Реферат: Задача потребительского выбора.Функция потребительского предпочтения Стоуна

--PAGE_BREAK--
1.1.1. Пример решения задачи потребительского выбора.

Решим задачу потребительского выбора.

Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. продукта х1 и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид:
u
(
x
1
,
x
2
)=
x
<img width=«12» height=«36» src=«ref-2_1766450652-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
x
<img width=«12» height=«36» src=«ref-2_1766450750-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
.

Решение
.Следуя принципу решения, получаем систему уравнений:

<img width=«18» height=«83» src=«ref-2_1766450849-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1193"><img width=«14» height=«95» src=«ref-2_1766451012-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1192"><img width=«18» height=«83» src=«ref-2_1766451176-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1191"><img width=«24» height=«64» src=«ref-2_1766446795-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">=<img width=«25» height=«47» src=«ref-2_1766446944-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">,                         <img width=«79» height=«80» src=«ref-2_1766451631-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> =<img width=«25» height=«47» src=«ref-2_1766452008-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">,                  <img width=«28» height=«47» src=«ref-2_1766452149-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> =<img width=«25» height=«47» src=«ref-2_1766452008-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">,

p1x1+p2x2=240.                p1x1+p2x2=240 .                  p1x1+p2x2=240 .

Подставив, вместо х1 – 6 ед., вместо х2 – 8 ед., получим: p
1
=10руб., p
2
=22.5руб.
1.2.       
Общая модель потребительского выбора
.

Была рассмотрена модель потребительского выбора с двумя продуктами и её решение с помощью метода множителей Лагранжа. Сейчас рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом продуктов и целевой функцией общего вида.

Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя u
(
x
1
,
x
2,
…, х
n
), где хi
— количество i-го продукта, вектор цен pi
=(
p
1
,
p
2
,…,
pn
) и доход Q. Записав бюджетное ограничение и ограничение на неотрицательность, получаем задачу

u
(
x
)→
max                                               (5.2)

                                     при условии   px
≤
Q
,
x
≥0

(здесь x
=(
x
1
,
x
2,
…, х
n
),
p
=(p
1
,
p
2
,…,
pn
),
px
=(p
1
x
1
+…+
pnxn
)).

Будем считать, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать её на безусловный экстремум:

L
(
x
,λ)= u
(
x
)+ λ (px
-
Q
).

 Необходимое условие экстремума – равенство нулю частных производных: L<img width=«14» height=«25» src=«ref-2_1766452446-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">
=
u<img width=«8» height=«25» src=«ref-2_1766452527-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">
+λpi
=0для всех i
<img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1766452608-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">
[1;
n
]и L
<img width=«11» height=«25» src=«ref-2_1766446548-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
=
px
-
Q
=0.Отсюда вытекает, что для всех iв точке х<img width=«9» height=«24» src=«ref-2_1766442896-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> рыночного равновесия выполняется равенство:

<img width=«60» height=«51» src=«ref-2_1766452864-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">
 ,                                               (5.3)

которое получается после перенесения вторых слагаемых, необходимых условий в правую часть и делением i-го равенства на j-ое. Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух продуктов равно отношению их рыночных цен. Равенство (5.3) можно переписать и в другой форме:

<img width=«61» height=«52» src=«ref-2_1766453093-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">
                                                (5.4)

Это означает, что полезность, приходящаяся на единицу денежных затрат, в точке оптимума одинаковая по всем видам благ. Если бы это было не так, то, по крайней мере, одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции полезности) потребителя. Если для некоторых i, j  существует неравенство: 

<img width=«61» height=«52» src=«ref-2_1766453325-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
,

то некоторое количество денег можно было бы перераспределить от i–го продукта к j-му, увеличив уровень благосостояния.
2. Функция потребительского предпочтения Стоуна.

     Выведем теперь функцию спроса для конкретной функции потребительского предпочтения, называемой функцией Р.Стоуна. Эта функция имеет вид:

u
(
x
)=
<img width=«92» height=«45» src=«ref-2_1766453564-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">
→
max

,    где                          (5.5)

а
i– минимально необходимое количество i-го продукта, которое     приобретается в любом случае и не является предметом выбора.

     Для того чтобы набор {ai
}мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход Qбыл больше <img width=«52» height=«36» src=«ref-2_1766453869-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">(количества денег), требуемого для покупки этого набора. Коэффициенты степени аi
>0характеризуют относительную «ценность» продуктов для потребителя.

Добавив к целевой функции (5.5) бюджетные ограничения:

                                      <img width=«52» height=«36» src=«ref-2_1766453869-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">≤Q,

                                       хi≥0,

получим задачу, называемую моделью Стоуна. Как было сказано на стр. 6, бюджетное ограничение должно обращаться в равенство. Составим функцию Лагранжа:

                 L
(
x
1
,
x
2,
…, х
n
,λ)= u
(
x
)+ λ (
p
1
x
1
+…+
pnxn

–
Q
).
Найдём частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю:

                L
<img width=«13» height=«27» src=«ref-2_1766441748-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
= a1(x1-a1)
<img width=«32» height=«24» src=«ref-2_1766454522-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

∙(x2-a2)
<img width=«20» height=«23» src=«ref-2_1766454650-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">

∙…∙(xn-an)
<img width=«21» height=«24» src=«ref-2_1766454752-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

+
λ
p1.



Аналогично получаем остальные частные производные, т.е.:

L
<img width=«13» height=«27» src=«ref-2_1766454853-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
=
<img width=«12» height=«23» src=«ref-2_1766440987-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">
<img width=«49» height=«47» src=«ref-2_1766455043-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
+ λ
pi
=0, где i=<img width=«27» height=«25» src=«ref-2_1766455268-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">.

Выразив xi
,получим:

                  xi
=
ai
-
<img width=«49» height=«47» src=«ref-2_1766455383-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
    ,                                                              (5.6)

                                      
L<img width=«11» height=«25» src=«ref-2_1766446548-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">=<img width=«52» height=«36» src=«ref-2_1766453869-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">-Q
=0.

 Умножив каждое из равенств (5.6) на λpiи просуммировав их по i, имеем:

<img width=«219» height=«45» src=«ref-2_1766455959-709.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">=0                            (5.7).

Поскольку в точке оптимума бюджетное ограничение выполняется как равенство, заменим   <img width=«52» height=«36» src=«ref-2_1766456668-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> на Q, получим:

                                            <img width=«175» height=«36» src=«ref-2_1766456935-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">=0.

 Поделив на λ, получим:

                                            <img width=«69» height=«55» src=«ref-2_1766457465-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">=-(Q
-<img width=«52» height=«36» src=«ref-2_1766453869-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">).

Откуда:

                                             <img width=«140» height=«69» src=«ref-2_1766458094-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> .
 Полученное выражение подставляем в равенство (5.6):

xi
=
ai
+
<img width=«112» height=«75» src=«ref-2_1766458668-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
.                                        (5.8)

Т.е. вначале приобретается минимально необходимое количество продукта ai
.Затем рассчитывается сумма денег, остающаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_1766459238-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
i. Разделив количество денег на ценуpi, получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i— продукта и добавляем его к аi.                                                   [1]
                                         Заключение

В работе приводится задача потребительского выбора, решение которой сводится к решению задач на условный экстремум. Также рассмотрен частный случай задачи потребительского выбора — модель Стоуна.

Мною были решены задачи на условный экстремум методом подстановки и методом множителей Лагранжа,  задача потребительского выбора.

Я считаю, что знание этой темы может пригодиться не только экономистам и людям, специально занимающимся этой наукой, но и ненаучным работникам, т.к. в жизни часто приходится сталкиваться с решением подобного рода задач.




Список использованной литературы:

1.     Замков, О.О. Математические методы в экономике: Учебник/ Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича/  О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; МГУ им. Ломоносова.-3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2001

2.     Красс, М.С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учебник. – 3-е изд. – М.: Дело,2002

3.     Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н Фридман. — М.: ЮНИТИ, 2002.

4.     Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банкиибиржи, ЮНИТИ,1997.

5.     Малыхин, В.И. Математика в экономике: Учебное пособие.- М.:ИНФРА — Москва, 2002.


6.     Симонов, А.В. Об одном приложении производной к решению экономических задач/ А.С. Симонов, Н.Г. Игнатьев// математика в школе №9, 2001

7.     Сборник задач и упражнений по высшей математике: мат. программирование: Учеб. Пособие/ А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; Под. общ. ред. А.В. Кузнецова – Мн.: Выш. шк., 2002


8.     Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под. ред. В.И. Ермакова.- М.: Инфра– Москва, 2002.

9.     Сборник задач по микроэкономике. К «Курсу микроэкономики» Р.М. Нуреева/ Гл. ред. д.э.н., проф. Р.М. Нуреев. – М.: Норма, 2003


10.Фихтенгольц, Г.М. основы математического анализа. Часть 1. 4-е изд. – СПб: издательство «Лань», 2002.

11. Онегов, В.А. Исследование операций. Задачи, методы, алгоритмы. – Киров: ВГПУ, 2001.     
Приложение

Реализация модели Стоуна в системе
MathCAD


Общий случай:

         Обозначим минимально необходимое количество благ за А:

1)  А<I,

При заданных параметрах а, α, р и I мы определим оптимальный набор (<img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1766459326-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">,<img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1766459432-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">) и значение функции полезности в этой точке (х1, х2,U):


Получим оптимальное значение при потребительском наборе (4,3;8,5), что означает приобретение индивидом 4,3 единицы первого блага и 8,5 единиц второго блага (минимально необходимое количество благ равно 1 и 3 единицам). При данном соотношении достигается максимальное значение функции предпочтения Стоуна – 3,75 единиц.

Построим графическую интерпретацию модели Стоуна на основании начальных данных, вычисленного значенияUи теоретических формул для линии безразличия и бюджетной линии:






<img width=«342» height=«236» src=«ref-2_1766463914-1795.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">
2) А=I,


Отсюда следует, что дохода индивида достаточно только для приобретения минимально необходимого ему количества благ. Дальнейшее приобретение благ в соответствии с коэффициентом предпочтения невозможно.

3) А>I,


Из этих расчетов видно, что дохода индивида в данном случае не хватит на приобретение самого необходимого.    продолжение
--PAGE_BREAK--