Реферат: Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса

Задания к контрольной работе.

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальныеданные о кредитах откоммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года(всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первогогода).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, принявпараметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели сиспользованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной моделина основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критериюпиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критическиезначения d1, = l,10 и d2=1,37) и по первому коэффициентуавтокорреляции при критическом значении r1 =0,32;

- нормальности распределения остаточнойкомпоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шагавперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные ипрогнозные данные.

Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Вариант 9 41 52 62 40 44 56 68 41 47 60 71 44 52 64 77 47

Решение:

1. Построениеадаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса:

Исходные данные:

Таблица 1.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y(t) 41 52 62 40 44 56 68 41 47 60 71 44 52 64 77 47

Для оценки начальныхзначений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) изтаблицы 1. Линейная модель имеет вид:

Yp(t)= a(0) + b(0)* t

Определим коэффициентылинейного уравнения а(0) и b(0) по формулам:

Произведем расчеты вExcel (рис.1):

Рис .1 расчеты в Excel

Уравнение с учетомполученных коэффициентов имеет вид:

Yp(t)= 47 + 0,79*t

Из этого уравнениянаходим расчетные значения Yp(t)и сопоставляем их с фактическими значениями (рис. 2):

Рис. 2

Такое сопоставлениепозволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F(-3),F(-2), F(-1)и F(0) Эти значения необходимы длярасчета коэффициентов сезонности первого года F(1),F(2), F(3),F(4) и других параметров моделиХольта –Уинтерса.

Рис. 3

Оценив значения а(0) и b(0),а также F(-3), F(-2),F(-1), F(0)перейдем к построению адаптивной модели Хольта Уинтерса.

Рассчитаем значенияYp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров сглаживания α1=0,3,α2=0,6, α3=0,3.

Рис. 4

2. Проверка точностипостроенной модели.

Условие точностивыполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.

1,26%<5%, следовательно,условие точности выполнено.

3. Оценка адекватностипостроенной модели.

3.1 Проверкаслучайности уровней.

Гипотеза подтверждаетсяесли P > q,где />

Функция int означает,что от полученного значения берется только целая часть.

Из таблицы P= 10, 6<10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

3.2 проверканезависимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверкапроводится двумя методами:

а) по d-критериюДарбина – Уотсона: табличные значения d1= 1,08, d2= 1,36

В данном случае имеетместо отрицательная автокорреляция. В таком случае величину dуточняем, вычитая полученное значение из 4.

d’= 4 – d = 4-2,53 = 1,48

Уточненное значение dсравниваем с табличными значениями d1 и d2, в данном случае d1=1,1 иd2=1,37.

Так как d2<1,48<2,то уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первомукоэффициенту автокорреляции

Для нашей задачикритический уровень rтаб= 0,32 — значит уровни независимы.

3.3 Проверкасоответствия ряда остатков нормальному распределению по R/S-критериюс критическими значениями от 3 до 4,21.

/>,где />, S = 0,93

Рис. 5

Полученное значение непопало в заданный интервал.

4. Построим точечныйпрогноз на 4 шага вперед.

Находим прогнозныезначения экономического показателя для Yp(t)

Рис. 6

5. Отразим на графикерасчетные, фактические и прогнозные данные.

Рис. 7 Сопоставлениерасчетных и фактических данных.

Из рисунка видно, чторасчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит обудовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2.

Даны цены (открытия,максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принятьравным пяти дням. Рассчитать:

¾ экспоненциальнуюскользящую среднюю;

¾ момент;

¾ скоростьизменения цен;

¾ индексотносительной силы;

¾ %R, %K и%D.

Расчеты выполнить длявсех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихсяданных.

Вариант 9 Дни Цены Макс. Мин. Закр. 1 650 618 645 2 680 630 632 3 657 627 657 4 687 650 654 5 690 660 689 6 739 685 725 7 725 695 715 8 780 723 780 9 858 814 845 10 872 840 871 /> /> /> /> />

Решение:

Введем исходные данные:

Рис. 8

Экспоненциальнаяскользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле:

EMAt= Ct*K + EMAt-1*(1- K)

Где />,

Ct– цена закрытия

n–интервал сглаживания, n=5

Для вычисленияэкспоненциальной средней сформируем таблицу:

Рис. 9

Момент (МОМ)рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены nдней тому назад:

Рис. 10

Рис. 11

Движение графикамомента вверх (рис. 11) свидетельствует о повышении цен.

Скорость изменения цен(ROC):

Рис. 12

Рис. 13

ROC является отражениемскорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Вкачестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии100 и положительная динамика в 7-9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7-8 деньскорость изменения цен была максимальной.

Индекс относительнойсилы (RSI).

Значения RSIизменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременнос разворотом цен, либо с опережением, что является важным его достоинством.

Для его расчетаприменяется формула:

Где AU– сумма приростков конечных цен за nдней;

AD– суммы убыли конечных цен за nдней.

Повышение ценырассчитываем по формуле: =ЕСЛИ((H5-H4)>0;H5-H4;""), а понижение =ЕСЛИ((H4-H3)<0;ABS(H4-H3);"")

Рис. 14

Отобразим на графикеполученные значения RSI (рис. 15).

Рис. 15

Зоны перепроданностирасполагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности — выше 75-80. Сигналомслужит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка,индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6-10 день.Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения иподготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика иззоны перепроданности.

Стохастические линии.

Смысл индексов %К и %Rсостоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяюткуда больше тяготеет цена закрытия.

Где %Kt–значение индекса текущего дня;

Ct– цена закрытия текущего дня;

L5и H5– соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней,включая текущий.

Где %Rt– значение индекса текущего дня, t;

Ct– цена закрытия текущего дня t;

LnиHn–соответственно минимальная и максимальная цены за nпредшествующих дней, включая текущий.

Составим таблицурасчета индексов стохастических линий и заполним ее (рис. 18).

В ячейку Е8 введемформулу =МАКС(B4:B8) и размножим ее, а в ячейку F8формулу =МИН(C4:C8) и тоже размножим (рис. 16)

Рис. 16

В ячейку G8введем формулу =D8-F8, в H8=E8-D8, в I8 =E8-F8 и размножим их(рис. 17).

Рис. 17

Далее рассчитаеминдексы (рис. 18).

Рис. 18 расчет индексовстохастических линий.

Медленное %Dрассчитывается по формуле =СРЗНАЧ(N10:N12).

Критические значения %К(зона перекупленности) свидетельствуют о том, что можно ожидать скорогоразворота тренда, т.е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы еслицена закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен, в противномслучае, падение (рис. 19).

Рис. 19 Ценовой график.

Задание 3.

Выполнить различныекоммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачизначения параметров приведены в видепеременных. Например, Sозначает некуюсумму средств в рублях, Тлет — время вгодах, i— ставку впроцентах и т.д. По именам переменныхиз таблицы необходимо выбрать соответствующиечисленные значения параметров и выполнить расчеты.

Вариант Сумма Дата начальная Дата конечная Время в днях Время в годах Ставка Число начислений S

Tдн

Tлет

I m 9 4500000 09.01.02 21.03.02 90 5 50 4

3.1 Банк выдал ссуду,размером S руб. Дата выдачи ссуды- TH, возврата — TK. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются попростой процентной ставке i%годовых.

Найти:

3.1.1) точные процентыс точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенныепроценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенныепроценты с приближенным числом дней ссуды.

3.2 Через Tдндней после подписания договора должник уплатит Sруб. Кредит выдан под i%годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3Через Tдндней предприятие должно получить по векселю Sруб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетнойставке i% годовых (год равен360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4 В кредитномдоговоре на сумму S руб. и срокомна Tлетлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i%годовых. Определить наращенную сумму.

3.5 Ссуда, размером Sруб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка i%годовых. Проценты начисляются mраз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6 Вычислитьэффективную ставку процента, если банк начисляет проценты mраз в году, исходя из номинальной ставки i%годовых.

3.7 Определить, какойдолжна быть номинальная ставка при начислении процентов mраз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i%годовых.

3.8 Через Тлетпредприятию будет выплачена сумма Sруб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложнаяпроцентная ставка i% годовых.

3.9 через Тлетпо векселю должна быть выплачена сумма Sруб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i%годовых. Определить дисконт.

3.10 В течение Тлетна расчетный счет в конце каждого года поступает по Sруб., на которые m раз в годуначисляются проценты по сложной годовой ставке i%.Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение.

3.1Используем формулу:

3.1.1 К = 365, t= 71, />

3.1.2 К = 360, t= 71, />.

3.1.3 К = 360, t= 71, />

3.2 Используемформулы:

3.3 Используем формулы:

3.4 Используем формулу:

Где n– срок ссуды

3.5 Используем формулу:

3.6 Используем формулу:

3.7 Используем формулу: