Реферат: Моделі відкритої мережі

--PAGE_BREAK--1.3 Достатня умова ергодичності
Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).

Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична
<img width=«248» height=«53» src=«ref-1_1358023397-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">
має нетривіальне рішення <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1358024309-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> таке, що <img width=«92» height=«37» src=«ref-1_1358024732-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]

Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.

Регулярність треба з того, що <img width=«135» height=«37» src=«ref-1_1358025225-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">.
<img width=«96» height=«25» src=«ref-1_1358025812-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">,                 <img width=«99» height=«25» src=«ref-1_1358026100-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">,                 <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1358026402-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">.
Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:
<img width=«63» height=«20» src=«ref-1_1358026706-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">,                        <img width=«73» height=«47» src=«ref-1_1358027032-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">,                      <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_1358026706-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">.
Таким чином, регулярність виконується.

Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан <img width=«79» height=«25» src=«ref-1_1358027785-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">можна перейти з нульового <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1358028203-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> й у <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1358028203-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> можна перейти з будь-якого стану, шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.

Примітка – тут ураховується, що матриця переходів <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1358029097-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> неприводима.

Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо <img width=«128» height=«25» src=«ref-1_1358029305-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">. Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб <img width=«92» height=«37» src=«ref-1_1358029685-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">      . Тоді одержимо,
<img width=«289» height=«48» src=«ref-1_1358030225-1007.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">,
де
<img width=«335» height=«28» src=«ref-1_1358031232-883.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">,

<img width=«485» height=«63» src=«ref-1_1358032115-1698.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд
  <img width=«337» height=«69» src=«ref-1_1358033813-1234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.




2. Полумарковська модель мережі із трьома вузлами
Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходить найпростіший потік заявок з параметром <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1357958975-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">. Причому, у першу систему масового обслуговування, що входить заявка надходить із імовірністю <img width=«52» height=«25» src=«ref-1_1357959239-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">. Часи обслуговування заявок в <img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1357959881-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">-ом вузлі задані функцією розподілу часу обслуговування <img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1357959881-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">-им приладом однієї заявки <img width=«41» height=«25» src=«ref-1_1358035963-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_1357960460-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> . При цьому накладає наступна вимога
<img width=«220» height=«49» src=«ref-1_1358036684-866.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_1357960460-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">.                 (2.1)
Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі LCFS PR — заявка, що надходить в <img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1357959881-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">-ий вузол, витісняє заявку із приладу й починає обслуговуватися. Витиснута із приладу заявка стає в початок черги. Схематично мережа зображена на малюнку 2.1.

Стан мережі описується випадковим процесом
<img width=«540» height=«28» src=«ref-1_1358038112-1516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">,
де <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1358039628-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1358039977-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">, <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_1358040327-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">  — залишковий час обслуговування заявки, що коштує в <img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1357959881-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">-ой позиції.

Примітка. Випадковий процес
<img width=«183» height=«25» src=«ref-1_1357963675-724.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">,
де <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1357964399-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> — число заявок в <img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1357959881-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">-ом вузлі в момент <img width=«11» height=«19» src=«ref-1_1357964936-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1357962073-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">, не є марковським процесом. Для марковизації процесу включаємо додаткові змінні. Щоб <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1358042781-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> був марковським процесом, додаткові змінні візьмемо, як залишкові часи від моменту часу <img width=«11» height=«19» src=«ref-1_1357964936-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> до повного завершення відповідних часів. Виходить, процес <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1358042781-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">  — марковський процес.

Таким чином, з вищесказаного треба, що побудовано полумарковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.
2.1 Диференційно-різницеві рівняння Колмогорова
У відповідності методом диференціальних рівнянь і малюнком 2.1, складемо наступні рівняння
<img width=«484» height=«28» src=«ref-1_1358043743-1106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

<img width=«476» height=«28» src=«ref-1_1358044849-1091.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">

<img width=«488» height=«28» src=«ref-1_1358045940-1169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">

<img width=«564» height=«28» src=«ref-1_1358047109-1414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

<img width=«411» height=«28» src=«ref-1_1358048523-1127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> 

<img width=«429» height=«28» src=«ref-1_1358049650-1240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

<img width=«521» height=«28» src=«ref-1_1358050890-1426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

<img width=«429» height=«28» src=«ref-1_1358052316-1153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">

<img width=«429» height=«28» src=«ref-1_1358049650-1240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">

<img width=«459» height=«47» src=«ref-1_1358054709-1273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

<img width=«359» height=«28» src=«ref-1_1358055982-976.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

<img width=«429» height=«28» src=«ref-1_1358049650-1240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

<img width=«567» height=«47» src=«ref-1_1358058198-1625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">

<img width=«363» height=«28» src=«ref-1_1358059823-985.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">

<img width=«452» height=«28» src=«ref-1_1358060808-1239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">

<img width=«507» height=«24» src=«ref-1_1358062047-1011.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">

<img width=«407» height=«28» src=«ref-1_1358063058-1097.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

<img width=«388» height=«28» src=«ref-1_1358064155-1131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> 

<img width=«554» height=«25» src=«ref-1_1358065286-1063.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«352» height=«28» src=«ref-1_1358066349-1016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

<img width=«365» height=«28» src=«ref-1_1358067365-1037.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">,                    (2.1.1)
де <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1358068402-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, <img width=«60» height=«20» src=«ref-1_1358068775-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">.

Скористаємося наступними формулами:
<img width=«484» height=«27» src=«ref-1_1358069066-1334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

<img width=«365» height=«27» src=«ref-1_1358070400-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">,

<img width=«291» height=«25» src=«ref-1_1358071268-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">

<img width=«431» height=«27» src=«ref-1_1358071999-1043.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

<img width=«488» height=«27» src=«ref-1_1358073042-930.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">

<img width=«477» height=«27» src=«ref-1_1358073972-894.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> [7]
Тоді рівняння (2.1.1) запишуться в такий спосіб
<img width=«423» height=«28» src=«ref-1_1358074866-953.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

<img width=«566» height=«25» src=«ref-1_1358075819-1066.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

<img width=«475» height=«28» src=«ref-1_1358076885-938.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">

<img width=«467» height=«28» src=«ref-1_1358077823-989.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">

<img width=«469» height=«28» src=«ref-1_1358078812-997.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">

<img width=«429» height=«28» src=«ref-1_1358079809-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

<img width=«432» height=«28» src=«ref-1_1358080763-972.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

<img width=«436» height=«28» src=«ref-1_1358081735-955.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

<img width=«563» height=«24» src=«ref-1_1358082690-1077.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">

<img width=«438» height=«25» src=«ref-1_1358083767-853.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">

<img width=«479» height=«28» src=«ref-1_1358084620-1007.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

<img width=«447» height=«28» src=«ref-1_1358085627-1003.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

<img width=«524» height=«47» src=«ref-1_1358086630-1189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">

<img width=«459» height=«28» src=«ref-1_1358087819-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">

<img width=«453» height=«28» src=«ref-1_1358088788-985.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">

<img width=«424» height=«28» src=«ref-1_1358089773-979.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">

<img width=«514» height=«38» src=«ref-1_1358090752-1095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">

<img width=«476» height=«28» src=«ref-1_1358091847-986.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">

<img width=«476» height=«28» src=«ref-1_1358092833-1019.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">

<img width=«447» height=«28» src=«ref-1_1358093852-992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">

<img width=«541» height=«25» src=«ref-1_1358094844-1045.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">

<img width=«484» height=«28» src=«ref-1_1358095889-1017.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">

<img width=«476» height=«28» src=«ref-1_1358096906-997.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

<img width=«447» height=«28» src=«ref-1_1358097903-989.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">               (2.1.2)

<img width=«543» height=«26» src=«ref-1_1358098892-1091.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">
Зважаючи на те, що деякі події є неможливими (вони дорівнюють нулю), рівняння (2.1.2) приймуть наступний вид
<img width=«423» height=«28» src=«ref-1_1358074866-953.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">

<img width=«524» height=«25» src=«ref-1_1358100936-1060.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

<img width=«468» height=«28» src=«ref-1_1358101996-1010.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">

<img width=«467» height=«28» src=«ref-1_1358077823-989.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">

<img width=«475» height=«28» src=«ref-1_1358103995-1017.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">

<img width=«542» height=«25» src=«ref-1_1358105012-1145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">

<img width=«149» height=«27» src=«ref-1_1358106157-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">

<img width=«520» height=«28» src=«ref-1_1358106699-1065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">

<img width=«511» height=«46» src=«ref-1_1358107764-1073.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">

<img width=«161» height=«46» src=«ref-1_1358108837-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">

<img width=«523» height=«28» src=«ref-1_1358109472-1051.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> 

<img width=«565» height=«24» src=«ref-1_1358110523-1039.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">
Розкладання функції <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1358111562-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> в ряд Тейлора, має вигляд
<img width=«568» height=«64» src=«ref-1_1358111767-1250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">
де <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_1358113017-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">  — позиція елемента <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1358113260-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> й <img width=«41» height=«20» src=«ref-1_1358113461-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> відповідно.

Використовуючи розкладання функції <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1358111562-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> в ряд Тейлора, перетворимо рівняння (2.1.3)
<img width=«428» height=«28» src=«ref-1_1358113898-949.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">

<img width=«555» height=«28» src=«ref-1_1358114847-1226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">

<img width=«448» height=«57» src=«ref-1_1358116073-1213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">

<img width=«448» height=«57» src=«ref-1_1358117286-1194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">

<img width=«448» height=«57» src=«ref-1_1358118480-1214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">

<img width=«412» height=«28» src=«ref-1_1358119694-966.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">

<img width=«435» height=«57» src=«ref-1_1358120660-1218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">

<img width=«409» height=«28» src=«ref-1_1358121878-982.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">

<img width=«433» height=«57» src=«ref-1_1358122860-1211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

<img width=«412» height=«28» src=«ref-1_1358124071-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

<img width=«491» height=«57» src=«ref-1_1358125040-1411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">

<img width=«218» height=«27» src=«ref-1_1358126451-723.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">

