Реферат: Применение методов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Реферат

подисциплине: Методы и модели в экономике и менеджменте.

на тему: «Применениеметодов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок»

Воронеж 2010

Под названием“транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математическоймоделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могутбыть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограниченийтранспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаныспециальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найтиначальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановкетранспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторогооднородного груза с /> баз /> /> потребителям />.

Различают два типатранспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, еслидостигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (планоптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

(3. )

  Обозначим количествогруза, имеющегося на каждой из /> баз (запасы), соответственно />, а общее количествоимеющегося в наличии груза–/>:

/>;

(3. )

  заказы каждого изпотребителей (потребности) обозначим соответственно/>,а общее количество потребностей – />:

/>,

(3. )

  Тогда при условии

/>

(3. )

  мы имеем закрытую модель,а при условии

/>

– открытую модельтранспортной задачи.

Очевидно, в случаезакрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и всепотребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой моделилибо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишкигруза />, либо весь груз оказывается израсходованным, хотяпотребности полностью не удовлетворены />.

Так же существуютодноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например,базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между нимиимеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок суказанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы,называемой таблицей перевозок (Таблица 3. ):

Таблица 3. — План перевозок с указанием запасов ипотребностей

Пункты

Отправления

Пункты назначения Запасы

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

/>

…

/>

/>

… … … … … …

/>

/>

/>

…

/>

/>

Потребности

/>

/>

…

/>

/>

или

/>

Условие /> или /> означает, с какой задачеймы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи.Переменное /> означает количество груза,перевозимого с базы /> потребителю />: совокупность этих величинобразует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные /> должны удовлетворятьусловиям:

/>

(3. )

  />

/>

Система (3. ) содержит /> уравнений с /> неизвестными. Еёособенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равныединице. Кроме того, все уравнения системы (3. ) могут быть разделены на двегруппы: первая группа из т первых уравнений (“горизонтальные” уравнения) ивторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом изгоризонтальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первыминдексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальныхуравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуютодин столбец матрицы перевозок). Таким образом, каждая неизвестная встречаетсяв системе (3. ) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и толькоодном вертикальном уравнениях.

Такая структура системы(3. ) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, чтосовокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицыперевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайнеймере, один из двух их индексов равен единице, а, следовательно, свободныенеизвестные определяются условием />, />.Перепишем систему (3. ) в виде

/>

(3. )

  />

где символы />и />означают суммирование посоответствующему индексу. Так, например,

/>

При этом легко заметить, что под символамитакого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь />, />).

В рассматриваемой намисистеме только два уравнения, а именно первое горизонтальное и первоевертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами дляпостроения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисныенеизвестные /> с помощью вертикальных уравнений, мы получаемуравнение

/>

или короче

(3. )

  />

где символ /> означает сумму всехсвободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнениябазисные неизвестные /> с помощью горизонтальных уравнений, мы получаемуравнение

(3. )

  />

Так как для закрытоймодели транспортной задачи />, тополученные нами уравнения (3. ) и (3. ) одинаковы и, исключив из одного из нихнеизвестное />, мы получимуравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

Итак, преобразованиесистемы (3. ) свелось к замене двух уравнений (первого горизонтального ипервого вертикального) уравнением (3. ). Остальные уравнения остаютсянеизменными. Система приняла вид

/>

(3. )

  />

В системе (3. ) выделенуказанный выше базис: базисные неизвестные из первых т уравнений образуютпервый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравненийобразуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного /> [она входит в первоеуравнение системы (3. )]. В системе (3. ) имеется /> уравнений,выделенный базис содержит /> неизвестных,а, следовательно, и ранг системы (3. ) />.

Для решения транспортнойзадачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы />, т. е. стоимость перевозкиединицы груза с базы /> потребителю />.

Совокупность тарифов /> также образует матрицу,которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах ипотребностях в одну таблицу 3.:

Таблица 3. — Совокупность тарифов данные о запасахи потребностях

Пункты

Отправления

Пункты назначения Запасы

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

/>

… … … … … …

/>

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

/>

Потребности

/>

/>

…

/>

/>

или

/>

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Сумма всех затрат, т. е.стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функциейпеременных />:

(3. )

  />

Требуется в области допустимыхрешений системы уравнений (3. ) и (3.) найти решение, минимизирующее линейнуюфункцию (3. ).

Таким образом, мы видим,что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для еерешения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можнообойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторыхпреобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу отодного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решениеищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только сбазисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системыограничений-уравнений равен /> тосреди всех /> неизвестных /> выделяется /> базисных неизвестных, а остальные/>·/> неизвестных являютсясвободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно этинули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Такимобразом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем /> заполненных и />·/> пустых клеток.

На предприятии ОАО «Электросигнал»имеется 4 транзитных склада Аi, на которых хранятся сборочные узлы и 5 цехов Bj, занимающихся сборкой готовойпродукции. Ниже, в таблице 3., приведены данные по количеству сборочных узловна каждом складе, запросы цехов и стоимость перевозки одного агрегата из Аi в Bj. Необходимо составить такой планперевозок, при котором запросы цехов будут удовлетворены при минимальнойсуммарной стоимости перевозок.

Таблица 3. – Исходные данныепо количеству сборочныхузлов и стоимость перевозки

/>Цеха

Склад

B1

(b1=40)

B2

(b2=50)

B3

(b3=15)

B4

(b4=75)

B5

(b5=40)

А1 (а1=50)

1,0 2,0 3,0 2,5 3,5

А2(а2=20)

0,4 3,0 1,0 2,0 3,0

А3(а3=75)

0,7 1,0 1,0 0,8 1,5

А4(а4=80)

1,2 2,0 2,0 1,5 2,5

В данном случае Σai=225 >Σbj=220 => имеем дело с открытоймоделью транспортной задачи. Сведем ее к закрытой введением фиктивного цеха B6 с потребностью b5=225-220=5 и стоимостью перевозок сi6=0.Имеем таблицу 3. :

Таблица 3. —

/>Цеха

Склад

B1

(b1=40)

B2

(b2=50)

B3

(b3=15)

B4

(b4=75)

B5

(b5=40)

B6

(b6=5)

А1 (а1=50)

1,0 2,0 3,0 2,5 3,5

А2(а2=20)

0,4 3,0 1,0 2,0 3,0

А3(а3=75)

0,7 1,0 1,0 0,8 1,5

А4(а4=80)

1,2 2,0 2,0 1,5 2,5

Математическая модель:обозначим xij – количество товара, перевозимого изАi в Bj. Тогда

/>x11 x12 x13 x14 x15 x16

x21 x22 x23 x24 x25 x26

X = x31 x32 x33 x34 x35 x36 — матрица перевозок.

x41 x42 x43 x44 x45 x46

min(x11+2x12+3x13+2,5x14+3,5x15+0,4x21+3x22+x23+2x24+3x25+0,7x31+x32+x33+0,8x34+1,5x35++1,2x41+2x42+2x43+1,5x44+2,5x45)(3. )<sub/>

x11+x12+x13+x14+x15+x16=50

/>x21+x22+x23+x24+x25+x26=20

x31+x32+x33+x34+x35+x36=75

x41+x42+x43+x44+x45+x46=80

(3. )

   x11+x21+x31+x41=40 

 x12+x22+x32+x42=50

 x13+x23+x33+x43=15

 x14+x24+x34+x44=75

 x15+x25+x35+x45=40

 x16+x26+x36+x46=5

 xij≥0 (i=1,2,3,4; j=1,2,3,4,5,6 ) (3. )

Двойственная ЗЛП:

max(50u1+20u2+75u3+80u4+40v1+50v2+15v3+75v4+40v5+5v6)(3. )<sub/>

/> /> /> /> /> /> />

u2+v1≤0,4

u2+v2≤3

u2+v3≤1

u2+v4≤2

u2+v5≤3

u2+v6≤0

  <td/>

u3+v1≤0,7

u3+v2≤1

u3+v3≤1

u3+v4≤0,8

u3+v5≤1,5

u3+v6≤0

  <td/>

u4+v1≤1,2

u4+v2≤2

u4+v3≤2

u4+v4≤1,5

u4+v5≤2,5

u4+v6≤0

  /> />

/>u1+v1≤1

u1+v2≤2

u1+v3≤3   (3. )

u1+v4≤2,5

u1+v5≤3,5

u1+v6≤0

ui,vj – произвольные (i=1,2,3,4; j=1,2,3,4,5,6 ) 

Будем искатьпервоначальный план по методу наименьшей стоимости:

1) x21=20<sub/>и 2-ую строкуисключаем;

2) x31=20<sub/>и 1-ый столбецисключаем;

3) x34=55<sub/>и 3-ю строку исключаем;

4) x44=20<sub/>и 4-ый столбецисключаем;

5) x12=50 и 1-ю строку и 2-ой столбецисключаем и x32=0;

6) x43=150 и 3-ий столбец исключаем;

7) x45=40 и 5-ый столбец исключаем и x46=5.

Составим таблицу 3..Здесь и далее в нижнем правом углу записываем значение перевозки.

Таблица 3. – Проведениеитераций

/> Цеха

Склад

B1

(b1=40)

B2

(b2=50)

B3

(b3=15)

B4

(b4=75)

B5

(b5=40)

B6

(b6=5)

А1 (а1=50)

1,0

/>

 50

  2,0 3,0 2,5 3,5

А2(а2=20)

/>0,4

 20

  3,0 1,0 2,0 3,0

А3(а3=75)

/>0,7

 20

 

 0

  1,0 1,0

 55

  0,8 1,5

 5

 

 15

  А4(а4=80) 1,2 2,0 2,0

 20

  1,5

 40

  2,5

Стоимость 1-ого плана:

D1=2•50+0,4•20+0,7•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=326.

Будем улучшать этот планметодом потенциалов: ui — потенциал Аi,vj — потенциал Bj. Тогда u1+v2=2,u2+v1=0,4, u3+v1=0,7, u3+v2=1, u3+v4=0,8, u4+v3=2, u4+v4=1,5, u4+v5=2,5 ,u4+v6=0.Положим u1=0, тогда v2=2,u3=-1,v1=1,7,v4=1,8, u2=-1,3,u4=-0,3, v3=2,3,v5=2,8,v6=0,3.Составим таблицу 3. :

Таблица 3. — Проведениеитераций

/> Цеха

Склад

B1

(b1=40)

v1=1,7

B2

(b2=50)

v2=2

B3

(b3=15)

v3=2,3

B4

(b4=75)

v4=1,8

B5

(b5=40)

v5=2,8

B6

(b6=5)

v6=0,3

/>

 ,7

  А1 (а1=50)

U1=0

/>/>

 0

  1,0

/>/>

 - 0,7

 

 50

  2,0

 - 0,7

  3,0

 - 0,7

  2,5

 ,3

  3,5

 0

  А2(а2=20)

U2=-1,3

 - 2,3

 

 20

  0,4

 0

  3,0

 - 1,5

  1,0

 - 1,5

  2,0

 - 1

  3,0

 0

  А3(а3=75)

U3=-1

/>

 0

  0,7

/>

 20

 

/>

 ,3

 

 0

  1,0

 0

  1,0

 ,3

 

 55

  0,8

 - 0,7

  1,5

 ,2

  А4(а4=80)

U4=-0,3

 - 0,3

  1,2

 0

  2,0

 0

 

 15

  2,0

 0

 

 20

  1,5

 0

 

 40

  2,5

 5

  0

Вверхнем левом углу здесь и далее записываем значение ui+vj-cij.Имеем: u1+v1--c11=0,7>0,u1+v6-c16=0,3>0,u3+v3-c33=0,3>0,u3+v5-c35=0,3>0,

u4+v1-c41 =0,2>0. => По критерию оптимальности, первый план неоптимален. Далее max(0,7;0,3;0,3;0,3;0,2)=0,7.=> Поместим перевозку в клетку А1В1,<sub/>сместив20=min(20,50) по циклу, указанному втаблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u1+v1=1,u1+v2=2,u2+v1=0,4,u3+v2=1, u3+v4=0,8, u4+v3=2, u4+v4=1,5, u4+v5=2,5, u4+v6=0. Положим u1=0, тогда v1=1,u2=-0,6,v2=2,v4=1,8, u3=-1, u4=-0,3,v3=2,3,v5=2,8,v6=0,3. Составим таблицу 3. :

Таблица 3. — Проведениеитераций

/> Цеха

Склад

B1

(b1=40)

v1=1

B2

(b2=50)

v2=2

B3

(b3=15)

v3=2,3

B4

(b4=75)

v4=1,8

B5

(b5=40)

v5=2,8

B6

(b6=5)

v6=0,3

 0

  А1 (а1=50)

U1=0

/>/>/>

 0

  1,0

 20

 

/>/>

 - 0,7

 

 30

  2,0

 - 0,7

  3,0

 - 0,7

  2,5

 ,3

  3,5

 0

  А2(а2=20)

U2=-0,6

/>

 - 1,6

 

 20

  0,4

/>

 ,7

  3,0

/>/>

 - 0,8

  1,0

 - 0,8

  2,0

 - 0,3

  3,0

 -0,7

  А3(а3=75)

U3=-1

 0

  0,7

/>/>

 ,3

 

 20

  1,0

 0

  1,0

/>/>

 ,3

 

 55

  0,8

 - 0,7

  1,5

 -0,5

  А4(а4=80)

U4=-0,3

 - 0,3

  1,2

 0

  2,0

/>/>

 0

 

 15

  2,0

/>

 0

 

 20

  1,5

 0

 

 40

  2,5

 5

  0

Стоимость 2-ого плана:

D2=1•20+2•30+0,4•20+1•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=312.

Имеем:u1+v6-c16=0,3>0,u2+v3-c23=0,7>0,u3+v3-c33=0,3>0,u3+v5-c35=0,3>0.=> По критерию оптимальности, второй план не оптимален. Далее max(0,3;0,7;0,3;0,3)=0,7=> Поместим перевозку в клетку А2В3,<sub/>сместив15=min(20,30,55,15) по циклу, указанномув таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u1+v1=1,u1+v2=2,u2+v1=0,4,u3+v2=1,u3+v4=0,8,u2+v3=1,u4+v4=1,5,u4+v5=2,5, u4+v6=0.Положим u1=0, тогдаv1=1,u2=-0,6,v2=2,v4=1,8,u3=-1,u4=-0,3,v3=1,6,v5=2,8,v6=0,3.Составим таблицу 3.:

Таблица 3. — Проведениеитераций

/> Цеха

Склад

B1

(b1=40)

v1=1

B2

(b2=50)

v2=2

B3

(b3=15)

v3=1,6

B4

(b4=75)

v4=1,8

B5

(b5=40)

v5=2,8

B6

(b6=5)

v6=0,3

 0

  А1 (а1=50)

U1=0

 0

  1,0

 35

 

 -1,4

 

 15

  2,0

 - 0,7

  3,0

 - 0,7

  2,5

 ,3

  3,5

 0

  А2(а2=20)

U2=-0,6

 - 1,6

 

 5

  0,4

 0

  3,0

 15

 

 - 0,8

  1,0

 - 0,8

  2,0

 - 0,3

  3,0

 -0,7

  А3(а3=75)

U3=-1

 0

  0,7

 -0,4

 

 35

  1,0

 0

  1,0

/>/>/>

 ,3

 

 40

  0,8

/>/>

 - 0,7

  1,5

 -0,5

  А4(а4=80)

U4=-0,3

 - 0,3

  1,2

-0,7

  2,0

 0

  2,0

/>/>

 0

 

 35

  1,5

/>

 0

 

 40

  2,5

 5

  0

Стоимость 3-его плана:

D3=1•35+2•15+0,4•5+1•15+0,8•40+1•35+1,5•35+2,5•40=301,5.

Имеем:u1+v6-c16=0,3>0,u3+v5-c35=0,3>0.=> По критерию оптимальности, третий план не оптимален. Далее max(0,3;0,3)=0,3.=> Поместим перевозку в клетку А3В5,<sub/>сместив40=min(40,40) по циклу, указанному втаблице штрихом. Получим новую таблицу. Чтобы 4-ый план был невырожденным,оставим в клетке А4В5 нулевую перевозку. Найдемпотенциалы: u1+v1=1,u1+v2=2,u2+v1=0,4,u3+v2=1,u4+v5=2,5,u2+v3=1,u4+v4=1,5,u3+v5=1,5, u4+v6=0.Положим u1=0, тогдаv1=1,u2=-0,6,v2=2,v4=1,5,u3=-1,u4=0,v3=1,6,v5=2,5,v6=0.Составим таблицу 3. :

Таблица 3. — Проведениеитераций

/> Цеха

Склад

B1

(b1=40)

v1=1

B2

(b2=50)

v2=2

B3

(b3=15)

v3=1,6

B4

(b4=75)

v4=1,5

B5

(b5=40)

v5=2,5

B6

(b6=5)

v6=0

 0

  А1 (а1=50)

U1=0

 0

  1,0

 35

 

 - 1,4

 

 15

  2,0

 - 1

  3,0

 - 1

  2,5

  3,5

 0

  А2(а2=20)

U2=-0,6

 - 1,6

 

 5

  0,4

 0

  3,0

 15

 

 - 1,1

  1,0

 - 1,1

  2,0

 - 0,6

  3,0

 -0,7

  А3(а3=75)

U3=-1

 0

  0,7

 -0,4

 

 35

  1,0

 -0,3

  1,0

  0,8

 40

 

 - 1

  1,5

 -0,2

  А4(а4=80)

U4=0

 0

  1,2

-0,4

  2,0

 0

  2,0

 0

 

 75

  1,5

 0

 

 0

  2,5

 5

  0

Стоимость 4-ого плана:

D4=1•35+2•15+0,4•5+1•15+1•35+1,5•40+1,5•75=289,5.

Для всех клеток последнейтаблицы выполнены условия оптимальности:

1) ui+vj-сij=0 для клеток, занятых перевозками;

2) ui+vj-сij<sub/>≤0 для свободных клеток.

Несодержательные ответы:

Прямой ЗЛП:

/> 35 15 0 0 0 0

 5 0 15 0 0 0

 X = 0 35 0 0 40 0

 0 0 0 75 0 5

 min=289,5.

Двойственной ЗЛП:

U1=0; U2=-0,6; U3=-1; U4=0; V1=1; V2=2; V3=1,6; V4=1,5; V5=2,5; V6=0.

max=289,5.

Так как min=max, то по критерию оптимальности найдены оптимальныерешения прямой и двойственной ЗЛП. Содержательный ответ: Оптимально перевозитьтак:

Из А1 в<sub/>B1 – 35 сборочных агрегатов;

Из А1 в<sub/>B2 – 15 сборочных агрегатов;

Из А2 в<sub/>B1 – 5 сборочных агрегатов;

Из А2 в<sub/>B3 – 15 сборочных агрегатов;

Из А3 в<sub/>B2 – 35 сборочных агрегатов;

Из А3 в<sub/>B5 – 40 сборочных агрегатов;

Из А4 в<sub/>B4 – 75 сборочных агрегатов.

При этом стоимостьминимальна и составит Dmin=289,5. 5 сборочных агрегатов необходимо оставить на складе А4для их последующей перевозки в другие Цеха.

Список использованнойлитературы

1. Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин «Задачилинейного программирования транспортного типа», Москва, 2007.

2. И.Л. Акулич, В.Ф. Стрельчонок«Математические методы и компьютерные технологии решения оптимизационныхзадач», Рига, 2006.

3. Астафуров В.Г., Колодникова Н. — Компьютерное учебное пособие, раздел “Анализ на чувствительность с помощьюдвойственной задачи”, Томск-2004.

4. Алесинская Т.В. — Задачи поисследованию операций с решениями. Москва, 2008.

5. Смородинский С.С., Батин Н.В. — Оптимизация решений на основе методов и моделей математическогопрограммирования: Учебное пособие. Воронеж, 2009