Реферат: Параметричний резонанс

РЕФЕРАТ

на тему:

Параметричний резонанс

Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0= = acost. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

lz = — m0= m2 a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —lz z = —mla2 cos cos,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за уза­гальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L = + mgl cos + mla 2 cos t cos ,

а рівняння Лагранжа

Для малих коливань (1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння

де = g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:

Параметром, що залежить від часу, тут є частота

Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметрич­ного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

(t + Т) = (t)

з періодом Т — 2/. У зв'язку з цим можна сказати, що рівнян­ня (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t— Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лі­нійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'я­зок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'яз­ків. Зокрема,

1 (t + T)= а111 (t) + а122 (t),

2 (t + T) = а211 (t) + a222 (t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій 1 (t + T) і 2 (t + T) дійсний, то 1 (t + T) і 2 (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11 в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції 1 (t + T) і 2 (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник

то а11 =, а

1 (t + T) = 1 (t) + а122 (t + T) =[a211 (t)+a222 (t)] = 2 (t + T)

що означає лінійну залежність функцій 1 (t + T) і 2 (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно неза­лежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні tна t+ Т зводиться до множення на деякий сталий.множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай 1 (t) і 2 (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:

’ (t + T)

Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності

Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'я­зок якої існує, якщо

Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених зна­чення величини : 1 і 2, кожному з яких відповідає оди:І розв'я­зок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = 1, знаходимо Тоді із співвідношення

1’ (t + T)

Аналогічно для = 2, маємо

2’ (t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні tна t+ Т зво­дилась до множення на сталий множник:

1’ (t + T), 2’ (t + T)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

1’ (t + T), 2’ (t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;

Звідси випливає, що функції

П1 (t) = ; П2 (t) =

є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

1 (t + T), 2’ (t + T),

Сталі 1 і 2, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції 1 і 2 ,

;

відповідно на 1 і 2 і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо

звідки випливає, що вираз l(t) = = constне залежить від часу. Тому l(t+ Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = 1 (t +T) 2 (t + T) = 12 l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

12 =1

Оскільки коефіцієнти визначника аіj дійсні, то величини 1 і 2, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвід­ношення, покладемо 1 = еzT, 2 = е-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.

Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом (t) = (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):

1 (t + T), 2’ (t + T),

Тут П1 (t) і П2 (t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чо­го їх можна розкласти в ряд Фуh'є

П (t)=

Якщо Rez0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги = 0 не е стій­ким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівно­ваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або па­раметричною нестійкістю.