Реферат: Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

--PAGE_BREAK--2. Граничные условия

          

         При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_557925759-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> и <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_557926144-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) — (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
         При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:
                                                      <img width=«221» height=«29» src=«ref-1_557964266-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">,                                                (16)
где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.
          Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

<img width=«272» height=«198» src=«ref-1_557964736-8917.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1072">                                                                              Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

                                                                  

           <img width=«181» height=«40» src=«ref-1_557973653-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">                      (17)

                                                                                       здесь <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_557974079-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">  — нормаль к границе раздела  двух сред, направленная  из  среды 2  в среду 1.  Знак «минус»  во втором слагаемом обусловлен тем, что  внешняя нормаль <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_557974079-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> поверхности интегрирования  в среде 2 направлена противоположно  нормали  <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_557974079-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> в среде 1. Пусть основание  цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то <img width=«89» height=«40» src=«ref-1_557974352-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">, и поэтому (17) приобретёт вид:

                                                                <img width=«127» height=«41» src=«ref-1_557974622-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">                                                               (18)

где <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_557974907-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> и <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_557975020-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">  — значения нормальных составляющих вектора <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_557925759-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> по разные стороны поверхности раздела; <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_557975228-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> — поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_557975228-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">=0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях  от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда <img width=«71» height=«41» src=«ref-1_557975402-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> следует:

<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_557975228-87.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1150">  = <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_557925671-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">d= <img width=«29» height=«41» src=«ref-1_557975815-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">.
           Если учесть, что <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_557924920-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, а <img width=«41» height=«25» src=«ref-1_557976180-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">  — поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:
<img width=«160» height=«24» src=«ref-1_557976337-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
где <img width=«199» height=«27» src=«ref-1_557976641-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, а величина <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_557975228-87.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1157">, которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.

            Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557924085-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">:

                                                                        <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_557977151-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">                                                               (19)

<img width=«268» height=«127» src=«ref-1_557977336-8040.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1073">

         Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557924085-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> и <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_557925759-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. Чтобы  получить  условия  для  тангенциальных составляющих  можно использовать  уравнения  (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_557985567-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника  (рис. 3).  

 

         Используя теорему Стокса, получим:
<img width=«360» height=«45» src=«ref-1_557985670-890.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
         Перепишем это уравнение в виде:
<img width=«369» height=«51» src=«ref-1_557986560-922.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
                                                        <img width=«203» height=«41» src=«ref-1_557987482-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">                                                    (20)
          Здесь   <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_557988028-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_557988139-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> — значения вектора <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_557926144-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> соответственно в средах 1 и 2, <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_557988349-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">  — единичный вектор, касательный к поверхности раздела, <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_557974079-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">  — нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

           Пусть теперь <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_557988527-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> при малом, но фиксированном l. Тогда <img width=«81» height=«29» src=«ref-1_557988653-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">, <img width=«81» height=«29» src=«ref-1_557988881-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> и соотношение (20) примет вид:
<img width=«184» height=«25» src=«ref-1_557989108-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
и после сокращения на l имеем:
<img width=«219» height=«25» src=«ref-1_557989497-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">
здесь <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_557989940-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">. Вектор <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_557988349-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, как следует из рисунка 2, можно записать как в виде <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_557990171-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Тогда

предыдущее выражение можно записать, как
<img width=«280» height=«25» src=«ref-1_557990373-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности, а следовательно, и

вектора <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_557985567-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, то имеем
                                                                  <img width=«127» height=«25» src=«ref-1_557991053-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">                                                             (21)
         В граничном условии (21)  присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить  <img width=«12» height=«21» src=«ref-1_557991361-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">=0. Учитывая, что <img width=«87» height=«48» src=«ref-1_557991450-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, а <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_557991704-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
<img width=«183» height=«27» src=«ref-1_557991875-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
где <img width=«252» height=«27» src=«ref-1_557992308-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">.
           Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора  <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557923988-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">:

                                                                     <img width=«117» height=«25» src=«ref-1_557992968-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">                                                            (22)
           Таким образом, уравнения Максвелла (1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557923988-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> (22) и нормальной составляющей вектора <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557924085-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_557925759-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_557926144-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, если имеются поверхностные токи (21).
             Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (<img width=«84» height=«41» src=«ref-1_557993659-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">0) и уравнение (4), из которых следует:

<img width=«288» height=«51» src=«ref-1_557993906-717.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
                                                                <img width=«151» height=«44» src=«ref-1_557994623-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">                                                         (23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
<img width=«60» height=«24» src=«ref-1_557995017-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
<img width=«108» height=«25» src=«ref-1_557995164-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">;            <img width=«108» height=«25» src=«ref-1_557995416-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

                                                                                                                                                              (24)