<img width=«459» height=«28» src=«ref-1_1358127174-1010.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">

<img width=«471» height=«57» src=«ref-1_1358128184-1244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">

<img width=«471» height=«57» src=«ref-1_1358129428-1225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">

<img width=«525» height=«57» src=«ref-1_1358130653-1393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">

<img width=«556» height=«28» src=«ref-1_1358132046-1363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">

<img width=«527» height=«57» src=«ref-1_1358133409-1422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">

<img width=«472» height=«47» src=«ref-1_1358134831-1176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">

<img width=«516» height=«57» src=«ref-1_1358136007-1414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">

<img width=«563» height=«47» src=«ref-1_1358137421-1511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">

<img width=«533» height=«57» src=«ref-1_1358138932-1424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">

<img width=«545» height=«28» src=«ref-1_1358140356-1355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">

<img width=«523» height=«57» src=«ref-1_1358141711-1439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">.
Переносимо <img width=«300» height=«27» src=«ref-1_1358143150-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> в ліву частину рівності, потім ділимо обидві частини на <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1358113260-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> й спрямовуємо <img width=«49» height=«20» src=«ref-1_1358144137-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, одержимо
<img width=«421» height=«49» src=«ref-1_1358144465-1122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">

<img width=«467» height=«28» src=«ref-1_1358145587-1027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

<img width=«435» height=«57» src=«ref-1_1358146614-1145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

<img width=«435» height=«57» src=«ref-1_1358147759-1179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">

<img width=«433» height=«57» src=«ref-1_1358148938-1166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">

<img width=«421» height=«57» src=«ref-1_1358150104-1189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

<img width=«419» height=«57» src=«ref-1_1358151293-1182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">          (2.1.4)

<img width=«421» height=«57» src=«ref-1_1358152475-1184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">

<img width=«555» height=«28» src=«ref-1_1358153659-1239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">

<img width=«571» height=«57» src=«ref-1_1358154898-1509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">

<img width=«575» height=«57» src=«ref-1_1358156407-1612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">

<img width=«561» height=«57» src=«ref-1_1358158019-1480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">

<img width=«461» height=«57» src=«ref-1_1358159499-1339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">.
Таким чином, рівняння (2.1.4) і є шукані рівняння Колмогорова.
2.2 Пошук рішення диференційно-різницевих рівнянь Колмогорова
Рішенням рівнянь Колмогорова (2.1.4) є:
<img width=«535» height=«36» src=«ref-1_1358160838-1758.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> 

<img width=«547» height=«68» src=«ref-1_1358162596-1724.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> .
Перевіримо знайдене рішення (2.2.1) безпосередньою підстановкою в рівняння (2.1.4), одержимо
<img width=«181» height=«28» src=«ref-1_1358164320-826.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358165146-1319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">

<img width=«292» height=«31» src=«ref-1_1358166465-1000.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">

<img width=«476» height=«51» src=«ref-1_1358167465-1323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">

<img width=«297» height=«31» src=«ref-1_1358168788-1009.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">

<img width=«476» height=«51» src=«ref-1_1358169797-1328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">

<img width=«293» height=«31» src=«ref-1_1358171125-1004.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358172129-1321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">

<img width=«171» height=«28» src=«ref-1_1358173450-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">

<img width=«485» height=«51» src=«ref-1_1358174221-1348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">

<img width=«171» height=«28» src=«ref-1_1358173450-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358176340-1316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">

<img width=«171» height=«28» src=«ref-1_1358173450-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358172129-1321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">

<img width=«272» height=«47» src=«ref-1_1358179748-1074.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">

<img width=«488» height=«51» src=«ref-1_1358180822-1349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">

<img width=«263» height=«31» src=«ref-1_1358182171-1015.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358176340-1316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">

<img width=«260» height=«31» src=«ref-1_1358184502-966.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">

<img width=«485» height=«51» src=«ref-1_1358185468-1344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">

<img width=«171» height=«28» src=«ref-1_1358173450-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358187583-1303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">

<img width=«273» height=«47» src=«ref-1_1358188886-1095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">

<img width=«483» height=«51» src=«ref-1_1358189981-1384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">

<img width=«196» height=«28» src=«ref-1_1358191365-812.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358192177-1298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">

<img width=«257» height=«31» src=«ref-1_1358193475-1005.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358194480-1332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">

<img width=«263» height=«31» src=«ref-1_1358195812-1029.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358196841-1312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">

<img width=«253» height=«31» src=«ref-1_1358198153-984.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358172129-1321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">

<img width=«183» height=«28» src=«ref-1_1358200458-824.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358187583-1303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">

<img width=«263» height=«31» src=«ref-1_1358182171-1015.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358176340-1316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">

<img width=«261» height=«31» src=«ref-1_1358204916-975.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">

<img width=«481» height=«51» src=«ref-1_1358172129-1321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">

<img width=«301» height=«47» src=«ref-1_1358207212-1119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">
Таким чином, 0=0, тобто рішення (2.2.1) задовольняє рівнянням (2.1.4).
    продолжение
--PAGE_BREAK--