, мне уже нечего бояться забыть какой-либо элемент;каждый из них сам собою займет свое место...»
То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказательства»,можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги,воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схемаостается в памяти, когда забываются подробности доказательства. С точки зренияобщего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.
Прямое доказательствоПри прямом доказательстве задача состоит в том, чтобыподыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получаетсятезис.
Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольникаравна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем,что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма егоуглов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма угловтреугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма угловчетырехугольника равна 360°.
В построении прямого доказательства можно выделить двасвязанных между собою этапа: отыскание тех, признанных обоснованнымиутверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемогоположения; установление логической связи между найденными аргументами итезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательствомпонимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемыйтезис.
Еще пример. Нужно доказать, что космические корабли подчиняютсядействию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: имподчиняются все тела в любых точках космического пространства. Очевидно также,что космический корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соответствующеедедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемогоутверждения.
Косвенное доказательствоКосвенное доказательство устанавливает справедливость тезисатем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.
Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа,«косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемомполитикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутациюкандидата другой партии».
В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольнымпутем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выведения из нихдоказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения.Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. Позакону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другуутверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит,тезис является верным.
Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемогоположения, оно является, как говорят, доказательством от противного.
Допустим, нужно построить косвенное доказательство такоговесьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигаетсяантитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этогоутверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из нихокажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из котороговыведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие:у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен бытьистинным.
Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом,рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные длянего симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобногонет. Значит, нет и гриппа.
Это опять-таки косвенное доказательство. Вместо прямого обоснованиятезиса выдвигается антитезис, что у пациента в самом деле грипп. Из антитезисавыводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Это говорит,что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.
Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях,особенно в споре. При умелом применении они могут обладать особеннойубедительностью.
Итак, ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем,что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать несостоятельностьего отрицания. В зависимости от того, как решается последняя задача, можновыделить несколько разновидностей косвенного доказательства.
Следствия, противоречащиефактамЧаще всего ложность антитезиса удается установить простымсопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Так обстояло, вчастности, дело в примере с гриппом.
Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский ученыйД. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное дляпонимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега вконце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, кактолько температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были быопустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снегадолжно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвалскрытой.
Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а значит,и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимынаводнений обычно нет, снег тает постепенно.
Внутренне противоречивыеследствияПо логическому закону непротиворечия одно из двухпротиворечащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числеследствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного итого же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.
Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, посколькуиз него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов.
Ложным будет также положение, из которого выводится внутреннепротиворечивое высказывание или высказывание о тождестве утверждения иотрицания.
Один из приемов косвенного доказательства — выведение изантитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, онявно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис доказательства — верно.
Хорошим примером такого рассуждения служит известное доказательствоЕвклида, что ряд простых чисел бесконечен.
Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиесятолько на себя и на единицу. Простые числа — это как бы «первичные элементы»,на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественнопредположить, что ряд простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11,13,… — бесконечен. Для доказательства данноготезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение.Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А.Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •… • А) + 1. Число В больше А,поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простоечисло. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5,… А, то в остаткеполучится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисели является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существуетпоследнее простое число, мы пришли к противоречию: существует числоодновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанноепредположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чиселбесконечен.
В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическоепротиворечие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно обистинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.
Если имеется в виду только та часть подобных доказательств,в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются потрадиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, чтоиз него выводится откровенная нелепость.
Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства,когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что длядоказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает изсвоего собственного отрицания.
Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если изложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.
К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, выведено,что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти.
По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей «Геометрии». Этуже схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с другимдревнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинновсе то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что изположения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания«Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положениеПротагора на самом деле истинно.
Разделительное доказательствоВо всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаютсядве альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, витоге остается только тезис.
Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностейтолько двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенномудоказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в техслучаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив,полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.
Например, нужно доказать, что одна величина равна другой.Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или перваябольше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, чтони одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены иостанется только третий: величины равны.
Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаютсявсе возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. Встандартных косвенных доказательствах альтернативы — тезис и антитезис —исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательствевзаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимыеальтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами.Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не всевозможности.
С помощью разделительного доказательства можно попытаться,например, показать, что в Солнечной системе жизнь есть только на Земле. Вкачестве возможных альтернатив выдвинем утверждения, что жизнь есть наМеркурии, Венере, Земле и т.д., перечисляя все планеты Солнечной системы.Опровергая затем все альтернативы, кроме одной — говорящей о наличии жизни наЗемле, получим доказательство исходного утверждения.
Нужно заметить, что в ходе доказательства рассматриваются иопровергаются допущения о существовании жизни на других планетах. Вопрос отом, если ли жизнь на Земле, вообще не поднимается. Ответ получается косвеннымобразом: путем показа того, что ни на одной другой планете нет жизни. Этодоказательство оказалось бы, конечно, несостоятельным, если бы, допустим,выяснилось, что, хотя ни на одной планете, кроме Земли, жизни нет, живыесущества имеются на одной из комет или на одной из так называемых малых планет,тоже входящих в состав Солнечной системы.
ЗаключениеЗаканчивая разговор о косвенных доказательствах, обратимвнимание на их своеобразие, ограничивающее в известной мере их применимость.
Нет сомнения, что косвенное доказательство представляетсобой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены всевремя сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которогонеобходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательствасостоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия дотех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арно А., Николь П. Логика, илиИскусство мыслить, М,: Наука, 1981.
2. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! М.:Мир, 1984.
3. Горский Д.П., Ивин А.А., НикифоровА.Л. Краткий словарь по логике. М,: Просвещение, 1991.
4. Ивин А, А. Искусство правильномыслить. М,: Просвещение, 1991.
5. Ивин А. А, По законам логики. М.,1983.
6. Кириллов В. И. Упражнения пологике, М,, 1994.
7. Ковальски Р. Логика в решении проблем,М.: Наука, 1991.
8. Поварнин С. И. Искусство спора. М.,1995.