Реферат: Соотношение интуитивного и логического в математике

--PAGE_BREAK--  только утверждение могущества человеческого разума, который способен постичь общность бесконечного повторения одного и того же акта, даже в различных его вариациях. В силу этого могущества разум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обобщения.

Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования. Имея простые понятия, математики строят более сложные совокупности или конструкции. Затем путем анализа этих сочетаний они возвращаются  к первоначальным объектам, раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей. В этом процессе конструирования, которому всегда совершенно справедливо придавалось большое значение, некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук. Необходимость очевидна. А вот достаточность? Ведь для того, чтобы процесс конструирования был полезен, необходимо, чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с составляющими ее элементами.  Например, для чего изучать многоугольники, с которыми несомненно, дело иметь гораздо труднее, вместо того, чтобы ограничиться изучением только треугольников? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольников.

Делается это для того, чтобы получать и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например, оценка периметра через сумму диагоналей), которые можно применять затем в любом частном случае. Если же рассматривать многоугольник только как фигуру, состоящую из элементарных треугольников, то увидеть эти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или интуиции, или не удается вообще.

Отсюда получается, что конструирование становится плодотворным тогда, когда его можно сравнивать с аналогичными конструкциями  того же родового понятия и когда есть возможность доказывать некоторые родовые свойства, не прибегая к проверке этих свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подняться от частного к общему, а это делается с помощью математической индукции.

 egincenter

 f

Два типа математического мышления

 ndcenter

Если ознакомится с работами различных математиков, то легко заметить, что существуют два сильно отличающихся типа математического мышления. Один из них можно условно называют геометрическим или европейским тип, а другой — алгебраическим или азиатским (ныне его также называют аналитическим стилем мышления). Конечно, подобные названия сильно условны, и появились, по-видимому, в связи с тем, что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор, Евклид, Декарт, Лобачевский), а начало алгебре, уравнениям и т.д. было положено в трудах арабов Аль-Хорезми, Омара Хайяма и других. Само слово алгебра происходит от арабского слова аль-джебр.

Аналитики придерживаются в своих работах логической стройности, двигаясь вперед шаг за шагом. Обычно  они не пропускают без доказательства ни одной мелочи, аккуратно обосновывая каждый шаг. При этом общая идея доказательства может потонуть за нагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядные представления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко.

Совершенно иная ситуация у математиков с

геометрическим стилем мышления. Их работы изобилуют рисунками, если это вообще возможно. Если нет, то по крайней мере они на словах пытаются

объяснить то, что представляется их внутреннему взору. При этом общие идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем, а иногда и вместо нее. Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей.

Надо сказать, что условное деление на геометров и аналитиков вовсе не означает, что они занимаются именно той областью математики, которая вынесена в название соответствующего типа мышления. Это просто условное название того типа мышления, который присущ данным людям. Причем, видимо, эта склонность дается от рождения, а не формируется в результате воспитания или обучения, хотя в ходе этих процессов можно развить или подкорректировать эти склонности. Чтобы проиллюстрировать все вышесказанное примерами, обратимся  к свидетельству французского математика Анри Пуанкаре, записанной в его книге «Ценность науки». Я позволю себе процитировать довольно большой кусок, потому что он дает яркие примеры двух типов математиков, с которыми Пуанкаре был знаком лично.

«Так, Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря просто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мы могли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станет сомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно количество равных частей, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц. Напротив, посмотрите на Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций; требуется узнать, всегда ли существует на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием. Без сомнения, Клейн знает, что он дал здесь лишь наглядный очерк; и все-таки он не задумался опубликовать его; вероятно, он надеялся найти здесь если не строгое доказательство, то по крайней мере как бы нравственную уверенность. Логик с ужасом отбросил бы подобную концепцию или — вернее — ему и не нужно было бы ее отбрасывать, потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме.»

Аналогичная, даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций, особенно функций комплексного переменного. Основа этого направления заложена в работах двух немецких математиков, Вейерштрасса и Римана. Они жили примерно в одно время, и получили примерно одинаковое образования. Математическая одаренность каждого из них не вызывает никаких сомнений. Работали они примерно в одной области, но насколько разительно их подходы отличаются друг от друга! Если Вейерштрасс сводил все функции к аналитическим рядам и рассматривал далее операции и свойства числовых и функциональных рядов, то есть как будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике, то

Риман прибегал к помощи геометрии и особенно топологии. Особенно интересно затронуть этот вопрос в свете того, что сама я лично была свидетелем очень яркого примера подобной классификации умов, и именно в этой области. Во время моего обучения в университете теорию функций комплексного переменного нам одновременно читали  два преподавателя: Леонид Эммануилович Медников и Александр Борисович Воронецкий. Естественно, они разделили темы, и каждый читал эту теорию с той точки зрения, которая ему ближе. Если Воронецкий имеет ярко выраженные черты аналитического склада мышления, то Медников, наоборот, ярко выраженный геометр и, естественно, читал топологическую часть, связанную с римановыми многообразиями. Воронецкий же читал часть, связанную с оценками, неравенствами, разложениями в ряды и т.д. В чем же еще было отличие? Всем моим одногруппникам нравились лекции Воронецкого, потому что он не пропускал ни одной детали, все у него было логически правильно построено, при этом записано на бумаге, весь текст он полностью переносил на доску. Отдельно были выделены определения, затем теоремы, доказательства и примеры. Лекции же Медникова, по общему мнению, слушать было еще можно, а вот запоминать или записывать — нет. Он не записывал на доске практически ни одной формулы, а рисовал множество картинок, поясняя общую идею доказательства и не вдаваясь в детали. При этом в принципе было невозможно понять, где доказательство теоремы, а где пример. На мой взгляд, он как бы моделировал творческую работу математика, процесс его размышлений над теоремами. Причем надо заметить и неоднозначную оценку студентами методов того и другого. Если мои одногруппники считали, что лекции Медникова не понятны и поэтому скучны, то для меня, наоборот, лекции Воронецкого казались загруженными ненужными деталями и поэтому скучными и сложными для понимания, а идеи доказательства, выраженные в картинках, я помню до сих пор, и до сих пор именно красота интуитивных идей делает для меня эти рассуждения простыми.  Иначе говоря, эти два отличия присущи не только великим умам, но и встречаются повсюду. Если аналитики не способны представлять в пространстве(а у мы, будучи студентами, подозревали, что Медников может представить четырехмерное пространство), то геометры не способны к длительным вычислениям и скоро в них путаются (именно сейчас, в ходе работы над диссертацией, у меня возникают серьезные проблемы со строгой записью доказательств. Надо ли говорить, что я считаю свой стиль мышления более геометрическим, чем аналитическим).  Оба рода умов одинаково необходимы для развития науки, оба делают те открытия и шаги, на которые неспособны другие.

 egincenter

 f

Роль интуиции в математике

 ndcenter

Но, раз уж мы говорим, что математические рассуждения ученых античности и нового времени грешат отсутствием логической строгости, там не доказаны казавшиеся очевидными факты, то означает ли это, что все эти ученые были по своему складу ума геометрами? Конечно, это не так.

Иначе пришлось бы заключить, что в древности природа создавала только геометров, зато в 19 веке и на рубеже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам. Например, если взять Евклида, про которого неизвестно ничего, кроме одного сочинения, в котором и излагается система его аксиом, то можно с уверенностью заключить, что этот человек — аналитик. Только логик мог в античные времена вообще принять необходимость выделения в геометрии неизбыточной системы непротиворечивых  аксиом. С большой вероятностью можно утверждать, что сами аксиомы, принимаемые интуитивно, были высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказаны теоремы геометрии. Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой, потому что именно Евклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания.

На сегодняшний день изменились не умы, а идеи. Сейчас от математиков, руководствуются они интуицией или логикой, требуется некий необходимый уровень строгости, и эта необходимость признана всеми. Какова же причина этого негласного соглашения? Она лежит на поверхности. Мало того, что интуиция, при всей ее творческой силе, не может дать нам строгости. Это еще полбеды. К сожалению, она не может дать достоверности знания, полученного с ее помощью.

Например, все мы имеем интуитивное понятие о

непрерывной функции как о функции, график которой представляется непрерывной линией. В то же время строгое определение непрерывности, на каком языке (топологическом, языке последовательностей, $ e- l$-окрестностей) его не формулируй, не может не содержать менее 5 предикатов, а нормальный, не занимавшийся математикой человек может понять сходу фразу, содержащую не более двух вложенных предикатов. Зачем тогда вообще нужно это строгое логическое определение? Но с помощью того интуитивного представления, которое мы имеем, представляя непрерывную кривую, мы получаем такое «доказательство»: любая непрерывная функция имеет производную, так как любая кривая имеет касательную. В то же время известно,  что далеко не всегда непрерывность функции обеспечивает ее гладкость.

Интуиция нас «обманывает» ровно в силу того, что в математике мы имеем дело не с реальными объектами, а с идеальными. Мы не можем представить себе кривую, не имеющую толщины. В лучшем случае мы представляем не канат, а очень тонкую линию, но тем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить не может. Это необходимо остается на долю логиков.

Таким образом, необходима логическая строгость, а она

невозможна в рассуждениях, если ее нет в определениях. Таким образом, усилия логиков были направлены на сами начальные определения. Так, интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго было определено только в 19 веке Дедекиндом, причем пришлось столкнуться с такими сложностями, что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, и то только технические специальности. Очевидное интуитивное понятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке, и тоже с большими трудностями.

Естественно возникает вопрос: а закончилась ли эта эволюция строгости? Ведь не из лени и не из-за отсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивались требуемой нынешним временем строгости.

Кстати, физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такого сорта, что вызывают ужас у математиков. Результаты

экспериментов экстраполируются некоторой формулой, и если результаты последующих экспериментов хорошо ложатся в эту формулу, то она признается верной.  Кроме того, их не интересуют такие тонкие случаи, как поведение решений на границах и других множествах меры нуль, так как вероятность попадания туда равна нулю. В то же время математик не сочтет задачу решенной, пока не исследует поведение решения во всех точках, и, как правило, его интересуют именно тонкие случаи.

Древние считали свой уровень строгости достаточным. Не потребуют

ли наши потомки еще большего господства логики? Конечно, одной логикой обойтись нельзя, так как она сводит все к чистой тавтологии. Необходима интуиция. А что же вообще может пониматься под словом интуиция? Рассмотрим следующие утверждения:

1) Две величины, равные третьей, равны между собой;

2) Пусть теорема равна для n=1, и верно, что если она верна для n, то верна и для n+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел;

3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D лежит между А и С, то точка D лежит между А и В;

4) Через две точки можно провести только одну прямую.

Все четыре высказывания являются аксиомами и должны быть приписаны интуиции. Тем не менее первое есть выражение формального логического закона (если заранее определено понятие равенства), второе есть выражение метода, называемого математической индукцией, третье есть апелляция  к геометрической или пространственной интуиции и к интуитивно понимаемому отношению «между», а четвертое утверждение есть фактически скрытое определение прямой. Иначе говоря, интуиция не есть обязательно свидетельство чувств человека. Есть несколько видов интуиции — обращение к чувствам или воображению, интуиция обобщения, и, наконец, интуиция чистого числа, породившая арифметику и в дальнейшем всю математику. Первые две  не могут дать достоверности, но третья является основой математики, иначе говоря, сомневаться в ней означает сомневаться в арифметике. Сейчас в математике окончательно изгнана из доказательств интуиция первого рода, строго формализована интуиция второго рода. Остальное составляют силлогизмы и интуиция чистого числа. На современном уровне развития философии можно сказать, что в математике достигнута абсолютная строгость.

 egincenter

 f

Интуиция ученого

 ndcenter

Если мы говорим, что логика дает только чистую тавтологию, то в чем же заключается процесс творчества ученого? Этот вопрос особенно интересен для

математического творчества, потому что в этом акте человеческий ум заимствует из внешнего мира меньше всего, и орудием, и объектом воздействия является он сам. Поэтому, изучая процесс математического творчества, можно надеяться проникнуть в саму сущность человеческого ума.

На самом деле удивителен тот факт, что некоторые люди совершенно не понимают математических рассуждений. При этом они могут быть талантливы, умны, но не понимать математику. На самом деле, ведь если математика есть цепь силлогизмов, построенных по общим нормальным законам логики, которые понятны каждому нормальному человеку, и основанных на некоторых принципах, называемых аксиомами, которые общи для всех и никто не собирается их отрицать, то почему большое количество людей не понимает эти построения?  Понятно, что не каждый способен на творчество, понятно также, что не каждый может запомнить однажды услышанное доказательство. Но каким образом такое количество людей не могут понять доказательство в тот момент, когда его излагают? Это подтверждает даже тот факт, что математика, преподаваемая в школе и не имеющая самого элементарного уровня строгости, считается одним из наиболее трудных предметов и усваивается далеко не всеми.  Кроме того, как могут возникать ошибки в математических доказательствах?  Ведь это просто цепь предложений, построенных по очень простым правилам.  Но, тем не менее, ошибки допускали даже великие умы, причем бывало, что ошибки в их доказательствах были найдены через столетия после опубликования работ (яркий пример тому — метод множителей Лагранжа).

Ответ на этот вопрос можно дать следующий. Если доказательство являет собой длинную цепь силлогизмов, заключение каждого из которых является посылкой следующего, то вряд ли хоть кто-то совершит ошибку или не поймет такое доказательство. Но настоящее математическое доказательство не есть прямая цепочка. Иногда некоторый вывод, полученный в заключении некоторого элементарного силлогизма, используется  в качестве посылки спустя длительное время, при этом параллельно развертывается несколько логических цепей. Когда мы возвращаемся к нашему предложению, мы можем забыть или исказить его смысл. Кроме того, одно и то же рассуждение, применяемое несколько раз, кажется настолько очевидным, что через некоторое время можно начать применять его без достаточного обоснования, и при этом допустить ошибку. Таким образом получается, что способности к математике определяются хорошей памятью и аккуратностью. Но тогда все математики были бы людьми собранными, ни в коем случае не рассеянными, имеющими большие способности к вычислениям, например. Но это не так, и много есть примеров гениальных математиков, которые были страшно рассеянными или не могли без ошибок провести простейшие операции. Почему же  плохая память не мешала им при проведении математических рассуждений?

На самом деле математическое доказательство не есть нагромождение неких

аксиом и силлогизмов, пусть даже и связанных друг с другом (кстати, те

люди, которые не понимают доказательств, отзываются о них как о куче

или нагромождении непонятных фактов).  Все выводы в доказательстве

расположены в известном порядке, причем порядок здесь более важен, чем сами элементы.  Именно об это и говорят те математики, которые сначала обозревают общий ход решения, не задерживаясь на деталях, затем формулируют теорему и строго ее доказывают, отдавая дань необходимости соблюдения всех логических законов. Если же человек обладает интуицией такого порядка расположения фактов и силлогизмов, то, по всей видимости, это и называется математическим дарованием.  Память здесь играет не такую важную роль, так как в случае интуиции такого рода все силлогизмы без больших усилий занимают отведенные им места. И в силу этого отпадает необходимость зубрить доказательство, так как достаточно понять его один раз, и при желании или необходимости его можно воспроизводить самостоятельно. Понятно, что все люди не могут обладать одновременно и хорошей памятью, и математической интуицией, и достаточным вниманием для концентрирования именно на этой области. Таким образом, математическое дарование не может быть всеобщим.

Математическое творчество состоит не только в

конструировании некоторых объектов, оно состоит также в том, чтобы выбрать из множества возможных объектов и комбинаций полезные и плодотворные. Очевидно, что машину, генерирующие некоторые истины по строгим логическим законам, можно сравнить с той знаменитой обезьяной с пишущей машинкой, которая бьет по клавишам в случайном порядке. Конечно, она может случайно напечатать роман Толстого «Война и мир» или какое-то другое литературное произведение, но произойдет это с нулевой вероятностью. Чтобы появилось подобное литературное произведение, мало проверять все комбинации, как ученый из «Путешествия Гулливера», а необходим еще акт творчества. Именно так обстоит дело и с математическим творчеством.

Но творить, изобретать не значит уметь выбирать из большого множества вариантов. На самом деле практически все бесплодные варианты даже не представляются уму изобретателя, а перед ним возникают только полезные комбинации или комбинации, которые впоследствии будут отброшены с помощью логического анализа, но они не лишены черт полезных. Именно это и можно назвать математической интуицией.

Феномен интуиции чрезвычайно широк и не всегда то, что считают интуитивным, действительно заслуживает такого названия. Нередко можно встретить умозаключения, посылки которых не формулируются в явном виде, и результаты кажутся неожиданными, но они вовсе не интуитивны, как можно предположить. Для того, чтобы таких случаев было как можно меньше, в математике добиваются возможно большей, на современном этапе абсолютной строгости. При этом посылки силлогизмов должны быть выписаны явным образом. Слово интуиция применяется также  к сенсорно-чувственной интуиции, но математическая интуиция по своей сути есть интуиция интеллектуальная.

И еще одна чрезвычайно важная черта свойственна интуиции — ее непосредственность. Непосредственным знанием (в отличие от опосредованного) принято называть такое, которое не опирается на логическое доказательство. Интуиция является непосредственным знанием только в том отношении, что в момент выдвижения нового положения оно не следует с логической необходимостью из существующего чувственного опыта и теоретических построений. ootnote Копнин П.В. «Гносеологические и теоретические основы науки». С.190  Иначе говоря, интуиция — это способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью доказательства. ootnote «Философский энциклопедический словарь», М.,1989. С.221 Приведем примеры. Свои ощущения и размышления излагает Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод».

«В течении двух недель я старался доказать, что невозможна никакая

функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал

название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того,

что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол,

проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе; я не смог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня лишь несколько часов.»

Далее он подробно описывает свои дальнейшие размышления над развитием теории фуксовых функций, и каждый новый шаг характеризуется тем толчком, или озарением, а затем кропотливой работой по записи и логическому оформлению результатов.

Бертран Рассел отмечал, что иногда его попытки протолкнуть силой воли ход творческой работы оказывались бесплодными, и он убеждался в необходимости терпеливо ожидать подсознательного вызревания идей, что было результатом напряженных размышлений. «Когда я работаю над книгой, — писал он, — я вижу ее во сне почти каждую ночь. Не знаю, возникают ли при этом новые идеи или оживляются старые, зачастую я вижу целые страницы и могу во сне прочесть их.» ootnote Цит. по «Интуиция и научное творчество». Аналитический сборник ИНИОН. М.,1981. С.17 Примеров тому можно привести много, и, конечно же, не только из области математики. Здесь вспоминается и Эйнштейн, и химик Кекуле, которому приснилась формула бензола, и Менделеев, которому приснилась его таблица.
    продолжение
--PAGE_BREAK--