Реферат: Основные понятия статистики
ВведениеСлово «статистика» имеет латинскоепроисхождение (от status –состояние). В средние века оно означало политическое состояние государства. Внауку этот термин введен в XVIIIв. немецким ученым Готфридом Ахенвалем.
В настоящее время термин «статистика»употребляется в трех значениях:
1) под статистикой понимают отрасльпрактической деятельности, которая имеет своей целью сбор, обработку, анализ ипубликацию массовых данных о самых различных явлениях общественной жизни (вэтом смысле «статистика» выступает как синоним словосочетания «статистическийучет»);
2) статистикой называют цифровойматериал, служащий для характеристики какой-либо области общественных явленийили территориального распределения какого-то показателя;
3) статистикой называется отрасльзнания, особая научная дисциплина и соответственно учебный предмет в высших исредних специальных учебных заведениях.
Как и всякая наука, статистика имеетсвой предмет изучения. Статистика изучает количественную и качественнуюсторону массовых общественных явлений, исследует количественное выражениезакономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени.
Свой предмет статистика изучает припомощи: определенных категорий (т.е. понятий, которые отражают наиболееобщие и существенные свойства, признаки, связи и отношения предметов и явленийобъективного мира, к ним относятся: статистическая совокупность, единицасовокупности, признак единицы, статистический показатель и их система) и специфическогометода. Метод статистики – это целая совокупность приемов, пользуяськоторыми статистика исследует свой предмет. Она включает в себя три группысобственно методов (этапов любого статистического исследования):
1) метод массовых наблюдений (сборпервичного статистического материала, научно организованная регистрация всехсущественных фактов, относящихся к рассматриваемому объекту);
2)метод группировок (даетвозможность все собранные в результате массового статистического наблюденияфакты подвергать систематизации и классификации);
3)метод обобщающих показателей (позволяетхарактеризовать изучаемые явления и процессы при помощи статистических величин– абсолютных, относительных и средних, выявляются взаимосвязи и масштабыявлений, определяются закономерности их развития, даются прогнозные оценки).
Основными задачами статистикиявляются:
1) сбор, обработка,анализ и хранение информации;
2) доведениеобработанной информации до органов управления всех уровней;
3) ознакомлениеширокой общественности и населения с динамикой и дислокациейсоциально-экономических явлений в стране путем издания статистическихсборников, справочников, обзоров, публикаций в печатных и электронных СМИ(например, сайт www.gks.ru);
4) международноесопоставление уровня социально-экономического развития разных стран.
1. Абсолютные и относительныестатистические величины 1.1 Понятиеабсолютных величин
Результатыстатистических наблюдений регистрируются сначала в виде абсолютных величин,отражающих уровень развития явления или процесса. В статистике в отличие отматематики все абсолютные величины именованные, обладают конкретнойразмерностью, а также могут быть положительными и отрицательными.
Единицы измерения абсолютных величин отражают технические илипотребительские свойства и являются простыми, отражая одно свойство(например, масса груза в т.), а также сложными, отражая несколькосвойств в их взаимосвязи (например, тонно-километр или киловатт-час).
Единицы измерения могутбыть натуральными, условно-натуральными и стоимостными. Первые применяютсядля исчисления величин с однородными свойствами (например, штуки, тонны,погонные метры, квадратные метры и т.д.). Недостаток в том, что они непозволяют суммировать разнородные величины.
Условно-натуральныеединицы измерения применяются к абсолютным величинам с однородными свойствами,но проявляющим их по-разному. Например, общая масса энергоносителей (дрова,торф, каменный уголь, нефтепродукты, природный газ) измеряется в т.у.т. —тонны условного топлива, поскольку каждый его вид имеет разную теплотворнуюспособность, а за стандарт принято 29,3 МДж/кГ. Аналогично общее количествошкольных тетрадей измеряется в у.ш.т. — условные школьные тетрадиразмером 12 листов. Аналогично продукция консервного производства измеряется в у.к.б.— условные консервные банки емкостью 1/3 литра. Аналогично продукция моющихсредств приводится к условной жирности 40%.
Стоимостные единицы измерениявыражаются в рублях или в иной валюте, представляя собой меру стоимости каждойабсолютной величины. Онипозволяют суммировать даже разнородные величины, но недостаток в том, что приэтом часто не учитывается негативное изменение экономических условий в видеинфляции. Поэтому статистика стоимостные величины всегда пересчитывает всопоставимых ценах.
Смысловой наборабсолютных величин называется статистической совокупностью, в которой ихможно группировать по характерным признакам: количественным и словесным.
Количественные признакивыражаются числами и могут быть дискретными и интервальными. Так,возраст человека по паспорту — признак дискретный, а возраст группы людей (от идо) — признак интервальный.
Словесные признакивыражаются словами и, если слов только два, признак называется альтернативным.Например, пол человека: мужской или женский. Если выражающих слов большедвух, то признак называется атрибутивным. Например, национальность,профессия и т.п.
Следует различать моментныеи периодные абсолютные величины. Первые показывают фактическое наличие иликоличественный уровень явления на определенный момент времени или дату(например, наличие оборотных средств, количество денег в кармане и т.п.).Вторые — это итоговый накопленный результат за определенный период времени(например, выпуск продукции за месяц, квартал, год или заработная плата замесяц, квартал, год и т.д.). В отличие от моментных, периодные абсолютныевеличины допускают последующее суммирование.
Абсолютнаястатистическая величина обозначается X, а их общее количество в совокупности обозначается N.Количество величин с одинаковым значением признака обозначается fи называется повторяемость,встречаемость, частота. Естественно, Σf= N. Отношение f/ N = f/ Σf= dназывается доля, удельный вес, частость.
Естественно, Σd= 1. В статистике, в отличие отматематики, пределы суммирования не ставятся, а подразумеваются, т.к. абсолютныевеличины здесь не абстрактные, а смысловые.
Однако сами по себе абсолютные статистические величины недают полного представления об изучаемом явлении, т.к. не показывают егоструктуру, соотношение между частями, взаимосвязь с другими абсолютными величинами,развитие во времени. Для этих целей служат относительные статистическиевеличины.
1.2 Понятиеотносительных величинОтносительнаястатистическая величина представляет собой соотношение двух абсолютных величини, если последние однородны, имея одинаковую размерность, то относительнаявеличина получается безразмерной, принимая статус коэффициента. Например,фондоотдача (оборачиваемость) как отношение стоимости выпущенной продукции кстоимости основных фондов является коэффициентом.
Часто применяетсяискусственная размерность коэффициентов путем их умножения или на 100 (получаютпроценты), или на 1000 (получают промилле), или на 10000(получают деципромилле). Две последние размерности используются встатистике населения, где коэффициенты и проценты выражаются очень малымивеличинами. Наиболее употребимы проценты.
Однако искусственнаяразмерность коэффициентов удобна лишь в разговорной речи и в отчетах, а врасчетах она только мешает, т.к. сотни и тысячи «путаются под пером» и в концеконцов сокращаются. Поэтому существует «золотое» правило финансистов: «Говорими учитываем процентом — считаем коэффициентом».
Если относительнаястатистическая величина — результат соотношения двух абсолютных величин сразной размерностью, то она приобретает дробную размерность, принимая статус показателя.Например, это всем известные: себестоимость продукции в руб./ед., ее цена вруб./ед,, производительность рабочей силы в руб./чел., энергоотдачапроизводства в руб./кВт ч и другие показатели.
Относительные величиныприменяются для качественного статистического анализа динамики, структуры,координации, сравнения и интенсивности изучаемых явлений. При этом безразмерныеотносительные величины наряду с именованием коэффициентами часто именуются индексами.
1.3 Видыотносительных величинНаиболеераспространенной является относительная величина, коэффициент или индексдинамики, который характеризует изменение какого-либо явления во времени,представляя собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периодывремени. То есть
/>. (1.1)
Здесь и далее подиндексы означают: 1 — отчетный илианализируемый период, 0 — прошлый или базисный период.
Критериальным значениеминдекса динамики служит единица. Если он больше ее, имеет место рост явления;равен единице — стабильность; если меньше единицы, наблюдается спад явления.
Еще одно названиеиндекса динамики — индекс изменения, вычитая из которого единицуполучают темп изменения с критериальным значением нуль. Если он большенуля, имеет место рост явления; равен нулю — стабильность; если меньше нуля,наблюдается спад явления.
/>. (1.2)
В некоторых учебниках поСтатистике индекс изменения назван темпом роста, а темп изменения — темпомприроста, независимо от получаемого результата, который может показатьстабильность или спад.
Если анализируемый ибазисный периоды не являются соседними во временном ряду (например, год,предшествующий пятилетке и ее последний год), то найденный по формуле (1.1)индекс динамики или изменения будет общим, поэтому дополнительно определяетсясредний индекс по формуле
/>, (1.3)
где t — количество периодов во временномряду (например, в пятилетке t =5).
Как и у общего, усреднего индекса критериальным значением служит единица с теми же выводами охарактере изменения. Вычитанием из среднего индекса единицы получают среднийтемп изменения с критериальным значением нуль и аналогичными выводами охарактере изменения явления.
На производствеприменяются относительные величины, коэффициенты или индексы плановогозадания и выполнения плана. Первый определяется как отношение значенийодной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по фактубазисного. То есть
/>, (1.4)
/>где X’1—план анализируемого периода; X— фактбазисного периода.
Индекс выполнения плана представляет собой отношение значенийодной и той же абсолютной величины по факту и по плану анализируемого периода,определяясь по формуле
/> (1.5)
Перемножая индексыпланового задания и выполнения плана, получаем индекс динамики. То есть
/> (1.6)
Широко применяется такжеотносительная величина, коэффициент или индекс структуры в видеотношения какой-либо части абсолютной величины ко всему ее значению. Посуществу это упоминавшаяся выше доля, удельный вес, частость, определяемая поформуле
/>. (1.7)
Например, есликоличество лиц женского пола (лжп) в группе студентов поделить начисленность всей группы, то получится индекс структуры лжп.
Похожей являетсяотносительная величина, коэффициент или индекс координации как отношениекакой-либо части абсолютной величины к другой ее части, принятой за основу.Определяется по формуле
/>. (1.8)
Например, если за основупринять количество лжп в группе студентов и на это число поделитьколичество лиц мужского пола (лмп) в ней, то получится индекскоординации лмп относительно лжп.
Следующей являетсяотносительная величина, коэффициент или индекс сравнения в видеотношения значений одной и той же абсолютной величины в одном периоде илимоменте времени, но для разных объектов или территорий. Определяется по формуле
/>, (1.9)
где А, Б — признаки сравниваемых объектов или территорий.
Еще один вид относительных величин сравнения получают путемсопоставления индексов динамики разных явлений. В результате образуются индексыопережения или отставания в развитии одного явления по сравнению сдругим. Так, если на предприятии производительность труда увеличилась на 12 %,а средняя зарплата только на 7,5 %, то рост производительности труда опережаетрост зарплаты по индексу изменения на 112/107,5=1,042 или на 4,2 %, а по темпуизменения на12/7,5=1,6 или на 60 %. Это и есть соответствующие индексыопережения. Индекс отставания роста зарплаты от роста производительности трудабудет обратной величиной.
Перечисленные индексыявляются безразмерными относительными величинами, а показателем, имеющимразмерность, служит относительная величина интенсивности в видеотношения значений двух разнородных абсолютных величин для одного периода времении одной территории или объекта. Для ее определения используется формула
/>. (1.10)
К показателяминтенсивности относятся упомянутые выше себе стоимость, цена, энергоемкостьпродукции и другие относительные величины с дробной размерностью.
2. Средние величины ипоказатели вариации 2.1 Понятие и общиепринципы применения средних величин
Статистическая совокупностьсодержит некоторое количество статистических величин, имеющих, как правило,разные значения и признаки, что делает невозможным сравнение несколькихсовокупностей в целом.Для этой цели применяется средняя величина,как обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемогоявления или процесса.
Средняя величина всегдаобобщает количественное выражение признака и погашает индивидуальные различиястатистических величин совокупности, вызванные случайными обстоятельствами. Нопо значению средней величины нельзя делать принципиальные выводы.
Так, если один ученикимеет тетрадь в 48 листов, а другой — ни одной, то в среднем получается по 2у.ш.т. на ученика. Но из этого нельзя заключать, что все ученики школьнымитетрадями обеспечены.
В статистике соблюдаютсяследующие принципы применения средних величин.
1. Необходим обоснованный выборстатистической совокупности, для которой определяется средняя величина.
2. При определении средней величиныисходят из качественного содержания статистических величин, учитывая возможнуювзаимосвязь изучаемых признаков.
3. Средняя величина должнарассчитываться по однородной совокупности, которая позволяет применять методгруппировки, предполагающий расчет системы обобщающих показателей.
4. Общая средняя величина должнаподкрепляться и поясняться групповыми средними величинами.
2.2Виды степенных средних величин
Средние величины делятсяна два больших класса: степенные и структурные. К последним относятся мода имедиана, но наиболее часто применяются степенные различных видов.
Степенные средние, взависимости от представления отдельных величин, могут быть простыми ивзвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и болеестатистических величин, расположенных в произвольном порядке. Общаяформула простой средней величины имеет вид
/>=/>. (1.11)
Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированнымстатистическим величинам с использованием следующей общей формулы
/>=/> (1.12)
При этом обозначено:
Xi – значения отдельных статистическихвеличин или середин группировочных интервалов;
m — показатель степени, от значениякоторого зависят следующие виды степенных средних величин:
при m = -1 средняя гармоническая;
при m = 0 средняя геометрическая;
при m = 1 средняя арифметическая;
при m = 2 средняя квадратическая;
при m = 3 средняя кубическая и так далее.
Используя общие формулыпростой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждоговида. Так, приняв m = 1, находим,что простая средняя арифметическая величина определяется по формуле
/>=/>. (1.13)
Аналогично длявзвешенной средней арифметической величины получаем формулу через частоты иличерез доли (так как />)
/>=/>. (1.14)
Не представляеттрудностей и вывод формул для простых и взвешенных средних квадратических икубических величин. Несколько сложнее вывод средней гармонической при m = –1. Так, используя формулу (1.11),имеем вначале
/>гм = />= />,
а окончательно получим,что простая средняя гармоническая величина определяется по формуле
/>ГМ = />, (1.15)
Аналогично выводится формула взвешенной средней гармоническойвеличины, которая имеет следующий окончательный вид через частоты или черездоли
/>ГМ = />, (1.16)
Наиболее часто употребляются формулы средних арифметических игармонических величин.
2.3 Правилаприменения средней арифметической и гармонической взвешенныхОни часто применяютсядля осреднения относительных величин интенсивности, т.е. показателей, имеющихдробную размерность. При этом соблюдаются следующие правила.
1. Если имеются дополнительные данные почислителю дробной размерности, то применяется средняя гармоническая.
2. Если имеются дополнительные данные познаменателю дробной размерности, то применяется средняя арифметическая.
3. Если неясно, кчислителю или знаменателю относятся дополнительные данные, то поочередноприменяются средняя гармоническая и арифметическая, а затем определяетсясредняя между ними величина.
Для иллюстрации правилрешим задачу: 4 фирмы выпускают одинаковую продукцию при себестоимостях вруб/ед.: Si = 5, 3, 4, 6, а доли фирм равнысоответственно di = 0,3; 0,2;0,4; 0,1. Определить среднюю себестоимость продукции.
Для решения примераиспользуем вышеизложенные правила.
1. Если доли фирм относятся к текущимзатратам (числитель показателя себестоимости), то ее среднее значениеопределяем по формуле (1.16) как среднюю гармоническую величину
/> = 1/ (0,3/5 + 0,2/3 + 0,4/4 +0,1/6) = 4,1 (руб./ед.)
2. Если доли фирмотносятся к количеству выпущенной продукции (знаменатель показателясебестоимости), то ее среднее значение находим по формуле (1.14) как среднююарифметическую величину
/> = 5*0,3 + 3*0,2 + 4*0,4 + 6*0,1 =4,3 (руб./ед.)
3. Если не сказано, кчему относятся доли фирм, то в дополнение к выполненным расчетам определяемсреднюю себестоимость как простую среднюю величину из полученных результатов.То есть /> = (Sгм + Sар)/2 = 4,2 (руб./ед.)
Таким путемрассчитываются средние значения и других показателей с дробной размерностью.
2.4 Особые видыстепенных средних величинРазновидностью простой средней арифметической служит средняяхронологическая величина, когда имеются моментные статистические величины наопределенную одинаковую дату, например, на 1-е число каждого месяца в году.Формула средней хронологической теоретическому выводу не поддается изаписывается приближенно в виде
/>. (1.17)
где Х1 и Xn — первое и последнее значениястатистической величины; Xi —промежуточные значения; n — общее числозначений.
По такой формулебухгалтерия определяет среднегодовую стоимость основных фондов, учитывая еезначения на 1-е число каждого месяца. При этом n = 13,т. к. 1-е января фиксируется дважды: у отчетного и следующего за отчетным года.Аналогично коммерческие банки определяют среднегодовую сумму вкладов и выданныхкредитов. Если учет квартальный, то n = 5.
Средняягеометрическаявеличина получается при подстановке в формулу (1.11) m=0:
/>=/>=/>
Для раскрытиянеопределенностей этого вида прологарифмируем обе части формулы (1.11):
/>.
Подставляя в правуючасть равенства m=0, получаемнеопределенность вида />. Используя правило Лопиталя идифференцируя отдельно числитель и знаменатель по переменной m, получаем
/>.
Следовательно, при m=0
/>.
Потенцируя, находим
/>. (1.18)
Формула (1.18) являетсяформулой средней геометрической простой, а если использовать частоты f, получим формулу среднейгеометрической взвешенной:
/> = />– взвешенная,(1.19)
где П—символпроизведения.
Средняя геометрическая величина применяется, если заданапоследовательность индексов динамики, указывающих, например, на изменениеуровня производства каждого последующего года по сравнению с предыдущим.
Рассчитанные для одних итех же данных различные средние величины оказываются неодинаковыми. Здесьдействует правило мажорантности средних величин (впервые сформулировалпрофессор А. Я. Боярский), согласно которому с ростом показателя степени m в общих формулах увеличивается исредняя величина. То есть
/> <<sub/>/>< /> < /> < />
Это правило частично подтвердилось расчетом среднейсебестоимости продукции, где средняя гармоническая получилась равной 4,1руб./ед., а средняя арифметическая 4,3 руб./ед. Если рассчитать еще и среднююгеометрическую взвешенную, то она будет равной 4,2 руб./ед.
2.5 СтруктурныесредниеОсобый вид средних величин –структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядовраспределения значений признака, а также для оценки средней величины(степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не можетбыть выполнен.
В качестве структурных средних чащевсего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегосязначения признака – и медианы – величины признака, которая делитупорядоченную последовательность его значений на две равные по численностичасти. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака большемедианного уровня, а у другой – меньше его.
Если изучаемый признак имеетдискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает.Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченныхинтервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколькоусложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равныепо численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. Спомощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:
/>, (1.20)
где XMe – нижняяграница медианного интервала;
∆X – его величина (размах);
∑f/2 – половина от общего числа величин;
/>– сумма наблюдений (или объемавзвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
fMe – число наблюдений или объемвзвешивающего признака в медианном интервале.
При расчете модального значенияпризнака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобыинтервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показательповторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интерваламивеличина моды определяется как
/>, (1.21)
где ХMo–нижнее значение модального интервала;
fMo – число наблюдений или объемвзвешивающего признака в модальном интервале;
fMo-1 – то же для интервала,предшествующего модальному;
fMo+1 – то же для интервала, следующего замодальным;
∆X – величина интервала измененияпризнака в группах.
Очевидно, что в формуле (1.20) и(1.21) можно заменить частоты fна доли d, так как />, а />можно вынести за скобки как вчислителе, так и в знаменателе и сократить.
Показателями типа медианы,характеризующими структуру рядов распределения признака, являются квартили(делят ряд на 4 равные части), квинтили (на 5), децили (на 10), перцентили(на 100).
2.6 Средниеотклонения от средних величинКаждая статистическая величина от среднего значенияотличается (отклоняется) по-разному и в любую сторону: со знаком плюс или минус.Поэтому для оценки типичности полученной средней величины надо знать величинусреднего отклонения совокупности от нее. Поскольку неизбежны и отрицательныеотдельные отклонения, необходима нейтрализация знака минус, иначе среднегоотклонения не получится. Этого можно достичь двумя способами: принятьотрицательные отклонения по модулю или возвести их во вторую степень (вквадрат).
При первом способеобразуется среднее линейное отклонение, а при втором — среднееквадратическое. В связи с тем, что средние величины могут быть простыми ивзвешенными, аналогичными могут быть и средние отклонения. Поэтому среднеелинейное отклонение определяется по формулам
/>/> –простое; (1.22)
/>– взвешенное. (1.23)
В этих формулах прямыескобки означают, что разности или отклонения берутся по модулю, то есть безучета знака. Если ошибочно вместо прямых скобок принять обычные круглые, тополучится Л=0.
При использованиивторого способа вначале определяется дисперсия отклонений по формулам
/> –простая; (1.24)
/>/> – взвешенная. (1.25)
Дисперсияальтернативного признака (т.е. имеющего две взаимоисключающие разновидности, например, полчеловека – мужской или женский, качество продукции – годная или бракованная)определяется по формуле 1.25, если вместо Xi подставить 1 и 0 (так как признак может приниматьтолько 2 значения). Зная, что:
p+ q= 1,
где p – доля единиц, обладающих признаком,q – доля единиц не обладающих им.
Среднее значение можнонайти по формуле (1.14):
/>.
Таким образом получим формулу дисперсии альтернативногопризнака, применив формулу (1.25):
/>.
Таким образом, дисперсияальтернативного признака равна
/>. (1.26)
Предельное значениедисперсии альтернативного признака равно 0,25; оно получается при p = q= 0,5.
В отличие от математики статистикаоперирует не абстрактными, а смысловыми величинами, имеющими размерность.Поэтому и дисперсия здесь не безразмерная, как в математике, а сопровождаетсяквадратической размерностью. Например, если статистическая величина измеряется в годах, или рублях, тодисперсия отклонений получится в «квадратных» годах или в «квадратных» рублях.
Для получения обычнойразмерности находится среднее квадратическое отклонение («сигма»)каккорень квадратный из дисперсии. То есть
/>= />. (1.27)
Однако значения средних отклонений, как любой абсолютнойвеличины, служат лишь количественной мерой анализа статистической совокупности.Для качественного анализа применяются относительные критерии, называемыекоэффициентами вариации.
2.7 Коэффициентывариации
Вариация — это несовпадение значений одной и той же статистическойвеличины у разных объектов в силу особенностей их собственного развития, атакже различия условий, в которых они находятся. Вариация имеет объективныйхарактер и помогает познать сущность изучаемого явления. Если средняя величинасглаживает индивидуальные различия, то вариация, наоборот, их подчеркивает,устанавливая типичность или не типичность найденной средней величины дляконкретной статистической совокупности. Тем самым можно делать вывод окачественности подобранных статистических данных.
Вариация измеряется спомощью относительных величин, называемых коэффициентами вариации иопределяемых в виде отношения среднего отклонения к средней величине.
Поскольку среднее отклонение может определяться линейным иквадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициентывариации. Следовательно, коэффициенты вариации надо определять по формулам
/> –линейный; (1.28)
/> –квадратический. (1.29)
Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 1 и чемближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемойстатистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистическиеданные. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.
То есть средняя величина считаетсятипичной для данной совокупности при λ /> 0,333 или при ν/> 0,333. Вином случае средняя величина не типична и требуется пересмотреть статистическуюсовокупность с целью включения в нее более объективных статистических величин.
Обычно квадратический коэффициентвариации несколько (примерно на 25%) больше линейного, рассчитанные по одним итем же данным. А значит возможен случай, когда λ /> 0,333 и ν/> 0,333,тогда необходимо взять среднюю из этих коэффициентов и по ее значению сделатьокончательный вывод о не/типичности найденной средней величины.
С помощью линейного коэффициентавариации принципиальный вывод о типичности или не типичности средней величиныможно получить проще и быстрее, чем с помощью квадратического. Однакоквадратический коэффициент применяется чаще, так как существует несколькоспособов для вычисления дисперсии.
У такого способа оценкивариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например,исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со стандартнымотклонением σ = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь/> = 30 лет,а стандартное отклонение по-прежнему равно 10. Совокупность, ранее бывшаянеоднородной (10/15*100 = 66,7%), со временем оказывается, таким образом,вполне однородной (10/30*100 = 33,3 %).
Поэтому возможендополнительный анализ статистической совокупности с помощью коэффициентаосцилляции, определяемого по формуле
/>, (1.30)
где R — размах вариации в виде разностинаибольшего и наименьшего значений в совокупности статистических величин. Тоесть
R= Хмах –Хmin, (1.31)
где Xмax и Xmin — максимальное и минимальное значенияв совокупности.
При упорядочениистатистических величин в совокупности образуются группировочные интервалы.Тогда под обозначением ∆Хпонимается размах интервала, а среднее интервальное значение обозначается ХИ.
В случае ориентировки только на квадратический коэффициентвариации могут применяться разные методы определения дисперсии.
2.8 Определениедисперсии методом моментовПреобразованиемприведенных выше логических формул определения дисперсии могут быть получены ееновые формулы для расчета, например, методом моментов, которым иногда значениедисперсии получается быстрее.
/>=/>=/>=/>
Окончательно записываем, чтодисперсия методом моментов определяется по формуле
Д = />, (1.32)
где /> – средняя квадратовстатистических величин; /> – квадрат ихсредней величины.
Эти параметры нередкоимеют и другие названия. Вычитаемое называют начальным моментом первогопорядка, уменьшаемое – начальным моментом второго порядка, а сама дисперсия приэтом называется центральным моментом второго порядка.
Для иллюстрациипользования формулами дисперсии рассмотрим простейший пример, приняв абстрактноХ1 = 2, Х2 = 4, Х3 = 6, для которыхсреднее значение, очевидно, равняется /> = 4. Тогда дисперсияпростая по логической формуле (1.24) будет равна
Д3 =((2-4)2 + (4-4)2 + (6-4)2)/3 = 8/3 = 2,67
Применив формулумоментов (1.32), получим тот же результат
Д3 =(22+ 42 + 62 )/3 – 42 = 56/3 – 16 = 2,67
В данном примере быстрота определениядисперсии методом моментов не достаточно ощутима, но она проявляется оченьзаметно при большом количестве статистических данных.
2.9Свойства средней арифметической и дисперсии
В статистическихрасчетах эти характеристики статистической совокупности зачастую применяются вовзаимодействии. При этом с целью приведения их к удобному для анализа виду пригромоздких значениях статистических величин используют следующие свойства.
1. Если каждую статистическую величинуизменить на одно число (прибавить или отнять), то средняя арифметическаяизменится на это число, а дисперсия при этом не изменится.
2. Если каждую статистическую величинуизменить в одинаковое число раз (умножить или разделить), то средняяарифметическая изменится во столько же раз, а дисперсия изменится в квадраттаких раз.
Доказать эти свойстваможно путем математических преобразований соответствующих формул, но гораздопроще доказательство получается с помощью следующего численного примера.
Принимая предыдущие тристатистические величины с их значениями 2, 4, и 6, сначала прибавим к каждой изних 5, а потом умножим каждую из них на 5. Тогда получим измененные значениястатистических величин, представленные матрицей
X1=2; X1’=2+5=7; X1’’=2*5=10.
X2=4; X2’=4+5=9; X2’’=4*5=10.
X3=6; X3’=6+5=11; X3’’=6*5=30.
/>= 4; />’=9; />’’=20.
Д=2,67; Д’=2,67; Д’’=66,67.
В этой матрице значения средних арифметических очевидны, апервоначальное значение дисперсии было найдено в предыдущем примере. Расчет другихее значений приведен ниже по логической формуле (1.24)
Д’= ((7-9)2 + (9-9)2+ (11-9)2)/3 = 2,67
Д’’= ((10-20)2 + (20-20)2+ (30-20)2)/3 = 66,67
Отмечаем, что отношение66,67/2,67 дает ровно 25 или 52. То есть при увеличении каждойстатистической величины в 5 раз дисперсия увеличилась в 25 раз. Аналогичныечисленные доказательства можно выполнить и в случаях противоположного изменениястатистических величин.
3. Выборочное наблюдение 3.1 Понятие и отборединиц
Выборочный методиспользуется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-заогромного массива данных или экономически нецелесообразно. Физическаяневозможность имеет место, например, при изучении пассажиропотоков, рыночныхцен, семейных бюджетов. Экономическая нецелесообразность имеет место при оценкекачества товаров, связанной с их уничтожением. Например, дегустация, испытаниекирпичей на прочность и т.п. Выборочное наблюдение используется также дляпроверки результатов сплошного.
Статистические величины,отобранные для наблюдения, составляют выборочную совокупность или выборку,а весьих массив — генеральную совокупность. При этом числовеличин в выборке обозначают п, во всей генеральной совокупности — какобычно N. Отношение n/Nназывается относительный размер или частостьвыборки, измеряемая в процентах.
Качество результатоввыборочного наблюдения зависит от репрезентативности выборки, т.е. оттого, насколько она представительна в генеральной совокупности. Для обеспечениярепрезентативности выборки надо соблюдать принцип случайности отбора статистическихвеличин, который реализуется разными способами.
1. Собственнослучайный отбор или «метод лото», когда статистическим величинамприсваиваются порядковые номера, заносимые на определенные предметы (бумажки,фишки, кубики, бочонки, шары), которые затем перемешиваются в некоторой емкости(шапка, мешок, ящик, барабан) и выбираются наугад. Этот способ можноосуществить также с помощью математических таблиц случайных чисел.
2. Механический отбор, согласно которому отбирается каждая(N/п)-я величина генеральной совокупности. Так, если она содержит 100000величин, а требуется выбрать 1000, то в выборку попадет каждая 100000 / 1000 =100-я величина. Причем, если они не ранжированы, то первая выбирается наугад изпервой сотни, а номера других будут на сотню больше. Например, если первойоказалась статистическая величина № 19, то следующей должна быть № 119, затем №219, затем № 319 и т. д. Если статистические величины ранжированы, то первойвыбирается № 50, затем № 150, затем № 250 и так далее.
3. Отбор величин из неоднородногомассива данных ведется стратифицированным (расслоенным) способом, когдагенеральная совокупность предварительно разбивается на однородные группы, ккоторым применяется случайный или механический отбор.
