Реферат: Побудова споживчої функції. Оцінка параметрів системи економетричних рівнянь
Курсоваробота
здисципліни “Економетрія ”
Тема„Побудова споживчої функції дослідження мультиколінеарності між пояснюючимизмінними. Оцінка параметрів системи економетричних рівнянь. Оцінка параметріврегресійної моделі з автокорельованими „
ЗМІСТ
ВСТУП
ЗАДАЧА 1.ПОБУДОВА СПОЖИВЧОЇ ФУНКЦІЇ
ЗАДАЧА 2. ПРИКЛАДДОСЛІДЖЕННЯ МУЛЬТИКОЛІНЕАРНОСТІ МІЖ ПОЯСНЮЮЧИМИ ЗМІННИМИ
ЗАДАЧА 3. ОЦІНКАПАРАМЕТРІВ РЕГРЕСІЙНОЇ МОДЕЛІ З АВТОКОРЕЛЬОВАНИМИ ЗАЛИШКАМИ
ЗАДАЧА 4. ОЦІНКАПАРАМЕТРІВ СИСТЕМИ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
ВИСНОВКИ
ВСТУП
Економетрія є галуззю економічної науки, яка вивчає методи кількісного вимірюваннявзаємозв’язків між економічними показниками. Метою розрахункової роботи євивчення методів оцінки параметрів економетричних моделей. Застосувати методнайменших квадратів для оцінювання параметрів економетричної моделі можна лишев разі виконання певних умов, які далеко не завжди виконуються на практиці длявихідної економічної інформації. Особливості перевірки цих умов також розглядаютьсяв розрахунковій роботі.
Сьогодні практично повністю сформовано коло задач і методів, які належатьеконометрії. Порівняно з підходом, притаманним математичній статистиці, власнееконометричний підхід до задач, які вивчаються зокрема в розрахунковій роботі,виявляється не в тому, що приклади і термінологія беруться з економічноїгалузі, а насамперед у тій увазі, яка приділяється питанню про відповідністьвибраної моделі економічному об’єкту. В розрахунковій роботі розглядаютьсяметоди побудови економетричної моделі в цілковитій відповідності зособливостями тієї економічної інформації, на базі якої вони будуються.
ЗАДАЧА 1. ПОБУДОВА СПОЖИВЧОЇ ФУНКЦІЇ
Дані про роздрібний товарообіг і доходи населення в умовних грошових одиницяхв деякій країні за 1994-2005 рр. представлені в табл.1.1.
Таблиця 1.1 – Роздрібний товарообіг і доходи населення
РікРоздрібний товарообіг,
млн. умов. од., />
Доходи населення,
млн. умов. од., />
1994 218 233 1995 244 260 1996 249 278 1997 265 306 1998 272 292 1999 301 310 2000 323 347 2001 325 337 2002 353 361 2003 365 402 2004 385 434 2005 429 442Необхідно: розрахувати методом найменших квадратів оцінки параметрівспоживчої функції; перевірити достовірність вибраної лінії регресії методоманалізу дисперсій; оцінити лінійний коефіцієнт кореляції; визначити довірчіінтервали для />, та />; побудувати на одномуграфіку вихідні дані та знайдену лінію регресії.
Зв’язок між роздрібним товарообігом і доходом населення носить прямолінійнийхарактер, тому споживча функція має вигляд [1]:
/>, (1.1)
де /> – роздрібнийтоварообіг ;
/> – особисті доходи громадян ;
/> – константа ;
/> – кутовий коефіцієнт кореляції ;
/> – стохастична складова (залишки ).
Для оцінювання параметрів /> та /> в рівнянні (1.1) скористаємосьметодом найменших квадратів (МНК). Запишемо систему нормальних рівнянь [1]:
/> (1.2)
/>. (1.3)
Для знаходження /> та /> запишемо рівняння оцінок :
/>, (1.4)
/>, (1.5)
де /> – моменти першого порядку;
/> – моменти другого порядку.
/>, (1.6)
/>, (1.7)
/>, (1.8)
/>, (1.9)
/>. (1.10)
Для зручності розрахунку моментів побудуємо таблицю 1.2.
Таблиця 1.2 – Проміжні розрахунки
Рік/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1994 218 47524 233 54289 50794 -100,5 10100,25 1995 244 59536 260 67600 63440 -73,5 5402,25 1996 249 62001 278 77284 69222 -55,5 3080,25 1997 265 70225 306 93636 81090 -27,5 756,25 1998 272 73984 292 85264 79424 -41,5 1722,25 1999 301 90601 310 96100 93310 -23,5 552,25 2000 323 104329 347 120409 112081 13,5 182,25 2001 325 105625 337 113569 109525 3,5 12,25 2002 353 124609 361 130321 127433 27,5 756,25 2003 365 133225 402 161604 146730 68,5 4692,25 2004 385 148225 434 188356 167090 100,5 10100,25 2005 429 184041 442 195364 189618 108,5 11772,25 Всього 3729 1203925 4002 1383796 1289757 - 49129/>; (1.11)
/>; (1.12)
/> (1.13)
/> (1.14)
/>, (1.15)
/>, (1.16)
/>. (1.17)
Таким чином, маємо споживчу функцію :
/>. (1.18)
Перевірка достовірності підібраної лінії регресії методом аналізу дисперсійза критерієм Фішера [1]:
/>, (1.19)
де /> – обґрунтована складовадисперсії ;
/> – необґрунтована складова дисперсії;
/> – загальна дисперсія .
/>, (1.20)
де /> – емпіричне значення />;
/> – теоретичне значення />;
/> – середнє значення />.
/>, (1.21)
/>. (1.22)
Виходячи з даних міркувань :
/> (1.23)
Таблиця 1.3 – Таблиця аналізу дисперсій
Компоненти дисперсії/>Число ступенів свободи,
/>Сума квадратів,
/>Середнє значення суми квадратів,
Регресія 1/>
/>
Відхилення від регресії/>
/>
/>
Всього/>
/>
Таблиця 1.4 – Таблиця аналізу дисперсій стосовно даних задачі
Компоненти дисперсії/>Число ступенів свободи,
/>Сума квадратів,
/>Середнє значення суми квадратів,
Регресія 1,00 43324,40 43324,40 Відхилення від регресії 10,00 1813,85 181,39 Всього 11,00 45138,25/>, (1.24)
/>. (1.25)
Таким чином :
/>, (1.26)
де (1,10) – число ступенів свободи відповідно чисельника і знаменника.
/>. (1.27)
Висновок: /> > />, 238,85 > 4,96 тобторозходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить невипадковий характер і взаємозв’язок між рівнем споживання та рівнем доходутісний.
Оцінку лінійного коефіцієнту кореляції /> здійснимоза допомогою формули [1]:
/>, (1.28)
/>. (1.29)
Висновок: Високий лінійний коефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв’язокміж роздрібним товарообігом та рівнем доходу .
Побудуємо довірчі інтервали для /> та/>. Побудова довірчогоінтервалу /> для кутового коефіцієнтукореляції />здійснюється за формулою:
/>, (1.30)
де /> – деяка похибка при оцінці/>; /> – довірчий коефіцієнт прирівні імовірності /> та /> ступенях свободи.Знаходиться за таблицями /> –розподілуСт’юдента .
Приймається якісна гіпотеза, відповідно до якої />. Формула для розрахунку /> має вигляд [1]:
/>, (1.31)
/> (1.32)
/>; (1.33)
/>; (1.34)
/>. (1.35)
Висновок: Результати регресії не відповідають якісній гіпотезі, згідно доякої 0‹β‹1, тому робимо висновок про недостатню точність оцінки b.
Побудова довірчого інтервалу /> длякоефіцієнта /> здійснюється за формулою[1]:
/>, (1.36)
де /> – деяка похибка приоцінюванні а ;
/>, (1.37)
/>.(1.38)
/>; (1.39)
/> (1.40)
Висновок: До інтервалу входять як від’ємні, так і додатні значення, отжепри 95% імовірності похибка при оцінюванні /> неістотно відмінна від нуля. Побудова довірчого інтервалу R для лінійного коефіцієнту кореляції r здійснюється за формулою [1]:
/>, (1.41)
де Sr — деяка похибка при оцінці r.
/> - деяка функція при рівніімовірності Р, коефіцієнті кореляція r та деякій точковій оцінці ρ. Оскільки ρ не можна визначити,а, значить, і значення всієї функції невідоме, необхідно скористатися Z-перетворенням Фішера. Для цьоговводимо нову змінну zr:
/> (1.42)
Розподіл zr<sub/>приблизно співпадає з нормальним розподілом.
Тоді за таблицею Z-перетворення Фішера z0,997 = 3,2957.
Знаходимо
/>, (1.43)
/>. (1.44)
Визначаємо при 95% рівні імовірності довірчі інтервали для zρ :
/> (1,45)
/> (1,46)
/> (1,47)
Скориставшись знову таблицями Z-перетворенняФішера, знайдемо тепер граничні значення для r:
Z(1,547) ≈ 0,991; (1.48)
Z(3,033) ≈1; (1.49)
0,991≤ r ≤ 1. (1.50)
Висновок: Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є досить точною, азначить, тіснота зв’язку між роздрібним товарообігом та рівнем доходу громадянє дуже високою.
В кінці рішення задачі побудуємо на одному графіку вихідні дані та лініюрегресії (рис .1.1):
/>
Рис. 1.1 – Вихідні дані та лінія регресії
Побудована споживча функція має вигляд: />.Розходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить невипадковий характер і взаємозв’язок між рівнем споживання та рівнем доходу тісний.Високий лінійний коефіцієнт кореляції /> свідчитьпро тісний взаємозв’язок між роздрібним товарообігом та рівнем доходу. Так якзнайдений інтервал має вигляд />, томурезультати регресії не відповідають якісній гіпотезі, згідно якої /> тому робимо висновок про недостатнюточність оцінки b. Додовірчого інтервалу /> входять яквід’ємні, так і додатні значення, отже при 95% імовірності похибка приоцінюванні /> не істотно відмінна від нуля.
ЗАДАЧА 2. ПРИКЛАД ДОСЛІДЖЕННЯ МУЛЬТИКОЛІНЕАРНОСТІ МІЖ ПОЯСНЮЮЧИМИЗМІННИМИ
Статистична сукупність спостережень за пояснюючими змінними моделі прибуткупідприємства представлена в табл .2.1.
Таблиця 2.1 – Статистична сукупність спостережень за пояснюючими зміннимимоделі прибутку підприємства
МісяцьПрибуток на місяць, грн., />
Фондовіддача,
грн., />
Продуктивність
праці, грн., />
Питомі інвестиції, грн., />
1 67 30 6 23 2 60 35 16 27 3 43 29 7 25 4 67 16 16 25 5 75 32 7 28 6 66 25 14 16 7 45 32 11 17 8 69 27 11 26 9 41 14 10 28 10 72 20 15 28 11 77 22 13 23 12 63 35 11 29 13 52 36 13 26 14 72 21 17 29 15 73 36 10 23 16 55 38 15 31 17 81 34 17 33 18 75 39 14 25 19 70 43 21 25 20 80 29 27 34Обчислимо середні значення та стандартні відхилення пояснюючих змінних />. Для цього можнаскористатись стандартними функціями MS Excel. В майстрі функцій знайдемокатегорію “статистичні ” і в ній функції “СРЗНАЧ ” та “СТАНДОТКЛ ”.
Дані величини можна також розрахувати за формулами [1]:
/>, (2.1)
/>, (2.2)
де /> – середнє значення />-тої пояснюючої змінної ;
/> – індивідуальне значення j-тоїпояснюючої змінної;
/> – номер пояснюючої змінної;
/> – номер точки спостереження(місяця);
/> – стандартне відхилення />-тої пояснюючої змінної;
/> – число спостережень .
Додаткові розрахунки наведено в таблиці 2.2.
Таблиця 2.2 – Проміжні розрахунки
Місяць/>
/>
/>
/>
1 67 30 6 23 2 60 35 16 27 3 43 29 11 25 4 67 16 16 25 5 75 32 7 28 6 66 25 14 16 7 45 32 11 17 8 69 27 11 26 9 41 14 10 28 10 72 20 15 28 11 77 22 13 23 12 63 35 11 29 13 52 36 13 26 14 72 21 17 29 15 73 36 10 23 16 55 38 15 31 17 81 34 17 33 18 75 39 14 25 19 70 43 21 25 20 80 29 27 34 Всього 1303 593 275 521 Середнє значення 65,15 29,65 13,75 26,05 Стандартне відхилення, δ 12,13 7,92 4,75 4,48Нормалізуємо пояснюючі змінні. Серед статистичних функцій MS Excel знайдемофункцію “НОРМАЛІЗАЦІЯ ” та нормалізуємо />.
Для цього можна також скористатись формулою [1]:
/>. (2.3)
/>/>/>
/>
0,044215142 -1,633365935 -0,681149827 0,675860029 0,474203013 0,212161422 -0,082113835 -0,579581461 -0,234494203 -1,724390542 0,474203013 -0,234494203 0,296873097 -1,42260904 0,435489234 -0,587429745 0,052689224 -2,244444513 0,296873097 -0,579581461 -2,021116701 -0,33477179 -0,579581461 -0,011166391 -1,977048497 -0,790338356 0,435489234 -1,219074632 0,263446119 0,435489234 -0,966416677 -0,158067671 -0,681149827 0,675860029 -0,579581461 0,658817046 0,802189007 -0,158067671 -0,011166391 -1,092745655 0,684959908 0,658817046 0,802189007 -0,790338356 -0,681149827 1,054846962 0,263446119 1,105472671 0,549531052 0,684959908 1,552128295 1,181175939 0,052689224 -0,234494203 1,686491849 1,527987488 -0,234494203Транспонуємо матрицю /> (нормалізовану)в матрицю />
0,0442 0,6759 -0,0821 -1,7244 0,2969 -0,5874 0,2969 -1,6334 0,4742 -0,5796 0,4742 -1,4226 0,0527 -0,5796 -0,6811 0,2122 -0,2345 -0,2345 0,4355 -2,2444 -2,0211 -0,3348 -1,9770 -1,2191 -0,9664 0,6759 0,8022 -1,0927 -0,5796 -0,7903 0,2634 -0,1581 -0,5796 -0,1581 0,6850 -0,0112 0,4355 0,4355 -0,6811 0,6588 -0,0112 0,6588 0,8022 1,0548 0,5495 1,1812 1,6865 -0,0821 -0,7903 0,2634 0,6850 0,0527 1,5280 2,7925 -0,6811 1,1055 1,5521 -0,2345 -0,2345 1,7755 /> /> /> /> /> /> /> />Перемножимо матриці /> та />:
19 1,604138357 1,025534341 1,604138357 19 8,107441683 1,025534341 8,107441683 19/>
Знайдемо кореляційну матрицю R .
Для знаходження кореляційної матриці R необхідно кожний елементматриці /> помножити на /> (у нашому випадку /> ):
1 0,084428335 0,053975492 0,084428335 1 0,426707457 0,053975492 0,426707457 1/>
Знайдемовизначник матриці /> /> />).
Для знаходження />/> необхідносеред математичних функцій MS Excel знайти функцію “МОПРЕД”. Скориставшись нею,дістанемо: /> R = 0,811768312. Оскільки />/> наближається до нуля, то вмасиві пояснюючих змінних може існувати мультиколінеарність.
Прологарифмуємовизначник матриці />: />/>/>-0,208540309.
Обчислимокритерій Пірсона /> за формулою [1]:
/> (2.9)
/> (2.5)
Знайдене значення /> порівняємоз табличним значенням />, коли маємо /> ступенів свободи та прирівні значущості />.
Оскільки />, то в масиві пояснюючихзмінних (продуктивність праці, питомі інвестиції та фондовіддача) мультиколінеарністьне існує.
Обчислимо />критерій. Для визначення />критеріїв необхідно знайтиматрицю />, яка є оберненою доматриці />:
1,007579051 -0,075633144 -0,022111348 -0,075633144 1,228289687 -0,520038033 -0,022111348 -0,520038033 1,223097577/>Безпосередньо />критерій обчислюється заформулою:
/>,(2.6)
де /> – діагональний елементматриці />.
/>; (2.7)
/>; (2.8)
/>; (2.9)
Обчисленікритерії порівнюються з табличним значенням />,коли є /> ступенів свободи та прирівні значущості />.
Визначимочастинні коефіцієнти кореляції />.
Частиннікоефіцієнти кореляції показують тісноту зв’язку між двома пояснюючими зміннимиза умови, що всі інші змінні не впливають на цей зв’язок і обчислюються заформулою [1]:
/>.(2.10)
/>(2.11)
/> (2.12)
/>(2.13)
Отже, спираючисьна здобуті нами значення окремих (частинних) коефіцієнтів кореляції, можнасказати, що зв’язок між фондовіддачею та продуктивністю праці є тісним, якщо невраховувати вплив питомих інвестицій, зв’язок між фондовіддачею та питомимиінвестиціями є слабким, якщо не брати до уваги вплив продуктивності праці.Зв’язок між продуктивністю праці та питомими інвестиціями є тісним, якщо невраховувати фондовіддачу.
Визначимо /> критерій.
Ці критерії застосовуються для визначення мультиколінеарності двох пояснюючихзмінних і обчислюються за формулою [1]:
/>.(2.14)
/>;(2.15)
/>;(2.16)
/>;(2.17)
Обчислені />критерії порівнюються зтабличним значенням />, коли маємо /> ступенів свободи та прирівні значущості />.
Оскільки />, то продуктивність праціта фондовіддача є відповідно мультиколінеарними між собою; />, />, тому відповіднопродуктивність праці та питомі інвестиції не є мультиколінеарними між собою.
Висновок: Дослідження, проведені заалгоритмом Фаррара-Глобера показали, що мультиколінеарність між пояснюючимизмінними даного прикладу існує. Отже, для того, щоб можна було застосуватиметод 1МНК для оцінювання параметрів моделі за цією інформацію, необхідно впершу чергу звільнитися від мультиколінеарності.
ЗАДАЧА 3. ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ РЕГРЕСІЙНОЇ МОДЕЛІ ЗАВТОКОРЕЛЬОВАНИМИ ЗАЛИШКАМИ
Статистичні даніпро залежність витрат на рекламу від прибутку на деякому підприємстві протягом 15років наведені в табл.3.1.
Таблиця 3.1 –Статистичні дані про залежність витрат на рекламу від прибутку
РікПрибуток підприємства, млн. грн., />
Витрати на рекламу, тис. грн., />
1 18,00 98,00 2 5,00 73,00 3 13,00 49,00 4 5,00 82,00 5 15,00 75,00 6 93,00 70,00 7 14,00 56,00 8 50,00 80,00 9 14,00 68,00 10 2,00 45,00 11 7,00 90,00 12 49,00 78,00 13 3,00 62,00 14 95,00 88,00 15 6,00 95,00Необхідно: оцінити параметри рівняння взаємозв’язку між обсягом витрат на рекламу іобсягом отриманого прибутку, вважаючи, що величина витрат на рекламу залежитьвід розміру отриманого прибутку; перевірити наявність автокореляції залишків,при наявності авторегресійного процесу до оцінки параметрів регресії застосуватиметод Ейткена. Длязнаходження оцінок параметрів лінійної регресії скористаємось формулою [1]:
/>.(3.1)
Розрахуємоматрицю моментів />:
/>. (3.2)
Розрахуємовектор:
/>. (3.3)
Оцінки параметрівбудуть дорівнювати:
/>. (3.4)
Економетричнамодель має вигляд:
/>,(3.5)
/>. (3.6)
На основіеконометричної моделі визначимо вектор збурення />,який є різницею між розрахованим /> тафактичним />значенням витрат нарекламу.
/>(3.7)
Розрахуємокритерій Дарбіна-Уотсона:
/>,(4)
/>
Висновок: Оскільки критерій Дарбіна-Уотсона належить інтервалу [1,36; 2,64], то можна говорити про відсутністьавтокореляції. Подальше проведення розрахунків за критерієм фон-Неймана та застосування методу Ейткена є недоцільним.
ЗАДАЧА 4 ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ СИСТЕМИ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Оцінити параметри економетричної моделі, що складається з двох рівнянь:
/>(4.1)
Перше рівняння відображає залежність грошового обігу /> від оборотності грошей /> та грошових доходівнаселення />. У другому рівнянні оборотністьгрошей /> визначається у виглядіфункції від грошового обігу /> та розмірувкладу в ощадбанк />. Між двомазмінними – грошовим обігом та оборотністю грошей – існують одночасні зв’язки,так як кожна з них в одному рівнянні виступає як факторна змінна, у другому –як результативна.
Введемопозначення:
/> грошовий обіг />/>;
/>оборотність грошей />;
/>грошові доходи населення />;
/>розмір вкладу в ощадбанк />.
Дані про />, />, />, /> представлено у виглядівідхилень від відповідних середніх у табл.4.1.
Таблиця 4.1 – Відхилення змінних />, />, />, /> від їх середніх значень
/>
/>
/>/>
/>
/>
1 -10/>/>13
11 2 1 10 -1 12 3 2 4 2 10 4 -3 2 1 5 5 8 11 9 10 6 4 1 9 -2 7 9 -1 3 -4 8 12 1 4 1 9 15 8 -8 10 8 -2 5 -6Для оцінкиеконометричної моделі застосуємо метод 1МНК спочатку до першого рівняння системи,а потім до другого.
Запишемо рівняння№1 у вигляді множинної регресії:
/>(4.2)
Перша цифра білякоефіцієнтів /> та /> означає номер рівняння,друга – номер змінної. Запишемо формули для оцінки параметрів регресії:
/>.(4.3)
/>; /> />.(4.4)
Проведемооперації:
/>(4.5)
/> />, />.(4.6)/> />.(4.7)
/>,(4.8)
/>.(4.9)
Підставившиотримані результати, будемо мати МНК-оцінку 1-го рівняння:
/> /> ./> = />,(4.10)
/>.(4.11)
Скористаємосьметодом 1МНК до другого рівняння системи, яке запишемо у наступному вигляді:
/> (4.12)
/> />,(4.13)
/> /> />(4.14)
/> />.(4.15)
/>,(4.16)
/>.(4.17)
Підставившиотримані результати, будемо мати МНК-оцінку 2-го рівняння:
/> /> ./> = />,(4.18)
/>.(4.19)
Таким чином,запропонована у загальній формі модель має такий вигляд:
/>/>,(4.20)
/>.(4.21)
ВИСНОВКИ
У першій задачі розрахункової роботи за допомогою класичного методу найменших квадратів (МНК) булиотримані оцінки параметрів споживчої функції. Перевірка достовірності вибраноїлінії регресії методом аналізу дисперсій показала, що розходження обґрунтованоїта необґрунтованої складових дисперсії носить випадковий характер івзаємозв’язок між рівнем споживання та рівнем доходу є тісним. Високий лінійнийкоефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв’язок між роздрібнимтоварообігом та рівнем доходу. Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є доситьточною (0,991 ≤ r ≤1), а значить, тіснота зв’язку між роздрібним товарообігом і рівнем доходугромадян є дуже високою. Знайдений довірчий інтервал для параметра b маєвигляд (/>). А це означає, щорезультати регресії не відповідають якісній гіпотезі, згідно до якої0‹β‹1, тому робимо висновок про недостатню точність оцінки b. До довірчого інтервалу параметра aвходять як від’ємні, так і додатні значення (/>),аотже при 95% імовірності похибка при оцінюванні а не істотновідмінна від нуля .
У другій задачі розрахункової роботи були проведені дослідження алгоритмомФарара-Глобера, які показали, що мультиколінеарність між пояснюючими зміннимидосліджуваної економетричної моделі існує. Для того, щоб можна було застосуватикласичний МНК для оцінювання параметрів моделі вихідною інформацію, необхіднозвільнитися від мультиколінеарності .
У третій задачі розрахункової роботи були отримані оцінки параметріврівняння взаємозв’язку між обсягом витрат на рекламу і обсягом отриманогоприбутку. Перевірка наявності автокореляції залишків за критеріямиДарбіна-Уотсона показала, що автокореляції залишків в даному прикладі не існує.
У четвертій задачі за допомогою класичного МНК були отримані оцінки параметрів економетричної моделі, щоописується системою рівнянь:
/>/>,
/>.