Реферат: Алгоритмические машины

--PAGE_BREAK--2. Алгоритм как абстрактная машина



Понятие, в особенности частично рекурсивной функции, является одним из главных понятий теории алгоритмов. Значение его состоит в следующем. С одной стороны, каждая стандартно заданная частично рекурсивная функция вычислима путем некоторой процедуры механического характера, отвечающей интуитивному представлению об алгоритмах. С другой стороны, какие бы классы точно очерченных алгоритмов ни строились, во всех случаях неизменно оказывалось, что вычислимые посредством них числовые функции являлись частично рекурсивными. Поэтому общепринятой является научная гипотеза, формулируемая как тезис Чёрча: «Класс осуществляемых операций, попадающих, таким образом, под определение «алгоритма» (или «вычисления», или «выполнимой процедуры», или «рекурсивной операции»), остался бы в точности тем же самым, если мы расширим определение наших машин...».

Этот тезис дает алгоритмическое истолкование понятия частично рекурсивной функции. Его нельзя доказать, поскольку он связывает нестрогое математическое понятие интуитивно вычислимой функции со строгим математическим понятием частично рекурсивной функции. Однако исследования, проводившиеся весьма многими математиками в течение нескольких десятилетий, выявили полную целесообразность считать понятие частично рекурсивной функции научным эквивалентом интуитивного понятия вычислимой частичной функции.

Тезис Чёрча оказался достаточным, чтобы придать необходимую точность формулировкам алгоритмических проблем и в ряде случаев сделать возможным доказательство их неразрешимости. Причина заключается в том, что обычно в алгоритмических проблемах математики речь идет не об алгоритмах, а о вычислимости некоторых специальным образом построенных функций. В силу тезиса Чёрча вопрос о вычислимости функции равносилен вопросу о ее рекурсивности. Понятие рекурсивной функции строгое. Поэтому обычная математическая техника позволяет иногда непосредственно доказать, что решающая задачу функция не может быть рекурсивной. Именно этим путем самому Чёрчу удалось доказать неразрешимость основной алгоритмической проблемы логики предикатов – проблемы тождественной истинности формул исчисления первой ступени.

Точное описание класса частично рекурсивных функций вместе с тезисом Чёрча дает одно из возможных решений задачи об уточнении понятия алгоритма. Однако это решение не вполне прямое, так как понятие вычислимой функции является вторичным по отношению к понятию алгоритма. Спрашивается, нельзя ли уточнить непосредственно само понятие алгоритма и уже затем при его помощи определить точно и класс вычислимых функций? Такое направление поиска привело к построению иного, нежели рекурсивные функции, класса моделей алгоритма. Основная его идея состоит в том, что алгоритмические процессы – это процессы, которые может осуществлять определенным образом устроенная машина, моделирующая тем самым выполнение отдельных операций человеком. Функционирование такой машины и есть выполнение некоторого алгоритма.

Исходя из свойств алгоритма, можно сформулировать общие требования к таким машинам:

1.      характер их функционирования должен быть дискретным, т.е. состоять из отдельных шагов (команд), каждый из которых выполняется только после завершения предыдущего;

2.      действия должны быть детерминированы, т.е. шаги выполняются в строгом порядке, а их результат определяется самим шагом и результатами предыдущих шагов;

3.      перед началом работы машине предоставляются исходные данные из области определения алгоритма;

4.      за конечное число шагов работы машины должен быть получен результат или информация о том, что считать результатом;

5.      машина должна быть универсальной, т.е. такой, чтобы с её помощью можно было бы выполнить любой алгоритм.

Чем проще структура (устройство) описанной машины и чем элементарнее ее шаги, тем больше оснований считать, что ее работа и есть выполнение алгоритма. Чтобы ответить на вопрос, какие шаги работы машины следует отнести к элементарным, вернемся к тому обстоятельству, что нас интересует преобразование информации, представленной с помощью некоторого конечного алфавита. Требование конечности алфавита является очевидным следствием того обстоятельства, что решение должно быть получено за конечное число шагов. Если информация не представлена в дискретной форме, например вещественное число, то его обработка в общем случае может содержать бесконечное число шагов, например нахождение цифр числа π или извлечение квадратного корня из числа 2. Таким образом, алгоритм оказывается конечной последовательностью действий, производимых над данными, представленными с помощью конечного алфавита. С учетом сказанного становится понятным определение алгоритма, которое дает В.М. Глушков: «Алгоритм– это любая конечная система правил преобразования информации (данных) над любым конечным алфавитом».

