Реферат: Методы оценки параметров распределения

5 2 3 1 6 4 8 9 5 7 4 7 8 2 9 10 4 5 3 2 9 7 8 6 5 4 3 5 2 1 2 3 4 1 5 6 7 5 3 10

1. Вычислитькритерий хи-квадрат и сделать вывод о нормальности данного распределения.

2. Построитьграфик эмпирического распределения.

 

КритерийПирсона

 

1. Наблюдаемыйкритерий Пирсона вычисляется по следующей формуле:

критерий пирсон колмогоров распределениечастота

/>,

где /> — наблюдаемаячастота; /> - теоретическаячастота.

Массив данных означениях случайной величины X,как элементов выборки представим в таблице 1.1 в ячейках В2: К5.

 

Таблица

A B C D E F G H I J K  1  2 5 2 3 1 6 4 8 9 5 7  3 4 7 8 2 9 10 4 5 3 2  4 9 7 8 6 5 4 3 5 2 1  5 2 3 4 1 5 6 7 5 3 10  6  7  n= 40  k= 6,31884 8

/> />

10  h= 1,42431 9 1

2. Разобьемисходные данные по интервалам. Количество интервалов вычислим по формуле /> , где n– объем выборки.

Объем выборки определимс помощью функции СЧЕТ . Для этого установим курсор в ячейку В7,щелкнем мышкой над кнопкой />, котораянаходится на панели инструментов. Появится окно «Мастер функций – шаг 1 из2», в котором в категории «Статистические» выбираем функцию СЧЕТ.Затем мышкой выполним команду ОК. В появившемся окне «Аргументыфункции» поставим курсор в строку ввода «Значение 1» и мышкойвыделим массив В2: К5, щелкнем мышкой ОК. В ячейке В7 появитсязначение объема данных, число 40.

Введем в ячейку Е7 формулу:=1+3,32*Log(В7), вячейке Е7 появится число 6,31884.

Далее вычислим шагинтервалов, используя формулу />, где /> - максимальноезначение варианты из массива данных; /> – минимальноезначение варианты; k – количествоинтервалов.

Выделим пустую ячейку В8и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором инициируемфункцию «МАКС», введем в строку ввода блок ячеек В2: К5. В ячейке В8появится максимальное значение данных, число 10.Выделим пустую ячейку В9и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором инициируемфункцию «МИН», введем в строку ввода блок ячеек В2: К5. В ячейке В9появится максимальное значение данных, число 1.

Теперь введем в ячейку Е8формулу: =(В8-В9)/Е7. Получим значение шага h=1,42431. Округлим его, получаем h=1,5.

Таким образом, имеемшаг h=1,5, количествоинтервалов округлим до 7, k=7.Вычислим теоретические частоты по интервалам /> . Для этогопостроим новую расчетную таблицу 1.2. Значения частот определяем сиспользованием функции ЧАСТОТА( ).

Введем в ячейку В11заголовок для левого конца интервала />, в ячейку С11– заголовок правого конца интервала />. Далее вводимзначения в столбцы В12: В18 и С12: С18.

 

Таблица

A B C D E F G H I 10  11

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

12 1 2,5 3 1,75 5,25 59,7417

/>

-1,4232  13 2,5 4 5 3,25 16,25 43,882 -1,4232 -0,8482  14 4 5,5 10 4,75 47,5 21,3891 -0,8482 -0,2731  15 5,5 7 7 6,25 43,75 0,00984 -0,2731 0,30188  16 7 8,5 7 7,75 54,25 16,5473 0,30188 0,8769  17 8,5 10 3 9,25 27,75 27,6792 0,8769 1,45192  18 10 11,5 5 10,75 53,75 102,945 1,45192

/>

19 сумма 40 248,5 272,194 20

/>=

6,2125 6,80484 21

/>

2,60861

3. 1)Выделим мышкой пустой столбец D12:D18.Щелкнеммышкой над кнопкой /> функцию ЧАСТОТА.Появится окно «Аргументы и функции». Вводим в строку массив данных блок В2: К5.Затем переводим курсор в строку массив интервалов. Т.е. выделяем столбец В12: В18инажимаем последовательно на клавиатуре три кнопки Ctrl+Shift+Enter.

2) СтолбецЕ12: Е18 заполнимсредними значениями каждого интервала. В столбцеF12:F18вычислимсредние значения для всего массива данных. Для этого в ячейкуF12вводимформулу=D12*E12ипротягиваем мышкой значение этой ячейки до конца таблицы. В ячейке F19вычисляемсумму, а в ячейке F20–среднее значение по формуле =F19/D19./>=6,2125

3)Вычисляем среднее квадратическое отклонение по формуле

/>.

Вводимс клавиатуры в ячейку G12формулу =(E12-59,875)^2*D12ипротягиваем ячейку до ячейки G18.Далеевычисляем в G19сумму,в ячейке G20 –среднее значение, разделив сумму на 40 и в ячейке G21извлекаемкорень квадратный по формуле =корень(G20)./>2,60861.

4. Вычислим безразмерные аргументы /> длялевых концов интервала и /> для правых концов интервала по формуле />.

В ячейку H12вводим формулу =(В12-6,2125)/ 2,60861 и протягиваем ее до конца столбца, т.е. заполняем нижниезначения соответствующими вычислениями. Аналогично вычисляем величины /> формулой:=(C12-6,2125)/ 2,60861.

Далее вычисляемзначения функций Лапласа F(/> иF(/> потаблице и результаты помещаем в новуюрасчетную таблицу 1.3 в ячейки В24: В30 и С24: С30.

 

Таблица 1.3

A B C D E F 22  23

F(/> 

F(/>

/>

/>

/>

24 -0,5 -0,4222 1,75 3,112 0,00403  25 -0,4222 -0,2968 3,25 5,016 5,1E-05  26 -0,2968 -0,1064 4,75 7,616 0,74625  27 -0,1064 0,1179 6,25 8,972 0,43344  28 0,1179 0,315 7,75 7,884 0,09912  29 0,315 0,4265 9,25 4,46 0,47794  30 0,4265 0,5 10,75 2,94 1,4434 31 сумма 40 3,20423

Вычисляемтеоретические частоты по формуле />F(/>F(/>. Вводим вячейку E24 формулу=(С24-В24)*60 и протягиваем формулу до конца столбца.

Вычисляем критерийПирсона Хи-квадрат. В ячейку F24вводим формулу: =(D12-E24)^2/E24.

В итоге, как видно изтаблицы 1.3 получено/>3,20423.

Сравнимнайденное значение с табличным по уровню значимости α=0,05 и степенисвободы s=k-2=7-2=5. />=11,1

Т.о., наблюдаемыйкритерий меньше табличного, следовательно, исходные данные соответствуютнормальному закону распределения.

 

Критерий согласияКолмогорова — Смирнова

Вычислим критерий Dпо формуле />, где /> –экспериментальные и теоретические накопленные частоты соответственно.Накопленные частоты получаются путем последовательного сложения частот по всеминтервалам, начиная с первого. Для удобства вычислений составим расчетнуютаблицу 2.1.

 

Таблица 2.1

A B C D E F G H I 32  33

/>

3 5 10 7 7 3 5 34

/>

3 8 18 25 32 35 40  35

/>

3,112 5,016 7,616 8,972 7,884 4,46 2,94  36

/>

3,112 8,128 15,744 24,716 32,6 37,06 40  37

/>

0,112 0,128 2,256 0,284 0,6 2,06  38 Dmax = 2,256

Максимальное значениеабсолютной разности накопленных частот равно 2,256.По формуле делим его на n=40и получим D=0,0564. Найдемтабличное значение критерия с уровнем значимостиα=0,05 и степенью свободы n=40./>.

Следовательно, исходныеданные соответствуют нормальному распределению, т.к. />.

Т.о., второй методподтверждает наличие нормального распределения выборки.

 

Построение графикараспределения частот

Для построения графикараспределения частот используем данные таблицы 1.3. В качестве абсциссы берем координаты/> массив D24:D30.В качестве ординат – блок E24:E30.

1. Выполнимкоманду ВСТАВКА из верхнего меню. Выберем пиктограмму Точечная ив появившемся окне вид плавной кривой с точками.

2. Вверхней ленте выбрать команду Выбрать данные. Появится окно Выборисходных данных. После чего выделяем столбец D24:D30нажимаемклавишу Ctrl на клавиатуреи, опуская ее, выделяем столбец E24:E30.Щелкнемпо команде ОК. Появится изображение графика.

/>