Реферат: Перевірка статистичних гіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу
Перевірка статистичнихгіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу
1 Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей
Ця задача виникає в метрології при порівнянні точності приладів. Крімтого, умова рівності дисперсій чи їхньої незмінності в процесі дослідженнялежить в основі багатьох задач перевірки гіпотез про порівняння іншихпараметрів (математичного сподівання, коефіцієнтів кореляції та ін.).
Нехай генеральні сукупності /> і /> розподілені нормально. По незалежнихвибірках, узятих з цих сукупностей, з обсягами, які дорівнюють відповідно /> і />, знайденовиправлені вибіркові дисперсії /> і />. Необхідно за цимихарактеристиками при заданому рівні значущості /> перевірити нульову гіпотезу проте, що генеральні дисперсії даних сукупностей дорівнюють одна одній:
/> : />.
Оскільки виправлені дисперсії є незміщеними оцінками генеральних дисперсій,тобто />, />, нульовугіпотезу можна переписати також у такому вигляді:
/> : />.
У якості критерію перевірки нульової гіпотези про рівність генеральнихдисперсій візьмемо відношення виправлених дисперсій, тобто таку випадкову величину:
/>. (1)
Можна впевнитися, що величина F за умови справедливості нульової гіпотезимає розподіл Снедекора – Фішера (9) з /> і /> ступенями волі.
Таким чином, маємо нульову гіпотезу />: /> і конкуруючу гіпотезу />: />. У цьомувипадку критична область при заданому рівні значимості /> є двосторонньою, обумовленоюсукупністю співвідношень:
/> (2)
Однак, можна показати, що якщо чисельник відносини (1), що визначаєвипадкову величину />, більше знаменника, тобто якщо />>/>і />, то першунерівність з /> перевіряти не потрібно, тому щовона виконується автоматично при невеликих рівнях значимості />, що звичайнозастосовують. При цьому перевірка гіпотези /> зводиться до перевірки тількидругої нерівності з />. Це проводиться наступним чином:по таблиці критичних точок розподілу Снедекора – Фишера з /> і /> ступенями волі привибраному рівні значимості /> відповідно (2) знаходять значеннявеличини />.Далі, якщо /></>, немає причинвідкинути нульову гіпотезу, якщо />>/>– нульову гіпотезу відкидають.
2 Порівняння виправленої вибірковоїдисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією нормальної сукупності
Ця задача виникає в метрології підчас перевірки точності роботи приладів, інструментів щодо припустимиххарактеристик розсіювання.
Нехай генеральна сукупність розподілена нормально, причому генеральнадисперсія /> встановленатеоретично або на основі попередніх досліджень. Потрібно перевірити її значенняна основі виправленої дисперсії /> з /> ступенями волі, яку отримано завибіркою обсягу />.
З огляду на те, що /> є незміщеною оцінкою генеральноїдисперсії, нульову гіпотезу можна переписати ще так:
/>: />.
У якості критерію перевірки нульової гіпотези тепер доцільно взяти випадковувеличину />,що, як можна показати, має розподіл />, тому і має таке позначення. Приконкуруючій гіпотезі />: /> критична область при заданомурівні значимості />, як і в попередньому випадку, єдвосторонньою і визначається сукупністю співвідношень:
дісперсія генеральний сукупність
/> (3)
У таблиці критичних точок розподілу />, також як і для />-розподілу раніше,зазначено лише праві критичні точки. Але на відміну від попередньої задачі тутнеобхідно врахувати обидві умови (3). Для цього ми застосуємо більш універсальнийприйом, придатний в обох випадках. Він заснований на очевидній рівності:
/>.
Використовуючи її, ліву критичну точку можна шукати, так само, як і праву.
Для перевірки нульової гіпотези необхідно обчислити значення критерію, />, щоспостерігається, і знайти ліву та праву критичні точки />, />, відповідно.
Якщо при цьому, /> – немає причин відкинути нульовугіпотезу, її приймають. Якщо /> чи /> – нульову гіпотезу відкидають.
3 Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсіїяких відомі (незалежні вибірки)
Нехай генеральні сукупності /> і /> розподілені нормально, причомуїхні дисперсії відомі (з попереднього досвіду чи теоретично). По незалежнихвибірках, обсяги яких дорівнюють відповідно /> і />/>, взятих з цих сукупностей,знайдено вибіркові середні /> і />.
Потрібно з вибіркових середніх при заданому рівні значущості /> перевіритинульову гіпотезу про те, що генеральні середні (математичні сподівання)розглянутих сукупностей рівні між собою, тобто:
/> : />.
Конкуруючою гіпотезою є />: />.
З огляду на те, що вибіркові середні є незміщеними оцінками генеральнихсередніх, тобто /> і />, нульову гіпотезу можна записатище інакше:
/> : />.
У якості критерію перевірки нульової гіпотези візьмемо випадкову величину
/>, (4)
яка є нормованою нормальною розподіленою випадковою величиною [2].
Двосторонню критичну область будуємо, виходячи з вимоги, щоб імовірністьвлучення критерію в цю область у припущенні справедливості нульової гіпотезидорівнювала б прийнятому рівню значущості />.
Можна показати, що найбільша потужність критерію досягається при рівностіймовірностей улучення критерію в кожний із двох інтервалів критичної області, тобтопри
/> , />.
Із симетрії нормованої нормальної величини випливає симетрія і критичнихточок, тобто />. Тому для визначеннядвосторонньої критичної області досить знайти праву границю /> її області,використовуючи функцію Лапласа і таблицю її значень за формулою:
/>
чи
/>.
Далі треба обчислити значення критерію, що спостерігається
/>.
Якщо виявиться, що />, то причин відкинути нульовугіпотезу немає і її приймають, у противному випадку (/>) – нульову гіпотезу відкидають.
4 Порівняння двох середніх довільнорозподілених генеральних сукупностей (великі незалежні вибірки)
У попередній задачі передбачалося, щогенеральні сукупності /> і /> розподілені нормально, а їхнідисперсії відомі. Тільки при всіх цих припущеннях у випадку справедливостінульової гіпотези про рівність середніх у незалежних вибірках критерій /> (4) єнормальною нормованою величиною. Під час невиконання хоча б однієї з цих умовметод порівняння середніх, що розроблено під час розв’язання попередньоїзадачі, є неприйнятним.
Однак, якщо незалежні вибірки мають великий обсяг (/>30), можна показати, щовибіркові середні розподілені приблизно нормально, а вибіркові дисперсії /> і /> є доситьгарними оцінками генеральних дисперсій, тому їх можна вважати приблизновідомими. Відповідно, критерій
/>,
що є аналогом критерію (4), має приблизно нормальний розподіл з параметрами/> (за умовисправедливості нульової гіпотези) і /> (якщо вибірки незалежні). Тому вцьому випадку можна застосувати метод, розвинутий під час вирішення попередньоїзадачі, замінивши точний критерій /> наближеним критерієм />.
5 Порівняння двох середніх нормальнихгенеральних сукупностей, дисперсії яких невідомі й однакові (малі незалежнівибірки)
Нехай генеральні сукупності /> і /> розподіленінормально, причому їхні дисперсії невідомі. Наприклад, по вибірках малогообсягу не можна одержати гарні оцінки генеральних дисперсій. Тому не можназастосувати метод порівняння середніх, викладений раніше.
Однак якщо додатково припустити, що невідомі генеральні дисперсії є рівнимиміж собою, то можна побудувати критерій (Стьюдента) порівняння середніх.Наприклад, якщо порівнюються середні розміри двох партій деталей, виготовленихна тому ж самому верстаті, то логічно допустити, що дисперсії розмірів, якіконтролюються, є однаковими.
Якщо ж немає причин вважати, що дисперсії однакові, то, перш ніж порівнюватисередні, необхідно за допомогою критерія Снедекора-Фішера (1) попередньоперевірити гіпотезу про рівність генеральних дисперсій.
Далі в припущенні, що генеральні дисперсії однакові, перевіримо нульовугіпотезу />:/>. Тобтовстановимо, значимо чи незначимо розрізняються вибіркові середні /> і />, що знайдені понезалежних малих вибірках з обсягами /> і />.
Для перевірки нульової гіпотези у якості критерію застосуємо випадковувеличину
/> ,
що, як доведено [5], при справедливості нульової гіпотези має />-розподілСтьюдента з /> ступенямиволі.
Під час перевірки нульової гіпотези з конкуруючою гіпотезою />: /> критичнаобласть має двосторонній характер. Її будують, виходячи з вимоги, щобймовірність влучення критерію Т в цю область у припущенні справедливостінульової гіпотези дорівнювала б прийнятому рівню значущості />.
Можна показати, що найбільша потужність критерію досягається при рівностіймовірностей влучення критерію в кожний із двох інтервалів критичної області,тобто при
/> , />.
Із симетрії />-розподілу Стьюдента випливаєсиметрія і критичних точок, тобто />. Тому для визначення двосторонньоїкритичної області досить знайти праву границю /> її області в таблиці критичнихточок розподілу Стьюдента при заданому рівні значущості. Зі знайденим такимспособом значенням /> зіставимо значення критерію, щоспостерігається:
/>.
Якщо />,немає причин відкинути нульову гіпотезу, її приймають, у разі /> – нульову гіпотезувідкидають.
6 Порівняння вибіркової середньої згіпотетичною генеральною середньою нормальної сукупності (при відомійгенеральній дисперсії)
Нехай генеральна сукупність /> розподіленанормально з дисперсією />, причому невідома генеральнасередня /> приблизнодорівнює значенню />.
Потрібно по вибірковій середній />, що отримано з вибірки обсягом />, при заданомурівні значущості /> перевірити нульову гіпотезу />: /> про рівністьгенеральної середньої /> гіпотетичному значенню />. Конкуруючу гіпотезувізьмемо у вигляді: />.
З огляду на те, що вибіркова середня є незміщеною оцінкою генеральноїсередньої, тобто />, нульову гіпотезу можна переписатиу вигляді: />.
У якості критерію перевірки нульової гіпотези візьмемо таку випадкову величину
/>,
яку можна показати, при справедливості нульової гіпотези, є нормованою нормальноювеличиною.
Далі обчислюємо значення критерію, що спостерігається:
/> (5)
і по таблиці Лапласа знаходимо критичну точку двосторонньої критичноїобласті зі співвідношення
/>.
Якщо /> –немає причин, щоб відкинути нульову гіпотезу; при /> – нульову гіпотезу відкидають.
7 Порівняння вибіркової середньої з гіпотетичною генеральною середньоюнормальної сукупності (при невідомій генеральній дисперсії)
У випадку невідомої генеральної дисперсії у якості критерію перевіркинульової гіпотези />: /> при конкуруючій гіпотезі /> приймаютьвипадкову величину
/>,
де /> –«виправлене» середнє квадратичне відхилення. Можна показати, щовеличина /> підкоряється/>-розподілуСтьюдента з /> ступенямиволі.
Критична область будується так само, як описано вище. Далі обчислюєтьсязначення критерію, що спостерігається:
/> (6)
та по таблиці критичних точок розподілу Стьюдента при заданому рівнізначущості /> ічислі ступенів волі /> знаходиться критична точка /> увідповідності до умови />.
Якщо /> –немає причин відкинути нульову гіпотезу і її приймають; при /> нульову гіпотезувідкидають.
8 Зв'язок між двосторонньою критичноюобластю і довірчим інтервалом
Очевидно, що під час побудовидвосторонньої критичної області при заданому рівні значущості /> попутно визначається івідповідний довірчий інтервал для значень, що приймаються випадковою величиноюз надійністю />. Перевірка нульової гіпотези />: /> при />: /> проводилася наоснові умови, що ймовірність влучення критерію /> в двосторонню критичну областьдорівнювала б рівню значущості />, отже, ймовірність влученнякритерію в область прийняття гіпотези /> дорівнює />. Тобто з надійністю /> виконуєтьсянерівність
/>,
або рівносильна їй нерівність
/>, (7)
де /> визначається з рівності />.
Подвійна нерівність (7) є довірчимінтервалом для оцінки математичного сподівання /> нормального розподілу привідомому /> ізнадійністю />.
9 Визначення мінімального обсягувибірки при порівнянні вибіркової і гіпотетичної генеральної середніх
Дуже важливою практичною задачею є визначеннямінімального обсягу вибірки, що є необхідним для одержання на її основіобґрунтованих висновків щодо генеральної середньої з наперед заданою точністю /> (її смисл –гранична величина різниці між вибірковою і гіпотетичною генеральною середніми).
Наприклад, звичайно потрібно, щоб середній розмір виготовлених деталейвідрізнявся від номінального розміру не більше ніж на задану величину />. Дляпроведення контролю з партії виготовлених деталей (генеральна сукупність)відбирається вибірка. Треба з'ясувати, яким має бути мінімальний обсяг цієївибірки, в якій відсутні браковані деталі, щоб з ймовірністю />, де /> – рівень значущості,гарантувати, що і в усій партії їх зовсім немає?
Як показано в попередньому пункті, задача визначення довірчого інтервалудля оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому /> і задачавідшукання двосторонньої критичної області для перевірки гіпотези про рівністьвибіркової середньої гіпотетичній генеральній середній нормальної сукупностізводяться одна до одної. Тому з формули (5) при заміні /> на /> та /> на /> випливає, що мінімальний обсягвибірки має дорівнювати:
/> ,
де /> знаходитьсяз рівності />.
При невідомому /> аналогічно скористаємося формулою(6), замінюючи /> на />. Тоді:
/>.