4. Особый способ составления выборкипредставляет собой серийный или гнездовой отбор, при которомслучайно или механически выбирают не отдельные величины, а их серии или гнезда,внутри которых ведут сплошное наблюдение.
Качество выборочныхнаблюдений зависит и от типа выборки: повторная или бесповторная. Впервом случае попавшие в выборку статистические величины или их серии послеиспользования возвращаются в генеральную совокупность, имея шанс попасть вновую выборку. При.этом у всех величин генеральной совокупности одинаковаявероятность включения в выборочную совокупность.
Бесповторный отборозначает, что попавшие в выборку статистические величины или их серии послеиспользования не возвращаются в генеральную совокупность, а потому дляостальных величин последней повышается вероятность попадания в следующуювыборку.
Бесповторный отбор даетболее точные результаты, поэтому применяется чаще. Но есть ситуации, когда егоприменить нельзя (изучение пассажиропотоков, потребительского спроса и т.п.) итогда ведется повторный отбор.
3.2Средняя ошибка выборки
Выборочную совокупностьможно сформировать по количественному признаку статистических величин, а такжепо альтернативному или атрибутивному. В первом случае обобщающейхарактеристикой выборкислужит выборочная средняя величина, обозначаемая />, а во втором — выборочнаядоля величин, обозначаемая w. Вгенеральной совокупности соответственно: генеральная средняя /> и генеральнаядоля р .
Разности /> — /> и W— р называются ошибкой выборки, котораяделится на ошибку регистрации и ошибку репрезентативности. Первая часть ошибкивыборки возникает из-за неправильных или неточных сведений по причинамнепонимания существа вопроса, невнимательности регистратора при заполнениианкет, формуляров и т.п. Она достаточно легко обнаруживается и устраняется.Вторая часть ошибки возникает из-за постоянного или спонтанного несоблюденияпринципа случайности отбора. Ее трудно обнаружить и устранить, она гораздобольше первой и потому ей уделяется основное внимание.
Величина ошибки выборкизависит от структуры последней. Например, если при определении среднего баллауспеваемости студентов факультета в одну выборку включить больше отличников, ав другую — больше неудачников, то выборочные средние баллы и ошибки выборкибудут разными.
Поэтому в статистикеопределяется средняя ошибка повторной и бесповторной выборки в виде ееудельного среднего квадратического отклонения по формулам
/>= /> - повторная; (1.35)
/>= /> - бесповторная; (1.36)
где Дв —выборочная дисперсия, определяемая при количественном признаке статистическихвеличин по обычным формулам из гл.2.
При альтернативном илиатрибутивном признаке выборочная дисперсия определяется по формуле
Дв = w(1-w). (1.37)
Из формул (1.35) и(1.36) видно, что средняя ошибка меньше у бесповторной выборки, что иобусловливает ее более широкое применение.
3.3 Предельнаяошибка выборкиУчитывая, что на основе выборочногообследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднеезначение) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых оннаходится. В конкретной выборке разность/>может быть больше, меньше илиравна />.Каждое из отклонений />от /> имеет определенную вероятность. Привыборочном обследовании реальное значение /> в генеральной совокупностинеизвестно. Зная среднюю ошибку выборки, с определенной вероятностью можнооценить отклонение выборочной средней от генеральной и установить пределы, вкоторых находится изучаемый параметр (в данном случае среднее значение) вгенеральной совокупности. Отклонение выборочной характеристики от генеральнойназывается предельной ошибкой выборки />. Она определяется в доляхсредней ошибки с заданной вероятностью, т.е.
/> = t/>, (1.38)
где t – коэффициент доверия, зависящий отвероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.
Вероятность появления определеннойошибки выборки находят с помощью теорем теории вероятностей. Согласно теоремеП. Л. Чебышёва, при достаточно большом объеме выборки и ограниченнойдисперсии генеральной совокупности вероятность того, что разность междувыборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала, близка кединице:
/> при />.
А. М. Ляпунов доказал, что независимоот характера распределения генеральной совокупности при увеличении объемавыборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочнойсредней приближается к нормальному распределению. Это так называемаяцентральная предельная теорема. Следовательно, вероятность отклонениявыборочной средней от генеральной средней, т.е. вероятность появления заданнойпредельной ошибки, также подчиняется указанному закону и может быть найдена какфункция от tс помощью интеграла вероятностейЛапласа:
/>,
где />– нормированное отклонениевыборочной средней от генеральной средней.
Значения интеграла Лапласа для разныхt рассчитаны и имеются в специальных таблицах, изкоторых в статистике широко применяется сочетание: