Реферат: Оптимизационные модели межотраслевого баланса
--PAGE_BREAK--Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделейОптимизационные модели по сравнению с балансовыми представляют собой более совершенный тип моделей социалистической экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых, балансовые модели могут интерпретироваться и исследоваться как частный случай оптимизационных моделей.
Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на языке оптимизационных задач. Рассмотрим систему уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции совместно с ограничением по трудовым ресурсам производственной сферы:
<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image100.wmz» o:><img width=«237» height=«87» src=«dopb30578.zip» v:shapes="_x0000_i1076"> (21)
Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y0 = (<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image102.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb30579.zip» v:shapes="_x0000_i1077">) и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов производства X = (xj). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:
<shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image104.wmz» o:><img width=«179» height=«109» src=«dopb30580.zip» v:shapes="_x0000_i1078"> (22)
Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается получение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что реальным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x*), при которых <shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image106.wmz» o:><img width=«76» height=«39» src=«dopb30581.zip» v:shapes="_x0000_i1079">.
Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image108.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb30582.zip» v:shapes="_x0000_i1080">:
<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image110.wmz» o:><img width=«179» height=«101» src=«dopb30583.zip» v:shapes="_x0000_i1081"> (23)
Оптимальный план X* задачи (22) характеризуется следующими свойствами:
· он единственный;
· если Y0 > 0 (или Y0 ≥ 0 и А – неразложимая матрица), то Х* > 0;
· балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся;
· оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой функции tJ ≥ 0.
<shapetype id="_x0000_t32" coordsize=«21600,21600» o:spt=«32» o:oned=«t» path=«m,l21600,21600e» filled=«f»><path arrowok=«t» fillok=«f» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» shapetype=«t»><shape id="_x0000_s1040" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight» strokeweight=«2.25pt»><stroke src=«1.files/image112.gif» o: filltype=«pattern»><shape id="_x0000_s1041" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight» strokeweight=«2.25pt»><stroke src=«1.files/image112.gif» o: filltype=«pattern»><img width=«222» height=«206» src=«dopb30584.zip» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041">На рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вершиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y0 ≥ 0. При этом решение прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image114.wmz» o:><img width=«131» height=«39» src=«dopb30585.zip» v:shapes="_x0000_i1082"> и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы уравнений <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image116.wmz» o:><img width=«124» height=«36» src=«dopb30586.zip» v:shapes="_x0000_i1083"> и поэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продукции равны коэффициентам полных трудовых затрат.
Равенство функционалов прямой и двойственной задачи <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image118.wmz» o:><img width=«113» height=«39» src=«dopb30587.zip» v:shapes="_x0000_i1084"> имеет место при любых положительных значениях tj и <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image120.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb30579.zip» v:shapes="_x0000_i1085">. Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.
Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей.
При анализе возможностей использования модели межотраслевого баланса в планировании отмечалось, что при краткосрочном планировании наиболее существенными ограничениями роста производства являются наличные производственные мощности.
Решение модели должно удовлетворять условиям xj ≤ Nj, где Nj – максимально возможный выход продукции j с производственных мощностей планируемого года. Так же, как и в § 1, включим в модель условия оптимизации конечной продукции (27), обозначая вектор ассортиментных коэффициентов прироста конечной продукции<shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image121.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb30588.zip» v:shapes="_x0000_i1086">, а вектор заданных объемов конечной продукции Q = (qi).
В векторно-матричных обозначениях модель имеет вид:,
<shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image123.wmz» o:><img width=«139» height=«107» src=«dopb30589.zip» v:shapes="_x0000_i1087"> (24)
Решение модели существует, если значения компонент вектора Q заданы не слишком большими. Оптимальный план обращает первую группу условий строго в равенства (невыгодно производить сверхкомплектные излишки конечной продукции). Поэтому в дальнейшем анализе исходим из того, что (Е – А) X – <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image125.wmz» o:><img width=«24» height=«23» src=«dopb30590.zip» v:shapes="_x0000_i1088"> = Q, откуда
<shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image127.wmz» o:><img width=«203» height=«25» src=«dopb30591.zip» v:shapes="_x0000_i1089"> (25)
Поскольку <shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image129.wmz» o:><img width=«192» height=«25» src=«dopb30592.zip» v:shapes="_x0000_i1090">, то при <shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image131.wmz» o:><img width=«37» height=«23» src=«dopb30593.zip» v:shapes="_x0000_i1091"> условие Х ≥ 0 всегда выполняется. Вследствие этого задача сокращается:
<shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image133.wmz» o:><img width=«192» height=«56» src=«dopb30594.zip» v:shapes="_x0000_i1092">
Вектор <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image135.wmz» o:><img width=«104» height=«25» src=«dopb30595.zip» v:shapes="_x0000_i1093"> представляет собой коэффициенты полных потребностей в продукции для получения одного комплекта конечной продукции; <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image137.wmz» o:><img width=«136» height=«25» src=«dopb30596.zip» v:shapes="_x0000_i1094"> есть вектор максимально возможных объемов продукции для получения переменной части конечной продукции. Очевидно, что
<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image139.wmz» o:><img width=«137» height=«49» src=«dopb30597.zip» v:shapes="_x0000_i1095"> (26)
Определив <shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image141.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb30598.zip» v:shapes="_x0000_i1096">, находим X* = β<shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image141.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb30598.zip» v:shapes="_x0000_i1097">+ (E – A)–1Q.
