Реферат: Теория эффективных фондовых инвестиций и ее применение (раздел дипломной работы)

2.Теория эффективных фондовых инвестиций и ее применение.

 

Начальный этап развитиятеории инвестиций, относится к 20-30-м годам ХХ-го столетия и является периодомзарождения теориипортфельныхфинансов. Этот этап представлен основополагающими работами И. Фишера по теориипроцентной ставки и приведенной стоимости. Он доказал, что критерии оценкиинвестиций никак не связаны с тем, предпочитают ли индивидуумы настоящеепотребление потреблению в будущем. Это значит, что инвесторы пользуются однимии теми же инвестиционными критериями и поэтому могут скооперироваться ипередать функции управления инвестициями профессиональному менеджеру.Менеджерам не обязательно знать личные вкусы акционеров, их задача — максимизировать чистую приведенную стоимость чтобы наилучшим образом обеспечитьинтересы своих клиентов. Эти теоретические положения во многом были подкрепленыбурным расцветом индустрии первых взаимных фондов в США, активноспекулировавших в то время на американском биржевом рынке. 

Важная особенность работ довоенногопериода состоит в использовании гипотезы о полнойопределенности условий впроцессе принятия финансовых решений. Математические средства, применяемые ванализе того времени, сводились к элементарной алгебре и началамфундаментального анализа. Совокупность этих средств, ориентированных напроведение финансовых расчетов в условиях определенности, получила названиефинансовойматематики. Несмотря надетерминированный подход, важность факторов неопределенности ириска в финансовых проблемахсознавалась вполне четко.

Началом современной теорииинвестиций считают 1952 г., когда появилась статья  Г. Марковица под названием«Выбор портфеля». В этой статье впервые была предложенаматематическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и методы построениятаких портфелей при определенных условиях на основе теоретико-вероятностнойформализации понятия доходности и риска. Лишь применение  вероятностных методовпозволило существенно продвинуться в исследовании влияния риска на принятиеинвестиционных решений. Именно работы этого направления и получили название«современнаятеорияинвестиций».Таким образом,понятие риска и его измерение (математическая модель) являются основойсовременнойтеорииинвестиций.

Примечание. Модели оценки опционов,модель арбитражного ценообразования и другие модели теории фондовых инвестиций,не имеющие непосредственного практического значения для деятельности совместныхфондов в данном разделе не рассматриваются.

2.1.  Риск и его измерение

 

Доминирующее определениериска  как дисперсии или стандартного (среднеквадратичного) отклонениядоходности связано с тем, что наиболее простой оценкой значения случайнойвеличины — доходности — является ее точечная оценка в виде математическогоожидания, а дисперсия является интегральной точечной характеристикойвариабельности доходности относительно ее математического ожидания. В теориивероятностей и математической статистике выработаны достаточно простые правилаопераций с точечными оценками и процедуры определения статистической значимостиоценок, что упрощает использование моделей и методов оптимизации портфеля. Этотфакт является немаловажным в объяснении доминирующей роли точечных оценоквариации, если принять во внимание, что в 50-х годах работы Марковица  непривлекли особого внимания экономистов, поскольку применение теориивероятностей к финансовой теории было в то время весьма необычным и  даже спростой мерой риска алгоритмы Марковица оказались сложными для вычислительныхмашин того времени. (Поэтому фактическая реализация его идей была осуществленагораздо позднее выхода его работ, а Нобелевская премия по экономике ему былаприсуждена только в 1990 году.) Таким образом, доминирующее определение рискакак дисперсии доходности объясняется простотой этого измерителя и в какой-тостепени традицией.

В то же время адекватностьтакого измерителя риска зачастую подвергается сомнению, а в теории и напрактике можно встретить использование других измерителей риска.  Недостаткидисперсии как модели риска обсуждаются, например, в [4 стр.179-185] и в [6],основные из них следующие :

*     дисперсияхарактеризует все отклонения доходности от своего математическогоожидания, в то время как с термином «риск» в сознании инвестора ассоциируютсятолько неблагоприятные для него отклонения;

*     дисперсияне раскрывает распределение (структуру) отклонений, в результате одна ценнаябумага с преобладанием положительных  отклонений доходности может иметь такуюже дисперсию, как другая ценная бумага  с преобладанием отрицательныхотклонений доходности, следовательно, от инвестора будет скрыт больший рискпотерь при покупке второй из них.

 Главноеотличие альтернативных измерителей риска становится ясно очерченным, еслипоставить вопрос так: риск чего? В случае применения дисперсии в качествеизмерителя ответ будет такой: риск отклонения доходности вообще, а приприменении других измерителей ответ будет более конкретным: риск недополучениядохода, риск убытков, риск банкротства и др. Но тогда ценная бумага должнахарактеризоваться целым рядом показателей риска, относящихся к  каждомуконкретному неблагоприятному событию, то есть теряется свойство интегральностипоказателя.

В[4] приводятся следующие альтернативные измерители риска:

*     полудисперсия- для симметричных распределений отклонений от математического ожиданиядоходности;

*     вероятностьполучения дохода меньше ожидаемого;

*     средняявеличина отрицательных отклонений доходности.

Вп.3.3 описано решение задачи оптимизации портфеля с использованием последнегоиз названных показателей. Нелишним будет заметить, что в первых работахМарковица также использовался этот показатель, но в дальнейшем он от негоотказался в пользу стандартного отклонения ввиду возрастания сложностиалгоритмов оптимизации.

Несмотряна отмеченные недостатки, дисперсия в качестве измерителя риска фондовогоактива показала свою эффективность в большинстве практических задач, а простотаи интегральность этого показателя выгодно отличают его от альтернативныхизмерителей риска. Эти обстоятельства и обусловили преимущественное егоприменение.

2.2. Модель Г. Марковица

 

Теоретические построенияМарковица построены на ряде предположений, часть из которых относится кусловиям принятия инвестиционных решений — к свойствам фондового рынка, другаячасть — к поведению инвестора.

Важнейшими из предположенийпервой группы являются следующие:

1.   Рыноксостоит из конечного числа бесконечно делимых ликвидных активов, доходностикоторых для заданного периода считаются случайными величинами (т.е. все активы- рисковые).

2.   Существуютоткрытые и достоверные исторические данные о доходности активов, позволяющиеинвестору, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и ихпопарных ковариаций.

3.   Инвесторпри совершении операций с фондовыми активами свободен от транзакционныхиздержек и налогов.

4.   Инвесторможет формировать любые допустимые (для данной модели) портфели, доходностикоторых являются также случайными величинами.

Относительно поведенияинвестора выдвигаются две гипотезы — гипотеза ненасыщаемости и гипотезанесклонности к риску. Эти гипотезы означают, что:

5.   Инвесторвсегда предпочитает более высокий уровень благосостояния, то есть приодинаковых прочих условиях всегда выбирает актив (портфель активов) с большейдоходностью.

6.   Инвесториз двух активов с одинаковой доходностью обязательно предпочтет актив с меньшимриском.

Иными словами, инвесторсоответствует модели рационального потребителя неоклассической теорииполезности и может характеризоваться бесконечной совокупностью кривыхбезразличия в координатах риск-доходность/>, при этом любая кривая безразличиясоответствует определенному уровню предпочтения (и поэтому не пересекается сдругими) и является выпуклой вниз. Выпуклость вниз как раз и отражаетнесклонность к риску: за каждую единицу возрастания  риска инвестор требуетопережающего роста доходности (премии за риск). Считается, что адекватнымописанием предпочтения инвестора является предложенная М.Рубинштейном [12]функция полезности вида:

/>,

где  /> - индивидуальный для каждогоинвестора параметр предпочтения

                          между риском и доходностью.

На рис.2.1 представлены подве кривые безразличия двух инвесторов, по степени выпуклости  кривых можносказать, что первый из них более склонен к избежанию  риска, чем второй.Кривая, лежащая выше и левей, соответствует большей величине полезностимножества равнозначных портфелей, представленных этой кривой.

/>

  Пусть инвестором отобраны nценных бумаг, в которые он хочет инвестировать имеющийся у него капиталфиксированной величины. Этому капиталу на плоскости /> будет соответствоватьмножество всевозможных портфелей, составленных из n ценных бумаг в видехарактерного «зонтика» (рис. 2.2). Однако для рационального инвестора выборограничен только линией эффективного фронта, точки которого всоответствии с гипотезами о ненасыщаемости и несклонности к риску лежат насеверо-западной границе допустимого множества портфелей. Графическим решениемзадачи оптимального размещения капитала является нахождение точки касанияэффективного фронта с самой удаленной влево и вверх кривой безразличияинвестора. Эта точка и представляет сочетание риска и доходности оптимальногопортфеля в соответствии с индивидуальным предпочтением инвестора, как показанона рис. 2.2.

/>

Однако графическое решениеполезно только для понимания экономического содержания и не может на практикезаменить математического решения.

Принимая, что величинакапитала инвестора равна 1и распределена между n ценными бумагами портфеля,по известным правилам теории вероятностей можно выразить математическоеожидание доходности />портфеля и его дисперсию />:

/> ,                                                                  (2.1)

/> ,                                                 (2.2)

где /> - доля капитала, вложенногов />-ю ценную бумагу,

       /> - математическое ожиданиедоходности />-ой ценной бумаги,

       /> — ковариация междудоходностями  ценных бумаг /> и />.

Инвестор преследуетпротиворечивую цель, стремясь одновременно достичь и наибольшей доходности, инаименьшего риска. Поскольку функция полезности инвестора к риску не всегдаподдается адекватному числовому измерению, Марковиц не ставил задачумаксимизации целевой функции, отражающей эффективность портфеля. Вместо этогоон решал задачу минимизации риска портфеля при обеспечении заданного уровня его доходности (тем самым предполагая, что уровень «притязаний»инвестора косвенно отражает его соответствующую готовность рисковать). При этомважным предварительным результатом Марковица было доказательство выпуклостиэффективного фронта, что обеспечивает единственность решения оптимизационнойзадачи.

Математически задачаМарковица формулируется так: найти вектор распределения капитала по nценным бумагам />/> , который минимизирует квадратичную форму (2.2)при выполнении ограничений:

/>                                                    (2.3)

/>                                               (2.4)

Эта задача при наличии толькоограничений-равенств относится к классу классических задач квадратичной оптимизации- одному  из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых кнастоящему времени разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов.В частности, может быть применен классический метод неопределенных множителейЛагранжа, который гарантированно приводит к нахождению глобального минимумаввиду выпуклости квадратичной формы (2.2). При этом, однако, допускаютсяотрицательные значения />, что на практике означает допустимость для всехинвесторов  продаж ценных бумаг на срок без покрытия (short sales).Такое предположение не всегда допустимо.

Однако наложениедополнительных ограничений-неравенств, например:

/>                                                (2.5)

существенноусложняет нахождение решения и, кроме того, не позволяет строить эффективныйфронт ввиду большого объема расчетов. Предложенное Марковицем решение основанона введенном им понятии угловых портфелей.

Для описания эффективногофронта используется вспомогательная прямая, идея которой состоит в том, что онаявляется касательной к эффективному фронту, тогда, изменяя наклон этойкасательной от минимального до максимального значения, можно получить описаниевсего эффективного фронта как совокупность точек касания. Итак, на плоскости /> строится семейство прямых(рис. 2.3), описываемых следующим  уравнением  при различных  а:

/>,                                        (2.6)

где /> - некоторое число.

Нетрудно выяснить смысл числа/>. Выразив из последнеговыражения />, получим:                                        />

Таким образом, величина /> есть тангенс угла наклонасемейства прямых к оси /> и, следовательно, отражает предпочтение«риск-доходность» инвестора, выбравшего на эффективном фронте точку,касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.

При увеличении а прямая(2.6) приближается  к эффективному фронту и при каком-то значении — минимальном! — касается его. Подставив в (2.6) вместо /> и /> соответственно (2.1) и (2.2)после решения задачи

/>                   (2.7)

можнополучить вектор решений как функций от /> :  />. При изменении /> от 0 до /> вектора решений опишут все точки касания, т.е.весь эффективный фронт.

Каквидно из (2.7),  точка /> определяет эффективный портфель с минимальнымриском, а /> — портфель с максимальновозможной доходностью и риском

Марковицдоказал, что функции /> являются непрерывными кусочно-линейными, т.е.при изменении /> от 0 до />их производные по /> могут терпеть разрыв. Те значения />, в которых это происходитхотя бы для одной из />, были названы угловыми (см. Рис.2.4), асоответствующие им портфели — угловыми портфелями. Марковиц установилзамечательное свойство угловых портфелей: участок эффективного фронта междусмежными угловыми портфелями описывается линейной комбинацией этих портфелей.Иначе, если /> и /> - смежные угловые точки, то для любого />| />< />< /> векторы, вычисляемые как

/>            (2.8)

определяютучасток эффективного фронта. При отсутствии ограничений-неравенств функции /> - линейные, точка /> является угловой поопределению.

Метод нахождения угловыхпортфелей, названный Марковицем методом критических линий, с последующимнахождением как оптимального портфеля, так и эффективного фронта широко используетсяи в настоящее время.

/>

Из рассмотрения задачиМарковица видно ее преимущественно микроэкономическое содержание, посколькувозможные последствия решений инвестора для состояния рынка не рассматриваются,а внимание акцентировано на поведении отдельного инвестора, формирующегооптимальный портфель из рисковых активов на основе собственных оценок ихдоходности и риска.

/>

2.3.Развитие результатов Г. Марковица в трудах Д. Тобина

 

Влияние теории Марковицазначительно усилилось после появления в конце 50-х годов работ  Тобина поаналогичной тематике, но имеющих другой подход. В работах Тобина основной темойстановится анализ  факторов, побуждающих инвесторов формировать портфелиактивов вместо держания капитала в какой-то одной форме (например, налично-денежной).Поэтому Тобин включил в анализ безрисковые активы и главной задачей и в теории,и на практике считал оптимальное распределение капитала между безрисковыми ирисковыми вложениями.

Если инвестор распределилкапитал между безрисковыми и рисковыми активами в пропорциях: /> - в безрисковые, /> - в рисковые, то ожидаемаядоходность его капитала (портфеля) определяется:

/>,          (2.9)

где /> - доходность безрисковой, а /> - ожидаемая доходностьрисковой части               портфеля.

Риск такого портфеляопределяется только его рисковой частью:

/> ,                                                  (2.10)

где /> - дисперсия доходностирисковой части портфеля.

Используя (2.9) и (2.10),после исключения /> получаем:

/>.                                             (2.11)

(2.11) показывает линейнуюзависимость доходности портфеля сверх гарантированного значения и рискапортфеля.

Поведение инвестора,формирующего оптимальный портфель из рисковой и безрисковой частей, удобнопредставить графически на плоскости /> - рис.2.5.

Если инвестору даны толькоодин рисковый и один безрисковый актив, то все варианты распределения капиталав соответствии с (2.11) отображаются отрезком прямой линии (рис.2.5). Точка /> соответствует вложению всегокапитала в безрисковый актив при />, точка /> - вложению только в рисковый актив при />. Все промежуточные вариантысоответствуют внутренним точкам отрезка, а возможность заимствования средств (по безрисковой ставке) с их вложением  в рисковый актив соответствуетпродолжению прямой вправо при />.

/>

Характер зависимости неизменится, если считать, что рисковым активом является какой-то портфельрисковых ценных бумаг. На рис.2.6 представлен эффективный фронт некоторойсовокупности рисковых ценных бумаг, из точек которого инвестор выбираетоптимальный портфель в соответствии со своей склонностью к риску и без учетавозможности безрискового инвестирования. Рассмотрим две точки А и С наэтом эффективном фронте по Марковицу, но с учетом возможности безрискового вложения.Пусть оптимальному портфелю инвестора, составленному только из рисковыхактивов,  соответствовала точка А. Перераспределение средств в пользубезрискового актива, но с сохранением структуры рисковой части вызовет, как иранее, перемещение местоположения портфеля влево по отрезку АR.Но очевидно, что ни сама точка А, ни отрезок АRне представляют более эффективные портфели, поскольку можно составить портфельс тем же уровнем риска, но  более доходный, используя комбинацию безрисковогоактива и рисковой части, имеющей структуру портфеля С (на рис. 2.6портфель A' предпочтительнее А,поскольку /> при одинаковом  />).

/>

Сказанноеотносится ко всем портфелям, представленным  на эффективном фронте по Марковицуниже и левее точки С, и таким образом, эта часть эффективного фронтазаменяется отрезком RC. А при возможностизаимствования инвестор по тем же причинам предпочтет продолжение отрезка RCвправо от точкиС. В результатеэффективный фронт будет представлен прямой, включающей единственную точку Сиз эффективного фронта Марковица.

Точка Спредставляет так называемый касательный портфель и имеет очень важноезначение в построениях Тобина. Во-первых, это точка касания эффективного фронтаМарковица с прямой, проведенной из точки безрисковой доходности R.Во-вторых, эта касательная имеет самый большой угол наклона к оси абсцисс средивсех прямых, проведенных из точки R к эффективному фронтуМарковица. Последнее на содержательном уровне интерпретируется так: инвесторы,более «осторожные» чем выбравшие точку С в качествеоптимальной по Марковицу, будут формировать свой оптимальный портфель избезрискового актива и рисковой части, причем структура рисковой составляющейбудет аналогична структуре касательного портфеля. Это положение существенноотличается от вывода Марковица, поскольку инвесторы с разной склонностью криску (в указанных пределах) формируют рисковую часть портфеля одинаково поструктуре. Но тогда инвестор при составлении оптимального портфеля будетдействовать в два этапа:

1.   Нахождениеструктуры  касательного портфеля .

2.   Распределениекапитала между касательным портфелем и безрисковым активом в соответствии синдивидуальной склонностью к риску.

Возможность раздельногорешения задач оптимизации рисковой части портфеля и портфеля в целом известнокак теорема о разделении .

К тем же выводам приводит иформальное математическое решение задачи Тобина, приведенное, например в [3,стр.109-113] (рассмотрены случаи привлечения займов и без них). Кромеклассических формальных методов решения задачи Тобина существуют«специализированные», основанные на использовании теоремы оразделении, т.е. на первоначальном нахождении касательного портфеля. Например,можно использовать уже упоминавшийся метод критических линий или описанный в [4,стр.253-256 ] метод  EGP, названный по именам создателей Элтона, Грубераи Падберга (метод использует свойство касательного портфеля иметь максимальныйугол наклона прямой, соединяющей соответствующую ему точку с точкой безрисковойдоходности).

Макроэкономическое значениерезультатов Тобина состоит в моделировании спроса на деньги при изменениидоходности рисковых активов.

 Хотяпредположение Тобина о возможности чисто безрисковых вложений на практикестрого не выполнимо, решение задачи Тобина с использованием слаборисковыхактивов оказывается близким к  расчетному и поэтому имеет практическое значение[3, стр.112] .

2.4.  Модель  CAРM и ее обобщение

В самом начале 60-х годовучеником Марковица У. Шарпом была предложена так называемая однофакторнаямодельрынка капиталов, в которойвпервые появились ставшие знаменитыми впоследствии «альфа» и«бета»- характеристики акций. На основе однофакторной модели Шарпвпоследствии предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, которыйсводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В простейших случаях, длянебольших размерностей, эта задача могла быть решена практически«вручную». Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизацииприменимыми на практике. К 70-м гг. развитие программирования, а такжесовершенствование статистической техники оценивания показателей«альфа» и «бета» отдельных ценных бумаг и индексадоходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ длярешения задач управления портфелем ценных бумаг.

Первоначально Шарпомпреследовалась цель упростить получение исходных данных (прежде всего,ковариаций между доходностями ценных бумаг), необходимых для  решения задачиоптимизации портфеля по Марковицу. Для этого была использована однофакторнаямодель зависимости доходности долгосрочной рисковой ценной бумаги от фактора — средневзвешенной по капитализации фондовых активов доходности рынка:

/> ,                                                          (2.11)

где /> - общее число всех обращающихсяна рынке ценных бумаг,

        /> — соответственно доля в общейкапитализации рынка и доходность />-ой      ценной бумаги.

Однофакторная модельдоходности />-ой ценной бумаги строитсякак линейная регрессионная зависимость, получаемая по методу наименьшихквадратов:

/>  ,                       (2.12)

где /> - коэффициент смещениярегрессионной модели, отражающий активную доходность — дополнительную доходностьданной ценной бумаги относительно /> - и степень интереса инвесторов к ней,

/> - коэффициентчувствительности изменения доходности ценной бумаги относительно изменениядоходности среднерыночного портфеля,

/>/> — погрешность регрессионноймодели, отражающая влияние всех других факторов.

Регрессионная зависимостьстроится в предположении о зависимости  доходностей всех ценных бумаг только отодного фактора — /> и, следовательно, взаимной некоррелированностиошибок />, а из алгоритма методанаименьших квадратов следует, что

/>,                  (2.13)

где /> - СКО соответственнодоходностей />-ой ценной бумаги и среднерыночного портфеля,

/> - коэффициент корреляциимежду доходностью />-ой ценной бумаги и доходностью среднерыночногопортфеля.

Если известны коэффициенты /> для всех рисковых фондовых активов(а к выводу о необходимости их оценки ввиду наглядности практика фондовогорынка пришла довольно быстро), то ковариации доходностей ценных бумаг и ихдисперсии могут быть вычислены применением правил теории вероятностей к (2.12):

                                                         />,               (2.14)

/>

Эти правила легко обобщаютсяна случай портфеля, состоящего из /> рисковых ценных бумаг, представленных в немдолями /> :

/> 

/>,  (2.15)

где   />  ,                                                                    (2.16)

          /> ,                                                                  (2.17)

           />                                                                      (2.19)                                         

Риск портфеля определяется :

            />/> ,                                                   (2.20)

где           /> .                                                        (2.21)

Первое слагаемое в (2.20)характеризует рыночный (систематический, недиверсифицируемый) риск, а второе — собственный риск портфеля, который может быть уменьшен за счет диверсификациикак показано на рис.2.7.

/>

Однако по-настоящему значимоенаучное и практическое значение регрессионная аппроксимация в виде (2.12) и(2.13) получила в связи с использованием результатов Тобина для моделированияценообразования долгосрочных активов на фондовом рынке.

С 1964 г. появляются работыШарпа, Линтнера, Моссина, открывшие следующий этап в инвестиционной теории,связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ(Capital Asset Pricing Model). Результаты, полученные в этихработах, основаны на исходных предположениях Марковица (см. п.2.2), дополненныхследующими:

1.   Для всехинвесторов период вложения одинаков.

2.   Информациясвободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.

3.   Инвесторыимеют однородные ожидания, т.е. одинаково оценивают будущие доходности, риск иковариации доходностей ценных бумаг.

4.   Безрисковаяпроцентная ставка одинакова для всех инвесторов

В совокупности все исходныепредположения  описывают так называемый совершенный рынок ценных бумаг, накотором отсутствуют препятствующие инвестициям факторы. Есть еще одно положениеCAРM,которое обычно считают следствием теоремы о разделении: в состоянии равновесиякаждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в касательном портфеле, аструктура касательного портфеля повторяет структуру рыночного портфеля всоответствии с долями капитализации ценных бумаг. Обоснованием служит следующеерассуждение: если касательный портфель одного инвестора не включает какую-тобумагу, это означает, что ее стараются продать все (так как инвесторыприобретают одинаковые по структуре рисковые составляющие своих портфелей),тогда рыночный курс этой бумаги под давлением избыточного предложения будетпадать, а ожидаемая доходность соответственно расти — до тех пор, пока цена нестанет равновесной, а доля в касательном портфеле — отличной от нуля.Противоположные события будут происходить при попытке инвесторов (всеходновременно) увеличить долю какой-то бумаги в рисковой части вложений.

На основе последнегоутверждения и используя (2.11) можно записать выражение для ожидаемойдоходности финансовых средств любого инвестора в состоянии равновесия рынка:

/>,                                                           (2.22)

где, как и ранее, /> — доходность и рисксреднерыночного (касательного)           портфеля,

/> - доходность безрисковыхактивов

 (2.22)описывает эффективный фронт Тобина (рис.2.8) и получило название уравнениерынка капитала (Capital Market Line — CML).При этом величина

/>

равнатангенсу угла наклона CML к оси ординат и отражает увеличение доходностипри увеличении риска на единицу, т.е. предельную доходность риска вложенийрынка при наличии рисковых и безрисковых активов. Поскольку CMLкасается эффективного фронта Марковица в точке />, можно выразить тангенс наклона касательнойчерез выражение, описывающее фронт Марковица. Это выражение получено в [Гр] иимеет вид:

/>,

где/> относятся к любой из ценныхбумаг портфеля,

/>    /> — коэффициент корреляции доходности этой ценнойбумаги и портфеля в целом.

Приравниваяправые части двух последних выражений, можно получить выражение для ожидаемойдоходности любой ценной бумаги в оптимальном портфеле:

/> ,                                      (2.23)

котороеназывается уравнением линии рынка ценных бумаг (Security Market Line — SML) и с учетом (2.13) может быть переписано сиспользованием коэффициента />  :

/>.                                        (2.24)

Разность /> называют премией занедиверсифицированный риск держания рыночного портфеля, соответственно разность/> - премия за риск держанияотдельноого рискового актива, а  бета показывает вклад каждой ценной бумаги вриск рыночного портфеля.

Сравнение  выражений для  CML иSMLпоказывает, что эти линии на плоскости />совпадают только при />. При /> линия SML проходит выше, а при /> - ниже линии CML (рис.2.8). В любом случаеактивы  с большим риском должны обеспечивать пропорционально большую доходность.Таким образом, если портфель эффективен, связь между ожидаемой доходностьюкаждой акции и ее предельным вкладом в портфельный риск должна бытьпрямолинейной. Верно и обратное: если прямолинейной связинет, портфель не является эффективным.

/>

Используяуравнение SML,можно  определить факт недооценки или переоценки ценной бумаги ( например,акции) не только по ее доходности, но и сравнением ее действительного курса икурса в соответствии с равновесной ценой риска,  который обозначим через />. Пусть ожидаемая в конценекоторого будущего периода цена акции (учитывая дивидентный доход) равна />. Приравнивая выражениядоходности по определению и по уравнению SML, получим:

/>,

откудаследует известная формула дисконтирования по безрисковой доходности,увеличенной на рисковую надбавку:

/>.

Обобщая изложенное,  можносчитать  САРМ  макроэкономическим обобщением теории Марковица, позволяющимустановить соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. Приэтом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестордолжен учитывать не «весь» риск, связанный с активом (риск поМарковицу), а только недиверсифицируемую его часть. Эта часть риска актива тесносвязана с общим риском рынка в целом и количественно представляетсякоэффициентом «бета», введенным Шарпом в его однофакторной модели.Остальная часть ( несистематический, или диверсифицируемый риск) устраняетсявыбором соответствующего оптимального портфеля. Характер связи междудоходностью и риском имеет вид линейной зависимости. Если инвесторы нерасполагают какой-либо дополнительной информацией, им следует держать такой жепортфель акций, как и у других — т.е. рыночный портфель ценных бумаг.

В 1977 г. эта теорияподверглась  критике в работах Ричарда Ролла. Ролл высказал мнение, что САРМследует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпирическойпроверки. Существует достаточно много возражений против обоснованностиположений CAPM,самыми спорными из них считаются [4] предположения:

1.    Гипотеза эффективного рынка исвязанная с ней модель «случайного блуждания» рыночных цен активов

2.     Возможность на практикеопределить рыночный портфель, который по смыслу должен включать не толькоабсолютно все ценные бумаги, но и товары длительного пользования, инвестиции вобразование  (в «человеческий» капитал), недвижимость, драгоценныеметаллы  и другие ценности.

3.    Существование безрисковыхактивово и возможность неограниченного заимствования по ставке безрисковойдоходности.

 Несмотря на это, САРМостается самой значительной и влиятельной современной финансовой теорией.Практические руководства по финансовому менеджменту в части выбора стратегиидолгосрочного инвестирования основываются исключительно на САРМ, но используютразличные приближения лежащих в ее основе понятий. Укажем два направления такихмодификаций, которые в [4] названы обобщениями (обобщенными версиями) САРМ.

Возможность получать кредитпо безрисковой ставке на практике имеет только государство, для других инвесторов эта ставка выше, поэтому эффективный фронт изменяется и приобретаевид кривой />на рис.2.9, при этом участок /> соответствует распределениюсредств инвестора между портфелем А и безрисковым активом с доходностью />, участок АВ — это участокэффективного фронта Марковица, а прямая BL означает получение кредитапо ставке />и инвестирование всех средствв портфель В. Существенно, что инвестор в этих случаях выбирает различные поструктуре портфели рисковых активов. На практике вместо кривой /> используют прямую />, где /> означает доходностьгипотетического безрискового актива и определяется по специальным методикам.Новая /> имеет более пологий наклон,чем теоретическая, что означает меньшую цену среднерыночного риска.

/>

Другим направлениеммодификаций САРМ для практического применения являются различные представлениярыночного портфеля совокупностью фондовых индексов и других факторов. Конечнаяцель построения таких моделей — получение коэффициентов /> активов, позволяющих повозможности точно описывать реальное поведение доходности ценных бумаг. Обзорметодических подходов к решению этой задачи приводится в [4]. В западнойпрактике такого рода деятельность осуществляется на коммерческой основеспециальными службами, наиболее известны из них BARRA,R&R, Morningstar.

Выводы

1.    Основой современной теорииинвестиций, частью которой является портфельная теория, являетсятеоретико-вероятностная формализация понятия доходности и риска. Лишьприменение  вероятностных методов позволило существенно продвинуться висследовании влияния риска на принятие инвестиционных решений.

2.    Не существует универсальноймеры риска портфеля,  учитывающей и обобщающей все возможные субъективныеоттенки этого понятия. Среди различных измерителей риска наибольшеераспространение и в теории, и на практике получила дисперсия (СКО) доходностипортфеля, что не исключает, однако,  использование других измерителей.

3.    Инвестор выбирает оптимальныйпортфель из портфелей, составляющих эффективное множество, это множествоприобретает вид прямой линии при наличии безрисковых активов.

4.   Модель САРМ является макроэкономическим обобщением теории Марковица и Тобина, позволяющимустановить линейный вид соотношения между доходностью и риском актива дляравновесного рынка.

5.    На практике используютсямодифицированные версии САРМ, использующие различные приближения лежащих в ееоснове понятий Но никакая модель не в состоянии учесть все действующие факторы.

Литература

 

Шведов.А.С.  Теория эффективных портфелей ценных бумаг. — М., Изд-во ГУ ВШЭ, 1999. Френк Дж. Дерфлер. Вездесущие сети./ PC Magazine Rus, N9, 1999. — стр. 39-52. Первозванский А.А.,  Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск.-М., Инфра-М,- 1994. Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бейли. Инвестиции. — М., Инфра-М, 1997. Michalovski W., Ogryczak W. Extending MAD Portfolio Optimization Model to Incorporate Downside Risk Aversion. / IIASA, IR-98-041, June 1998./ www.iiasa.ac.at/Publications/Documents/IR-98-041.pdf Halme M., Korhonen P. Restricting Weights in Value Efficiency Analysis. / IIASA, IR-98-104, December 1998./ www.iiasa.ac.at/Publications/Documents/IR-98-104.pdf William F. Sharpe. Asset Allocation: Management Style and Performance Measurement./ Journal or Portfolio Management, Winter 1992, pp. 7-19. Susmaga R., Michalovski W. Identifying Regularities in Stock Portfolio Tilting. / IIASA, IR-97-66, September 1997. Ковалев В.В. Финансовый анализ. Управление капиталом, выбор инвестиций, анализ отчетности. — М. 1996. Четыркин Е.М.  Методы финансовых и коммерческих расчетов.- М. 1996. Карпиков Е.И., Федоров А.А. Основные постулаты классической теории портфельных инвестиций. // www.mfc.ru/ecc/bulletin/002/inv-theor.html. Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Макроэкономика. — СПб., Изд-во СПбГУЭФ, 1997.  Стратегия активного управления портфелем инвестиций. Система APMS. /    www.eerc.ru. Терри Дж. Уотшем, Кейт Паррамоу. Количественные методы в финансах.- М.: Финансы, 1999. Ричард Дж.Тьюлз, Эдвард С. Бредли, Тэд М. Тьюлз. Фондовый рынок. — М., Инфра-М, 1999. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Методы оптимизации. — М., Изд-во МАИ, 1998. Гилл Ф., Миррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — М., Мир,1985. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М., Мир, 1975.