Реферат: Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку
Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний технологічний університет
Кафедра ТМ та КТС
Група ЗІМ 03-1т
Курсова робота
з інформатики
на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»
Житомир
Зміст
Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку
Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Завдання № 1
Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a+a1x+a2x2+a3x3+a 4x4+a5x5з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n– e8та e4
Вихідні дані:
Варіант
a
a1
a2
a3
a4
a5
2
1
0.9
0.8
0.7
0.5
2.3
Реалізація у MS Excel:
/>
Хід виконання:
Визначений інтеграл />чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю хта двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.
Розіб’ємо відрізок [a, b]= [0, 1] на n=16рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою hі називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули />
Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд
/>
де cj= 1,2,2,2,….2,1.
Для формули парабол (Сімпсона)замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою
/>
Елементарна площа визначається інтегралом
/>
--PAGE_BREAK--
Враховуючи, що />
Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)
/>
де cj= 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.
У формулі трапецій nє довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.
Завдання № 2
Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a+a1x+a2x2+a3x3за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.
Вихідні дані:
Варіант
a
a1
a2
a3
2
1,3
-7
-4
-4
Реалізація у MS Excel:
/>
Хід виконання:
1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈0,17
2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5.
В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:
/>
При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:
Чергове k-е наближення:
/>
В якості малої величини />беремо задану точність обчислень />, тоді розрахункова формула має вигляд:
/>
При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:
Для першого наближення:
/>
Для подальших наближень:
/>
Завдання № 3,4
Наближення функцій поліномами вищого порядку
Функція y=f(x) задана таблицею значень /> у точках />. Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен />найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина />стабілізується або починає зростати.
Вихідні дані:
Варіант 2
x
0,375
0,563
0,75
1,125
1,313
1,5
1,690
1,875
2,063
2,25
2,438
2,625
2,813
3
y
4.568
3,365
2,810
2,624
0,674
0,557
0,384
-0,556
-1,44
-1,696
-1,91
-2,819
-3,625
-3,941
-4,367
Хід виконання:
продолжение--PAGE_BREAK--
1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.
2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2… Розраховуємо відповідні їм значення />.
3. Будуємо гістограму залежності />від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.
4. На одному графіку будуємо многочлени Pm, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.
Реалізація у MS Excel:
Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хіу відповідних степенях та уі*хіj
/>
За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:
/>
Визначаємо обернені матриці Х-1до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).
Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).
Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі.
/>
Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.
/>
Визначаємо величину />для кожного полінома та будуємо гістограму:
/>
/>
Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення />, але визначимо мінімум />за допомогою функції МИН(...). І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції
Завдання № 5
Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0, y0), вибираючи крок інтегрування h, де
y(xi+h)=y(xi)+h·y'(xi)
Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.
Вихідні дані:
Варіант
h
[a, b]
(x, y)
/>
2
0,2
[0;1]
(0;1)
/>
Реалізація у MS Excel:
/>
Графіки розрахованих даних:
/>