Таким образом, <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image141.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb30598.zip» v:shapes="_x0000_i1098"> определяется «узким» местом в системе производственных мощностей. Как правило, мощность только одного вида продукции будет использована полностью. Оптимальная оценка мощности по этому виду продукции (k) равна <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image143.wmz» o:><img width=«59» height=«45» src=«dopb30599.zip» v:shapes="_x0000_i1099">.
Выявление дефицитной мощности служит сигналом для ее максимального расширения в планируемом году за счет концентрации строительства на пусковых объектах, дополнительных поставок оборудования, изменения специализации соответствующих предприятий и режима их работы (сменности) и т. д.<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image145.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb30600.zip» v:shapes="_x0000_i1100">
Для определения программы первоочередных мероприятий по расширению производственных мощностей целесообразно упорядочить мощности по их дефицитности.
Для каждого вида мощности рассчитаем показатель <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image147.wmz» o:><img width=«60» height=«49» src=«dopb30601.zip» v:shapes="_x0000_i1101">, характеризующий максимальное число комплектов конечной продукции, которое можно получить с мощности вида j при условии неограниченности других мощностей. Упорядочив ряд чисел <shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image149.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb30602.zip» v:shapes="_x0000_i1102">, начиная с <shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image151.wmz» o:><img width=«76» height=«36» src=«dopb30603.zip» v:shapes="_x0000_i1103">, получим последовательность мощностей, упорядоченную по степени их дефицитности. При новой нумерации разности <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image153.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb30604.zip» v:shapes="_x0000_i1104"> покажут прирост числа комплектов конечной продукции после «расшивки» k-го «узкого» места в системе производственных мощностей.
По модели (24) можно проводить многовариантные расчеты, показывающие влияние изменения параметров аij,<shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image155.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb30605.zip» v:shapes="_x0000_i1105">, Nj на объемы производства и конечной продукции. В результате таких расчетов выявляется группа устойчиво дефицитных мощностей, на расширение которых ресурсы должны направляться в первую очередь. Важным направлением развития модели является непосредственный учет в ней элементов случайности и неопределенности. Разработана и экспериментально апробирована модель, в которой производственные мощности Ni рассматриваются как случайные независимые величины.
Модели с ограничениями по общим ресурсам.
Рассмотрим модель, в которой балансы производства и распределения продукции дополняются ограничениями по общим невоспроизводимым ресурсам:
<shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image157.wmz» o:><img width=«132» height=«124» src=«dopb30606.zip» v:shapes="_x0000_i1106"> (27)
Подставляя (25) в ограничения по общим ресурсам, получаем
<shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image159.wmz» o:><img width=«220» height=«25» src=«dopb30607.zip» v:shapes="_x0000_i1107">
или
<shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image161.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb30608.zip» v:shapes="_x0000_i1108"> (28)
где <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image163.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb30609.zip» v:shapes="_x0000_i1109"> = (<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image165.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb30609.zip» v:shapes="_x0000_i1110">s) = (E – А) –1<shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image166.wmz» o:><img width=«16» height=«23» src=«dopb30610.zip» v:shapes="_x0000_i1111"> – вектор полных затрат ресурсов на один комплект прироста конечной продукции, <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image168.wmz» o:><img width=«177» height=«27» src=«dopb30611.zip» v:shapes="_x0000_i1112"> – вектор ресурсов, которые могут использоваться для получения переменной части конечной продукции.
Из (28) следует:
<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image170.wmz» o:><img width=«139» height=«48» src=«dopb30612.zip» v:shapes="_x0000_i1113"> (29)
Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна: <shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image172.wmz» o:><img width=«57» height=«45» src=«dopb30613.zip» v:shapes="_x0000_i1114"> , a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: <shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image174.wmz» o:><img width=«68» height=«27» src=«dopb30614.zip» v:shapes="_x0000_i1115">. Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресурсов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.
Полное использование только одного вида ресурсов (или наличие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптимального решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной части конечной продукции заданы в виде ЦФП:
<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image176.wmz» o:><img width=«121» height=«117» src=«dopb30615.zip» v:shapes="_x0000_i1116"> (30)
Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:
<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image178.wmz» o:><img width=«91» height=«73» src=«dopb30616.zip» v:shapes="_x0000_i1117"> (31)
где F = f (Е – А) –1 – матрица коэффициентов полных затрат ресурсов, <shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image180.wmz» o:><img width=«139» height=«25» src=«dopb30617.zip» v:shapes="_x0000_i1118">.
