Реферат: Основы экономики

Содержание

1.Задача 1

2.Задача 2

3.Задача 3

4.Задача 4

5.Задача 5

/>1. Задача 1

Для изготовления продукции двух видовА и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получаетдоход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции,запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручкиот реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов Норма затрат на

Объем

ресурса

Продукт А Продукт В Сырье (кг) 1 4 314 Оборудование (ст.час.) 3 5 535 Трудоресурсы(чел.час.) 2 4 368 Цена реализации (руб.) 165 456

Задачапредприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающуюполучение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Построитьматематическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в формезадачи линейного программирования.

2. Используя графическийметод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программувыпуска продукции.

3. Записать задачу,двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

4. Используя условия «дополняющейнежесткости», найти оптимальное решение двойственной задачи.

5. Привести экономическуюинтерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

6. Провести графический анализустойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельнойполезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимостьмаксимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить графики этихфункций.

Решение.

1.1 В нашей задаченеобходимо определить месячные объемы выпуска продукции вида А и Б. Обозначимэти объемы как переменные модели:

х1 – месячныйобъем выпуска продукции А,

х2 – месячныйобъем выпуска продукции Б.

Используя данные таблицы,получим:

расход сырья = х1+4х2,

затраты времени работыоборудования = 3х1 + 5х2,

затраты рабочего времени= 2х1 + 4х2.

Так как ежемесячныйрасход ресурсов не может превышать их максимально возможный месячный размер, тоимеем ограничения

х1 + 4х2 £ 314

3х1 +5 х2 £ 535

2х1 + 4х2 £ 368

Еще одно неявноеограничение состоит в том, что переменные х1 и х2 должныбыть неотрицательны, т.е. х1 ³0, х2³0.

Целевая функция моделидолжна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере этополучение максимальной выручки от реализации произведенной в течении месяцапродукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то Z = 106х1 + 181х2, а основная цель предприятия может быть выражена так:

Максимизировать целевуюфункцию Z=165х1 + 456х2,

Перепишем это условие вследующей форме: Z = 165х1+ 456х2® max.

Таким образом, математическая модельоптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде. Найти неизвестные значения переменных х1 и х2,удовлетворяющие ограничениям

х1 + 4х2 £ 314

3х1 +5 х2 £ 535

2х1 + 4х2 £ 368

х1 ³0, х2³0

и доставляющихмаксимальное значение целевой функции Z = 165х1 + 456х2® max.

Построенная модель является задачейлинейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели,называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значениецелевой функции, называется оптимальным.

1.2 Нахождение оптимальнойпроизводственной программы выпуска продукции. Решение задачи линейного программирования с двумя переменными может бытьполучено графическим способом.

Построим множество допустимых решенийили область допустимых решений. Проводим перпендикулярные оси координат:горизонтальная – ось Ох1, вертикальная — Ох2. Условиянеотрицательности переменных х1 ³0, х2³0 показывают, что область допустимых решений будет лежать впервом квадранте системы координат. Для изображения на плоскости множестваточек, координаты которых удовлетворяют оставшимся ограничениям модели,рассмотрим уравнения, получаемые из неравенств модели заменой знака "£" на знак "=". Врезультате такой замены получим три линейных уравнения прямых:

х1 + 4х2 = 314

(1)

3х1 +5 х2 = 535

(2)

2х1 + 4х2 = 368

(3)

х1 ³0, х2³0

Для того, чтобы провестина плоскости прямую линию, достаточно знать любые две различные точки, лежащиена этой прямой. Рассмотрим уравнение первой прямой. Если положить х1= 0, то х2 =78,5, а при х2 = 0, х1 = 314.Обозначим эту прямую как линия (1).

Прямая (2) проходит черезточки с координатами (0;107) и (178,3;0).

Прямая (3) проходит черезточки с координатами (0;92) и (184;0).

Каждая прямая делитплоскость на две полуплоскости. Точки расположенные по одну сторону прямой,удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки, расположенные по другуюсторону, не удовлетворяют. Для того, чтобы определить искомую полуплоскость,выбирается некоторая «тестовая» точка и ее координаты подставляются влевую часть неравенства. Если для этой точки неравенство выполняется, то оналежит в искомой полуплоскости, т.е. все точки этой полуплоскости удовлетворяютнеравенству модели. Если же для «тестовой» точки неравенство невыполняется, то искомой будет та полуплоскость, которая не содержит эту точку.Взяв в качестве «тестовой» точку с координатами (0;0), убеждаемся,что она удовлетворяет всем неравенствам модели.

Следовательно, всеполуплоскости, соответствующие неравенствам модели, содержат точку (0,0).

/>

Точки множествадопустимых решений должны удовлетворять всем ограничениям. Следовательно,множество допустимых решений является пересечением всех допустимыхполуплоскостей и представляет собой многоугольник АВСDО. Любая точка, расположенная внутри этого многоугольника илина любом отрезке его границы, является допустимым решением, т.е. удовлетворяетвсем ограничениям модели.

Для нахожденияоптимального решения задачи необходимо определить направление возрастанияцелевой функции.

Вектор, компонентыкоторого являются коэффициентами целевой функции при переменных х1 их2, называют вектором – градиентом целевой функции и обозначают grad Z. Целевая функция может возрастать дотех пор, пока линии уровня соответствующие возрастающим значениям этой функции,пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимыхрешений и линии уровня, соответствующей максимально возможному значению целевойфункции, и будет точкой максимума. Нарисунке видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей напересечении прямых (1) и (3). Поэтому ее координаты находим как решение системылинейных уравнений, задающих эти прямые:

х1 + 4х2 = 314

2х1 + 4х2 = 368

Решая эту систему находимх1* = 54, х2*= 65. При этом значение целевой функции Z = 165х1* + 462х2*= 38550. Полученное решение означает, чтопредприятию необходимо ежемесячно производить 54 единиц продукции А и 65 единицпродукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку в размере 38550рублей.

1.3 Построение двойственнойзадачи. Найти неизвестные значения переменныхu1, u2, u3, удовлетворяющих ограничениям:

u1 + 3u2 + 2u3 ³ 165

4u1 + 5u2 + 4u3 ³ 456

u1 ³0, u2 ³0, u3 ³ 0

и доставляющихминимальное значение целевой функции

W = 314u1 + 535u2 + 368u3 ® min.

1.4 Нахождениеоптимального решения двойственной задачи. Для рассматриваемой нами задачи условия «дополнительнойнежесткости» имеют вид:

u1 (314- x1 — 4x2 )= 0 x1(u1 + 3u2+ 2u3 — 165)= 0

u2(535- 3x1 – 5x2)= 0 x2(4u1 + 5u2+ 4u3 — 456) = 0

u3(368- 2x1 – 4x2)= 0 u1 ³0, u2 ³0, u3 ³ 0,

Подставляя в нихнайденные значения х1* = 54, х2*= 65, получим:

так как х1* =54, то u1 + 3u2 + 2u3 — 165= 0

так как х2* =65, то 4u1 + 5u2 + 4u3 — 456= 0

так как 535 — 3x1 – 5x2¹0, то u2*= 0.

Получаем системууравнений: u1 + 3u2 + 2u3 — 165= 0; 4u1 + 5u2 + 4u3 — 456= 0; u2=0

Решая эту систему,находим оптимальные значения переменных двойственной задачи: u1* = 63, u2* = 0, u3* = 51

Вычислим оптимальноезначение целевой функции двойственной задачи: W = 314 × 63 + 535 × 0 + 368× 51 =38550, т.е. Z* = W*, что соответствует первой теоремедвойственности.

1.5 Экономическаяинтерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи. Для исследуемой задачи оптимизациипроизводственной программы получим

u1 – стоимостная оценка сырья, ее размерность [руб./1 кгсырья];

u2 – стоимостная оценка времени работы оборудования, ееразмерность [руб./1 ст.час];

u3 – стоимостная оценка трудовых ресурсов, [руб./1чел.-час];

u1* = 63 означает, что при изменении количества сырья с 63стан.-час до 63 + Δs,изменение максимальной суммарной выручки составит u1* Δs(руб.) = 63Δs (руб).

u2* = 0 означает, что ни увеличение, ни уменьшениемесячного количества оборудования не приведет к изменению оптимального значениясуммарной выручки .

u3* = 51 означает, при изменении месячного размератрудоресурсов с 51 стан.-час до 51 + Δt, изменение максимальной суммарной выручки составит u3* Δt(руб.) = 51Δt (руб).

1.6 Графический анализустойчивости сырья

/>

Количество используемогосырья S=х1 + 42 .

Если SÎ[0; S(D)], то точкоймаксимума является точка E(0; x1) пересечения оси Ох1 и прямой ограниченияпо сырью (1).

Если SÎ[S(D); S(C)], то точкой максимума являетсяточка R(x1; x2) отрезка DC пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (2)

Если SÎ[S(C); S(Р)],то точкой максимума является точка Q(x1; x2) отрезка CР пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (3)

Если SÎ[S(Р); ¥],то точкой максимума является точка Р(0; x2) пересечения прямой (3) и оси Ох2.

Координаты точки Е находятсяиз системы уравнений

х1 + 4х2= S

х2 = 0

Решаем ее:

х1 = S, х2 = 0.

Z*(S) = 165х1* + 456х2*=165S; u1 = 165; u2= 0; u3 = 0

Координаты точки R находим из системы уравнений

х1 + 4х2= S

3х1 + 5х2=535

Решаем ее:

х1 = (2140 — 5S)/7, х2 = (3S-535)/7.

Z*(S) = 165х1* + 456х2* = 165 ´ (2140 — 5S)/7+ 456´ (3S-535)/7= 77,6S+ 15591,4;

u1= 77,6; u2= 0; u3 = 0.

Координаты точки Q находим из системы уравнений

х1 + 4х2= S

2х1 + 4х2= 368

Решаем ее:

х1 = 368-S, х2 = (2S-368)/4.

Z*(S) = 165х1* + 456х2* = 165 ´ (368-S)+ 456´ (2S-368)/4= 63S+ 18768;

u1 = 25; u2= 0; u3 = 0.

Координаты точки Р

х1 = 0, х2=92.

Z*(S) = 165х1* + 456х2*= 41952

u1 = 0; u2= 0; u3 = 0.

S(D)= х1 + 4х2 =178,3+4´0=178,3,

S(C)= х1 + 4х2 =150+4´17=218

S(Р)= х1 + 4х2=0+4´92=368

S 0£S<178,3 178,3£S<218 218£S<368 S³368

u1*(S)

165 77,6 63 Z*(S) 165S 77,6S+ 15591,4 63S+ 18768 41952

Интервал устойчивости [218;368)

/>

/>

/>2. Задача 2

Малое предприятиенамерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейсявысоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем иоборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовойоплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно можетполучить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашениемкредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормахзатрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и паркаоборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки отреализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов Норма затрат на

Объем

ресурса

Продукт А Продукт В Сырье (кг) 3 3 2070 Оборудование (ст.час.) 3 5 2250 Трудоресурсы(чел.час.) 2 3 ? Цена реализации (руб.) 638 660

Целью организации выпускановой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, котораяопределяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализациипроизведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными собеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построитьматематическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредитадля выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальнуюпрограмму выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита,сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасоваяставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спросана трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции.Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающегоее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 30 рублей за чел.-час. Найти функции,выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1 Построениематематической модели оптимизации выпуска продукции. Для построения модели введем следующие обозначения:

х1 – объемвыпуска продукции А,

х2 – объемвыпуска продукции Б,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализациипроизведенной продукции,

P – прибыль предприятия.

Выразим в математическойформе основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья: 3x1 + 3x2 £ 2070;

Ограничения поиспользованию оборудования: 3x1 + 5x2 £ 2250;

Потребность в трудовыхресурсах S определяется необходимыми затратамитруда для выпуска продукции в объемах х1 и х2: S = 2x1 + 3x2 .

Размер необходимогокредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е. V=tS = t(2x1 + 3x2). Выручкаот реализации произведенной продукции: Z = 638x1 + 660x2

Сумма расходов пообслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов понему, т.е. равна

/>

Прибыль предприятия определяется какразность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

Р = Z – 1.1V.

Подставляя в эту формулувыражения для Z и V, получим

Р = (638x1 + 660x2)– 1,1 t(2x1 + 3x2) = (638 – 2,2t)х1 + (660 – 3,3 t)х2

Следовательно, математическаямодель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов дляоплаты труда рабочих принимает следующий вид:

Найти неизвестныезначения объемов выпуска х1, х2, удовлетворяющихограничениям

3x1 + 3x2 £ 2070

3x1 + 5x2 £ 2250 (1)

х1³0, х2³0,

и доставляющихмаксимальное значение целевой функции:

Р = (638 – 2,2t)х1 + (660 – 3,3 t)х2→ max.

При этом необходимыйразмер кредита V определяется по формуле:

V = tS = 2tx1* + 3tx2*,

где х1*, х2*- оптимальное решение задачи (1). Модель (1) представляет собой задачупараметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержитсяпараметр t, от значения которого зависитоптимальное решение.

2.2 Определение оптимальнойпрограммы выпуска продукции. Прификсированной ставке оплаты труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

3x1 + 3x2 £ 2070

3x1 + 5x2 £ 2250

х1³0, х2³0, Р = 616 х1 + 627х2→ max.

Графическое решениезадачи изображено на рис. Точкой максимума является точка В с координатами х1*= 600, х2*= 90. Максимальныйразмер прибыли: Р* = 616´600 + 627 ´90= 426030 (руб.). Размер необходимого кредита: V* = 2tx1*+ 3x2* = 2´10´600 + 3´10´90 =14700 руб. Суммауплаченных процентов: 0,1V* =0,1´ 14700= 1470руб. Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* +3 x2*= 2´600 + 3´90 = 1470(чел.-час.).

/>

2.3 Нахождение функцииспроса на трудовые ресурсы. Потребностьв трудовых ресурсах S для обеспечения оптимального выпускав объемах х1*, х2* определяются соотношением: S* = 2x1*+ 3x2*.

Но оптимальный планвыпуска Х* = (x1*, x2*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно,величина S также зависит от t, т.е. потребность в трудовыхресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Дляэтого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x1*, x2*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейногопрограммирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю).Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции Р = (638 – 2,2t)х1 + (660 – 3,3 t)х2=h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будетпочти параллельна прямой с уравнением Р = 638 х1 + 660 х2 = h.

Если «закрепить»линию уровня в т.В и начать увеличивать значение параметра t, то точка пересечения линии уровня сосью Ох2 начнет перемещаться вверх по оси Ох2.

Найдем значение t, при котором линия уровняпараллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем: />, t =20

Следовательно, точка В (600;90)остается точкой максимума пока tÎ[0;20).

Найдем максимальныйразмер прибыли для tÎ[0;20):

Р* = (638 – 2,2t) ´600 + (660 – 3,3 t)´90 = 442200- 1617t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 2tx1*+ 3x2* = 2´t´600 +3´t´90 = 1470t руб.,

Сумма уплаченныхпроцентов: 0,1V* = 0,1´ 1470t = 147t руб.

Потребность в трудовыхресурсах: S* = 2x1* + 3x2* = 2´600 +3´90 =1470 (чел.-час.).

Если t=20, то оптимальное решение будетдостигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(600;90) и C(690;0).

Если «закрепить»линию уровня в т.С и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближатьсяк оси Ох1.

Найдем значение t, при котором линия уровняпараллельна оси Ох1. Из равенства угловых коэффициентов получаем: />; t = 220> 60.

Если tÎ[20; 30] точкой максимума станетточка С(690;0).

Найдем максимальныйразмер прибыли для tÎ[20;30]:

Р* = (638 – 2,2t) ´690 + (660 – 3,3 t)´0 = 440220 – 1518t (руб.),

Размер необходимогокредита:

V* = 2tx1*+ 3x2* = 2´t´690 +3´t´0=1380t руб.,

Сумма уплаченныхпроцентов: 0,1V* = 138tруб.

Потребность в трудовыхресурсах: S* = 2x1* + 3x2* = 2´690 +3´0 = 1380(чел.-час.). Итогирешения задачи представим в таблице:

Почасовая оплата труда t (руб.)

Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*)

Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.) Размер необходимого кредита V*(t), (руб.) Величина максимальной прибыли Р*(t) (руб.) t = 10 (600;90) 1470 14700 426030 tÎ(10;20) (600;90) 1470 1470t 442200- 1617t t = 20 Отрезок ВС [1380; 1470] [27600;29400] 409860 tÎ(20;30] (690;0) 1380 1380t 440220 – 1518t

/>

/>

/>

/>3. Задача 3

Максимизация объема выпускаемой продукции в условияхограниченных финансовых ресурсов. Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов:рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование(K, тыс. ст.-час.). Производственная функция(ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

/>,

где Y— объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

1. Построитьграфики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K= 441; б) L =63.

2. Найтиуравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y1=656, Y2 =984, Y3=1312.<sub/>

3. Известныобъем выпуска продукции Y=984 иналичные трудовые ресурсы L=63 вбазовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде приувеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличениятрудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая силананимается по контракту с почасовой оплатой труда 90 (ден.ед./тыс. чел.-час),оборудование берется в аренду с суммарными затратами 30 (ден.ед./тыс. ст.-час).Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование,составляет 21000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизациивыпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K ≥ 0, L ≥ 0; найти графическим методом ее решение.Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочейсилой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решаем задачу дляследующих значений параметров:

А α β К L Y1 Y2 Y3

Lбаз

Yбаз

pK

pL

С 4 0,7 0,3 441 63 656 984 1312 63 984 30 90 21000

1) Производственнаяфункция (ПФ) — функция, описывающая зависимость максимального объемапроизводимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых впроизводственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступаютрабочая сила (L, тыс. чел.-час.) и оборудование(K, тыс. ст.-час.). Производственная функцияфирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

/>

где Y — объем выпуска продукции(ед.).

Построимграфики производственной функции при фиксированном значении одной изпеременных.

а) Поусловию K =441. Тогда ПФ— степенная функция следующего вида: Y =4*/>

Графикфункции представлен на рис.

/>

б) Поусловию L = 63. Тогда ПФ — степенная функцияследующего вида: Y =4*/>

Графикфункции представлен на рис.

/>

2) Изокванта— совокупность всех комбинаций факторов производства (K,L), обеспечивающих одинаковый объемвыпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторнойпроизводственной функции Y(K,L)в виде ее линий уровня.

По условию Y1=656;Y2=984; Y3<sub/>=1312.

Выпишемсоответствующие этим значениям уравнения изоквант:

/> =656;

/>=984;

/>=1312.

Дляпостроения на декартовой плоскости OKL изоквант из их уравнений в явном виде выразим переменнуюL как функцию от переменной K:

/> или />.

Итак, уравнения трехизоквант запишем в следующем виде:

/>, отсюда />;

/>, отсюда />;

/>, отсюда />.

Графикиизоквант, выпуклые к началу координат кривые, изображены на рис. Различныекомбинации (K1, L1)и (K2,L2)используемых ресурсов,принадлежащие одной и той же изокванте, дают один и тот же объем выпуска Y. Изокванта Y3,расположенная выше изоквант Y2 и Y1,<sub/>соответствует большему объемувыпуска продукции (Y3 > Y2 > Y1).

/>

3)Известны объем выпуска продукции Yбаз=984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы Lбаз=63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании вплановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, есливозможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

Призаданном увеличении объем выпуска продукции составит Y= 1.1×Yбаз=1.1×984= 1082,4 (ед.).

Существуетмножество комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед.Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию отобъема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты />, имеем: />.

Такимобразом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, неизменится и останется на уровне Lбаз=63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит /> (тыс. ст.-час.).

Вбазовом периоде потребность в оборудовании составляла />(тыс. ст.-час.).

Потребность в ресурсах вплановом периоде

/>

Если жеобъем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит L= 1.05×Lбаз=1.05×63= 66,15 (тыс. чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периодесоставит /> (тыс. ст.-час.).

Итак,при объеме трудовых ресурсов /> потребностьв оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину />, определяемую соотношением/>.

4)Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производствересурсы по ценам pK = 30 (ден. ед. /тыс. ст.-час.) и pL=90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат Cна покупку L единиц рабочей силы и Кединиц оборудования составит

С = pKК + pLL= 30К + 90L.

 

Задачафирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии,что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическаямодель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям

К +90L ≤ 21000, (1)

К ≥0, L ≥ 0 (2)

идоставляющие максимальное значение целевой функции

/>→ max.(3)

Так какY — нелинейная функция, то эта модельпредставляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1)называется бюджетным ограничением.

/>

Графическоерешение задачи производителя

Еерешение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимыхрешений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованныйтреугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением30K + 90L= 21000

Дляопределения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант)целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как былопоказано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевойфункции она соответствует (Y2 > Y1). Поэтому изокванта, соответствующаямаксимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямойбюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будетоптимальным решением задачи.

Длянахождения значений координат точки D используем тотфакт, что градиент целевой функции grad Y = />, вычисленный в точкекасания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (pK, pL)этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

/>.(4)

Поскольку/> отсюда имеем, что />

Следовательно,K = 7L.Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем: 90L + 30*7L= 21000.

Отсюдаимеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна L*= 70.

Оптимальныйобъем оборудования равен K* = 7*L = 7*70 = 490, а соответствующий объем выпуска Y* = 4*4900.7∙700.3≈ 1093,3.

Предельнаянорма технологического замещенияоборудования рабочей силойвточке рыночного равновесия равна отношению цен этих ресурсов, т.е. />.

Предельнаяэффективность финансовых ресурсов

/>= /> =(4*0.7∙350-0.3∙500.7)/30<sup/>≈0.816,

чтоозначает следующее: при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемойпродукции возрастет на 0.816 ед.

Итак,получены следующие результаты.

1.  Фирма должна взять в аренду K*= 490 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту L*= 70 тыс. чел.-час. рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетномограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y* = 1093,3 ед.

2.  Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTSKL<sub/>= 0,333.

3.  Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0.816.

/>4. Задача 4

Фирма может влиять дополнительнымфинансированием на скорость строительства своего торгового павильона.Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительностьвыполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном иускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:

Имя работы А В С D E F G H Q V Опирается на работу E G,Q C,F,H V E G,Q V Нормальный срок 16 24 32 8 16 8 19 16 14 8 Ускоренный срок 10 15 20 5 10 5 10 10 5 5 Норм.стоим.(млн.руб.) 33 84 78 31 35 19 71 74 38,5 40 Плата за ускор.(млн.руб.) 19,8 50,4 46,8 18,6 21 11,4 63,9 44,4 69,3 24

Требуется:

1.С учетом технологическойпоследовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

2.Рассчитать временные характеристикисетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путьи его продолжительность, указать все возможные критические пути, определитьстоимость всего комплекса работ.

3.Указать стратегию минимальногоудорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дн. С какуюитоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.

Решение

Упорядоченный сетевой графикстроительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой,обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку еевыполнения.

/>

Обозначим

Ткр –критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Трi– раннее время наступления i-йсобытия, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить.

Рассчитаем Трiдля всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,7. Время наступления 1-го события сетевого графикабудем считать равным нулю, т.е. Тр1 = 0. Далеепоследовательно находим Тр2,…, Тр6

/>дн

/> дн;

/> дн;

/> дн;

/> дн;

Стоимость S = 33+84+78+31+35+19+71+74+38,5+40=503,8

Критический срок Ткр = 46дней.

Критический пути (V,Q, В), (V,Q,H,D).

Сокращение сроковстроительства торгового павильона

Имя работы А В С D E F G H Q V Нормальный срок 16 24 32 8 16 8 19 16 14 8 Ускоренный срок 10 15 20 5 10 5 10 10 5 5 Норм. стоим.(млн.руб.) 33 84 78 31 35 19 71 74 38,5 40 Плата за ускор.(млн.руб.) 19,8 50,4 46,8 18,6 21 11,4 63,9 44,4 69,3 24 Максим. сокращение времени выполнения (дн.) 6 9 12 3 6 3 9 6 9 3 Удельная цена 3,3 5,6 3,9 6,2 3,5 3,8 7,1 7,4 7,7 8

/>

Просматривая все полные некритическиепути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 2 дня, т.е. до 44дней, критическими могут стать пути Р4 и Р5. Эффективносократить работу Q на 2 дня. Приэтом дополнительные затраты составят 2 (дня)´ 7,7 (млн.руб./день) = 15,4(млн.руб.), критическое время станет равным Ткр = 46 –2 =44 (дней). Новая стоимость работ будет равной S = 503,5 +15,4=518,9(млн.руб.)

/>5. Задача5

Имеются данные по 15субъектам Российской Федерации за январь-март 2001 года о денежных доходах ипотребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которыеприведены в таблице:

Номер субъекта РФ 1 2 3 4 5 6 7 8 Денежные доходы, тыс.руб. 1,57 1,3 1,75 1,66 1,75 1,79 1,33 1,58 Потребительские расходы, тыс.руб 1,29 1,15 1,3 1,36 1,67 1,59 1,08 1,28 Номер субъекта РФ 9 10 11 12 13 14 15 Денежные доходы, тыс.руб. 2,24 2,47 2,29 2,07 2,43 3,51 2,21 Потребительские расходы, тыс.руб 1,65 1,76 1,7 1,88 1,8 2,74 1,76

На основе имеющихсяданных требуется:

1. Построить полерассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуальногонаблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительскихрасходов у от денежных доходов х; записать эту гипотезу в виде математическоймодели.

2. Используя методнаименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели,записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициентпарной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами;проверить его значимость.

4. Найти точечный иинтервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъектеРФ увеличится на 30%.

5. Привестисодержательную интерпретацию полученных результатов.

Решение

5.1 Построениематематической модели. Оценка неизвестных параметров методом наименьшихквадратов. Полем рассеяния называется множествоточек на плоскости, координаты которых соответствуют наблюдаемым значениямисследуемых показателей. В нашем примере хi – среднедушевые денежные доходы, yi – среднедушевые потребительскиерасходы в i-м субъекте РФ, i = 1,…,15. Таким образом, полерассеяния состоит из 15-ти точек с координатами (xi,yi), которые показаны на рис.

Визуальный анализ полярассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости потребительскихрасходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейноймодели

у = α + βх + u,

где α, β — неизвестные постоянные коэффициенты, а u – случайная величина, характеризующая отклонения реальныхзначений потребительских расходов от их теоретических значений α +βх. Случайная величина uназывается случайным отклонением или случайным возмущением модели. Ее включениев модель призвано отразить:

а) влияние не учтенных вмодели факторов, влияющих на размер потребительских расходов;

б) элемент случайности инепредсказуемости человеческих реакций;

в) ошибки наблюдений иизмерений.

/>

5.2 После формулировкиматематической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестныхпараметров α и β по результатам наблюдений над переменными х и у,т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии у = a + bх, являющегося некоторой реализацией модели, в которомкоэффициенты а и b есть оценкинеизвестных параметров α и β соответственно. Оценки а и b можно искать по следующим формулам:

/>

Для удобства вычисленияоценок искомых коэффициентов модели составляется табл.1, в которой столбцы«у», «у — у», "(у — у)2" заполняютсяпосле нахождения уравнения регрессии.

Табл.1

Номер субъекта РФ х у

х2

ху

у2

ŷ ŷ-у

(ŷ-у)2

1 1,57 1,29 2,465 2,025 1,664 1,309 0,019 0,000 2 1,30 1,15 1,690 1,495 1,323 1,125 -0,025 0,001 3 1,75 1,30 3,063 2,275 1,690 1,432 0,132 0,017 4 1,66 1,36 2,756 2,258 1,850 1,371 0,011 0,000 5 1,75 1,67 3,063 2,923 2,789 1,432 -0,238 0,057 6 1,79 1,59 3,204 2,846 2,528 1,459 -0,131 0,017 7 1,33 1,08 1,769 1,436 1,166 1,145 0,065 0,004 8 1,58 1,28 2,496 2,022 1,638 1,316 0,036 0,001 9 2,24 1,65 5,018 3,696 2,723 1,767 0,117 0,014 10 2,47 1,76 6,101 4,347 3,098 1,924 0,164 0,027 11 2,29 1,70 5,244 3,893 2,890 1,801 0,101 0,010 12 2,07 1,88 4,285 3,892 3,534 1,651 -0,229 0,053 13 2,43 1,80 5,905 4,374 3,240 1,897 0,097 0,009 14 3,51 2,74 12,320 9,617 7,508 2,635 -0,105 0,011 15 2,21 1,76 4,884 3,890 3,098 1,746 -0,014 0,000 cymm 29,95 24,01 64,262 50,989 40,738 24,010 0,000 0,222

Находим оценки а и b. Получаем:

хср = Σхi/15 =29,95/15 = 1,997 (тыс.руб.) –среднее значение среднедушевых доходов;

уср = Σуi/15 = 24,01/15 = 1,601 (тыс.руб.) –среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

Следовательно, b = 0,683

а = уср – bxcp = 0,236

Таким образом, искомоеуравнение регрессии примет вид

ŷ = 0,683x + 0,236

Найденное уравнениерегрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

5.3. Нахождениекоэффициента корреляции.Мерой зависимости междупеременными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции,который обозначается через rxy иопределяется по формуле:

/> 

Подставляясоответствующие значения из последней строки табл.1, получаем rxy = 0,951, rxy > 0 и близко к 1, следовательно, связьсильная положительная, т.е. при увеличении доходов, расходы растут.

Для того, чтобы с большейуверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи междупеременными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличиекоэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значениекоэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициенткорреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не оченьблизкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейнойвзаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественноеотличие rxy от нуля, то, не смотря на возможнодостаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейнойвзаимосвязи между переменными. Проверкасущественности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме:

/>

то гипотеза осущественном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противномслучае отвергается.

Здесь t1-α/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента,α — уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задаетсяисследователем зависимости между х и у. Примем α = 0,05, тогда t1-α/2,n-2 = t0,975,13 = 2,1604

/>

Следовательно,коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильнаялинейная связь между х и у. Т.е. если мы будем проводить многократноеповторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами,всякий раз выбирая различные группы из 15 субъектов РФ, то в 95% этихэкспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в 95%случаев коэффициент корреляции rxy будет существенно отличатся от нуля.

5.4 Нахождение точечных иинтервальных прогнозов. Точечнымпрогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значениюнезависимой переменной х = х0, называется значение ŷ0,получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х0, т.е.

ŷ0= ŷ(х0)=a + bx0– точечный прогноз.

Найдем точечный прогнозсреднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ в будущем периоде,что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте увеличатся на 30%, т.е.

х0= х10+ 0,3´х10 = 1,3´х10 = 1,3´2,47 = 3,21

ŷ0= 0,236+ 0,683´3,21 = 2,431 (тыс.руб.).

Таким образом, еслисреднемесячные денежные доходы в 10-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то потребительскиерасходы в этом субъекте составят 2,431 тыс.руб.

Интервальным прогнозомзависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимойпеременной х = х0, называется доверительный интервал, границыкоторого находятся по формуле:

ŷв.н. = ŷ(х0)± t1-α/2,n-2Sŷ,

где ув, ун– соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

ŷ(х0) –точечный прогноз;

t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) –доверительная вероятность;

(n-2) – число степеней свободы;

Доверительный интервал –это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находитьсяпрогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальныйпрогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущемпериоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте РФувеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемоезначение денежных доходов х0= 3,21 тыс.руб. Пусть α = 0,05, тогда 1-α = 0,95; t1-α/2,n-2 = t0,975,13 = 2,1604;

/>

(х0 — хср)2= (3,21 – 1,997)2 = 1,475

S(xi — xcp)2 = Sхi2 – n(xcp)2 = 64,262- 15´1,9972 = 4,461.

/>

Следовательно, ŷн=2,431 – 0,082 = 2,349 (тыс.руб.)

ŷв = 2,431+ 0,082 = 2,513(тыс.руб.)

Это означает, что приувеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 2,47тыс.руб. до 3,21 тыс.руб., размер среднедушевых среднемесячных потребительскихрасходов с вероятностью 0,95 будет колебаться в пределах от 2,349 тыс.руб. до2,513тыс.руб.

5.5 Содержательная интерпретацияполученных результатов. Рассмотримнайденное уравнение регрессии ŷ = 0,683x + 0,236. Коэффициент а = 0,236 неимеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размерупотребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,683 определяет приростпотребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательнаяинтерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задачебыла приведена по ходу решения.

В заключение впишемитоговые результаты.

1. у = α + βх + u – математическая модель зависимостипотребительских расходов от денежных доходов.

2. ŷ = 0,683x + 0,236– уравнениерегрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

3. rxy =0,951– коэффициент корреляции междух и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимостирасходов и доходов.

4. ŷ0(х0)= 2,431 (тыс.руб.) – точечный прогноз;

ŷн = 2,329(тыс.руб.)

ŷв = 2,513(тыс.руб.) — интервальный прогноз с 95% доверительной вероятностью.