Реферат: Моделирование систем массового обслуживания

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1.1 Общие понятие теории массовогообслуживания

1.2 Моделирование систем массовогообслуживания

1.3 Графы состояний СМО

1.4 Случайные процессы

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1   УравненияКолмогорова

2.2    Процессы «рождения – гибели»

2.3    Экономико-математическая постановказадач массового обслуживания

Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

3.1    Одноканальная СМО с отказами вобслуживании

3.2 Многоканальная СМО с отказами вобслуживании

3.3 Модель многофазной системыобслуживания туристов

3.4 Одноканальная СМО с ограниченнойдлиной очереди

3.5 Одноканальная СМО снеограниченной очередью

3.6 Многоканальная СМО с ограниченнойдлиной очереди

3.7 Многоканальная СМО снеограниченной очередью

3.8 Анализ системы массовогообслуживания супермаркета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение

В настоящее времяпоявилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теориимассового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различныхсфер ее приложения — военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации идр.

Теория массовогообслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику.Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датскогоученого А.К. Эрланга(1878-1929), с его трудами в области проектирования иэксплуатации телефонных станций.

Теориямассового обслуживания —область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системахпроизводства, обслуживания, управления, в которых однородные событияповторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; всистемах приема, переработки и передачи информации; автоматических линияхпроизводства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математикиА.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметомтеории массового обслуживания является установление зависимостей междухарактером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностьюотдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучшихпутей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носятоптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект поопределению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимумсуммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов наобслуживание и от простоев каналов обслуживания.

Вкоммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока ненашло желаемого распространения.

Восновном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокогопонимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точногоинструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различныеварианты последствий управленческих решений.

ГлаваI. Постановка задач массового обслуживание

 

1.1     Общиепонятие теории массового обслуживания

Природамассового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческаядеятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения,например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такимиоперациями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка,фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаровсопровождается большим количеством предварительных, подготовительных,сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами,тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Дляперечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовостьпоступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем ихпоследовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок)путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит такжеслучайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождаетнедогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностейдоставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, иливодителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки илиоформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующихвариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового заласупермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции дляцелей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки вконечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективностикоммерческой деятельности.

Крометого, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией ипланированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множестваопераций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньевобслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отделакадров и др.

Задачиорганизации массового обслуживания возникают практически во всех сферахчеловеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей вмагазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания,обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечениетелефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощибольным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникаетнеобходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленныезадачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданнойдля этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется,что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием«заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняютсякем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявокв коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры,документы, а роль каналов обслуживания — продавцы, администраторы, повара,кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование идр. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессеприготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом — выступает в ролизаявки на обслуживание, например к заведующему производством за получениемтовара.

Заявки всилу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые довыполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожиданияначала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания вканалах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупностьэлементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящегопотока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания— СМО.

 Под системой понимаетсясовокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей(элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельностиявляются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями вмагазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта,повара на раздаче и т.д.

Процедураобслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидаетсистему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализациипроцедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки наобслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно,продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с однойстороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортиментатоваров, который он собирается приобрести, а с другой — от формы организацииобслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять навремя пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания.Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовомаппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза исэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе болеечем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете даетощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетоввремя обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то привведении единого узла расчета — 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупкив секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делаетнесколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретениидвух покупок в 1,4 раза, трех — в 1,9, пяти — в 2,9 раза.

Подобслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности.Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всехпримерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либоустройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком(обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых — группой людей(обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях- техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродовавтоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок,называется каналом обслуживания.

Есликаналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналыобслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналовобслуживания называется обслуживающей системой.

Всистему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайныемоменты времени, длительность обслуживания которых также является случайнойвеличиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживанияназывается входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающихсистему обслуживания,— выходящим потоком.

Случайныйхарактер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду сослучайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому,что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который «можетбыть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявокили просто потоком обслуживания.

Заметим,что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи необслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, тоон покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазинтакже, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель нерасполагает временем.

Теориямассового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовымобслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массовогообслуживания.

Приисследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играютразличные способы расположения в системе каналов обслуживания.

Припараллельном расположении каналов обслуживания требование может быть обслуженолюбым свободным каналом. Примером такой системы обслуживания является расчетныйузел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает счислом кассиров-контролеров.

Напрактике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательнонесколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживанияначинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий каналзакончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовыйхарактер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания.Например, если в магазине самообслуживания имеются отделы с продавцами, топокупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом ужекассирами-контролерами.

Организациясистемы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством функционированиясистемы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошовыполнено обслуживание, а то, насколько полно загружена система обслуживания,не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

Вкоммерческой деятельности заявки, поступающие в систему массового обслуживания,выступают с высокими претензиями еще и на качество обслуживания в целом,которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся ирассматриваемых непосредственно в теории массового обслуживания, но идополнительные характерные для специфики коммерческой деятельности, в частностиотдельных процедур обслуживания, требования, к уровню которых к настоящемувремени сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и показателикоммерческой деятельности.

Работусистемы обслуживания характеризуют такие показатели. Как время ожидания началаобслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании,возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в конечномитоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показателикоммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системыобслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающиезаявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживаниянеобходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания илиобслуживающие аппараты для улучшения показателей коммерческой деятельности. Длярешения перечисленных задач существует эффективный метод моделирования,включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

1.2 Моделированиесистем массового обслуживания

ПереходыСМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенныхсобытий — поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появлениясобытий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, формирует такназываемый поток событий. Примерами таких потоков в коммерческой деятельностиявляются потоки различной природы — товаров, денег, документов, транспорта,клиентов, покупателей, телефонных звонков, переговоров. Поведение системыобычно определяется не одним, а сразу несколькими потоками событий. Например,обслуживание покупателей в магазине определяется потоком покупателей и потокомобслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей,время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждогопокупателя.

При этомосновной характерной чертой потоков является вероятностное распределениевремени между соседними событиями. Существуют различные потоки, которыеотличаются своими характеристиками.

Потоксобытий называется регулярным, если в нем события следуют одно за другим череззаранее заданные и строго определенные промежутки времени. Такой поток являетсяидеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегулярныепотоки, не обладающие свойством регулярности.

Потоксобытий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событийна промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит оттого, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени.Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностныххарактеристик, в частности, интенсивность такого потока есть среднее числособытий в единицу времени и остается величиной постоянной. На практике обычнопотоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченномпромежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенноменяется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временныеинтервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный,имеющий постоянную интенсивность.

Потоксобытий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих наодин из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий,попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, чтоэти промежутки не пересекаются между собой. В потоке без последствия событияпоявляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком безпоследствия потому, что причины, обусловившие приход каждого из них, не связаныс аналогичными причинами для других покупателей.

Потоксобытий называется ординарным, если вероятность попадания на очень малыйотрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению свероятностью попадания только одного события. В ординарном потоке событияпроисходят поодиночке, а не по два или более разу. Если поток одновременнообладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия, тотакой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком событий.Математическое описание воздействия такого потока на системы оказываетсянаиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди другихсуществующих потоков особую роль.

Рассмотримна оси времени некоторый промежуток времени t. Допустим, вероятность попадания случайного события на этотпромежуток p, а полное число возможных событий — п. При наличии свойстваординарности потока событий вероятность р должна быть достаточно малойвеличиной, а я — достаточно большим числом, поскольку рассматриваются массовыеявления. В этих условиях для вычисления вероятности попадания на промежутоквремени t некоторого числа событий т можновоспользоваться формулой Пуассона:

Pm, n= am_e-a; (m=0,n),

гдевеличина а = пр — среднее число событий, попадающих на промежуток времени t, которое можно определить черезинтенсивность потока событий X следующимобразом: a= λ τ

Размерностьинтенсивности потока X естьсреднее число событий в единицу времени. Между п и λ, р и τ имеется следующая связь:

n= λ t; p= τ/t

где t- весь промежуток времени, на которомрассматривается действие потока событий.

Необходимоопределить распределение интервала времени Т между событиями в таком потоке.Поскольку это случайная величина, найдем ее функцию распределения. Как известноиз теории вероятностей, интегральная функция распределения F(t) естьвероятность того, что величина Tбудет меньше времени t.

F(t)=P(T<t).

Поусловию в течение времени T недолжно произойти ни одного события, а на интервале времени t должно появиться хотя бы однособытие. Эта вероятность вычисляется с помощью вероятности противоположногособытия на промежутке времени (0; t), куда не попало ни одного события, т.е. m = 0, тогда

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t≥0

Длямалых ∆t можно получить приближенную формулу,получаемую заменой функции e-Xt, только двумя членами разложения в ряд по степеням ∆t, тогда вероятность попадания на малый промежуток времени ∆t хотя бы одного события составляет

P(T<∆t)=1-e-λ<sup/>t<sup/>≈1-[1- λ Δt+1/2(λ Δt)2-1/6(λ Δt)3] ≈ λ Δt

Плотностьраспределения промежутка времени между двумя последовательными событиямиполучим, продифференцировав F(t) по времени,

f(t)= λ e- λ t ,t≥0

Пользуясьполученной функцией плотности распределения, можно получить числовыехарактеристики случайной величины Т: математическое ожидание М (Т), дисперсию D(T) и среднее квадратическое отклонение σ(Т).

М(Т)= λ ∞∫0 t*e-λt*dt=1/ λ; D(T)=1/ λ2; σ(T)=1/ λ .

Отсюдаможно сделать следующий вывод: средний интервал времени Т между любыми двумясоседними событиями в простейшем потоке в среднем равен 1/λ, и его среднее квадратическоеотклонение также равно 1/λ,λ где, — интенсивность потока, т.е.среднее число событий, происходящих в единицу времени. Закон распределенияслучайной величины, обладающей такими свойствами М(Т) = Т, называетсяпоказательным (или экспоненциальным), а величина λ, является параметром этого показательного закона.Таким образом, для простейшего потока математическое ожидание интервала временимежду соседними событиями равно его среднеквадратическому отклонению. В этомслучае вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание запромежуток времени t, равно к, определяетсяпо закону Пуассона:

Pk(t)=( λt)k/ k! *e-λ t,

где λ — интенсивность поступления потоказаявок, среднее число событий в СМО за единицу времени, например[чел/мин;руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год].

Длятакого потока заявок время между двумя соседними заявками Т распределеноэкспоненциально с плотностью вероятности:

ƒ(t)= λ e-λ<sup/>t.

Случайноевремя ожидания в очереди начала обслуживания tоч тоже можно считать распределенным экспоненциально:

ƒ (tоч)=V*e-v<sup/>tоч ,

где v — интенсивность потока проходаочереди, определяемая средним числом заявок, проходящих на обслуживание вединицу времени:

v=1/Точ,

где Точ— среднее время ожидания обслуживания в очереди.

Выходнойпоток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительностьобслуживания tобс является тоже случайной величиной иподчиняется во многих случаях показательному закону распределения с плотностьювероятности:

ƒ(tобс)=µ*е µ t<sup/>обс ,

где µ — интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых вединицу времени:

µ=1/ tобс[чел/мин; руб./час; чеков/час;докум./день; кг./час; т./год] ,

где tобс — среднее время обслуживания заявок.

Важнойхарактеристикой СМО, объединяющей показатели λ и µ, является интенсивность нагрузки: ρ= λ/ µ, которая показывает степеньсогласования входного и выходного потоков заявок канала обслуживания иопределяет устойчивость системы массового обслуживания.

Кромепонятия простейшего потока событий часто приходится пользоваться понятиямипотоков других типов. Поток событий называется потоком Пальма, когда в этомпотоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тk ..., Тn являются независимыми, одинаковораспределенными, случайными величинами, нов отличие от простейшего потока необязательно распределенными по показательному закону. Простейший поток являетсячастным случаем потока Пальма.

Важнымчастным случаем потока Пальма является так называемый поток Эрланга.

Этотпоток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание»производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока.

Например,условившись учитывать только каждое второе событие из образующих простейшийпоток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждоетретье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д.

Можнополучить потоки Эрланга любого к-го порядка. Очевидно, простейший поток естьпоток Эрланга первого порядка.

Любоеисследование системы массового обслуживания начинается с изучения того, чтонеобходимо обслуживать, следовательно, с изучения входящего потока заявок и егохарактеристик.

Посколькумоменты времени t и интервалы времени поступлениязаявок τ, затем продолжительность операций обслуживания tобс и время ожидания в очереди tоч, а также длина очереди lоч — случайные величины, то,следовательно, характеристики состояния СМО носят вероятностный характер, а дляих описания следует применять методы и модели теории массового обслуживания.

Перечисленныевыше характеристики к, τ, λ,Lоч, Точ, v, tобс, µ, р, Рk являются наиболее общими для СМО,которые являются обычно лишь некоторой частью целевой функции, посколькунеобходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

1.3 Графысостояний СМО

Прианализе случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временемудобно пользоваться вариантом схематичного изображения возможных состояний СMO (рис. 6.2.1) в виде графа сразметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаютсяобычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходовиз одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими этисостояния. Например, размеченный граф состояний одноканальной системыслучайного процесса обслуживания в газетном киоске приведен на рис. 1.3.

λ/>/>/>/>

S0

 

S2

 

S1

  01 λ/>/>/>/>

S0

 

S2

 

S1

  12

 λ10 λ21

Рис. 1.3.Размеченный граф состояний СМО

Системаможет находиться в одном из трех состояний: S0-канал свободен, простаивает, S1 —канал занят обслуживанием, S2 — канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди. Переходсистемы из состояния S0 в Sl происходит под воздействиемпростейшего потока заявок интенсивностью λ01 а из состояния Sl в состояние S0систему переводит поток обслуживанияс интенсивностью λ01. Граф состояний системы обслуживания с проставленнымиинтенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребываниесистемы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность:pi(t) того,что система будет находиться в состоянии Si в момент времени t, называется вероятностью i-го состояния СМО и определяется числомпоступивших заявок k на обслуживание.

Случайныйпроцесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моментывремени t0, t1, t2,..., tk,..., tn система оказывается в том или другомзаранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая. случайнаяпоследовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шагавероятность перехода из одного состояния St в любое другое Sj не зависит оттого, когда и как система перешла в состояние St. Описывается марковская цепь с помощью вероятности состояний,причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Есливероятность перехода не зависит от номера к, то марковская цепь называетсяоднородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найтивероятности состояний для любого значения к-числа заявок поступивших наобслуживание.

1.4 Случайныепроцессы

ПереходСМО из одного состояния в другое происходит случайным образом и представляетсобой случайный процесс. Работа СМО — случайный процесс с дискретнымисостояниями, поскольку его возможные состояния во времени можно заранееперечислить. Причем переход из одного состояния в другое, происходитскачкообразно, в случайные моменты времени, по этому он называется процессом снепрерывным временем. Таким образом, работа СМО представляет собой случайныйпроцесс с дискретными состояниями и непрерывным; временем. Например, в процессеобслуживания оптовых покупателей на фирме «Кристалл» в Москве можно фиксироватьзаранее все возможные состояния простейших. СМО, которые входят в весь цикл,коммерческого обслуживания от момента заключения договора на поставку ликероводочнойпродукции, ее оплаты, оформления документов, отпуска и получения продукции,догрузки и вывоза со склада готовой продукции.

Измножества разновидностей случайных процессов наибольшее распространение вкоммерческой деятельности получили такие процессы, для которых в любой моментвремени характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния внастоящий момент и не зависят от предыстории — от прошлого. Например,возможность получения с завода «Кристалл» ликероводочной продукции зависит отналичия ее на складе готовой продукции, т.е. его состояния в данный момент, ине зависит от того, когда и как получали и увозили в прошлом эту продукциюдругие покупатели.

Такиеслучайные процессы называются процессами без последствия, или марковскими, в которыхпри фиксированном настоящем будущее состояние СМО не зависит от прошлого.Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским случайнымпроцессом, или «процессом без последствия», если он обладает следующимсвойством: для каждого момента времени t0вероятностьлюбого состояния t > t0системы Si, — в будущем (t >tQ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и независит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние, т.е.оттого, как развивался процесс в прошлом.

Марковскиеслучайные процессы делятся на два класса: процессы с дискретными и непрерывнымисостояниями. Процесс с дискретными состояниями возникает в сиcтемах, обладающих только некоторымификсированными состояниями, между которыми возможны скачкообразные переходы внекоторые, заранее не известные моменты времени. Рассмотрим пример процесса сдискретными состояниями. В офисе фирмы имеются два телефона. Возможны следующиесостояния у этой системы обслуживания: So—телефоны свободны; Sl — один из телефонов занят; S2— оба телефона заняты.

Процесс,протекающий в этой системе, состоит в том, что система случайным образомпереходит скачком из одного дискретного состояния в другое.

Процессыс непрерывными состояниями отличаются непрерывным плавным переходом из одногосостояния в другое. Эти процессы более характерны для технических устройств,нежели для экономических объектов, где обычно лишь приближенно можно говорить онепрерывности процесса (например, непрерывном расходовании запаса товара),тогда как фактически всегда процесс имеет дискретный характер. Поэтому далее мыбудем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Марковскиеслучайные процессы с дискретными состояниями в свою очередь подразделяются напроцессы с дискретным временем и процессы с непрерывным временем. В первомслучае переходы из одного состояния в другое происходят только в определенные,заранее фиксированные моменты времени, тогда как в промежутки между этимимоментами система сохраняет свое состояние. Во втором случае переход системы изсостояния в состояние может происходить в любой случайный момент времени.

Напрактике процессы с непрерывным временем встречаются значительно чаще,поскольку переходы системы из одного состояния в другое обычно происходят не вкакие-то фиксированные моменты времени, а в любые случайные моменты времени.

Дляописания процессов с непрерывным временем используется модель в виде такназываемой марковской цепи с дискретными состояниями системы, или непрерывноймарковской цепью.

ГлаваII. Уравнения описывающие системымассового обслуживания

 

2.1 УравненияКолмогорова

Рассмотримматематическое описание марковского случайного процесса с дискретнымисостояниями системы So, Sl, S2(см. рис. 6.2.1) и непрерывнымвременем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания изсостояния Si в состояние Sj происходят под воздействием простейших потоков событий синтенсивностями λij,а обратный переход подвоздействием другого потока λij,. Введемобозначение pi как вероятность того, что в моментвремени t система находится в состоянии Si. Для любого момента времени t справедливо записать нормировочное условие—сумма вероятностейвсех состояний равна 1:

 2

Σpi(t)=p0(t)+ p1(t)+ p2(t)=1

 i=0

Проведеманализ системы в момент времени t,задав малое приращение времени Δt,и найдем вероятность р1 (t+ Δt) того, что система в момент времени(t+ Δt) будет находиться в состоянии S1 которое достигается разными вариантами:

а)система в момент t с вероятностью p1(t) находилась в состоянии S1 и за малое приращение времени Δt так и не перешла в другое соседнее состояние — ни в S0, ни b S2. Вывести систему из состояния S1 можно суммарным простейшим потоком c интенсивностью (λ10 +λ12), поскольку суперпозиция простейших потоков такжеявляется простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S1 за малый промежуток времени Δ t приближенно равна (λ10 +λ12)* Δ t. Тогдавероятность невыхода из этого состояния равна [1 -(λ10 +λ12)* Δ t].B соответствии с этим вероятность того,что система останется в состоянии Si наосновании теоремы умножения вероятностей, равна:

p1(t) [1 -(λ10 +λ12)* Δ t];

б)<sup/>системанаходилась в соседнем состоянии So и замалое время Δ t перешла в состояние So Переход системы происходит подвоздействием потока λ01 с вероятностью, приближенно равной λ01Δ t

Вероятностьтого, что система будет находиться в состоянии S1, вэтом варианте равна po(t) λ 01 Δ t;

в)система находилась в состоянии S2и за время Δ t перешла в состояние S1 под воздействием потока интенсивностью λ 21 с вероятностью, приближенно равной λ21Δ t. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S1, равна p2(t) λ21Δ t.

Применяятеорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:

p2(t+Δt)= p1(t) [1 -(λ10 +λ12)* Δ t]+ po(t) λ 01 Δ t+ p2(t) λ21Δ t ,

котороеможно записать иначе:

p2(t+Δt)- p1(t)/ Δ t= po(t) λ 01+ p2(t) λ21 — p1(t) (λ10 +λ12) .

Переходяк пределу при Δt -> 0, приближенные равенстваперейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

dp2/dt= p0λ 01 +p2 λ21 -p1 (λ10 +λ12) ,

чтоявляется дифференциальным уравнением.

Проводярассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получимсистему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н.Колмогорова:

dp0 /dt= p1 λ 10 ,

dp1 /dt= p0λ 01 +p2 λ21 -p1 (λ10 +λ12) ,

dp2 /dt= p1 λ 12 +p2 λ21 .

Длясоставления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

УравненияКолмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО Si в функции времени pi(t). Втеории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно,а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуютпредельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднююотносительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Еслипредельная вероятность состояния S0– равна p0= 0,2, то, следовательно, в среднем 20%времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии So. Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р0= 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии So и простаивает, если продолжительностьрабочего дня составляет 10 ч.

Посколькупредельные вероятности системы постоянны, то заменив в уравнениях Колмогоровасоответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейныхалгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую системууравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам:слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность рi рассматриваемого состояния Si умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих(выходящие стрелки) изданного состояния Si<sub/>систему, а справа от знака равенства— сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) всостояние Si систему, на вероятность техсостояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системынеобходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие,поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна 1:<sub/>n

Σpi(t)=1

 i=1

Например,для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний So, S1, S2 рис. 6.2.1, система уравнений Колмогорова, составленная наоснове изложенного правила, имеет следующий вид:

Длясостояния So→ p0λ 01 = p1 λ 10

Длясостояния S1→ p1 (λ10 +λ12) = p0λ 01 +p2 λ21

Длясостояния S2→ p2 λ21 = p1 λ 12

p0+p1 +p2 =1

dp 4(t)<sub/>/dt= λ34 p3(t) — λ43 p4(t) ,

p1(t)+ p2(t)+ p3(t)+ p4(t)=1 .

К этимуравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система S находится в состоянии S1, то начальные условия можно записать так:

p1(0)=1, p2(0)= p3(0)= p4(0)=0 .

Переходымежду состояниями СМО происходит под воздействием поступления заявок и ихобслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший,определяется вероятностью появления события в течение времени Δ t, т.е. величиной элемента вероятности перехода λij Δ t, где λij — интенсивность потока событий,переводящих систему из состояния i всостояние i (по соответствующей стрелке на графесостояний).

Если всепотоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие,то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е.процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто,определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий.Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывнымвременем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состоянийи проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим всевероятности состояний как функции времени:

pi(t), p2(t),…., pn(t) .

Вомногих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний как функциивремени ведут себя таким образом, что существует

lim pi(t) = pi (i=1,2,…,n); t→∞

независимоот вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельныевероятности состояний системы при t->∞ и в системе устанавливается некоторый предельныйстационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои, состояния,но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью,определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.

Вычислитьпредельные вероятности состояния рi можно, если в системе положить все производные равными 0,поскольку в уравнениях Колмогорова при t-> ∞ зависимость от времени пропадает. Тогда системадифференциальных уравнений превращается в систему Обычных линейныхалгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяетвычислить все предельные вероятности состояний.

2.2     Процессы«рождения – гибели»

Среди однородныхмарковских процессов существует класс случайных процессов, имеющих широкоеприменение при построении математических моделей в областях демографии,биологии, медицины (эпидемиологии), экономики, коммерческой деятельности. Этотак называемые процессы «рождения — гибели», марковские процессы состохастическими графами состояний следующего вида:

 

/>/>S1

/>/>S2

/>/>λ0 λ1   λ2 λ3 λn-1

/>/>S0

/>/>S3

kjlSn

μ0μ1 μ3μ4 μn-1

Рис. 2.1 Размеченный графпроцесса «рождения — гибели»

 

Этот граф воспроизводитизвестную биологическую интерпретацию: величина λk отображает интенсивность рождениянового представителя некоторой популяции, например, кроликов, причем текущийобъем популяции равен k;величина μ является интенсивностью гибели (продажи) одного представителяэтой популяции, если текущий объем популяции равен k. В частности, популяция может быть неограниченной (число n состояний марковского процессаявляется бесконечным, но счетным), интенсивность λ может быть равна нулю(популяция без возможности возрождения), например, при прекращениивоспроизводства кроликов.

Для Марковского процесса«рождения — гибели», описанного стохастическим графом, приведенным на рис. 2.1,найдем финальное распределение. Пользуясь правилами составления уравнений дляконечнего числа n предельныхвероятностей состояния системы S1, S2, S3,… Sk,…, Sn, составим соответствующие уравнениядля каждого состояния:

для состояния S0-λ0p0=μ0p1;

для состояния S1-(λ1+μ0)p1= λ0p0+μ1p2, которое сучетом предыдущего уравнения для состояния S0можно преобразовать к виду λ1р1=μ1p2.

Аналогично можносоставить уравнения для остальных состояний системы S2, S3,…, Sk,…, Sn. В результате получим следующуюсистему уравнений:

/> 

Решая эту системууравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системымассового обслуживания:

/>

/> /> /> />

Следует заметить, что вформулы определения финальных вероятностей состояний р1, р2,р3,…, рn,входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей р0.В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей, стоящиху стрелок графа состояний, ведущих слева на право до рассматриваемого состоянияSk, а знаменатели представляют собойпроизведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа на лево дорассматриваемого состояния Sk, т.е. μ0, μ1, μ2, μ3,… μk. В связи с этим запишем эти модели вболее компактном виде:

/> /> к=1,n

 

2.3     Экономико-математическаяпостановка задач массового обслуживания

Правильная или наиболееудачная экономико-математическая постановка задачи в значительной степениопределяет полезность рекомендаций по совершенствованию систем массовогообслуживания в коммерческой деятельности.

В связи с этим необходимотщательно проводить наблюдение за процессом в системе, поиска и выявлениясущественных связей, формирования проблемы, выделения цели, определенияпоказателей и выделения экономических критериев оценки работы СМО. В этомслучае в качестве наиболее общего, интегрального показателя могут выступатьзатраты, с одной стороны, СМО коммерческой деятельности как обслуживающейсистемы, а с другой – затраты заявок, которые могут иметь разную по своемуфизическому содержанию природу.

Повышение эффективности влюбой сфере деятельности К. Маркс в конечном счете рассматривал как экономиювремени и усматривал в этом один из важнейших экономических законов. Он писал,что экономия времени, равно как и планомерное распределение рабочего времени поразличным отраслям производства, остается первым экономическим законом наоснове коллективного производства. Этот закон проявляется во всех сферахобщественной деятельности.

Для товаров, в том числеи денежных средств, поступающих в коммерческую сферу, критерий эффективностисвязан со временем и скоростью обращения товаров и определяет интенсивностьпоступления денежных средств в банк. Время и скорость обращения, являясьэкономическими показателями коммерческой деятельности, характеризируетэффективность использования средств, вложенных в товарные запасы.Товарооборачиваемость отражает среднюю скорость реализации среднего товарногозапаса. Показатели товарооборачиваемости и уровня запасов тесно связаныизвестным моделями. Таким образом, можно проследить и установить взаимосвязьэтих и других показателей коммерческой деятельности с временнымихарактеристиками.

Следовательно,эффективность работы коммерческого предприятия или организации складывается изсовокупности времени выполнения отдельных операций обслуживания, в то же времядля населения затраты времени включают время на дорогу, посещение магазина,столовой, кафе, ресторана, ожидание начало обслуживания, ознакомление с меню,выбор продукции, расчет и т.д. Проведенные исследования структуры затратвремени населения свидетельствует о том, что значительная его часть расходуетсянерационально. Заметим, что коммерческая деятельность в конечном счетенаправлена на удовлетворение потребности человека. Поэтому усилия моделированияСМО должны включать анализ затрат времени по каждой элементарной операцииобслуживания. С помощью соответствующих методов следует создавать модели связипоказателей СМО. Это обусловливает необходимость наиболее общие и известныеэкономические показатели, такие как товарооборот, прибыль, издержки обращения,рентабельность и другие, увязывать в экономико-математических моделях сдополнительно возникающей группой показателей, определяемых спецификойобслуживающих систем и вносимых собственно спецификой теории массовогообслуживания.

Например, особенностямипоказателей СМО с отказами являются: время ожидания заявок в очереди Точ=0,поскольку по своей природе в таких системах существование очереди невозможно,то Lоч=0 и, следовательно, вероятность ееобразования Роч=0. По числу заявок k определятся режим работы системы, ее состояние: при k=0 – простой каналов, при 1<k<n – обслуживание заявок, при k>n –обслуживание и отказ. Показателями таких СМО являются вероятность отказа вобслуживании Ротк, вероятность обслуживания Робс, среднеевремя простоя канала tпр, среднее число занятых nз и свободных каналов nсв, среднее обслуживания tобс, абсолютная пропускная способность А.

Для СМО с неограниченныможиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки Робс=1,поскольку длина очереди и время ожидания начала обслуживания не ограничены,т.е. формально Lоч→∞ и Точ→∞.В системах возможны следующие режимы работы: при k=0 наблюдается простой каналов обслуживания, при 1<k≤n – обслуживание и при k>n –обслуживание и очередь. Показателями таких эффективности таких СМО являютсясреднее число заявок в очереди Lоч, среднее число заявок в системе k, среднее время пребывания заявки всистеме Тсмо, абсолютная пропускная способность А.

В СМО с ожиданием сограничением на длину очереди, если число заявок в системе k=0, то наблюдается простой каналов,при 1<k≤n- обслуживание, при n<k<n+m – обслуживание иочередь и при k>n+m- обслуживание,очередь и отказ в ожидании обслуживания. Показателями эффективности таких СМОявляются вероятность отказа в обслуживании Ротк — вероятностьобслуживания Робс, среднее число заявок в очереди Lоч, среднее число заявок в системе Lсмо среднее время пребывания заявки в системеТсмо, абсолютная пропускная способность А.

Таким образом, переченьхарактеристик систем массового обслуживания можно представить следующимобразом: среднее время обслуживания – tобс; среднеевремя ожидания в очереди – Точ; среднее пребывания В СМО – Тсмо;средняя длина очереди — Lоч; среднее число заявок в СМО- Lсмо; количество каналов обслуживания – n; интенсивность входного потоказаявок – λ; интенсивность обслуживания – μ; интенсивность нагрузки –ρ; коэффициент нагрузки – α; относительная пропускная способность –Q; абсалютная пропускная способность – А; доля времени простоя в СМО – Р0;доля обслуженных заявок – Робс; доля потерянных заявок – Ротк,среднее число занятых каналов – nз; среднее число свободных каналов — nсв; коэффициент загрузки каналов – Кз;среднее время простоя каналов — tпр.

Следует заметить что,иногда достаточно использовать до десяти основных показателей, чтобы выявитьслабые места и разработать рекомендации по совершенствованию СМО.

Это часто связано срешением вопросов согласованной рабоиы цепочки или совокупностей СМО.

Например, в коммерческойдеятельности необходимо учитывать еще и экономические показатели СМО: общиезатраты – С; издержки обращения – Сио, издержки потребления – Сип,затраты на обслуживание одной заявки – С1, убытки, связанные суходом заявки, — Су1, затраты на эксплуатацию канала – Ск,затраты простоя канала – Спр, капитальные вложения – Скап,приведенные годовые затраты – Спр, текущие затраты – Стек,доход СМО в единицу времени – Д1

В процессе постановки задачнеобходимо раскрыть взаимосвязи показателей СМО, которые по своей базовойпринадлежности можно разделить на две группы: первая связана с издержкамиобращения Сио, которые определяются числом занятых обслуживаниемканалов, затратами на содержание СМО, интенсивностью обслуживания, степеньюзагрузки каналов, эффективностью их использования, пропускной способностью СМОи др.; вторая группа показателей определяется издержками собственно заявок Сип,поступающих на обслуживание, которые образуют входящий поток, ощущаютэффективность обслуживания и связаны с такими показателями, как длина очереди,время ожидания обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, времяпребывания заявки в СМО и др.

Эти группы показателейпротиворечивы в том смысле, что улучшение показателей одной группы, например,сокращение длины очереди или времени ожидания в очереди путем увлечения числаканалов обслуживания (официантов, поваров, грузчиков, кассиров), связано сухудшением показателей группы, поскольку это может привести к увеличениювремени простоев каналов обслуживания, затрат на их содержание и т.д. В связи сэтим формализации задач обслуживания вполне естественно стремление построитьСМО таким образом, чтобы установить разумный компромисс между показателямисобственно заявок и полнотой использования возможностей системы. С этой цельюнеобходимо выбрать обобщенный, интегральный показатель эффективности СМО,включающий одновременно претензии и возможности обеих групп. В качестве такогопоказателя может быть выбран критерий экономической эффективности, включающийкак издержки обращения Сио, так и издержки заявок Сип,которые будут иметь оптимальное значение при минимуме общих затрат С. На этомосонвании целевую функцию задачи можно записать так:

С= (Сио+Сип)→min

Поскольку издержкиобращения включают затраты, связанные с эксплуатацией СМО – Сэкс ипростоем каналов обслуживания — Спр, а издержки заявок включаютпотери, связанные с уходом не обслуженных заявок – Снз, и спребыванием в очереди – Соч, тогда целевую функцию можно переписатьс учетом этих показателей таким образом:

/>/>/>С=/>{(Спрnсв+Сэкзnз)+СочРобсλ(Точ+tобс)+СизРоткλ}→min.

В зависимости отпоставленной задачи в качестве варьируемых, т.е управляемых, показателей могутбыть: количество каналов обслуживания, организация каналов обслуживания(параллельно, последовательно, смешанным образом), дисциплина очереди,приоритетность обслуживания заявок, взаимопомощь между каналами и др. Частьпоказателей в задаче фигурирует в качестве неуправляемых, которые обычноявляются исходными данными. В качестве критерия эффективности в целевой функциимогут быть так же товарооборот, прибыль, или доход, например, рентабельность,тогда оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся очевидно, ужепри максимизации, как в предыдущем варианте.

В некоторых случаях следуетпользоваться другим вариантом записи целевой функции:

С={Сэкзnз+Cпр(n-n з)+Cотк*Ротк*λ+Ссист* nз}→min

В качестве общегокритерия может быть выбран, например, уровень культуры обслуживания покупателейна предприятиях, тогда целевая функция может быть представлена следующеймоделью:

Коб=[(Зпу*Ку)+(Зпв*Кв)+(Зпд*Кд)+(Зпз*Кз)+(Зпо*К0)+(Зкт*Ккт)]*Кмп,

где Зпу –значимость показателя устойчивости ассортимента товаров;

Ку — коэффициент устойчивости ассортимента товаров;

Зпв – значимостьпоказателя внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

Кв –коэффициент внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

Зпд –значимость показателя дополнительного обслуживания;

Кд — коэффициентдополнительного обслуживания;

Зпз — значимость показателя завершенности покупки;

Кз — коэффициентзавершенности покупки;

Зпо — значимость показателя затрат времени на ожидание в обслуживании;

Ко –показатель затрат времени на ожидание обслуживания;

Зкт –значимость показателя качества труда коллектива;

Ккт –коэффициент качества труда коллектива;

Кмп –показатель культуры обслуживания по мнению покупателей;

Для анализа СМО можновыбирать и другие критерии оценки эффективности работы СМО. Например, вкачестве такого критерия для систем с отказами можно выбирать вероятностьотказа Ротк, значение которого не превышало бы заранее заданнойвеличины. Например, требование Ротк<0,1 означает, что не менеечем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок призаданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявкив очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могутвыступать: либо число каналов n призаданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданномчисле каналов.

После построения целевойфункции необходимо определить условия решения задачи, найти ограничения,установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели,построить или подобрать совокупность моделей взаимосвязи всех показателей дляанализируемого типа СМО, чтобы в конечном итоге найти оптимальные значенияуправляемых показателей, например количество поваров, официантов, кассиров,грузчиков, объемы складских помещений и др

Глава III. Модели систем массовогообслуживания

 

3.1 Одноканальная СМОс отказами в обслуживании

Проведем анализ простойодноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновскийпоток заявок с интенсивностью λ, а обслуживание происходит под действиемпуассоновского потока с интенсивностью μ.

Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в видеразмеченного графа состояний (3.1).

Переходы СМО из одногосостояния S0в другое S1 происходятпод действием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратныйпереход – под действием потока обслуживания с интенсивностью μ.

 λ

/>/>S0

S1

 μ

S0 – канал обслуживания свободен; S1 – канал занят обслуживанием;

Рис. 3.1 Размеченный графсостояний одноканальной СМО

Запишем системудифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложеннымвыше правилам:

/>

Откуда получимдифференциальное уравнение для определения вероятности р0(t) состояния S0:

/>

Это уравнение можнорешить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S0, тогда р0(0)=1, р1(0)=0.

В этом случае решениедифференциального уровнения позволяет определить вероятность того, что каналсвободен и не занят обслуживанием:

/>

Тогда нетрудно получитьвыражение для вероятности определения вероятности занятости канала:

/>

Вероятность р0(t) уменьшается с течением времени и впределе при t→∞ стремится к величине

/>

а вероятность р1(t) в то же время увеличивается от 0,стремясь в пределе при t→∞к величине

/>

Эти пределы вероятностеймогут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

/>

Функции р0(t) и р1(t) определяют переходный процесс водноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО ксвоему предельному состоянию с постоянной времени /> характерной для рассматриваемойсистемы.

С достаточной дляпрактики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается втечение времени, равно 3τ.

Вероятность р0(t) определяет относительную пропускнуюспособность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению кполному числу поступающих заявок, в единицу времени.

Действительно, р0(t) есть вероятность того, что заявка,пришедшая в момент t, будет принята кобслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из нихобслуживается λр0заявок.

Тогда доля обслуживаемыхзаявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной

/>

В пределе при t→∞ практически уже при t>3τ значение относительнойпропускной способности будет равно />

Абсолютная пропускнаяспособность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени впределе при t→∞, равна:

/>

Соответственно долязаявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

/>

а общее число необслуженных заявок равно />

Примерами одноканальныхСМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерскаяавтотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческойфирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

3.2 Многоканальная СМОс отказами в обслуживании

В коммерческойдеятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческихпредприятий с несколькими телефонными каналами, бесплатная справочная служба поналичию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонныхномеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

Следовательно, автомагазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданныхавтомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

Туристические фирмы попродаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

Рассмотрим многоканальнуюСМО с отказами в обслуживании на рис. 3.2, на вход которой поступаетпуассоновский поток заявок с интенсивностью λ.

λ λ/>/> λ λ λ

/>/>S0

/>/>S1

/>/>/>Sk

Sn

/>

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ

Рис. 3.2. Размеченныйграф состояний многоканальной СМО с отказами

Поток обслуживания вкаждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются еесостояния Sk, представленные в виде размеченногографа:

S0 – все каналы свободны k=0,

S1 – занят только один канал, k=1,

S2 – заняты только два канала, k=2,

Sk – заняты k каналов,

Sn – заняты все n каналов, k= n.

Состояния многоканальнойСМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одногосостояния, например S0 в S1, происходит под воздействием входного потока заявок синтенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявокс интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния Sk<sub/>в Sk-1 безразлично, какой именно из каналовосвободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий,переводящий систему из Sn<sub/>в Sn-1, имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическаязадача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателятеории массового обслуживания.

Случайный процесс,протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения-гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которыепозволяют получить выражения для предельных вероятностей состояниярассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

/> /> />.

Вычислив все вероятностисостояний n – канальной СМО с отказами р0,р1, р2, …, рk,…, рn,можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа вобслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка наобслуживание найдет все nканалов занятыми, система будет находиться в состоянии Sn:

/> k=n.

В системах с отказамисобытия отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому

Ротк+Робс=1

На этом основанииотносительная пропускная способность опредляется по формуле

Q = Pобс= 1-Ротк=1-Рn

Абсолютную пропускнуюспособность СМО можно определить по формуле

А=λ*Робс

Вероятность обслуживания,или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способностьСМО, которая может быть определена и по другой формуле:

/>

Из этого выражения можноопределить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что жесамое, среднее число занятых обслуживанием каналов

/>

Коэффициент занятостиканалов обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов ких общему числу

/>

Вероятность занятостиканалов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости tзан и простоя tпр каналов, определяется следующим образом:

/>

Из этого выражения можноопределить среднее время простоя каналов

/>

Среднее время пребываниязаявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла

Тсмо= nз/λ.

3.3 Модель многофазнойсистемы обслуживания туристов

В реальной жизни системаобслуживания туристов выглядит значительно сложнее, поэтому необходимодетализировать постановку задачи, учитывая запросы, требования как со стороныклиентов, так и турфирмы.

Дляувеличения эффективности работы турфирмы необходимо смоделировать в целомповедение потенциального клиента от начала операции до ее завершения. Структуравзаимосвязи основных систем массового обслуживания фактически состоит из СМОразного вида (рис. 3.3).

Поиск Выбор Выбор Решение

/> /> /> /> /> /> /> />

СМОф

фирма

  <td/>

СМОр

референт

  />

СМОр

реклама

  />

/>/>/>/>/>                  

/>

СМОо

отель

 

СМОа

авиа

 

СМОк

касса

  />поиск фирмы тура по туру/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> <td/> />

Оплата Перелет Исход

Рис. 3.3 Модельмногофазной системы обслуживания туристов

Проблемас позиции массового обслуживания туристов, уезжающих на отдых, заключается вопределении точного места отдыха (тура), адекватного требованиям претендента,соответствующего его здоровью и финансовым возможностям и представлениям оботдыхе в целом. В этом ему могут способствовать турфирмы, поиск которыхосуществляется обычно из рекламных сообщений СМОр, затем послевыбора фирмы происходит получение консультаций по телефону СМОт,после удовлетворительного разговора приезд в турфирму и получение болеедетальных консультаций лично с референтом, затем оплата путевки и получениеобслуживания от авиакомпании по перелету СМОа и в конечном счетеобслуживания в отеле СМ00. Дальнейшее развитие рекомендаций поулучшению работы СМО фирмы связано с из/>/>/>менением профессионального содержанияпереговоров с клиентами по телефону. Для этого необходимо углубить анализ,связанный с детализацией диалога референта с клиентами, поскольку далеко некаждый переговоры по телефону приводит к заключению договора на приобретениепутевки. Проведение формализации задачи обслуживания указало на необходимостьформирования полного (необходимого и достаточного) перечня характеристик и ихточных значений предмета коммерческой сделки. Затем проводятся ранжирование этиххарактеристик, например методом парных сравнений, и расположения в диалоге постепени их значимости, например: время года (зима), месяц (январь), климат(сухой), температура воздуха (+25»С), влажность (40%), географическоеместо (ближе к экватору), время авиаперелета (до 5 часов), трансферт, страна(Египет), город (Хургада), море (Красное), температура воды в море (+23°С),ранг отеля (4 звезды, работающий кондиционер, гарантия наличия шампуня вномере), удаленность от моря (до 300 м), удаленность от магазинов (рядом),удаленность от дискотек и других источников шума (подальше, тишина в течениесна в отеле), питание (шведский стол — завтрак, ужин, частота изменения меню занеделю), отели (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), экскурсии (Каир, Луксор,коралловые острова, подводное плавание), увеселительные шоу, спортивные игры,цена путевки, форма оплаты, содержание страховки, что брать с собой, что купитьна месте, гарантии, штрафные санкции.

Есть ещеодин очень существенный показатель, выгодный для клиента, установить которыйпредлагается самостоятельно въедливому читателю. Затем можно, используя метод опарногосравнения перечисленных характеристик хi, сформировать матрицу п х п сравнения, элементыкоторой заполняются последовательно по строкам по следующему правилу:

/> 0, если характеристика менеезначима,

аij= 1, если характеристика равнозначима,

 2, еслихарактеристика доминирует.

Послеэтого определяются значения сумм оценок по каждому показателю строки Si =∑ aij<sub/>, вес каждой характеристики Mi<sub/>= Si /n2 и соответственно интегральный критерий, на основе которогоможно провести выбор турфирмы, тура или отеля, по формуле

F = ∑ Mi<sub/>* xi<sub/>—» max.

С цельюисключения возможных ошибок в этой процедуре вводят, например, 5-балльную шкалуоценок с градацией характеристик Бi<sub/>(хi)по принципу хуже (Бi = 1 балл) — лучше (Бi = 5 баллов). Например, чем дорожетур, тем хуже, чем он дешевле, тем лучше. На этом основании целевая функциябудет иметь другой вид:

Fb<sub/>= ∑ Mi * Бi * xi —> max.

Такимобразом, можно на основе применения математических методов и моделей, используяпреимущества формализации, точнее и более объективно сформулировать постановкузадач и значительно улучшить показатели СМО в коммерческой деятельности для достиженияпоставленных целей.

3.4Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Вкоммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).

Рассмотримпростую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест вочереди т — фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тотмомент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, невстает в очередь и.покидает систему.

Графэтой СМО представлен на рис. 3.4 и совпадает с графом рис. 2.1 описывающимпроцесс «рождения—гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала.

 Sm

  />

 S3

 

 S2

 

 S1

 

 S0

   λ λ λ λ… λ

/>/>/>/>/>/>/>/>/> μ μ μ μ… μ

Рис. 3.4.Размеченный граф процесса «рождения — гибели» обслуживания все интенсивностипотоков обслуживания равны

СостоянияСМО можно представить следующим образом:

S0 — канал обслуживания свободен,

S, — каналобслуживания занят, но очереди нет,

S2      — канал обслуживания занят, вочереди стоит одна заявка,

S3      — канал обслуживания занят, вочереди стоят две заявки,

Sm+1 — канал обслуживания занят, вочереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.

Дляописания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранееправилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятностисостояний:

/>p1 = ρ * ρо

p2=ρ2 * ρ0

pk=ρk * ρ0

Pm+1 = pm=1 * ρ0

p0=[1+ρ+ρ2+ρ3+...+ρm+1]-1

Выражениедля р0 можно в аанном случае записать проще, пользуясь тем, что взнаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующихпреобразований получаем:

ρ= (1- ρ)

(1- ρm+2)

Эта формула справедливадля всех р, отличных от 1, если же р = 1, то р0= 1/(т + 2), а всеостальные вероятности также равны 1/(т + 2). Если предположить т = 0, то мыпереходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотреннойодноканальной СМО с отказами в обслуживании. Действительно, выражение дляпредельной вероятности р0в случае т = 0 имеет вид:

pо = μ / (λ+μ)

И в случае λ =μ имеет величину р0= 1 / 2.

Определим основныехарактеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютнуюпропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди исреднее время ожидания заявки в очереди.

Заявка получает отказ,если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии Sm+1 и, следовательно, все места вочереди да заняты и один канал обслуживает Поэтомувероятность отказа определяется вероятностью появлением

Состояния Sm+1:

Pотк = pm+1 = ρm+1 * p0

Относительная пропускнаяспособность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени,определяется выражением

Q = 1- pотк = 1- ρm+1 * p0

абсолютная пропускнаяспособность равна:

A = Q * λ

Среднее число заявок Lоч стоящих в очереди на обслуживание, определяетсяматематическим ожиданием случайной величины к — числа заявок, стоящих в очереди

Lоч-= M(k).

случайная величина кпринимаетследующие только целочисленные значения:

1 — в очереди стоит одназаявка,

2 — вочереди две заявки,

т-в очереди все места заняты

Вероятностиэтих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная ссостояния S2. Закон распределения дискретной случайной величины к изображаетсяследующим образом:

k 1 2 m

pi

p2

p3

pm+1

Математическоеожидание этой случайной величины равно:

Lоч = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

В общемслучае при p ≠1 эту сумму можнопреобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобномувиду:

Lоч = p2 * 1- pm* (m-m*p+1) * p0

( 1- p )2

Вчастном случае при р = 1, когда все вероятности pk оказываются равными, можно воспользоваться выражением длясуммы членов числового ряда

1+2+3+ m = m(m+1)

2

Тогдаполучим формулу

L’оч<sub/>= m(m+1) * p0 =m(m+1) (p=1).

2 2(m+1)

Применяяаналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее времяожидания обслуживания за<sub/>явки а очереди определяется формуламиЛиттла

Точ= Lоч/А (при р ≠ 1) и Т1оч = L’оч /А(при р = 1).

Такойрезультат, когда оказывается, что Точ ~ 1/ λ, может показатьсястранным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должнавозрастать длина очереди и уменьшается среднее время ожидания. Однако следуетиметь в виду, что, во-первых, величина Lоч являетсяфункцией от λ и μ и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеетограниченную длину очереди не более m заявок.

Заявка,поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и,следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общемслучае (при р ≠ 1) к уменьшению Точ ростом λ, посколькудоля таких заявок с ростом λ увеличивается.

Еслиотказаться от ограничения на длину очереди, т.е. устремить m —> →∞, то случаи р < 1 и р ≥1начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностейсостояний преобразуются в случае р < 1 к виду

р0=1-р

р1=р*(1-р)

p2=p2(1-p)

pk=рk<sup/>*(1 — р)

Придостаточно большом к вероятность pk стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q = 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А—λ Q — λ следовательно, обслуживаются всепоступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

Lоч =p21-p

асреднее время ожидания по формуле Литтла

Точ= Lоч/А

Впределе р << 1 получаем Точ = ρ / μ т.е.среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потокаобслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМОотсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, иочередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому немогут быть определены: при Q = 1 они равны нулю.Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянииобслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемыхзаявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднемρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, ивремени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявкиначинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Вкачестве одной из характеристик СМО используют среднее время Тсмопребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди исреднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: еслидлина очереди ограничена — среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

Lсмо= m+1 ;2

Тсмо=Lсмо; при p ≠1

A тогда среднее время пребывания заявкив системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием)равно:

Тсмо=m+1 при p ≠1 2μ

3.5 Одноканальная СМОс неограниченной очередью

В коммерческойдеятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является,например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнятьобслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону,встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции,товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи втоварно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, чтосвязано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливовыполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило,экономически весьма ощутимы.

В то же время товары,завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь наобслуживание (продажу).

Длину очереди составляетколичество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцывыступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров,предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичнымслучаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальнуюСМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок синтенсивностью λ и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка,поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь иожидает обслуживания.

Размеченный графсостояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможныхсостояний ее бесконечно:

/> - канал свободен, очереди нет, />;

/> - канал занят обслуживанием,очереди нет, />;

/> — канал занят, одна заявка вочереди, />;

/> — канал занят />, заявка в очереди.

Модели оценки вероятностисостояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенныхдля СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m→∞:

/>/>/>

Рис. 3.5 Граф состоянийодноканальной СМО с неограниченной очередью.

/>/>/>

Следует заметить, что дляСМО с ограниченной длиной очереди в формуле

/>

имеет местогеометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем />. Такаяпоследовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при />. Эта суммасходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при />, что определяет установившийсярежим работы СМО, с при /> очередь при /> с течением времениможет расти до бесконечности.

Поскольку врассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявкаможет быть обслужена, поэтому />, следовательно, относительнаяпропускная способность />, соответственно />, а абсолютнаяпропускная способность

/>.

Вероятность пребывания вочереди k заявок равна:

/>;

Среднее число заявок вочереди –

/>;

Среднее число заявок всистеме –

/>;

Среднее время пребываниязаявки в системе –

/>;

Среднее время пребываниязаявки с системе –

/>.

Если в одноканальной СМОс ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания />, то очередьбудет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляетанализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при />.

3.6 Многоканальная СМОс ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальнуюСМО />, навход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью />, аинтенсивность обслуживания каждого канала составляет />, максимально возможное число меств очереди ограничено величиной m.Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших всистему, которые можно записать.

/> - все каналы свободны, />;

/> - занят только один канал(любой), />;

/> — заняты только два канала(любых), />;

/> — заняты все /> каналов, />.

Пока СМО находится влюбом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналыобслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяядальнейшие состояние системы:

/> — заняты все /> каналов и одна заявкастоит в очереди,

/>;

/> — заняты все /> каналов и две заявкистоят в очереди,

/>;

/> — заняты все /> каналов и все /> мест вочереди,

/>.

Граф состояний n-канальной СМО с очередью,ограниченной m местами на рис.3.6

/>/>

/>

Рис. 3.6 Граф состояний n-канальной СМО с ограничением надлину очереди m

Переход СМО в состояние сбольшими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью />, тогда как поусловию в обслуживании этих заявок принимают участие /> одинаковых каналов синтенсивностью потока обслуживания равного /> для каждого канала. При этомполная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новыхканалов вплоть до такого состояния />, когда все n каналов окажутся занятыми. Споявлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как онауже достигла максимального значения, равного />.

Запишем выражения для предельныхвероятностей состояний:

/> />

/>.

Выражение для /> можнопреобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов сознаменателем />:

/>

/>

Образование очередивозможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее /> требований,т.е. когда в системе будет находиться />/> требований. Эти событиянезависимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна суммесоответствующих вероятностей /> Поэтому вероятность образованияочереди равна:

/>

Вероятность отказа вобслуживании наступает тогда, когда все /> каналов и все /> мест в очереди заняты:

/>

Относительная пропускнаяспособность будет равна:

/>

Абсолютная пропускнаяспособность –

/>

Среднее число занятыхканалов –

/>

Среднее числопростаивающих каналов –

/>

Коэффициент занятости(использования) каналов –

/>

Коэффициент простоя каналов–

/>

Среднее число заявок,находящихся в очередях –

/>

В случае если />, эта формулапринимает другой вид –

/>

Среднее время ожидания вочереди определяется формулами Литтла –

/>

Среднее время пребываниязаявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания вочереди на среднее время обслуживания, равное />, поскольку заявка всегдаобслуживается только одним каналом:

/>

3.7 Многоканальная СМОс неограниченной очередью

Рассмотрим многоканальнуюСМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает потокзаявок с интенсивностью /> и которая имеет интенсивностьобслуживания каждого канала />. Размеченный граф состоянийпредставлен на рис 3.7 Он имеет бесконечное число состояний:

S/> — все каналы свободны, k=0;

S/> — занят один канал, остальныесвободны, k=1;

S/> — заняты два канала, остальныесвободны, k=2;/>

S/> — заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S/> — заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S/> — заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состоянийполучим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе кпределу при m/>. Следует заметить, что суммагеометрической прогрессии в выражении для p/>расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийсястационарный режим работы СМО.

Очереди нет

/>

 

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

…

/>

/>

/>

/>

/>

…

/>

/>

/>

Рис.3.7 Размеченный графсостояний многоканальной СМО

с неограниченной очередью

для которого и определимвыражения для предельных вероятностей состояний:

/>/>

/> /> …; />

/> /> />

Поскольку отказа вобслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускнойспособности равны:

/> /> />

среднее число заявок вочереди –

/>

среднее время ожидания вочереди –

/>

среднее число заявок вСМО –

/>        />

Вероятность того, что СМОнаходится в состоянии />, когда нет заявок и не занято ниодного канала, определяется выражением

/>          />

Эта вероятностьопределяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятностьзанятости обслуживанием kзаявок –

/>          />

На этом основании можноопределить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием

/>          />

Если же все каналы ужезаняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением

/>    />

Вероятность оказаться вочереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием

/>  />

Среднее число заявок,находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

/>

Среднее время ожиданиязаявки в очереди по формуле Литтла: /> и в системе

/>  

среднее число занятыхканалов обслуживанием:

/>/>;

среднее число свободныхканалов:

/>/>;

коэффициент занятостиканалов обслуживанием:

/>

Важно заметить, чтопараметр характеризует степень согласования входного потока, напримерпокупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процессобслуживания будет стабилен при />Если же/>в системе будут возрастатьсредняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживанияи, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

3.8 Анализ системымассового обслуживания супермаркета

Одной из важных задачкоммерческой деятельности является рациональная организацияторгово-технологического процесса массового обслуживания, например вуниверсаме. В частности, определение мощности кассового узла торговогопредприятия является непростой задачей. Такие экономико-организационныепоказатели, как нагрузка товарооборота на 1м2 торговой площади,пропускная способность предприятия, время пребывания покупателей в магазине, атакже показатели уровня технологического решения торгового зала: соотношениеплощадей зон самообслуживания и расчетного узла, коэффициенты установочной ивыставочной площадей, во многом определяются пропускной способностью кассовогоузла. В этом случае пропускную способность двух зон (фаз) обслуживания: зоны самообслуживанияи зоны расчетного узла (рис.4.1).

/>

СМО/>

/>

СМО/>

/>

/> — интенсивность входного потокапокупателей;

/> — интенсивность приходапокупателей зоны самообслуживания;

/> — интенсивность приходапокупателей в расчетный узел;

/> — интенсивность потокаобслуживания.

Рис.4.1. Модельдвухфазной СМО торгового зала универсама

Основная функциярасчетного узла состоит в обеспечении высокой пропускной способностипокупателей в торговом зале и создании комфортного обслуживания покупателей.Факторы, влияющие на пропускную способность расчетного узла, можно разделить надве группы:

1)экономико-организационные факторы: система материальной ответственности вуниверсаме; средняя стоимость и структура одной покупки;

2) организационнаяструктура кассового узла;

3)технико-технологические факторы: применяемые типы кассовых аппаратов и кассовыхкабин; применяемая контролером-кассиром технология обслуживания покупателей;соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.

Из перечисленных группфакторов наибольшее влияние оказывают организационное построение кассового узлаи соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.

Рассмотрим обе фазысистемы обслуживания:

1)   выбор покупателями товаров в зонесамообслуживания;

2) обслуживаниепокупателей в зоне расчетного узла. Входящий поток покупателей попадает в фазусамообслуживания, и покупатель самостоятельно отбирает нужные ему товарныеединицы, формируя их в единую покупку. Причем время этой фазы зависит от того,как взаиморазмещены товарные зоны, какой фронт они имеют, сколько временитратит покупатель на выбор конкретного товара, какова структура покупки и т.д.

Выходящий потокпокупателей из зоны самообслуживания />одновременно является входящимпотоком />взону кассового узла, который последовательно включает ожидание покупателя вочереди и затем обслуживание его контролером-кассиром. Кассовый узел можнорассматривать как систему обслуживания с потерями или как систему обслуживанияс ожиданием.

Однако ни первая, нивторая рассмотренные системы не позволяют реально описать процесс обслуживанияв кассовом узле универсама по следующим причинам:

в первом вариантекассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с потерями,требует значительных как капитальных вложений, так и текущих затрат насодержание контролеров-кассиров;

во втором вариантекассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с ожиданиями,приводит к большим затратам времени покупателей в ожидании обслуживания. Приэтом в часы пик зона расчетного узла «переполняется» и очередь покупателей«перетекает» в зону самообслуживания, что нарушает нормальные условия длявыбора товара другими покупателями.

В связи с этимцелесообразно рассматривать вторую фазу обслуживания как систему с ограниченнойочереди, промежуточную между системой с ожиданием и системой с потерями. Приэтом предполагается, что одновременно в системе могут находиться не более L, причем L=n+m, где n-количество обслуживаемых клиентов в кассах, m-количество покупателей, стоящих вочереди, причем любая m+1-заявка покидает систему необслуженной.

Это условие позволяет, содной стороны, ограничить площадь зоны расчетного узла с учетом максимальнодопустимой длины очереди, а с другой – ввести ограничение на время ожиданияпокупателями обслуживания в кассовом узле, т.е. учитывать издержки потребленияпокупателей.

Правомерность постановкизадачи в таком виде подтверждается проведенными обследованиями потоковпокупателей в универсамах, результаты которых приведены в табл. 4.1, анализкоторых выявил тесную связь между средней длинной очереди в кассовом узле иколичеством покупателей, не совершивших покупок.

Табл.4.1

Часы работы День недели пятница суббота воскресенье

оче-редь,

/>

количество

покупателей

без покупок

оче-редь,

/>

количество

покупателей

без покупок

оче-редь,

/>

количество

покупателей

без покупок

чел. % чел. % чел. % с 9 до 10 2 38 5 5 60 5,4 7 64 4,2 с 10 до 11 3 44 5,3 5 67 5 6 62 3,7 с 11 до 12 3 54 6,5 4 60 5,8 7 121 8,8 с 12 до 13 2 43 4,9 4 63 5,5 8 156 10 с 14 до 15 2 48 5,5 6 79 6,7 7 125 6,5 с 15 до 16 3 61 7,3 6 97 6,4 5 85 7,2 с 16 до 17 4 77 7,1 8 140 9,7 5 76 6 с 17 до 18 5 91 6,8 7 92 8,4 4 83 7,2 с 18 до 19 5 130 7,3 6 88 5,9 7 132 8 с 19 до 20 6 105 7,6 6 77 6 с 20 до 21 6 58 7 5 39 4,4 Итого 749 6,5 862 6,3 904 4,5

В организации работыкассового узла универсама имеется еще одна важная особенность, котораязначительно влияет на его пропускную способность: наличие экспресс-касс(одной-двух покупок). Изучение структуры потока покупателей в универсамах потипу кассового обслуживания показывает, что поток оборот составляет 12,9% (табл.4.2).

Табл. 4.2

Дни недели Потоки покупателей Товарооборот всего по экспресс-кассам % к дневномупотоку всего по экспресс-кассам % к дневному товарообороту Летний период Понедельник 11182 3856 34,5 39669,2 3128,39 7,9 Вторник 10207 1627 15,9 38526,6 1842,25 4,8 Среда 10175 2435 24 33945 2047,37 6 Четверг 10318 2202 21,3 36355,6 1778,9 4,9 Пятница 11377 2469 21,7 43250,9 5572,46 12,9 Суббота 10962 1561 14,2 39873 1307,62 3,3 Воскресенье 10894 2043 18,8 35237,6 1883,38 5,1 Зимний период Понедельник 10269 1857 18,1 37121,6 2429,73 6,5 Вторник 10784 1665 15,4 38460,9 1950,41 5,1 Среда 11167 3729 33,4 39440,3 4912,99 12,49,4 Четверг 11521 2451 21,3 40000,7 3764,58 9,4 Пятница 11485 1878 16,4 43669,5 2900,73 6,6 Суббота 13689 2498 18,2 52336,9 4752,77 9,1 Воскресенье 13436 4471 33,3 47679,9 6051,93 12,7

Для окончательногопостроение математической модели процесса обслуживания с учетом перечисленныхвыше факторов необходимо определить функции распределения случайных величин, атакже случайные процессы, описывающие входящие и выходящие потоки покупателей:

1) функцию распределениявремени покупателей на выбор товаров в зоне самообслуживания;

2) функцию распределениявремени работы контролера-кассира для обычных касс и экспресс-касс;

3) случайный процесс,описывающий входящий поток покупателей в первую фазу обслуживания;

4) случайный процесс,описывающий входящий поток во вторую фазу обслуживания для обычных касс иэкспресс-касс.

Моделями для расчетахарактеристик системы массового обслуживания удобно пользоваться в том случае,если входящий поток требований в систему обслуживания является простейшимпуассоновским потоком, а время обслуживания заявок распределено поэкспоненциальному закону.

Исследование потокапокупателей в зоне кассового узла показало, что для него может быть принятпуассоновский поток.

Функция распределениявремени обслуживания покупателей контролерами-кассирами являетсяэкспоненциальной, такое допущение не приводит к большим ошибкам.

Безусловный интереспредставляет анализ характеристик обслуживания потока покупателей в кассовомузле универсама, рассчитанных для трех систем: с потерями, с ожиданием исмешанного типа.

Расчеты параметровпроцесса обслуживания покупателей в кассовом узле проведены для коммерческогопредприятия торговой площадью S=650/>на основе следующих данных.

Целевая функция можетбыть записана в общем виде связи (критерия) выручки от реализации отхарактеристик СМО:

B=f />max,

где /> — кассовый узел состоитиз />=7 кассобычного типа и />=2 экспресс-касс,

всего n=9;

/> — интенсивность обслуживанияпокупателей в зоне обычных касс – 0,823 чел./мин;

/> — интенсивность нагрузки кассовыхаппаратов в зоне обычных касс – 6,65, />

/> — интенсивность обслуживанияпокупателей в зоне экспресс-касс – 2,18 чел./мин;

/> — интенсивность входящего потока взону обычных касс – 5,47 чел./мин

/> — интенсивность нагрузки кассовыхаппаратов в зоне экспресс-касс – 1,63, /> 

/> — интенсивность входящего потока взону экспресс-касс – 3,55 чел./мин;

/> — для модели СМО с ограничением надлину очереди в соответствии с проектируемой зоной кассового узла максимальнодопустимое число покупателей, стоящих в очереди в одну кассу, принимаетсяравным m=10 покупателей.

Следует заметить, что дляполучения сравнительно небольших по абсолютной величине значений вероятностипотерь заявок /> и времени ожидания покупателей вкассовом узле необходимо соблюдать следующие условия: />

В табл.6.6.3 приведенырезультаты характеристик качества функционирования СМО в зоне расчетного узла.

Расчеты проведены длянаиболее напряженного периода времени рабочего дня с 17 до 21 часа. Именно наэтот период, как показали результаты обследований, приходится около 50%однодневного потока покупателей.

Из приведенных данных втабл. 4.3 следует, что если бы для расчета была выбрана:

1)        модель сотказами, то 22,6% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, исоответственно 33,6% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, должныбыли бы уйти без покупок;

2)        модель сожиданием, то потерь заявок в расчетном узле не должно бы быть;

Табл. 4.3 Характеристикисистемы массового обслуживания покупателей в зоне расчетного узла

Тип кассы Количество касс в узле Тип СМО Характеристики СМО

Среднее число занятых касс, />

среднее время ожидания обслуживания,/>

Вероятность потери заявок,/>

Обычные кассы 7

с отказами

с ожиданием

с ограничением

на длину

очереди

5,15

6,65

6,7

3

2,66

0,226

0,0012

Экспресс-кассы 2

с отказами

с ожиданием

с ограничением

на длину

очереди

1,08

1,17

1,6

0,91

0,84

0,336

0,018

3)        модель сограничением на длину очереди, то только 0,12% потока покупателей,обслуживаемых обычными кассами, и 1,8% потока покупателей, обслуживаемыхэкспресс-кассами, покинут торговый зал без покупок. Следовательно, модель сограничением на длину очереди позволяет более точно и реально описать процессобслуживания покупателей в зоне кассового узла.

Интерес представляетсравнительный расчет мощности кассового узла как с учетом экспресс-касс, так ибез них. В табл. 4.4 приведены характеристики системы обслуживания кассовогоузла трех типоразмеров универсамов, рассчитанные по моделям для СМО сограничением на длину очереди на наиболее напряженный период рабочего дня с 17до 21 часа.

Анализ данных этойтаблицы показывает, что не учет фактора «Структура потока покупателей по типукассового обслуживания» на стадии технологического проектирования можетпривести к увеличению зоны расчетного узла на 22-33%, а отсюда соответственно ик уменьшению установочных и выставочных площадей торгово-технологическогооборудования и товарной массы, размещаемой в торговом зале.

Проблема определениямощности кассового узла представляет собой цепочку взаимосвязанныххарактеристик. Так, увеличение его мощности сокращает время покупателей на ожиданиеобслуживания, уменьшает вероятность потери требований и, следовательно, потеритоварооборота. Наряду с этим необходимо соответственно уменьшить зонусамообслуживания, фронт торгово-технологического оборудования, товарную массу вторговом зале. В то же время увеличивается затраты на заработную платуконтролеров-кассиров и оборудование дополнительных рабочих мест. Поэтому

Табл. 4.4

№ п/п Характеристики СМО Единица измерения Обозначение Показатели, рассчитанные по типам универсамов торговой площади, кв. м

 

Без экспресс-касс С учетом экспресс-касс

 

650 1000 2000 650 1000 2000

 

Обычные кассы Экспресс-кассы Обычные кассы экспресс-кассы Обычные кассы экспресс-кассы

 

1 Количество покупателей чел. k 2310 3340 6680 1460 850 2040 1300 4080 2600

 

2 Интенсивность входящего потока

чел./

мин

λ 9,64 13,9 27,9 6,08 3,55 8,55 5,41 17,1 10,8

 

3 Интенсивность обслуживания чел./мин μ 0,823 0,823 0,823 0,823 2,18 0,823 2,18 0,823 2,18

 

4 Интенсивность нагрузки - ρ 11,7 16,95 33,8 6,65 1,63 10,35 2,48 20,7 4,95

 

5 Количество кассовых аппаратов шт. n 12 17 34 7 2 11 3 21 5

 

6 Общее количество касс расчетного узла шт. ∑n 12 17 34 9 14 26 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

необходимо проводитьоптимизационные расчеты. Рассмотрим характеристики системы обслуживания вкассовом узле универсама торговой площади 650м/>, рассчитанные по моделям СМО сограниченной длиной очереди для различных мощностей его кассового узла в табл. 4.5.

На основе анализа данныхтабл. 4.5 можно сделать вывод, что по мере увеличения количества касс времяожидания покупателей в очереди растет, а затем после определенного моментарезко падает. Характер изменения графика времени ожидания покупателей /> понятен, еслипараллельно рассматривать изменение вероятности потери требования /> Вполнеочевидно, что когда мощность кассового узла чрезмерно мала, то более 85%покупателей будут уходить необслуженными, а оставшаяся часть покупателей будетобслужена за очень короткое время. Чем больше мощность кассового узла, темвероятность потери требований будет дожидаться своего обслуживания, а значит, ивремя их ожидания в очереди соответственно будет расти. После того как ожиданияи вероятность потерь будут резко уменьшаться.

Для универсама торговойплощадью 650 /> этот предел для зоны обычных касслежит между 6 и 7 кассовыми аппаратами. При 7 кассовых аппаратах соответственносреднее время ожидания – 2,66 мин, а вероятность потери заявок очень мала –0,1%. Таким образом, которая позволит получить минимальные совокупные затратына массовое обслуживание покупателей.

В связи с этим следующимэтапом решения поставленной задачи является оптимизация мощности кассового узлана базе применения моделей СМО разных типов с учетом совокупных затрат иперечисленных выше факторов.

Табл. 4.5.

Тип кассового обслуживания Количество кассовых аппаратов в узле n, шт. Характеристики системы обслуживания Средняя выручка за 1 ч. руб. Средняя потеря выручки за 1 ч. руб Число покупателей в зоне расчетного узла

Площадь зоны расчетного узла, Sy, м/>

Удель ный вес площади зоны узла 650/ Sy

Среднее время ожидания, Т/>,/>мин/>

Вероятность потери заявок Зоны Обычных касс

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1,79

3,58

5,33

7,08

8,58

9,29

2,66

0,48

0,16

0,06

0,85

0,7

0,55

0,4

0,25

0,1

0,001

205

415

623

831

1039

1371,1

1384,8

1385

1385

1385

1180

970

760

554

346

13,9

0,13

90

360

800

1420

2150

2880

890

267

53,5

20

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

0,023

0,046

0,069

0,1

0,12

0,14

0,17

0,19

0,21

0,23

Зоны экспресс-касс

1

2

3

2,38

0,84

0,1

0,39

0,002

117

188

192

75

3,8

260

179

21,3

15

30

45

0,02

0,05

0,07

Заключение

 

На основе анализа данныхтабл. 4.5 можно сделать вывод, что по мере увеличения количество касс времяожидания покупателей в очереди растет. А затем после определенного моментарезко падает. Характер изменения графика времени ожидания покупателей /> понятен, еслипараллельно рассматривать изменение вероятности потери требований /> Вполнеочевидно, что когда мощность кассового узла чрезмерно мала, то более 85%покупателей будут уходить необслуженными, а оставшаяся часть покупателей будетобслужена за очень короткое время. Чем больше мощность кассового узла. Темвероятность потери требований будет уменьшаться и соответственно тем большеечисло покупателей будет дожидаться своего обслуживания, а значит, и время ихожидания в очереди соответственно будет расти. После того как расчетный узелпревысит оптимальный мощность, время ожидания и вероятность потерь будут резкоуменьшаться.

Для универсама торговойплощадью 650 кв. метров этот предел для зоны обычных касс лежит между 6-8кассовыми аппаратами. При 7 кассовых аппаратах соответственно среднее времяожидания- 2,66 мин, а вероятность потери заявок очень мало — 0,1 %. Такимобразом, задача состоит в выборе такой мощности кассового узла, котораяпозволит получит минимальные совокупные затраты на массовое обслуживаниепокупателей.

В связи с этим следующимэтапом решения поставленной задачи является оптимизация мощности кассового узлана базе применения моделей СМО разных типов с учетом совокупных затрат иперечисленных выше факторов.