Оптимальное решение этой модели всегда существует и является единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наиболее удаленной от начала координат поверхности безразличия и выпуклого многогранника, образованного условиями <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image182.wmz» o:><img width=«53» height=«21» src=«dopb30618.zip» v:shapes="_x0000_i1119">. Если эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно, что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой оптимума будет вершина многогранника, выше, чем в случае применения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что максимум u(Y) достигается на одной из граней многогранника, т. е. при полном использовании только одного ресурса.
Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом параграфе моделей является то, что оптимальный план чаще всего достигается при полном использовании только одного ресурса. А это означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономической реальности; оно обусловлено недостатком моделей.
В моделях (24), (27), (30) почти отсутствуют возможности маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность. По каждому виду продукции задается только один производственный способ, а поэтому технология производства не реагирует на выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ресурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток можно преодолевать лишь отчасти.
Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели народного хозяйства должны включать условия выбора между различными способами- производства одноименной продукции.
§3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции).
Построим модель, представляющую собой непосредственное обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме (22). В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image184.wmz» o:><img width=«37» height=«20» src=«dopb30619.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> производится несколькими способами <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image186.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb30620.zip» v:shapes="_x0000_i1121">, где Tj= {1, ... , sj}. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Введем новые обозначения:
<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image188.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb30621.zip» v:shapes="_x0000_i1122"> – объем производства продукции j способом <shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image190.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb30622.zip» v:shapes="_x0000_i1123">j;
<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image192.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb30623.zip» v:shapes="_x0000_i1124"> – коэффициент прямых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image194.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb30622.zip» v:shapes="_x0000_i1125">j;
<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image195.wmz» o:><img width=«24» height=«27» src=«dopb30624.zip» v:shapes="_x0000_i1126"> – затраты труда на единицу продукции j, производимой способом <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image197.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb30622.zip» v:shapes="_x0000_i1127">j.
Модель имеет вид:
<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image198.wmz» o:><img width=«213» height=«109» src=«dopb30625.zip» v:shapes="_x0000_i1128"> (32)
Модель (32) всегда имеет решение, если выполняются условия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса. Например, одно допустимое решение может быть получено, если включить в план по одному способу для каждого вида продукции, а все остальные переменные считать равными нулю. Так может быть составлено <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image200.wmz» o:><img width=«37» height=«45» src=«dopb30626.zip» v:shapes="_x0000_i1129"> систем уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции, каждая из которых имеет решение, если матрица продуктивна.
Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфических свойств.
Теорема 1. При положительном векторе конечной продукции Y0 > 0 производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом.
Доказательство. Напомним, что мы исходим из предположения, что оптимальный план – единственный. Введем в условия дополнительные переменные Δyi (излишки конечной продукции сверх минимально необходимых объемов <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image120.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb30579.zip» v:shapes="_x0000_i1130">), превращающие неравенства в равенства.
В каждом i-м уравнении
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image202.wmz» o:><img width=«215» height=«40» src=«dopb30627.zip» v:shapes="_x0000_i1131">
положительными являются только коэффициенты при переменных Х. Но поскольку все <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image204.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb30628.zip» v:shapes="_x0000_i1132">, то и все <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image206.wmz» o:><img width=«119» height=«39» src=«dopb30629.zip» v:shapes="_x0000_i1133">, т. е. оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.
Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image208.wmz» o:><img width=«49» height=«39» src=«dopb30630.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт производится только одним способом.
Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число возможных положительных переменных исчерпывается переменными способов производства, то все Δyi в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравенства строго в равенства.
Введем дополнительные обозначения: X* – оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то «лучшего» способа производства); A* – матрица коэффициентов материальных затрат, составленная из способов, которые вошли в оптимальный план.
Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только «лучших» способов. Матрицы A* и (Е – А*) обладают теми же экономико-математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого баланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование матрицы (Е – А*)–1 ≥ 0. Элементы матрицы (Е – А*)–1 являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:
(E – A) X* = Y0 или X* = (E – A)–1Y0.
Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y0.
Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y0, достаточно – в соответствии с (15),– чтобы выполнялось условие
(E – A*)–1Y0 ≥ 0.
Поскольку матрица (E – A*)–1 ≥ 0, условие (E – A*)–1Y0 ≥ 0 выполняется всегда при любом Y0 ≥ 0 и тем более при Y0 > 0.
Пусть для некоторого Y0 > 0 получено решение X*. Базис полученного решения (Е – А*) остается неизменным и тогда, когда вектор Y0 будет изменяться любым образом в положительной области (0 < Y0 < +∞). Если базис оптимального плана – неразложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y0 ≥ 0.
Это означает, что вычислив матрицу (E – A*)–1 для одного варианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по экономическому моделированию
Реферат по экономическому моделированию
Методы анализа основной тенденции тренда в рядах динамики
3 Сентября 2013
Реферат по экономическому моделированию
Теорія Маршала як внесок у розвиток світової економіки 2
3 Сентября 2013
Реферат по экономическому моделированию
Моделирование прибыли предприятия
3 Сентября 2013
Реферат по экономическому моделированию
Економічна статистика
3 Сентября 2013