Реферат: Анализ переходных процессов в электрических цепях

--PAGE_BREAK--1.3 Операторный метод анализа переходных процессов



Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:
<img width=«129» height=«49» src=«ref-1_1894687727-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> ,
где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.




2. РАССЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
2.1 Определение начальных и конечных условий в цепях с нулевыми начальными условиями


В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с нулевыми начальными условиями. Результаты вычислений внести в таблицу.

Данные для рассчета приведены в таблице 2.1:



Таблица 2.1

R1, Ом

R2, Ом

С, Ф

С1, Ф

L, Гн

L1, Гн

Е, В

4

12

1/12

-

6/5

-

8



<img width=«261» height=«148» src=«ref-1_1894688172-8906.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">

Рис. 2.1 Схема индивидуального варианта.



Решение.
2.1.1 Начальные условия <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1894697078-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">
Переходной процесс в схеме начинается в момент включения ключа К. До этого момента времени все токи и напряжения равны нулю.




2.1.2 Расчёт начальных условий <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1894697223-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">.

Изобразим эквивалентную схему цепи для времени <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1894697223-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">. Так как это цепь с нулевыми начальными условиями, то индуктивность <img width=«15» height=«23» src=«ref-1_1894697521-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033"> заменим разрывом, а емкость – перемычкой (рисунок 2.2).
<img width=«332» height=«123» src=«ref-1_1894697615-7774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

Рис. 2.2 Эквивалентная схема цепи для времени <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1894705389-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">.
В этой схеме
<img width=«129» height=«23» src=«ref-1_1894705516-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">;<img width=«77» height=«24» src=«ref-1_1894705907-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">.
Тогда по закону Ома:
<img width=«200» height=«45» src=«ref-1_1894706182-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">.
Напряжения на сопротивлениях R1 и R2 :
<img width=«203» height=«23» src=«ref-1_1894706761-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">,

<img width=«81» height=«23» src=«ref-1_1894707226-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">.
Тогда напряжение на индуктивности:
<img width=«152» height=«23» src=«ref-1_1894707513-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">.


Контроль вычислений.

Формулы для контроля вычислений:
<img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1894707907-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">; <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1894708063-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">; <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1894708257-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> .
Тогда:



<img width=«239» height=«24» src=«ref-1_1894708442-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

1-ый закон Кирхгофа выполняется

<img width=«272» height=«51» src=«ref-1_1894708830-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">

2-ой закон Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров выполняется.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.1.3 Расчёт конечных условий <img width=«39» height=«16» src=«ref-1_1894709636-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">
После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме (рисунок 2.1) будут постоянными. Тогда ёмкость Cв эквивалентной схеме заменяется разрывом, а индуктивность Lперемычкой (рисунок 2.3).
<img width=«202» height=«84» src=«ref-1_1894709750-1816.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

Рис. 2.3 Эквивалентная схема цепи для времени <img width=«39» height=«16» src=«ref-1_1894709636-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">.
<img width=«204» height=«72» src=«ref-1_1894711680-1025.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">
Контроль вычислений.



<img width=«220» height=«24» src=«ref-1_1894712705-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

1-ый закон Кирхгофа выполняется

<img width=«253» height=«51» src=«ref-1_1894713090-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

2-ой закон Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров выполняется.


Таблица 2.2Результаты вычислений

t

0 –

0+

¥

i1, A

0

2

0

i2, A

0

0

0

i3, A



2



uL, B

0

8

0

uС, B

0

0

8

uR1, B

0

8

0

uR2, B

0

0

0



С учетом НУ и КУ можно качественно построить графики (рисунок 2.4).
<img width=«523» height=«411» src=«ref-1_1894713876-13764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

Рис. 2.4 Качественные графики.




2.2 Определение переходных процессов классическим методом

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить классическим методом напряжения и токи переходного процесса. Построить графики переходных процессов.
2.2.1 Решение дифференциального уравнения для тока на емкости <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1894727640-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">


<img width=«184» height=«28» src=«ref-1_1894727738-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">
Принужденная составляющая тока на индуктивности<img width=«104» height=«25» src=«ref-1_1894728158-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">, поэтому
<img width=«143» height=«28» src=«ref-1_1894728380-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">


2.2.2 Определение корней <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1894728735-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> и <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1894728833-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> Для определения корней характеристического уравнения <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1894728735-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> и <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1894728833-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> составляется эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 2.5), далее находится операторное входное сопротивление и приравнивается к нулю (<img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1894729127-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">).


<img width=«268» height=«146» src=«ref-1_1894729303-8469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">

Рисунок 2.5 Эквивалентная операторная схема цепи.


Операторное сопротивление емкости <img width=«88» height=«44» src=«ref-1_1894737772-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">, а индуктивности <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_1894738022-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, тогда
<img width=«429» height=«48» src=«ref-1_1894738211-1066.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">
Условие <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1894729127-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> выполняется, если числитель равен нулю:
<img width=«249» height=«51» src=«ref-1_1894739453-656.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">
корни этого уравнения:
<img width=«55» height=«23» src=«ref-1_1894740109-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">;<img width=«56» height=«23» src=«ref-1_1894740245-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">
Подставим значения <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1894728735-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> и <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1894728833-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> в уравнение для <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1894740586-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">:
<img width=«143» height=«24» src=«ref-1_1894740711-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">


    продолжение
--PAGE_BREAK--