Реферат: Особенности решения задач в эконометрике

Задание 1.

По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукцииизвестны значения двух признаков:

х— выпуск продукции, тыс. ед.;

у — затраты на производство, млн. руб.

5,3 18,4 15,1 22,0 24,2 32,3 7,1 16,4 11,0 22,2 8,5 21,7 14,5 23,6 10,2 18,5 18,6 26,1 19,7 30,2 21,3 28,6 22,1 34,0 4,1 14,2 12,0 22,1 18,3 28,2

Требуется:

4. Построить полекорреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;

5. Построить модели:

2.1 Линейной парной регрессии;

2.2 Полулогарифмической парной регрессии;

2.3 Степенной парной регрессии; Дляэтого:

1. Рассчитатьпараметры уравнений;

2. Оценить теснотусвязи с помощью коэффициента (индекса) корреляции;

3. Оценить качествомодели с помощью коэффициента (индекса) детерминации и средней ошибкиаппроксимации;

4. Дать с помощью среднегокоэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора срезультатом;

5. С помощью F-критерия Фишера оценитьстатистическую надежность результатов регрессионного моделирования;

3. По значениямхарактеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии;

4. Используя методГольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность;

5. Рассчитатьпрогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на5% от его среднего уровня. Для уровня значимости />=0,05определить доверительный интервал прогноза.

Решение.

1. Строим полекорреляции.

Анализируярасположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ахb.

Основываясьна теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х видау=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида:постоянные, не зависящие от объема производства — a, такие как арендная плата, содержание администрации ит.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1Модель линейной парной регрессии

2.1.1Рассчитаем параметры aи b линейной регрессии у=а+bх.

Строимрасчетную таблицу 1.

Таблица1

№

Аi

1 5,3 18,4 97,52 28,09 338,56 16,21 2,19 11,92 2 15,1 22,0 332,20 228,01 484,00 24,74 -2,74 12,46 3 24,2 32,3 781,66 585,64 1043,29 32,67 -0,37 1,14 4 7,1 16,4 116,44 50,41 268,96 17,77 -1,37 8,38 5 11,0 22,2 244,20 121,00 492,84 21,17 1,03 4,63 6 8,5 21,7 184,45 72,25 470,89 18,99 2,71 12,47 7 14,5 23,6 342,20 210,25 556,96 24,22 -0,62 2,62 8 10,2 18,5 188,70 104,04 342,25 20,47 -1,97 10,67 9 18,6 26,1 485,46 345,96 681,21 27,79 -1,69 6,48 10 19,7 30,2 594,94 388,09 912,04 28,75 1,45 4,81 11 21,3 28,6 609,18 453,69 817,96 30,14 -1,54 5,39 12 22,1 34,0 751,40 488,41 1156,00 30,84 3,16 9,30 13 4,1 14,2 58,22 16,81 201,64 15,16 -0,96 6,77 14 12,0 22,1 265,20 144,00 488,41 22,04 0,06 0,26 15 18,3 28,2 516,06 334,89 795,24 27,53 0,67 2,38 Σ 212,0 358,5 5567,83 3571,54 9050,25 358,50 0,00 99,69 среднее 14,133 23,900 371,189 238,103 603,350 23,90 0,00 6,65

Параметрыaи b уравнения

Yx= a+ bx

определяютсяметодом наименьших квадратов:

Разделивна nи решая методом Крамера, получаемформулу для определения b:

Уравнениерегрессии:

/>=11,591+0,871x

Сувеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производствоувеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициентапарной корреляции.

Предварительно определим средние квадратические отклоненияпризнаков.

Средниеквадратические отклонения:

Коэффициенткорреляции:

Междупризнаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционнаясвязь.

2.1.3Оценим качество построенной модели.

Определимкоэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсииприходится 9,5%.

Следовательно,качество модели высокое.

Найдемвеличину средней ошибки аппроксимации Аi.

Предварительноиз уравнения регрессии определим теоретические значения /> для каждого значенияфактора.

Ошибкааппроксимации Аi, i=1…15:

Средняяошибка аппроксимации:

Ошибканебольшая, качество модели высокое.

5.1.4. Определим средний коэффициентэластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1%затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.

2.1.5.Оценимстатистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнениестатистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое)значение F-критерия Фишера:

Найдемфактическое значение F — критерия Фишера:

следовательно, гипотеза Hотвергается, принимается альтернативная гипотеза H1: с вероятностью 1-α=0,95полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными xиy неслучайна.

Построимполученное уравнение.

2.2.Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1.Рассчитаем параметры а и b в регрессии:

уx=а +blnх.

Линеаризуемданное уравнение, обозначив:

z=lnx.

Тогда:

y=a+ bz.

Параметрыaи b уравнения

/> = a+ bz

определяютсяметодом наименьших квадратов:

/> Рассчитываем таблицу 2.

Таблица2

№

Аi

1 5,3 18,4 1,668 30,686 2,781 338,56 15,38 3,02 16,42 2 15,1 22,0 2,715 59,723 7,370 484,00 25,75 -3,75 17,03 3 24,2 32,3 3,186 102,919 10,153 1043,29 30,42 1,88 5,83 4 7,1 16,4 1,960 32,146 3,842 268,96 18,27 -1,87 11,42 5 11,0 22,2 2,398 53,233 5,750 492,84 22,61 -0,41 1,84 6 8,5 21,7 2,140 46,439 4,580 470,89 20,06 1,64 7,58 7 14,5 23,6 2,674 63,110 7,151 556,96 25,34 -1,74 7,39 8 10,2 18,5 2,322 42,964 5,393 342,25 21,86 -3,36 18,17 9 18,6 26,1 2,923 76,295 8,545 681,21 27,81 -1,71 6,55 10 19,7 30,2 2,981 90,015 8,884 912,04 28,38 1,82 6,03 11 21,3 28,6 3,059 87,479 9,356 817,96 29,15 -0,55 1,93 12 22,1 34,0 3,096 105,250 9,583 1156,00 29,52 4,48 13,18 13 4,1 14,2 1,411 20,036 1,991 201,64 12,84 1,36 9,60 14 12,0 22,1 2,485 54,916 6,175 488,41 23,47 -1,37 6,20 15 18,3 28,2 2,907 81,975 8,450 795,24 27,65 0,55 1,95 Σ 212,0 358,5 37,924 947,186 100,003 9050,25 358,50 0,00 131,14 Средн. 14,133 23,900 2,528 63,146 6,667 603,350 23,90 0,00 8,74

Разделивна nи решая методом Крамера, получаемформулу для определения b:

Уравнениерегрессии:

/> = -1,136 + 9,902z

2.2.2.Оценим тесноту связи между признаками у и х.

Т. к.уравнение у = а + bln x линейноотносительно параметров а и b и его линеаризация не была связанас преобразованием зависимой переменной _у, то теснота связи междупеременными у и х, оцениваемая с помощью индекса парнойкорреляции Rxy, также может быть определена спомощью линейного коэффициента парной корреляции ryz

среднее квадратическое отклонение z:

Значениеиндекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у и хнаблюдается очень тесная корреляционная связь вида /> = a+ bz.

2.2.3Оценим качество построенной модели.

Определимкоэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у, на долю необъясненной вариацииприходится 16,2%.

Следовательно,качество модели высокое.

Найдемвеличину средней ошибки аппроксимации Аi.

Предварительноиз уравнения регрессии определим теоретические значения /> для каждого значенияфактора.

Ошибкааппроксимации Аi, i=1…15:

Средняяошибка аппроксимации:

Ошибканебольшая, качество модели высокое.

2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1%затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.

2.2.5.Оценимстатистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнениестатистически незначимо. Примем α=0,05.

Найдемтабличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Найдемфактическое значение F-критерия Фишера:

следовательно, гипотеза Hотвергается, принимаетсяальтернативная гипотеза H1: свероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь междупеременными xиy неслучайна.

Построимуравнение регрессии на поле корреляции

2.3.Модель степенной парной регрессии.

2.3.1.Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:

Расчетупараметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:

изамена переменных:

Y=lny, X=lnx, A=lna

Параметрыуравнения:

Y=A+bX

определяютсяметодом наименьших квадратов:

/> Рассчитываем таблицу 3.

Определяемb:

Уравнениерегрессии: