Реферат: Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации

МИНИСТЕРСТВОСЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра«Статистика и анализ хозяйственной деятельности»

Контрольная работа

по Эконометрики

Выполнил: студент 2 курса

заочного отделения «Экономическогофакультета»

по специальности «Финансы и кредит»

с сокращенным сроком обучения

Антонов Леонид Владимирович

Ульяновск, 2009

 

 

Задача1

 

По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземногои Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете надушу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера(табл. 1).

Таблица 1

Район Потребительские расходы в расчете на душу населения, руб., y Средняя заработная плата и выплаты социального характера, руб., x 1 408 524 2 249 371 3 253 453 4 580 1006 5 651 997 6 322 486 7 899 1989 8 330 595 9 446 1550 10 642 937

 

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезуо форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парнойрегрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателейкорреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичностисравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимациикачество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионногомоделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данномпункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозноезначение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определитедоверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите ваналитической записке.

Решение:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезуо форме связи.

 

/>

 

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парнойрегрессии.

 

 

y

x

yx

x2

y2

ŷx

y-ŷx

Ai

1

408 524 213792 274576 166464 356,96 51,04 12,5

2

249 371 92379 137641 62001 306,47 -57,47 23,1

3

253 453 114609 205209 64009 333,53 -80,53 31,8

4

580 1006 583480 1012036 336400 516,02 63,98 11,0

5

651 997 649047 994009 423801 513,05 137,95 21,2

6

322 486 156492 236196 103684 344,42 -22,42 7,0

7

899 1989 1788111 3956121 808201 840,41 58,59 6,5

8

330 595 196350 354025 108900 380,39 -50,39 15,3

9

446 1550 691300 2402500 198916 695,54 -249,54 56,0

10

642 937 601554 877969 412164 493,25 148,75 23,2

итого

4780 8908 5087114 10450282 2684540 4780,04 -0,04 207,5

среднее значение

478 890,8 508711,4 1045028,20 268454

x

x

20,7

σ

199,92 501,50

x

x

x

x

x

x

σ2

39970,00 251503,56

x

x

x

x

x

x

/>;

/>.

Получено уравнениерегрессии: />.

С увеличением средняя заработная плата и выплатысоциального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душунаселения возрастает в среднем на 0,33 руб.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателейкорреляции и детерминации.

Теснотусвязи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:

/>.

Коэффициентдетерминации

Этоозначает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняетсявариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичностисравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

Коэффициентэластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат,если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичностиимеет вид:

/>.

/>

Таким образом, изменение средней заработной платы ивыплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительскихрасходов в расчете на душу населения на 0,615 %.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимациикачество уравнений.

Качество уравнений оцените с помощью средней ошибкиаппроксимации:

/>

/>        = 20,7%

Качество построенной модели оценивается как плохое,так как превышает 8 – 10 %.

6. Оцените с помощью F — критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионногомоделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данномпункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Оценимкачество уравнения регрессии в целом с помощью />-критерияФишера. Сосчитаем фактическое значение />-критерия:

/>.

Табличноезначение (k1=1,k2=8/>) Fтабл.=5,32.Так как />, то признаетсястатистическая значимость уравнения в целом.

Дляоценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляциирассчитаем /> — критерий Стьюдента идоверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибкипараметров линейной регрессии и коэффициента корреляции

 />:

/>,

/>,

/>.

Фактическиезначения /> — статистик:

 />

 />

/>.

Табличноезначение /> — критерия Стьюдента при /> и tтабл.=2,306.Так как />, ta< tтабл.и />.

Рассчитаемдоверительные интервалы для параметров регрессии /> и/>: /> и />. Получим, что и />.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, еслипрогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня.Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

Найдемпрогнозное значение результативного фактора /> призначении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня />, т.е.найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняязаработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.

/> (тыс. руб.)

Значит,если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58тыс. руб.

Найдемдоверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза

/>,

адоверительный интервал (/>):

/>.

Т.е.прогноз является статистически не точным.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите ваналитической записке.

Изполученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата ивыплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчетена душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи спомощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительскиерасходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняязаработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициентэластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплатсоциального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов врасчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 %заработнойплаты и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете надушу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз являетсястатистически не точным.

Задача8

 

По группе 10 заводов,производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимостиединицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс.руб.):

у = 20 + />. Доля остаточной дисперсиив общей составила 0,19

Задание:

Определите:

а) коэффициентэластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондовсоставляет 200 тыс. руб.

б) индекс корреляции;

в) F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение:

а) коэффициентэластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондовсоставляет 200 тыс. руб.

х = 200 тыс.руб.

/>.

/>

Таким образом, изменение технической оснащенности на 1%приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.

б) индекс корреляции:

 

/>

Уравнение регрессии:

/>

/>           =23,5/10 = 2,35 />

/>

/>

/>

Это означает, что 99,6% вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровнятехнической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.

в) F — критерий Фишера. Сделайте выводы.

 

 

/>

Fтабл.=4,46

Fтабл.<Fфакт;Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленнойзависимости и небольшим числом наблюдений.

 

Задача13

 

По заводам, выпускающимпродукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт.Ч) от производства продукции -Х1 (тыс.ед.) и уровнямеханизации труда – Х2 (%). Данные приведены в табл.4.2.

Задание

1. Постройте уравнение множественной регрессии встандартизованном и натуральном масштабах.

2. Определите показатели частной и множественнойкорреляции.

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравнитеих с Бэтта коэффициентами.

4. Рассчитайте общие ичастные F – критерии Фишера.

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции Y 1050 28

ryx1

0.78

X1

425 44

ryx2

0.44

X2

42.0 19

rx1x2

0.39 Решение:

1. Постройте уравнение множественной регрессии встандартизованном и натуральном масштабах.

Линейное уравнение множественной регрессии у отх1 и х2 имеет вид:

/>.

Для расчета его параметров применим методстандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованноммасштабе:

 

/>

 

Расчет — коэффициентоввыполним по формулам:

/>

/>

Т.е.уравнение будет выглядеть следующим образом:

/>.

Дляпостроения уравнения в естественной форме рассчитаем b1и b2,используя формулы для перехода от к b.

 

/>

/>

Значениеa определим изсоотношения:

/>

/>

2. Определите показатели частной и множественнойкорреляции.

Линейные коэффициенты частной корреляции здесьрассчитываются по рекуррентной формуле:

/>

/>

/>

 

Если сравнить значения коэффициентов парной и частнойкорреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx1x2=0,39) коэффициенты парной и частной корреляцииотличаются значительно.

Растет линейного коэффициента множественной корреляциивыполним с использованием коэффициентов и />:

/>

 

Зависимость у от х1 и х2 характеризуетсякак тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяетсявариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизациитруда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 %от общей вариации y.

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравнитеих с Бэтта коэффициентами.

Для характеристикиотносительной силы влияния х1 и х2 на yрассчитаем средние коэффициенты эластичности:

/>

/>

С увеличениемпроизводства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергиивозрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровнямеханизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006%от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции насреднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднегоуровня механизации труда.

4. Рассчитайте общие ичастные F– критерии Фишера.

Общий F-критерий проверяет гипотезу Hо статистической значимости уравнения регрессии ипоказателя тесноты связи (R2 = 0):

/>

Fтабл.=9,55

Сравнивая Fтабл.иFфакт.,приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H0и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Частные F-критерий– Fх1. иFх2оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 их2 в уравнении множественной регрессии, оцениваютцелесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора,т.е. Fх1оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х1 послетого, как в него был включен фактор х2. Соответственно Fх2указываетна целесообразность включения в модель фактора х2 послефактора х1.

/>

/>

Низкое значение Fх2(меньше1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r2yx1засчет включения в модель фактора х2 после фактора х1.следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H0онецелесообразности включения в модель фактора х2.

Задача 21

Модель денежного итоварного рынков:

Rt= a1+ b12Yt+ b14Mt+ e1,(функция денежного рынка);

Yt= a2+ b21Rt+ b23It+ b25Gt+ e2( функция товарного рынка);

It= a3+ b31Rt<sub/>+e3(функция инвестиций),

где R-процентные ставки;

Y-реальный ВВП;

M-денежная масса;

I-внутренние инвестиции;

G-реальные государственные расходы.

Решение:

 

 

/> Rt= a1 + b12Yt + b14Mt + e1,

 Yt= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt+ e2

 It= a3 + b31Rt + e3

 Сt= Yt + It + Gt

Модель представляетсобой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение наидентификацию.

Модельвключает четыре эндогенные переменные (Rt,Yt, It,Сt) и две предопределенныепеременные (/> и />).

Проверимнеобходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первоеуравнение:

Rt= a1 + b12Yt + b14Mt + e1.

Этоуравнение содержит две эндогенные переменные /> и/> и одну предопределеннуюпеременную />. Таким образом,

/>,

т.е.выполняется условие />. Уравнениесверхидентифицируемо.

Второеуравнение:

Yt= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt+ e2.

Оновключает три эндогенные переменные Yt,ItиRt и одну предопределеннуюпеременную Gt.Выполняется условие

/>.

Уравнениеидентифицируемо.

Третьеуравнение:

It= a3+ b31Rt<sub/>+e3.

Оновключает две эндогенные переменные It<sub/>иRt. Выполняется условие

/>.

Уравнениеидентифицируемо.

Четвертоеуравнение:

Сt= Yt<sub/>+It<sub/>+Gt.

Онопредставляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости видентификации нет.

Проверимдля каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составимматрицу коэффициентов при переменных модели.

/>

/>

Rt

/>

/>

/>

I уравнение –1

b12

b14

II уравнение

b23

/>

–1

b25

III уравнение –1

b31

Тождество –1 1 1 1

В соответствии сдостаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных,не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенныхпеременных модели без одного.

Первоеуравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеетвид

/>

Rt

/>

/>

II уравнение

b23

/>

–1

b25

III уравнение –1

b31

Тождество 1 1 1

Рангданной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы />не равен нулю:

/>.

Достаточноеусловие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второеуравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеетвид

/>

/>

Rt

/>

/>

/>

I уравнение –1

b12

b14

III уравнение -1

b31

Тождество –1 1 1 1

Рангданной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы />не равен нулю:

/>.

Достаточноеусловие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третьеуравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеетвид

/>

/>

Rt

/>

/>

/>

I уравнение –1

b12

b14

II уравнение

b23

/>

–1

b25

Тождество -1 1 1 1

Рангданной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы /> не равен нулю:

/>

Достаточноеусловие идентификации для данного уравнения выполняется.

Такимобразом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели вобщем виде будет выглядеть следующим образом:

Rt= a1 + b11Yt + b13Mt + b15Gt+ b16Gt + u1

Yt= a2 + b21Rt + b23It + b25Gt+ b26Gt + u2

It= a3 + b31Rt + b33It + b35Gt+ b36Gt + u3

Сt= a4 + b41Rt + b43It+ b45Gt + b46Gt + u4

Задача26

 

Имеются данные обурожайности культур в хозяйствах области:

Варианты Показатели Год

 

1 2 3 4 5 6 7 8 4 Урожайность картофеля, ц/га 63 64 69 81 84 96 106 109

 

Задание:

1. Обоснуйте выбор типауравнения тренда.

2. Рассчитайтепараметры уравнения тренда.

3.Дайте прогнозурожайности культур на следующий год.

Решение:

1. Обоснуйте выбор типауравнения тренда.

 

/>

Построениеаналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряданазывают аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяютследующие функции:

Ø  линейная/>

Ø  гипербола/>

Ø  экспонента/>

Ø  степеннаяфункция />

Ø  параболавторого и более высоких порядков />

Параметры трендовопределяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n,а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt.Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значениескорректированного коэффициента детерминации />.

/>

/>

/>

/>

/>

Сравним значения R2по разным уровням трендов:

Полиномиальный 6-йстепени — R2=0,994

Экспоненциальный — R2=0,975

Линейный — R2=0,970

Степенной — R2=0,864

Логарифмический — R2=0,829

Исходный данные лучшевсего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозныхзначений следует использовать полиномиальное уравнение.

2. Рассчитайтепараметры уравнения тренда.

/>

y= — 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 +62,25 =

= — 6377,292 +17242,308 – 16881,453 + 7537,86 — 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327

3.Дайте прогнозурожайности культур на следующий год.

Урожайность картофеля,ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.