Пусть исходные данные из области определения алгоритма представлены посредством алфавита A и образуют при этом конечную последовательность знаков {a1…an} – такая последовательность называется словом. В результате выполнения алгоритма сформируется новое слово {b1…bm}, представленное, в общем случае, в другом алфавите B. На первый взгляд для проведения такого преобразования в качестве элементарных выделяются следующие операции (шаги):

1.          замена одного знака исходного слова ai знаком bj из алфавита B;

2.          удаление знака исходного слова;

3.          добавление к исходному слову знака из алфавита B.

Однако если в алфавиты включен знак, имеющий смысл пустого знака, добавление которого к слову слева или справа не изменяет этого слова, по аналогии добавления слева числового нуля к числу, то легко видеть, что: операция (2) есть ни что иное, как замена ai пустым знаком, а операция (3) есть замена пустого знака знаком bj. Таким образом, все возможные алфавитные преобразования сводятся к операции (1) – замене одного знака другим. Именно по этой причине функционирование абстрактной машины сводится к тому, что она считывает и распознает символы, записанные в памяти, в качестве которой выступает бесконечная лента, и, в зависимости от своего состояния, и того, каков обозреваемый символ, она заменяет его другим символом. После этого она переходит в новое состояние, читает следующий символ и т.д. до команды о прекращении работы. Поскольку подобные машины являются чисто модельным, теоретическим построением, они получили название абстрактных машин и рассматриваются в качестве одной из возможных универсальных алгоритмических систем.
    продолжение
--PAGE_BREAK--3. Алгоритмическая машина Поста



На самом деле, Пост, в отличие от Тьюринга, не пользовался термином «машина», а называл свою модель алгоритмической системой. Однако, подчеркивая единство подходов обоих авторов, принято говорить о машине Поста.

Абстрактная машина Поста состоит из бесконечной ленты, разделенной на равные секции, а также считывающе-записывающей головки. Каждая секция может быть либо пуста (т.е. в нее ничего не записано), либо заполнена (отмечена, т.е. в нее записана метка). Вводится понятие состояние ленты как информация о том, какие секции пусты, а какие отмечены. По-другому: состояние ленты – это распределение меток по секциям, т.е. это функция, которая каждому числовому номеру секции ставит в соответствие либо метку, либо знак «пусто». Естественно, в процессе работы машины состояние ленты меняется. Состояние ленты и информация о положении головки характеризуют состояние машины Поста.

Условимся обозначать головку знаком «<img width=«18» height=«12» src=«ref-1_1896459695-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">» над обозреваемой секцией, а метку – знаком «M» внутри секции. Пустая секция никакого знака не содержит. За один такт (его называют шагом) головка может сдвинуться на одну секцию вправо или влево и поставить или удалить метку. Работа машины Поста заключается в переходе от одного состояния машины к другому в соответствии с заданной программой, которая строится из отдельных команд. Каждая команда имеет структуру xKy, где:

−                  x – номер исполняемой команды;

−                  K – указание о выполняемом действии;

−                  y – номер следующей команды (наследника).

Система команд машины, включающая шесть действий, представлена в таблице 1.
Таблица 1 — Система команд машины Поста



Данный перечень должен быть дополнен следующими условиями:

−                  команда xMyможет быть выполнена только в пустой секции;

−                  команда xCy может применяться только к заполненной секции;

−                  номер наследника любой команды y должен соответствовать номеру команды, обязательной имеющейся в данной программе.

Если данные условия не выполняются, происходит безрезультатная остановка машины, т.е. остановка до получения запланированного результата. В отличие от этой ситуации, остановка по команде xстоп является результативной, т.е. она происходит после того, как результат действия алгоритма получен. Кроме того, возможна ситуация, когда машина не останавливается никогда. Это происходит, если ни одна из команд не содержит в качестве последователя номера команды остановки или программа не переходит к этой команде.

Еще одним исходным соображением является следующее: поскольку знаки любого конечного алфавита могут быть закодированы цифрами, преобразование исходного слова может быть представлено в виде некоторых правил обработки чисел. По этой причине в машине Поста предусматривается только запись (представление) целых положительных чисел.

Целое число k записывается на ленте машины Поста посредством k+1 следующих подряд отмеченных секций, т.е. применяется унарная система счисления. Соседние записи чисел на ленте разделяются одной или несколькими пустыми секциями.

Ниже приведен пример записи чисел 0, 2 и 3.





Круг вычислительных задач, решаемых с помощью машины Поста, весьма широк. Однако, как указывалось выше, на уровне элементарных шагов все сводится к постановке или удалению метки и сдвигу головки. В качестве примеров рассмотрим несколько задач, традиционно обсуждаемых при освоении машины Поста. Поскольку вид программы (последовательности команд машины) зависит от начального состояния машины, оно должно быть в явном виде указано в постановке задачи.
    продолжение
--PAGE_BREAK--4. Алгоритмическая машина Тьюринга



Машина Тьюринга (Turing machine) получила свое название по имени английского математика Алана Тьюринга, предложившего в 1937 г. способ формального задания алгоритмов с помощью некоторой абстрактной машины. Суть работы сводится к следующему. Имеется потенциально бесконечная лента, разбитая на ячейки, в каждой из которых может быть записан один символ из некоторого конечного алфавита. Машина Тьюринга имеет головку чтения/записи, которая позволяет прочитать символ в текущей ячейке, записать символ в ячейку, а также сдвинуть головку влево или вправо в соседнюю ячейку. Машина работает дискретно, по тактам и на каждом такте находится в одном из возможных состояний, которых конечное число. Для каждой пары (состояние, обозреваемый символ) определена тройка (записываемый символ, движение головки, новое состояние). До начала работы машина Тьюринга находится в начальном состоянии, а головка чтения-записи обозревает на ленте самую левую непустую ячейку. Таким образом, обозревая очередной символ, машина записывает новый символ (может быть, тот же самый), сдвигает головку влево, вправо или остается на месте и переходит в новое состояние или остается в прежнем.

Машина Тьюринга состоит из трех частей: ленты, считывающей (записывающей) головки и логического устройства (рис. 1).

Лента выступает в качестве внешней памяти. Она считается неограниченной (бесконечной). Уже это свидетельствует о том, что машина Тьюринга является модельным устройством, поскольку ни одно реальное устройство не может обладать памятью бесконечного размера.


<img width=«343» height=«164» src=«ref-1_1896460875-3214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">

Рис. 1 — Схема машина Тьюринга
Как и в машине Поста, лента разбита на отдельные ячейки, однако в машине Тьюринга неподвижной является головка, а лента передвигается относительно нее вправо или влево.

Другим отличием является то, что она работает не в двоичном, а некотором произвольном конечном алфавите A = {Δ, a1…an} – этот алфавит называется внешним. В нем выделяется специальный символ – Δ, называемый пустым знаком – его посылка в какую-либо ячейку стирает тот знак, который до этого там находился, и оставляет ячейку пустой. В каждую ячейку ленты может быть записан лишь один символ. Информация, хранящаяся на ленте, изображается конечной последовательностью знаков внешнего алфавита, отличных от пустого знака.

Головка всегда расположена над одной из ячеек ленты. Работа происходит тактами (шагами). Система исполняемых головкой команд предельно проста: на каждом такте она производит замену знака в обозреваемой ячейке ai знаком aj. При этом возможны сочетания:

−            j = i      – означает, что в обозреваемой ячейке знак не изменился;

−            i ≠ 0, j = 0 – хранившийся в ячейке знак заменяется пустым, т.е. стирается;

−            i = 0, j ≠ 0 – пустой знак заменяется непустым (с номером j в алфавите), т.е. производится вставка знака;

−            i ≠ j ≠ 0          – соответствует замене одного знака другим.

Таким образом, в машине Тьюринга реализуется система предельно простых команд обработки информации. Эта система команд обработки дополняется также предельно простой системой команд перемещений ленты: на ячейку влево, на ячейку вправо и остаться на месте, т.е. адрес обозреваемой ячейки в результате выполнения команды может либо измениться на 1, либо остаться неизменным. Однако, хотя фактически происходит перемещение ленты, обычно рассматривается сдвиг головки относительно обозреваемой секции. По этой причине команда сдвига ленты влево обозначается R (Right), сдвига вправо – L (Left), отсутствие сдвига – S (Stop). Мы будем говорить именно о сдвиге головки и считать R, L и S командами ее движения. Элементарность этих команд означает, что при необходимости обращения к содержимому некоторой ячейки, она отыскивается только посредством цепочки отдельных сдвигов на одну ячейку. Разумеется, это значительно удлиняет процесс обработки, зато позволяет обойтись без нумерации ячеек и использования команд перехода по адресу, т.е. сокращает количество истинно элементарных шагов, что важно в теоретическом отношении.

Обработка информации и выдача команд на запись знака, а также сдвига ленты в машине Тьюринга производится логическим устройством (ЛУ). ЛУ может находиться в одном из состояний, которые образуют конечное множество и обозначаются Q ={q1…qm, z}, причем состояние z соответствует завершению работы, а q1 является начальным (исходным). Q совместно со знаками R, L, S образуют внутренний алфавит машины. ЛУ имеет два входных канала (ai, qi) и три выходных (ai+1, qi+1, Di+1) (см. рис. 2):
<img width=«307» height=«64» src=«ref-1_1896464089-1889.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">

Рис. 2 — Схема логического устройства машины Тьюринга


Понимать схему необходимо следующим образом: на такте i на один вход ЛУ подается знак из обозреваемой в данный момент ячейки (ai,), а на другой вход – знак, обозначающий состояние ЛУ в данный момент (qi). В зависимости от полученного сочетания знаков (ai, qi) и имеющихся правил обработки ЛУ вырабатывает и по первому выходному каналу направляет в обозреваемую ячейку новый знак (ai+1), подает команду перемещения головки (Di+1 из R, L и S), а также дает команду на вызов следующего управляющего знака (qi+1). Таким образом, элементарный шаг (такт) работы машины Тьюринга заключается в следующем: головка считывает символ из обозреваемой ячейки и, в зависимости от своего состояния и прочитанного символа, выполняет команду, в которой указано, какой символ записать (или стереть) и какое движение совершить. При этом и головка переходит в новое состояние. Схема функционирования такой машины представлена на рисунке 3.
<img border=«0» width=«320» height=«180» src=«ref-1_1896465978-3189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

Рис. 3 — Схема функционирования машины Тьюринга

алгоритмический машина пост тьюринг

В данной схеме отражено разделение памяти на внешнюю и внутреннюю. Внешняя представлена, как указывалось, в виде бесконечной ленты – она предназначена для хранения информации, закодированной в символах внешнего алфавита. Внутренняя память представлена двумя ячейками для хранения следующей команды в течение текущего такта: в Q передается из ЛУ и сохраняется следующее состояние (qi+1), а в D – команда сдвига (Di+1). Из Q по линии обратной связи qi+1 поступает в ЛУ, а из D команда поступает на исполнительный механизм, осуществляющий при необходимости перемещение ленты на одну позицию вправо или влево.

Общее правило, по которому работает машина Тьюринга, можно представить следующей записью: qi aj → qi’ aj’ Dk, т.е. после обзора символа aj головкой в состоянии qi в ячейку записывается символ aj’, головка переходит в состояние qi’, а лента совершает движение Dk. Для каждой комбинации qi aj имеется ровно одно правило преобразования (правил нет только для z, поскольку, попав в это состояние, машина останавливается). Это означает, что логический блок реализует функцию, сопоставляющую каждой паре входных сигналов qi aj одну и только одну тройку выходных qi’aj’Dk – она называется логической функцией машины и обычно представляется в виде таблицы (функциональной схемой машины), столбцы которой обозначаются символами состояний, а строки – знаками внешнего алфавита. Если знаков внешнего алфавита n, а число состояний ЛУ m, то, очевидно, общее число правил преобразования составит nЧm.

Конкретная машина Тьюринга задается перечислением элементов множеств A и Q, а также логической функцией, которую реализует ЛУ, т.е. набором правил преобразования. Ясно, что различных множеств A, Q и логических функций может быть бесконечно много, т.е. и машин Тьюринга также бесконечно много.

Прежде чем обсуждать функционирование машины Тьюринга, введем еще одно понятие — конфигурации машин, т.е. совокупности состояний всех ячеек ленты, состояния ЛУ и положение головки.

Записать конфигурацию можно следующим образом: Δa1 qi aj…ak Δ, которая означает, что в слове из k символов обозревается секция номер j и при этом управляющее устройство находится в состоянии qi. Ясно, что конфигурация машины может содержать любое количество символов внешнего алфавита и лишь один символ внутреннего. Часто конфигурацию записывают в виде a1 qi a2, где a1– слово на ленте слева от головки, a2 – слово на ленте справа от головки, включая обозреваемый знак. Слева от a1и справа от a2лента пуста.

Перед началом работы на пустую ленту записывается исходное слово a конечной длины в алфавите A; головка устанавливается над первым символом слова a, ЛУ переводится в состояние q1 (т.е. начальная конфигурация имеет вид q1a). Поскольку в каждой конфигурации реализуется только одно правило преобразования, начальная конфигурация однозначно определяет всю последующую работу машины, т.е. всю последовательность конфигураций вплоть до прекращения работы.

В зависимости от начальной конфигурации возможны два варианта развития событий:

1)      после конечного числа тактов машина останавливается по команде остановки; при этом на ленте оказывается конечная конфигурация, соответствующая выходной информации;

2)      остановки не происходит.

В первом случае говорят, что данная машина применима к начальной информации, во втором – нет. Вся совокупность входных конфигураций, при которых машина обеспечивает получение результата, образуют класс решаемых задач. Очевидно, применять машину Тьюринга для задачи, не входящей в класс решаемых, бессмысленно. С другой стороны, во многих случаях возможно расширение класса решаемых задач за счет создания другой машины Тьюринга.

По своему устройству машина Тьюринга крайне примитивна. Она намного проще самых первых компьютеров. Примитивизм состоит в том, что у нее предельно прост набор элементарных операций, производимых головкой – считывание и запись, а также в том, что доступ к ячейкам памяти (секциям ленты) в ней происходит не по адресу, как в компьютерах, а путем последовательного перемещения вдоль ленты. По этой причине даже такие простые действия, как сложение или сравнение двух символов, машина Тьюринга производит за несколько шагов, а обычные операции сложения и умножения требуют весьма большого числа элементарных действий. Однако машина Тьюринга была придумана не как модель или прототип реальных вычислительных машин, а для того, чтобы показать принципиальную теоретическую возможность построения сколь угодно сложного алгоритма из предельно простых операций, причем сами операции и переход от одной к последующей машина выполняет автоматически.

Машина Тьюринга дает один из путей уточнения понятия алгоритма. В связи с этим возникают вопросы:

−        насколько общим является понятие машины Тьюринга?

−        можно ли считать, что способ задания алгоритмов с помощью машины Тьюринга является универсальным?

−        может ли всякий алгоритм задаваться таким образом?

На эти вопросы современная теория алгоритмов предлагает ответ в виде следующей гипотезы:

Если некоторая процедура четко определена и по природе своей механистична, то модно вполне обоснованно предположить, что найдется машина Тьюринга, способная ее выполнить.

Эта гипотеза получила название тезиса Тьюринга. Как и тезис Черча, ее нельзя доказать, так как она связывает нестрогое определение понятия алгоритма со строгим определением машины Тьюринга.

В принципе, эта гипотеза может быть опровергнута, если удастся привести пример алгоритма, который не может быть реализован с помощью тьюринговой функциональной схемы. Однако все известные до сих пор алгоритмы могут быть заданы посредством тьюринговых функциональных схем.
    продолжение
--PAGE_BREAK--