Реферат: Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной

--PAGE_BREAK--ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №23 Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

выполнил:

студент гр. 5СКб-11

Череповец, 2009/10 уч. Год

проверил:

ассис. Герасимов Р.А.

Введение

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми неизменно.

Абсолютно твердому телу доступны следующие виды движения: поступательное, вращательное и колебательное.

1.                 Поступательное движение твердого тела – это такое движение, при котором любая прямая линия, проведенная через какие – нибудь две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При этом движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, обладают одинаковыми скоростями <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1563748852-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> и одинаковыми ускорениями а.

Основной закон динамики поступательного одномерного движения твердого тела – второй закон Ньютона – записывается так:
<img width=«44» height=«44» src=«ref-1_1563748937-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">               или           <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1563749110-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
где <img width=«69» height=«37» src=«ref-1_1563749258-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">  — векторная сумма всех сил, действующих на тело. Ускорение, приобретаемое телом, пропорционально действующей силе и обратно пропорционально массе тела.

2.                 Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси – это такое движение, при котором в теле имеются по крайней мере две неподвижные точки. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения (очевидно, все точки, принадлежащие оси, также неподвижны). Остальные точки тела описывают окружности с центрами на оси.

Вращательное движение характеризуется угловым перемещением тела <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1563749553-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> , угловой скоростью <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1563749669-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> и угловым ускорением <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1563749763-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения наряду с понятием массы вводится понятие момента инерции, а наряду с понятием силы – понятие момента силы.

Из статики известно, что вызвать вращательное движение тела может только сила определенным образом направленная. Сила, направление которой проходит через ось вращения или параллельно ей, не может вызвать вращение вокруг этой оси. Изменение скорости вращательного движения твердого тела, имеющего закрепленную ось (рис.1) вызывается лишь составляющей<img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1563749851-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> — силы <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1563749971-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">. Составляющие <img width=«23» height=«27» src=«ref-1_1563750066-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">  — параллельная оси и <img width=«29» height=«27» src=«ref-1_1563750178-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">  — перпендикулярная оси вращательного движения не вызывают и не изменяют. Сила <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1563749851-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">  — тангенциальная составляющая силы <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1563749971-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">. На рис. <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1563749851-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> перпендикулярна плоскости чертежа. При этом угловое ускорение зависит не только от величины этой составляющей силы, но и от кратчайшего расстояния r= 00’ от оси вращения до линии, вдоль которой действует тангенциальная составляющая, т. е. от так называемого плеча силы. Поэтому в динамики для характеристики возникновения и изменения вращательного движения вместо сил рассматривают момент силы.
<img width=«223» height=«265» src=«ref-1_1563750640-7629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">


Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, определяемая через векторное произведение радиуса вектора <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1563758269-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> и проекции силы <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_1563749971-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> на плоскость вращения
<img width=«85» height=«27» src=«ref-1_1563758452-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
<img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1563758269-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">  — радиус вектор направлен от оси в точку приложения силы.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1095">

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1096">Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и может определяться по правилу буравчика (см. рис. 1). Модуль вектора момента силы можно записать в виде
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1097"><img width=«165» height=«24» src=«ref-1_1563758965-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1099">Угловое ускорение вращающегося тела зависит не только от массы вращающегося тела, но и от распределения массы относительно оси вращения. Поэтому в динамике вращательного движения вместо массы рассматривают момент инерции тела относительно оси вращения.

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1100">Момент инерции тела массы mдостаточно малого объёма (тело можно считать материальной точкой) относительно оси проходящей вне тела, равен произведению его массы на квадрат расстояния до оси вращения:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1101"><img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1563759463-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1103">Поскольку твердое тело представляет систему материальных точек, то сумма моментов инерции всех материальных точек тела относительно оси вращения есть момент инерции тела относительно этой оси:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1104"><img width=«80» height=«36» src=«ref-1_1563759752-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">


<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1106">Зависимость углового ускорения вращающегося тела от момента силы и момента инерции тела относительно оси, вокруг которой происходит вращение, определяется основным законом динамики вращательного движения:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1107"><img width=«49» height=«44» src=«ref-1_1563760211-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">     или      <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1563760391-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
где <img width=«79» height=«37» src=«ref-1_1563760540-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> векторная сумма всех моментов сил действующих на твердое тело.

Теория метода и экспериментальная установка.

Задачей данной лабораторной работы является экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

В работе можно экспериментально определить величины углового ускорения ε, момента сил М при фиксированных значениях момента инерции вращающейся системы установки.
<img width=«198» height=«369» src=«ref-1_1563760860-6085.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">


Установка представляет собой крестообразный маятник Обербека (рис.2). Изменяя положение грузов на спицах уменьшают или увеличивают момент инерции вращающейся системы. Существенно понимать, что момент инерции системы расчитать очень сложно. Момент инерции может быть вычислен, если известны величины ε и М.

Величины ε и М в работе могут быть изменены подвешиванием к нити установки различных грузов. Численные значения углового ускорения ε и момента сил М определяются независимо.

При проверке основного закона динамики вращательного движения к нити подвешивают грузы различной массы m1 , m2, m3… mi. Это позволяет определить два набора величин
ε1       ε2       ε3     …    εi

М1      М2      М3    …    Мi
Если данные получены при неизменном моменте инерции установки <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1563766945-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, то будет иметь место равенство отношений
<img width=«152» height=«47» src=«ref-1_1563767093-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"><img width=«29» height=«47» src=«ref-1_1563767460-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">                                                    (1)
Совпадение указанных отношений и свидетельствует о справедливости основного закона динамики вращательного движения твердого тела с неподвижной осью.

О справедливости закона также можно судить, если данные <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1563767615-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">представить графически. Зависимость <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1563767784-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> от М на графике должна быть прямолинейной, причем по углу наклона к кривой можно судить о величине момента инерции.

а) Определение углового ускорения.

Угловое ускорение ε, с которым вращается крестообразный маятник может быть найдено по известному линейному ускорению, с которым опускается груз на нити. Линейное ускорение находят, измеряя время t, в течение которого груз массы mиз состояния покоя опускается на расстояние h. Ускорение движения груза находится из выражения:
<img width=«48» height=«43» src=«ref-1_1563767869-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">                                                                    (2)
Так как нить сматывается без скольжения, то линейное тангенциальное ускорение <img width=«20» height=«26» src=«ref-1_1563768049-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> точек канавки шкива, на котором намотана нить будет также равно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1563768150-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">. Если радиус шкива R, то угловое ускорение ε шкива, а следовательно и крестовины найдется из выражения:
<img width=«95» height=«46» src=«ref-1_1563768234-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">                                                        (3)
б) Определение момента сил <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1563768502-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">

Для нахождения момента сил рассмотрим еще раз схему установки где расставлены действующие в системе силы и моменты сил. Момент сил М задающий угловое ускорение, как видно из рисунка, определяется выражением (рис.3)
<img width=«108» height=«23» src=«ref-1_1563768613-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">                                                     (4)
где <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_1563768839-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">  — момент силы натяжения

      <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1563768964-127.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1124">  — момент сил трения в оси.




<img width=«179» height=«319» src=«ref-1_1563769091-8107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
Момент силы натяжения может быть подсчитан по формуле
<img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1563777198-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">
Сила натяжения легко находиться, если воспользоваться вторым законом Ньютона для поступательного движения груза:
<img width=«204» height=«45» src=«ref-1_1563777391-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1563758746-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">
и тогда для момента силы натяжения будем иметь
<img width=«140» height=«45» src=«ref-1_1563778021-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">                                                 (5)
Нахождение момента сил трения представляет большую сложность, по сравнению с нахождением момента сил натяжения <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_1563768839-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">. В общем случае момент сил трения зависит от силы давления на ось груза, подвешенного к нити и других причин. Однако, если момент сил трения меняется не очень сильно, что справедливо в условиях данного эксперимента, то его нахождение упрощается.

1. Момент сил трения <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1563768964-127.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1131"> , считая его постоянным, можно определить следующим образом. Если при <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1563766945-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">  записать закон вращательного движения для двух значений вращающих моментов
<img width=«117» height=«23» src=«ref-1_1563778804-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">                                               <img width=«119» height=«23» src=«ref-1_1563779038-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
и решить эту систему относительно   <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1563768964-127.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1135"> будем иметь
<img width=«160» height=«47» src=«ref-1_1563779400-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">                                               (6а)
1.                 Значение момента сил трения можно оценить приблизительно. С этой целью к нити, намотанной на шкив, подвешивают различные грузы и находят среди них такой m, который еще не вызывает вращения системы. Но если его массу увеличить на малую величину, то он вызовет вращение. Тогда
<img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1563779806-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">                                                         (6б)
2.                 Момент сил трения можно определить также графически. Формулу (4) можно преобразовать к виду
<img width=«107» height=«43» src=«ref-1_1563780011-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
Если момент сил трения и момент инерции остаются постоянными, то эта зависимость является линейной. На графике <img width=«79» height=«23» src=«ref-1_1563780289-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, точка пересечения линии с осью абсцисс и будет характеризовать значение момента сил трения.

Уменьшить относительную роль момента сил трения в опыте можно увеличивая массу груза m. Но при возрастании массы груза происходит возрастание давления на ось вращающейся системы и увеличение сил трения (и момента сил трения). Кроме того, увеличение массы груза mуменьшает время его падения и тем самым снижает точность его измерения.

в) Измерения.

1.                 Первоначально задают какое – либо неизменное значение для момента инерции вращающейся системы. С этой целью необходимо закрепить грузы на спицах в определенном положении – симметрично относительно оси вращения. Заданное положение грузов отметить в лабораторном журнале.

2.                 Для заданного значения момента инерции вращающейся системы определить время, за которое груз на нити проходит расстояние hмежду двумя метками – первый и второй выключатели секундомера. Изменение времени повторить не менее трех раз для последующего усреднения.

3.                 Указанное измерение времени повторить еще не менее, чем для трех грузов из имеющихся в наборе принадлежностей к работе.

4.                 Изменив значение момента инерции вращающейся части системы повторить все операции отмеченные в пунктах 1 – 3.

Данные об установке и экспериментальные результаты удобно представить в виде таблицы.
Измерительные приборы и их погрешности:

Измерительная

физическая

величина

Прибор

Предел измерений

Цена деления

Погрешность

D

Штангель-цыркуль

300мм

0,1мм

±0,1мм

t

Секундомер электронный



0,01с

±0,01с

h

Линейка(сталь)

500мм

1мм

±0,2мм
    продолжение
--PAGE_BREAK--