Реферат: Анализ данных в линейной регрессионной модели

Государственное образовательное учреждение высшего профессиональногообразования

«Московский государственный институт электронной технки

(технический универститет)»

Курсовая работа

по дисциплине

«Теория вероятности и математическая статистика»

Тема работы

«Анализ данных в линейной регрессионной модели»

Выполнил:

Студентгруппы ЭКТ-21

РыжовС.А.

Проверил:

Преподаватель

БардушкинаИ. В.

Москва — 2010

Вариант20.

Задание1

Выполнитьпредварительную обработку результатов наблюдений, включающую:

1 построениедиаграммы рассеивания (корреляционного поля);

2 группировкуданных и построение корреляционной таблицы;

3 оценку числовыххарактеристик для негруппированных и группированных данных.

Оценка числовыххарактеристик для негруппированных данных:

X Y X Y 4,19 9,19 4,44 9,13 3,04 11,94 11,31 4,58 4,6 8,09 7,57 3,14 9,83 10,33 1,62 14,61 8,66 7,15 5,71 6,48 1,3 12,34 11,06 6,78 4,22 16,35 10,35 2,15 5,11 7,7 2,46 9,66 9,85 5,64 1,02 11,19 8,8 4,52 5,77 7,77 12,17 4,52 8,63 4,05 11,25 2,06 6,91 4,76 5,73 7,41 3,56 8,54 4,05 10,51 9,47 2,22 5,41 9,97 6,16 3,72 1,28 14,68 8,26 3,57 1,67 9,67 6,7 14,32 11,99 3,31 4,95 10,64 7,66 5,93 3,37 10,73 5,17 9,87 1,53 10,13 3,26 11,52 9,54 4,95 12,58 2,88 3,11 5,38 8,34 3,57 5,09 5,79 5,79 4,39 11,08 3,87 3,42 9,71 8,74 -2,23 Сумма X 317.78 Сумма Y 369,18

6,3556

7,3836

s2X

11,02005

s2Y

15,31479

KXY

-9,1594

ρXY

-0,7194

Числовые характеристикидля негруппированной выборки находятся по следующим формулам:

/>, />;

/>;

Построениекорреляционного поля:

Построение корреляционнойтаблицы:

Таблица 1.1

-1.5 1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5

ni.

2.5 1 1 8 3 13 5.5 4 5 6 1 1 17 8.5 1 1 8 1 1 12 11.5 3 4 1 8

nj.

1 4 17 8 15 4 1 50

Оценка числовых характеристикдля группированных данных:

/>, />;

/>;

/>, />;

/>;

/> = — 0.87

Задание 2

Для негруппированныхданных проверить гипотезу /> об отсуствии линейной статистическойсвязи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе />( уровень значимости α = 0,05);

Выборочное значениестатистики равно

/>,

Используя средства Matlab, найдем

Так как выборочноезначение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза Hотклоняется в сторону гипотезы H1. Корреляция значима.

Задание 3

Для негруппированыхданных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициентакорреляции ρX,Y, при уровне значимости α = 0,05.

Используя средства Matlab, найдем

/>, />

Задание 4

Для негруппированных игруппированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.

Рассмотрим вначале случайнегруппированных данных.

Этот интервал не содержитнуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляциямежду X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.

/>, />

y(x) = 12,77 – 0,848*x;

x(y) = 10,86 – 0,6*y;

Проверка.

/>, />.

/>, />;

/>, />

/>, />;

Случай группированныхданных.

Подставим найденныезначения /> вуравнеиня линейной регрессии Yна x и X на y. Получим:

y(x) = 17,14 – 1,4*x;

x(y) = 10,83 – 0,54*y;

Проверка: />

Задание 5

Для негруппированныхданных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграммурассеивания.

Задание 6

Для негруппированныхданных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s2 для дисперсии ошибок наблюдений σ2, найти коэффициент детерминации R2, построить доверительные интервалыдля параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ2 и среднего значения Y при x = x0 .

Для негруппированныхданных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентоврегрессии: />, />, />, />, />, />, />, />.

Используя соотношение />, вычислимостаточную сумму />

/>;

/>.

/>;

Тогда оценка дисперсииошибок наблюдений равна

/>.

Коэффициент детерминацииравен

/>.

Поскольку />(знак />)/>, то сделаем проверкуправильности расчетов:

/>(верно).

Полученный результат длякоэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии /> на 49,7% объясняетобщий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой />.

Построим доверительныеинтервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.

С помощью Matlab найдем квантили распределенийСтьюдента и />:

/>, />, />;

– доверительный интервалдля параметра />:

/>;

– доверительный интервалдля параметра />:

/>;

– доверительный интервалдля дисперсии ошибок наблюдений />:

/>;

/>.

-Найдем границыдоверительных интервалов для среднего значения /> при />:

/>;

/>.

Задание 7. Для негруппированных данныхпроверить значимость линейной регрессии Y на x(уровень значимости α= 0,05).

Гипотеза />: /> отклоняется на уровнезначимости />,так как доверительный интервал /> не накрывает нуль сдоверительной вероятностью 0,95.

Этот же результат можнополучить, используя для проверки гипотезу />: /> и статистику />.

С помощью Matlab найдем квантили распределенияФишера:

/>, />.

Выборочное значениестатистики /> равно:

/>.

Поскольку />/>, то гипотеза />: /> отклоняется на уровнезначимости />.Таким образом, линейная регрессия /> на /> статистически значима.

Задание №8

Для данных,сгруппированных только по />, проверить адекватность линейнойрегрессии /> на/> (уровеньзначимости />).

Для проверки адекватностивоспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интерваловгруппировки />,/>, являютсязначениями компоненты />. Тогда число /> повторных наблюденийравно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы

Таблица 1.2

2,5 5,5 8,5 11,5

11,94

12,34

14,68

9,87

11,52

9,71

14,61

9,66

11,19

8,54

10,73

10,13

5,38

9,19

8,09

16,35

7,70

7,41

10,51

9,97

9,87

4,39

6,48

7,77

4,76

3,72

14,32

10,64

5,79

9,13

10,33

7,15

5,64

4,52

3,57

3,14

4,05

2,22

3,57

4,95

-2,23

4,52

2,06

3,11

2,88

4,58

6,78

2,15

3,87

13 17 12 8

10,79 8,59 9,65 3,74

Для удобства расчетов впоследней строке таблицы приведены средние значения />, />.

/>.

Получим уравнениевыборочной линейной регрессии /> на /> для данных, сгруппированных по />:

/>;

/>, />, />, />, />;

y(x) = 8,29 – 0,9x.

/>;

/>.

Выборочное значениестатистики /> равно

/>.

Так как квантильраспределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен

/>3,19,

то />, а значит, линейнаярегрессия /> на/> дляданных, сгруппированных по />, адекватна результатамнаблюдений.

Задание 9. Для негруппированных данных проверитьгипотезу />:/>приальтернативной гипотезе />:/>(уровень значимости />)

Имеются следующиевеличины: />, />,, />, />.

Сначала проверяетсягипотеза />:/>,альтернативная гипотеза />:/>.

Статистика равна

/> = 1,931

С помощью средств Matlab, найдем:

F0,975 (n-1; n-1)=F0,975(49,49) = 1.7622

z > F0,975 (n-1;n-1),

следовательно/>отклоняется, азначит что />

Теперь можно проверитьгипотезу, />:/>, приальтернативной гипотезе />:/>.

Т.к. />, статистика имеет вид

/> = 1,418

Найдем количество степенейсвободы

/>≈3,625

С помощью средств Matlab, найдем:

z < />, значит нет оснований отклонятьгипотезу />:/>.

Приложение

A = [4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.411.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.7111.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.539.54 3.11 5.09 11.08 8.74;

9.19 11.94 8.0910.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.315.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.6611.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.793.87 -2.23]

x =A(1,:);

y =A(2,:);

Mx = mean(x)

Dx = var(x,1)

My = mean(y)

Dy = var(y,1)

plot(x,y,'g*')

grid on

hold on

axis([1 13 -3 18]);

gca1 = gca;

set(gca1,'xtick',[1 4 7 10 13],'ytick',[-3 0 3 6 9 12 15 18]);