<img width=«103» height=«25» src=«ref-1_557995698-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">;             <img width=«113» height=«25» src=«ref-1_557995948-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
где <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_557974079-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">  — нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
         Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

          В случае стационарных электрических и магнитных полей (<img width=«51» height=«44» src=«ref-1_557996328-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> и<img width=«52» height=«44» src=«ref-1_557996522-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">)  система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
                                           <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_557924751-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">,      <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_557996890-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">,     <img width=«135» height=«27» src=«ref-1_557997046-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">                                     (25)
и уравнений магнитостатики:
                                          <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_557997315-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">,     <img width=«63» height=«23» src=«ref-1_557923827-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">,     <img width=«159» height=«27» src=«ref-1_557997642-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">,                                (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
         В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле  <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_557998004-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_557925671-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">=0 имеют вид:
                                                   <img width=«65» height=«23» src=«ref-1_557998201-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">,      <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_557996890-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">,     <img width=«65» height=«27» src=«ref-1_557998520-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">                                             (27)       
          Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
                                                                       <img width=«89» height=«25» src=«ref-1_557998695-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">                                                                 (28)
причём  <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557923988-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">= -<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_557999011-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">, <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_557999130-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">-<img width=«47» height=«27» src=«ref-1_557999239-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. В однородном диэлектрике <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_557999400-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">=const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа  <img width=«24» height=«21» src=«ref-1_557999483-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">=0.

            Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
                                                                 <img width=«85» height=«43» src=«ref-1_557999595-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">  при r=R                                                        (29)
Здесь <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_557999875-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">– решение уравнения вне сферы, а <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_557999973-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">– внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
                                                                         <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_557999875-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">=<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_557999973-100.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1226">                                                                   (30)

 

Это условие можно получить, рассматривая интеграл <img width=«45» height=«29» src=«ref-1_558000271-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">по контуру, изображенному на  рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением  <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_558000444-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">, находим
<img width=«323» height=«29» src=«ref-1_558000607-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_558001256-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что
<img width=«232» height=«25» src=«ref-1_558001347-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">
где элемент <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_558001767-107.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1232"> направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_557923988-97.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1233"> также непрерывны.

          Для решения поставленной  задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_557998004-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.

           Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_558002080-97.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1235"> должен удовлетворять условию
<img width=«191» height=«27» src=«ref-1_558002177-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">  <img width=«73» height=«27» src=«ref-1_558002508-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">  при <img width=«47» height=«15» src=«ref-1_558002691-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">.
        Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_558002812-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">:

<img width=«223» height=«45» src=«ref-1_558002978-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">   <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_558003502-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">,

<img width=«140» height=«45» src=«ref-1_558003620-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">   <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_558003992-117.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1243">.
Здесь потенциал нормирован так, чтобы <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_558004109-137.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1244"> при <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_558004246-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">. Так как  <img width=«107» height=«23» src=«ref-1_558004360-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">, то из условия на бесконечности находим <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_558004584-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">.

          Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
<img width=«324» height=«45» src=«ref-1_558004729-744.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">
<img width=«365» height=«45» src=«ref-1_558005473-819.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
<img width=«63» height=«41» src=«ref-1_558006292-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">    <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_558006497-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">=0    при (l=0),
<img width=«112» height=«41» src=«ref-1_558006602-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">      <img width=«119» height=«41» src=«ref-1_558006892-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">   при (l=1),
<img width=«85» height=«41» src=«ref-1_558007176-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">    <img width=«133» height=«41» src=«ref-1_558007427-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">   при (l>1).
Из этих уравнений находим
<img width=«79» height=«41» src=«ref-1_558007780-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">,   <img width=«101» height=«41» src=«ref-1_558008016-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">.
Все остальные коэффициенты равны нуля, если <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_558008304-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">.
Таким образом, решение задачи имеет вид:
<img width=«239» height=«44» src=«ref-1_558008415-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">

                                                              <img width=«164» height=«51» src=«ref-1_558008909-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">                                                       (30)

<img width=«228» height=«41» src=«ref-1_558009364-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">
Используя формулу <img width=«76» height=«23» src=«ref-1_558009840-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">, вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
<img width=«291» height=«41» src=«ref-1_558010019-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
                                                            <img width=«185» height=«48» src=«ref-1_558010593-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">                                                   (31)
                                                                <img width=«145» height=«48» src=«ref-1_558011043-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">                                                         (32) 
где <img width=«68» height=«41» src=«ref-1_558011414-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">  — объём сферы.

           Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_558011628-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">. Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью
                                                          <img width=«172» height=«51» src=«ref-1_558011781-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">                                                         (33)
Полная напряжённость внутри шара
                                                    <img width=«223» height=«45» src=«ref-1_558012247-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">                                                  (34)
Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля <img width=«87» height=«45» src=«ref-1_558012714-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.
    продолжение
--PAGE_BREAK--