Реферат: Фильтрация газовбаротермический эффект
--PAGE_BREAK--СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_561399624-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> – коэффициент температуропроводности, <img width=«24» height=«44» src=«ref-1_561399825-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">;
<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_561400049-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> – температура, <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_561400229-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">;
<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_561400424-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029"> – давление, <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_561400617-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">;
<img width=«22» height=«28» src=«ref-1_561400821-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"> – скорость фильтрации, <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_561401035-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">;
<img width=«77» height=«28» src=«ref-1_561401243-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033"> – скорость конвективного переноса тепла, <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_561401035-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">;
Π=с ρ/cpl;
m – пористость;
<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_561401708-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"> – относительная вязкость газа, <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_561401895-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
<img width=«16» height=«19» src=«ref-1_561402111-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> – проницаемость, <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_561402310-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">;
<img width=«18» height=«18» src=«ref-1_561402514-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> – коэффициент сжимаемости, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_561402709-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">;
<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_561402928-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> – коэффициент теплопроводности, <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_561403127-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">;
<img width=«28» height=«28» src=«ref-1_561403343-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> – радиус контура питания, <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_561403560-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">;
<img width=«24» height=«27» src=«ref-1_561403746-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> – радиус скважины, <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_561403560-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">;
<img width=«18» height=«23» src=«ref-1_561404132-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> – плотность газа, <img width=«25» height=«43» src=«ref-1_561404332-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">;
<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_561404561-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> – коэффициент Джоуля – Томсона, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_561404755-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">;
<img width=«15» height=«19» src=«ref-1_561404990-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> – удельная теплоемкость газа насыщающего пористую среду, <img width=«39» height=«41» src=«ref-1_561405180-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">;
<img width=«18» height=«22» src=«ref-1_561405446-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> – адиабатический коэффициент, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_561404755-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">;
<img width=«12» height=«25» src=«ref-1_561405867-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> – время, <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_561406055-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">;
глава 1. постановка задачи о температурном поле в нефтегазовом пласте
1.1. Уравнения состояния реального газа
Модель идеального газа хорошо описывает свойства газообразного состояния вещества при средних и высоких температурах (от комнатной и выше) и небольших давлениях (около атмосферного). Расчет свойств газов в широком интервале экспериментальных условий требует использования уравнения состояния реального газа[1].
Реальным газом называется газ, между молекулами которого существуют заметные силы межмолекулярного взаимодействия. Оно имеет электромагнитную и квантовую природу и осуществляется посредством сил межмолекулярного притяжения и отталкивания.
Силы притяжения, проявляющиеся на расстояниях r между центрами молекул порядка 10-7 см, называются ван-дер-ваальсовыми силами. Они убывают с расстоянием ~ r–7, что соответствует изменению потенциальной энергии по закону r–6.
Различают три вида ван-дер-ваальсовых сил [7]:
Ориентационные силы между двумя молекулами, обладающими постоянными дипольными моментами. Они стремятся расположить молекулы упорядоченно так, чтобы векторы дипольных моментов ориентировались вдоль одной прямой. Этому препятствует тепловое движение молекул.
Индукционные силы, возникающие между молекулами, обладающими высокой поляризуемостью. Если молекулы достаточно сближены, то под действием электрического поля одной из них в другой возникает индуцированный дипольный момент.
Дисперсионные силы возникают в результате возбуждения колебаний электронов в молекуле (атоме) под влиянием колебаний электронов в другой молекуле (атоме). Колебания электронов соседних молекул происходят в одинаковой фазе и приводят к притяжению двух молекул (атомов). Величина дисперсионных сил определяется нулевой энергией молекул (атомов), если их колебания можно рассматривать как колебания линейных гармонических осцилляторов.
Полная потенциальная энергия ван-дер-ваальсовых сил описывается суммой:
U = Uор + Uинд + Uдисп.
(I.1.1)
Для полярных молекул основную роль играют ориентационные силы притяжения, для остальных молекул – дисперсионные силы. Энергия ван-дер-ваальсового притяжения составляет (0,1 – 1) ккал/моль [7]. В большинстве случаев ван-дер-ваальсовы силы притяжения перекрываются значительно превосходящими их химическими валентными силами притяжения с энергиями порядка (10 – 100) ккал/моль.
Согласно упрощенной модели ван-дер-ваальсовых сил, молекулы газа – абсолютно упругие шары – притягиваются с силами, достигающими наибольшего значения при непосредственном их соприкосновении. Силы отталкивания проявляют себя на значительно меньших расстояниях.
Для описания свойств реальных газов применяют различные уравнения состояния, отличные от уравнения Клапейрона-Менделеева. Наиболее удобны двухпараметрические уравнения, разрешимые относительно давления и содержащие объем в третьей степени (кубические уравнения состояния). Первое такое уравнение было предложено Ван-дер-Ваальсом в 1873 г.
Уравнение Ван-дер-Ваальса состояния реального газа имеет следующий вид [7]:
<img width=«168» height=«51» src=«ref-1_561406240-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">,
(I.1.2)
где V0– объем 1 моля газа, а <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_561406700-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> – внутреннее давление, обусловленное силами притяжения между молекулами, b – поправка за собственный объем молекул, учитывающая действие сил отталкивания между молекулами и равная учетверенному объему молекул в 1 моле газа:
<img width=«93» height=«41» src=«ref-1_561406938-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">,
(I.1.3)
<img width=«171» height=«51» src=«ref-1_561407273-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">.
(I.1.4)
Здесь NA – число Авогадро, d – диаметр молекулы, U(r) – потенциальная энергия притяжения двух молекул.
Уравнение состояния Бертло (1900г.):
<img width=«177» height=«51» src=«ref-1_561407704-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">.
(I.1.5)
Здесь а и b связаны с параметрами критического состояния (в критической точке) соотношениями [8]:
<img width=«109» height=«48» src=«ref-1_561408174-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> <img width=«71» height=«41» src=«ref-1_561408572-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">.
(I.1.6)
Уравнение состояния Вукаловича и Новикова [7]:
<img width=«244» height=«51» src=«ref-1_561408859-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">.
(I.1.7)
Здесь B1, B2 и т.д. – так называемые вириальные коэффициенты весьма сложного вида. Их вычисление производится с учетом ассоциации молекул – объединения под влиянием ван-дер-ваальсовых сил притяжения.
Уравнение состояния Майера [7]:
<img width=«225» height=«51» src=«ref-1_561409407-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">,
(I.1.8)
где: <img width=«280» height=«45» src=«ref-1_561409990-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"><img width=«96» height=«41» src=«ref-1_561410606-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> dti=dqi1*...dqin.
Здесь Uпij – взаимная потенциальная энергия i-й и j-й молекул, взаимодействующих по закону центральных сил, qi1,......,qin – обобщенные координаты i-той молекулы, обладающей n степенями свободы.
Уравнение Камерлинг-Оннеса (1901) [8]:
<img width=«140» height=«45» src=«ref-1_561410918-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">
(I.1.9)
где <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_561411360-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">, <img width=«123» height=«24» src=«ref-1_561411706-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">.
Уравнение Редлиха-Квонга (1949 г.) [8]:
<img width=«185» height=«45» src=«ref-1_561412081-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">
(I.1.10)
Здесь <img width=«27» height=«15» src=«ref-1_561412549-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">0,42748·R2·T2,5k/Pk, b = 0,08664·R·Tk/Pk. Уравнение Редлиха-Квонга считается наилучшим двухконстантным уравнением. При его выводе авторы не руководствовались какими-то определенными теоретическими обоснованиями [8]. Это уравнение следует рассматривать как произвольную, но удачную эмпирическую модификацию предшествующих уравнений состояния.
Уравнение Мартина (1967 г.) [8]:
<img width=«137» height=«45» src=«ref-1_561412744-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">,
(I.1.11)
где <img width=«27» height=«15» src=«ref-1_561412549-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">27·R2·T2k/(64Pk), b = R·Tk/(8Pk).
1.2. Основные уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде
В последнее время наблюдается рост интереса к различным термодинамическим эффектам в пористых средах. Это связано с их многообразными практическими приложениями[4,5].
Особую важность упомянутые проблемы имеют в физике нефтегазоносных пластов. Поля давления в нефтегазоносных пластах в условиях разработки, как правило, нестационарны. Дросселирование нефти и газа приводит к проявлению баротермического эффекта– изменению температуры при течении нефти или газа в пористой среде в нестационарном поле давления. Величина барометрического эффекта в отличие от эффекта Джоуля – Томсона, наблюдающегося при стационарном дросселировании, зависит от коллекторских свойств пористой среды, времени, геометрии течения и других факторов. Эти особенности баротермического эффекта обеспечивают возможность его практического применения при исследовании скважин и пластов.
В основу исследований положена полная система уравнений для <img width=«12» height=«17» src=«ref-1_561413370-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> — той фазы (компонента), описывающих баротермический эффект. Ядром этой системы является уравнение для температуры <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_561413559-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> с учетом термодинамических эффектов высокого порядка [9]
<img width=«426» height=«98» src=«ref-1_561413764-1332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">
(I.2.1)
где первое слагаемое в левой части уравнения (I.2.1) описывает изменение температуры в пласте со временем, второе – за счет конвекции (перемещения больших объемов газа). Первое слагаемое в правой части ответственно за теплопроводность, второе – за межфракционный теплообмен, третье описывает адиабатический эффект, четвертое – эффект Джоуля-Томсона и пятое – влияние поля тяготения Земли.
Вторым уравнением системы является уравнение неразрывности, которое записывается в виде:
<img width=«203» height=«52» src=«ref-1_561415096-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">.
(I.2.2)
Фильтрация газа подчиняется закону Дарси
<img width=«215» height=«52» src=«ref-1_561415626-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.
(I.2.3)
К системе добавляется уравнение состояния
<img width=«115» height=«28» src=«ref-1_561416154-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">.
(I.2.4)
Система (I.2.1)-(I.2.4) является нелинейной, кроме того, уравнения (I.2.1)-(I.2.2) являются взаимосвязанными.
продолжение
--PAGE_BREAK--1.3. Описание задачи
Рассмотрим температурную задачу в полярной системе координат, где среда представлена одной бесконечной областью (рис.1). Область является пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения газа из бесконечности к скважине радиуса <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_561416489-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, ось которой совпадает с осью <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_561416679-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">
<img width=«622» height=«352» src=«ref-1_561416877-20178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
Рис. 1. постановка задачи
При описании температурной задачи примем следующие допущения:
- пористый пласт считается однородным и изотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам;
- давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными;
- породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и однородными по своим теплофизическим свойствам;
- температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают;
- естественное тепловое поле Земли считается стационарным;
- пласт расположен на глубине порядка 1 – 2 км, поэтому суточные и сезонные колебания температуры не достигают пласта;
- адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем пренебрегаем.
1.4. Математическая постановка задачи
Математическая постановка задачи включает температурную задачу, гидродинамическую задачу, уравнение состояния и соотношение для поля скорости конвективного переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие постановки задач.
1.4.1. Математическая постановка температурной задачи
Математическая постановка задачи для всех областей представляется уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с учетом закона фильтрации Дарси:
<img width=«235» height=«51» src=«ref-1_561437055-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">.
(I.4.1.1)
Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры:
начальном
<img width=«72» height=«32» src=«ref-1_561437740-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">,
(I.4.1.2)
и граничном
<img width=«83» height=«36» src=«ref-1_561437991-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">.
(I.4.1.3)
1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи
Математическая постановка гидродинамической задачи в полярной системе координат примет следующий вид. Учитывая, что для осесимметричного течения поле давления является функцией координаты rуравнение можно представить в виде:
<img width=«129» height=«52» src=«ref-1_561438270-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">,
(1.4.2.1)
Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть PC– давление на границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура питания
<img width=«55» height=«29» src=«ref-1_561438735-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">,
(1.4.2.2)
давление поддерживается равным Рс:
<img width=«48» height=«24» src=«ref-1_561438971-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">,
(1.4.2.3)
Pс – давление на контуре питания.
При значении радиуса, равном радиусу скважины
<img width=«42» height=«24» src=«ref-1_561439208-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">,
(1.4.1.3)
давление поддерживается равным PW:
<img width=«50» height=«24» src=«ref-1_561439421-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">,
(1.4.1.4)
где PW– давление в скважине.
1.4. Основные идеи метода характеристик[6]
В данном разделе рассмотрим метод характеристик. Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:
<img width=«322» height=«32» src=«ref-1_561439658-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">
(1.4.1)
где а, b, с, d, e, f, g— заданные непрерывные функции от xи y(или в частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных:
<img width=«80» height=«50» src=«ref-1_561440288-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
(1.4.2)
Здесь xи h— новые независимые переменные. Функции jи y, связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно х и у; этонадо понимать следующим образом: если функции jи yи отображают некоторую область Gплоскости Оху в область G* плоскости Oxh, то при этом каждой точке (x,h) области G* соответствует только одна точка области G(иначе говоря, отображение области Gна G*, даваемое функциями jи y, является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы якобиан преобразования (т. е. определитель <img width=«66» height=«66» src=«ref-1_561440693-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">) нигде в области Gне обращался в нуль.
Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции uпо х и у через производные от и по xи h:
<img width=«133» height=«48» src=«ref-1_561441077-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">
(1.4.31)
<img width=«139» height=«51» src=«ref-1_561441562-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">
(1.4.32)
Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от двух переменных (здесь uзависит от xи h, которые, в свою очередь, зависят от xи у). Для того чтобы выразить <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_561442037-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, через производные по xи h,учтем формулу (1.4.31) и применим снова правило дифференцирования сложной функции:
<img width=«438» height=«148» src=«ref-1_561442254-2088.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
Следовательно,
<img width=«441» height=«60» src=«ref-1_561444342-1241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
(1.4.41)
Аналогично найдем:
<img width=«470» height=«60» src=«ref-1_561445583-1300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">
(1.4.42)
<img width=«443» height=«60» src=«ref-1_561446883-1257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
(1.4.43)
Правые части равенств (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43) представляют собой линейные функции относительно частных производных <img width=«28» height=«51» src=«ref-1_561448140-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, <img width=«35» height=«51» src=«ref-1_561448422-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> <img width=«41» height=«52» src=«ref-1_561448706-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> <img width=«53» height=«52» src=«ref-1_561449019-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> <img width=«40» height=«52» src=«ref-1_561449358-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> Подставляя u'x, u'y, u'xx,… из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка снеизвестной функцией и и независимыми переменнымиxи h:
<img width=«297» height=«31» src=«ref-1_561449661-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">
(1.4.5)
где
<img width=«248» height=«96» src=«ref-1_561450287-1051.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">
(1.4.5’)
a<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_561451338-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> — функция, линейная относительно и’x, u’h, u.
Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а ис окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных
<img width=«83» height=«50» src=«ref-1_561451537-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">
подобрав функции jи yтак, чтобы они являлись решениями уравнения:
<img width=«203» height=«32» src=«ref-1_561451935-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">
(1.4.6)
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.
Теорема. Для того чтобы функция z= f(x, у) во всех точках области Gудовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство
<img width=«80» height=«23» src=«ref-1_561452426-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">
(1.4.7)
было общим интегралом уравнения
<img width=«216» height=«28» src=«ref-1_561452727-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
(1.4.8)
в той же области G.
Доказательство. Необходимость. Пусть z= f(x, у)— решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — kи докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).
В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k(где k— фиксировано), выполняется следующее равенство:
<img width=«184» height=«29» src=«ref-1_561453230-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">
действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.
Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:
<img width=«77» height=«48» src=«ref-1_561453680-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">
обозначим каждое из этих отношений через l; тогда
<img width=«151» height=«29» src=«ref-1_561454023-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">
Подставляя эти выражения для dxи dyв левую часть уравнения (1.4.8), получим:
<img width=«400» height=«32» src=«ref-1_561454423-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство
<img width=«216» height=«28» src=«ref-1_561455229-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">
откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения (1.4.8).
Итак, любая кривая вида f(x, у) = kявляется интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области Gпроходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области Gи поэтому, например, через точку (х0, у0) проходит кривая f(x,y)=f(x,y).
Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).
Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= kбудет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из Gи выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку:
f(x, у) = k.
Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство
<img width=«77» height=«48» src=«ref-1_561455732-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">
откуда
<img width=«151» height=«29» src=«ref-1_561454023-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
(1.4.10)
Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при подстановке в это уравнение dxи dyиз (1.4.10), получим тождество:
<img width=«229» height=«32» src=«ref-1_561456475-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
или, после сокращения на l2:
<img width=«205» height=«32» src=«ref-1_561457018-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">
В частности, в точке (х0, у0) имеет место:
<img width=«496» height=«40» src=«ref-1_561457507-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y)была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8); оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y’x(предварительно разделив все члены уравнения на dx2), получим два уравнения:
<img width=«125» height=«47» src=«ref-1_561458419-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">
(1.4.101)
<img width=«125» height=«47» src=«ref-1_561458791-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
(1.4.102)
(предполагается, чтоас — b2<0, b2—ас>0всюду в области G). Пусть общий интеграл уравнения (1.4.101) имеет вид
j(х, у)= k,
(1.4.111)
а общий интеграл уравнения (1.4.102)
y(х, у)= k.
(1.4.112)
Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые, входящие в семейства (1.4.111) и (1.4.112)) называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (1.4.1). В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.4.1) называется методом характеристик.
Семейства (1.4.111) и (1.4.112) можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (1.4.8) (это уравнение распадается на два уравнения (1.4.101)и (1.4.102)).
Следовательно, согласно доказанной теореме, функции
z=j(х, у) и z=y(х, у)
являются решениями уравнения в частных производных (1.4.6).
Функции j(х, у) и y(х, у) независимы друг от друга (можно доказать, что их якобиан отличен от нуля, если ас- b2<0). Поэтому, возвращаясь к уравнению (1.4.1), мы можем в нем сделать замену переменных:
<img width=«161» height=«23» src=«ref-1_561459160-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">
Так как функции j и yудовлетворяют уравнению (1.4.6), то в результате этой замены переменных окажется <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_561459551-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> и <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_561459777-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">. Следовательно, уравнение (1.4.1) преобразуется к виду:
<img width=«181» height=«28» src=«ref-1_561459995-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
или, после деления на 2bи переноса в другую часть равенства:
<img width=«160» height=«31» src=«ref-1_561460438-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">
где <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_561460899-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">– функция, линейная относительно и’x, u’h, u(см. выше, формула (1.4.5)).
Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (1.4.1); если мы его сможем решить (т. е. найти и как функцию от xи h), то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным (выразив xи hчерез х и у).
продолжение
--PAGE_BREAK--1.5. Выводы
В данной главе представлены основные уравнения состояния реального газа, уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде. Дано описание задачи. Сформулированы физическая и математическая постановки температурной и гидродинамической задач. Описан метод характеристик, который использован для получения решения задачи в главе 2.
Глава 2. Аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния
В данной главе приведены аналитические решения гидродинамической и температурной задач для произвольного уравнения состояния.
2.1. Решение гидродинамической задачи
Решение уравнения (I.4.1.1) приводит к необходимости решения дополнительной гидродинамической задачи для отыскания поля давления. Для описания движения газа воспользуемся квазистационарным уравнением неразрывности:
<img width=«77» height=«22» src=«ref-1_561461113-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">.
(2.1.1)
Скорость фильтрации газа сквозь пористую среду определяется законом Дарси:
<img width=«96» height=«44» src=«ref-1_561461402-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">.
(2.1.2)
Здесь <img width=«14» height=«17» src=«ref-1_561461719-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> — проницаемость пористой среды, <img width=«13» height=«18» src=«ref-1_561461915-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> — вязкость газа. Полагая, что <img width=«14» height=«18» src=«ref-1_561462100-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> и <img width=«13» height=«18» src=«ref-1_561461915-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> не меняются при движении газа к скважине, и что плотность газа зависит только от давления (баротропное приближение), перепишем уравнение неразрывности в следующем виде:
<img width=«137» height=«22» src=«ref-1_561462482-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
(2.1.3)
Функцию Лейбензона представим в виде:
<img width=«142» height=«49» src=«ref-1_561462847-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">,
(2.1.4)
где величины <img width=«16» height=«18» src=«ref-1_561463266-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> и А задаются граничными условиями. Подставляя функцию Лейбензона в уравнение (2.1.3), получим:
<img width=«54» height=«18» src=«ref-1_561463456-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">.
(2.1.5)
Учитывая, что для осесимметричного течения поле давлений является функцией координаты <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_561463676-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">, уравнение (2.1.5) можно представить в виде:
<img width=«119» height=«46» src=«ref-1_561463856-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">
(2.1.6)
Решение этого уравнения представим в виде:
<img width=«129» height=«22» src=«ref-1_561464267-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">,
(2.1.7)
где <img width=«24» height=«30» src=«ref-1_561464615-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> и <img width=«26» height=«29» src=«ref-1_561464826-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> — постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями. Пусть <img width=«20» height=«29» src=«ref-1_561465043-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> — давление на границе контура питания (при <img width=«46» height=«24» src=«ref-1_561465255-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_561438971-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">), <img width=«25» height=«30» src=«ref-1_561465726-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> — давление в скважине (при <img width=«42» height=«24» src=«ref-1_561439208-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> <img width=«50» height=«24» src=«ref-1_561439421-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">), тогда согласно (2.1.4) и (2.1.7)
<img width=«180» height=«49» src=«ref-1_561466387-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">
(2.1.8)
<img width=«182» height=«49» src=«ref-1_561466841-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">
(2.1.9)
Отсюда найдем выражение для <img width=«18» height=«22» src=«ref-1_561467296-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> и <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_561467499-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">:
<img width=«153» height=«71» src=«ref-1_561467695-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">
(2.1.10)
<img width=«233» height=«71» src=«ref-1_561468194-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">
(2.1.11)
Подставив эти выражения в уравнение (2.1.7), получим:
<img width=«207» height=«91» src=«ref-1_561468858-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">
(2.1.12)
Выражение (2.1.12) представляет неявную зависимость давления Р от координаты r, если известна зависимость плотности от давления <img width=«59» height=«22» src=«ref-1_561469546-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">. Очевидно, что при рассмотрении баротермического эффекта в пластах газ нельзя рассматривать как идеальный, поскольку коэффициент Джоуля-Томсона для идеального газа равен нулю. Поэтому в дальнейшем плотность газа будем представлять в виде какого-либо уравнения для реального газа (например, уравнения Ван-дер-Ваальса).<img width=«12» height=«22» src=«ref-1_561469806-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
Используя (2.1.12), получим выражение для градиента давления в виде:
<img width=«216» height=«71» src=«ref-1_561469975-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
(2.1.13)
Найденное выражение для градиента давления позволяет преобразовать температурную задачу к виду удобному для аналитического решения. Решение температурной задачи рассматривается в следующем параграфе.
2.2. Решение температурной задачи
С учетом (2.1.13) и закона фильтрации Дарси (2.1.2) задача (I.4.1.1) – (I.4.1.3) преобразуется к виду:
<img width=«547» height=«111» src=«ref-1_561470597-1459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
(2.2.1)
Условия (I.4.1.1) – (I.4.1.3) остаются неизменными. Вводя обозначение
<img width=«146» height=«71» src=«ref-1_561472056-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
(2.2.2)
представим уравнение Чекалюка в виде:
<img width=«265» height=«48» src=«ref-1_561472549-680.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
(2.2.3)
Будем рассматривать задачу при следующих условиях для температуры:
начальном
<img width=«64» height=«26» src=«ref-1_561473229-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">
(2.2.4)
и граничном
<img width=«74» height=«29» src=«ref-1_561473476-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">
(2.2.5)
Решение уравнения (2.2.3) методом характеристик дает зависимость координаты <img width=«11» height=«15» src=«ref-1_561463676-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> от времени <img width=«10» height=«19» src=«ref-1_561473912-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">:
<img width=«147» height=«46» src=«ref-1_561474093-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">.
(2.2.6)
Характеристика, удовлетворяющая условию <img width=«66» height=«26» src=«ref-1_561474489-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">:
<img width=«154» height=«45» src=«ref-1_561474743-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
(2.2.7)
определяет область применимости нестационарного решения
<img width=«153» height=«45» src=«ref-1_561475178-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
(2.2.8)
Уравнение (2.2.3) с учетом (2.2.6) можно представить в виде:
<img width=«385» height=«79» src=«ref-1_561475612-961.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
(2.2.9)
откуда
<img width=«397» height=«80» src=«ref-1_561476573-955.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">
(2.2.10)
где
<img width=«145» height=«45» src=«ref-1_561477528-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">
(2.2.11)
Исключив константу С из (2.2.10) и (2.2.11), окончательно получаем нестационарное решение:
<img width=«457» height=«80» src=«ref-1_561477930-955.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">.
(2.2.12)
Пределы применимости этого решения ограничены областью (2.2.8). Следовательно, рассматриваемое время <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_561478885-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> должно удовлетворять условию: <img width=«140» height=«58» src=«ref-1_561479066-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">. Для моментов времени <img width=«144» height=«61» src=«ref-1_561479550-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> значения <img width=«18» height=«20» src=«ref-1_561480052-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> больше, чем <img width=«114» height=«46» src=«ref-1_561480252-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, что соответствует зоне, по которой волна температуры уже прошла и где распределение температуры уже установилось, то есть <img width=«50» height=«42» src=«ref-1_561480638-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">. Для этой области
<img width=«126» height=«44» src=«ref-1_561480903-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
(2.2.13)
и стационарное решение, удовлетворяющее условию (2.2.5), имеет вид:
<img width=«343» height=«60» src=«ref-1_561481321-859.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">
(2.2.14)
Выражения (2.2.12) и (2.2.14) полностью решают поставленную задачу для любого уравнения состояния
2.3. Выводы
В данной главе представленоаналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния, которая включает в себя температурную и гидродинамическую задачи.
Глава 3. Получение Аналитических выражений решения задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости
3.1. Решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния
Выпишем полученные решения для линеаризованного баротропного уравнения состояния
<img width=«176» height=«31» src=«ref-1_561482180-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
(3.1.1)
Вычислив интеграл, входящий в (2.2.3):
<img width=«429» height=«52» src=«ref-1_561482598-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">
(3.1.2)
Представим зависимость между давлением и радиальной координатой rв виде:
<img width=«539» height=«82» src=«ref-1_561483404-932.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
(3.1.3)
Введем обозначение
<img width=«472» height=«89» src=«ref-1_561484336-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
(3.1.4)
Тогда уравнение (3.1.3) преобразуется к виду:
<img width=«204» height=«26» src=«ref-1_561485248-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
(3.1.5)
Откуда найдем
<img width=«172» height=«26» src=«ref-1_561485661-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">
(3.1.6)
Физический смысл имеет только значение полученного выражения со знаком плюс перед квадратным корнем. Введем обозначения
<img width=«308» height=«67» src=«ref-1_561486057-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
(3.1.7)
<img width=«512» height=«93» src=«ref-1_561486733-978.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
(3.1.8)
которые позволяют представить подкоренное выражение в виде <img width=«161» height=«26» src=«ref-1_561487711-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> и упростить запись выражения (3.1.6)
<img width=«201» height=«28» src=«ref-1_561488097-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">
(3.1.9)
Подставив (3.1.9) в (3.1.1), получим зависимость плотности от радиальной координаты r:
<img width=«144» height=«28» src=«ref-1_561488519-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">
(3.1.10)
Полученные в данном разделе выражения позволяют построить решения задачи о баротермическом эффекте в случае линеаризованного уравнения состояния.
3.2. Температурная задача в линеаризованном случае
В этом случае нестационарное решение для температуры (3.1.5) записывается в виде:
<img width=«520» height=«80» src=«ref-1_561488868-1064.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
(3.2.1)
Интеграл в (3.2.1) легко вычисляется; окончательно нестационарное решение представляется в виде
<img width=«540» height=«71» src=«ref-1_561489932-1201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">
(3.2.2)
Выражения для Gи Hпредставляются формулами (3.2.5) и (3.2.6), а — для Vпредставляется в виде, следующем из(2.2.8)
<img width=«443» height=«71» src=«ref-1_561491133-910.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">
(3.2.3)
В пределе при α→0 из (3.2.2)-(3.2.3) следует известное решение для несжимаемой жидкости[4]:
<img width=«541» height=«110» src=«ref-1_561492043-1596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
(3.2.4)
Аналогично в стационарном случае из (2.2.14) получим:
<img width=«468» height=«58» src=«ref-1_561493639-978.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
(3.2.5)
В пределе при α→0 из (3.2.5) и (3.2.3) следует известное решение для несжимаемой жидкости[4]:
<img width=«388» height=«82» src=«ref-1_561494617-1154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
(3.2.6)
Выражения (3.2.2), (3.2.4) решают поставленную задачу о баротермическом эффекте при фильтрации газа в прискважинной зоне реальных газовых пластов. Такое решение поставленной задачи получено впервые. Поэтому представляет значительный и практический интерес анализ результатов расчетов на основе полученных решений, что и приведено в четвертой главе.
3.3. Выводы
В данной главе получено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости, которая включает в себя решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния и температурную задачу в линеаризованном случае.
Глава 4. анализ результатов расчетов и Исследование температурных полей, возникающих при фильтрации газа
В данной главе приведен анализ результатов расчетов баротермического эффекта в прискважинной зоне газовых пластов применительно к реальным месторождениям газа.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по физике