Реферат: Дисперсионный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯУКРАИНЫ

ДОНЕЦКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯМАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА: ЭКОНОМИКА ИФИНАНСЫ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ «СТАТИСТИКА»

2008 г.

Выполнение заданияначинают с группирования совокупности данных для этого определяют количествогрупп с равными интервалами и рассчитывают величины интервала.

Величинаинтервала:

d= (xmax– xmin) / n,

Где

Хmax, Xmin – соответственномаксимум и минимум значения сгруппированного признака;

n – число групп.

Границывариант(групп) определяются путем прибавления минимального значения и величининтервала к минимальному признаку, т.е.

[xmin+ (xmin+ d)],

Где

Xmin – нижняя границаинт6ервала (Xmin+d)– верхняя граница интервала.

Для следующейварианты (Xmin+d)становятся нижней границей интервала, а верхняя граница на d – больше нижней и т.д.Образовав группы с равными интервалами находят частоту (вес) каждой группы(вариант) т.е. подсчитывают число единиц совокупности входящих в каждую группупри этом необходимо задаться условием: если знание признака у единицы большесовокупности верхней границе интервала то это единица войдет в следующийинтервал, т.е. чтобы Xi вошло в соответствующую группу ее значениедолжно быть в пределах

xmin< xi< (xmin+ d)

Для расчетасредней и показателей вариации определяют середину интервала (Xi), которая равна полусумме его нижней и верхней границ.

Xi=[Xmin+ (Xmin+ d)]/2

 

Расчет средней и показателей вариации по даннымзадачи требует применения арифметической средней, так как данные представлены ввиде вариант и частот. Вес каждой варианты различен, поэтому расчет производятпо средней арифметической взвешенной.

xi= Σxi∙fi/ Σfi,

Где Xi – средняя арифметическая.

Xi – значение варианты определяемого признака (срединаинтервала).

fi – частота (вес) варианты.

Чтобывычислить среднюю вначале следует взвесить варианты (перемножить варианты на ихчастоты (Xi*fi), затем найти сумму ихпроизведений (SXi*fi), сумму частот (Sfi) и поделить суммупроизведений вариант на частоты на сумму частот (1)). Расчет дисперсии –производят по формуле:

σ2= Σ(xi<sub/>— xi)2 ∙ fi/ Σfi

Следовательно,прежде всего, необходимо найти отклонения вариант от средней (xi<sub/>— xi), затем возвести их вквадрат ([(xi<sub/>— xi)2]) квадраты отклонениявзвесить [(xi - xi)2 ∙ fi] и просуммироватьвзвешенные квадраты отклонений [Σ(xi<sub/>— xi)2 ∙ fi.]. Полученную суммуразделить на сумму частот (2).

Среднееквадратическое отклонение устанавливают извлечением корня квадратного из значениядисперсии

σ<sup/>= √ σ2

Коэффициентдетерминации вычисляется по формуле

 

η2 = σ2вн<sup/>/σ2 об,

Где σ2вн<sup/> — внутригрупповаядисперсия.

σ2 об — общая дисперсия.

Эмпирическоекорреляционное отношение рассчитывается поформуле

 

η<sup/>= √ σ2вн<sup/>/σ2 об,

Задача 1.

Имеются следующиеданные о рабочих одного из участников механического цеха

Рабочий Возраст, лет

Месячная

З/П, грн.

Рабочий Возраст, лет

Месячная

З/П, грн.

1 25 180,00 11 18 100,00 2 24 210,00 12 37 280,00 3 46 390,00 13 25 190,00 4 45 320,00 14 30 220,00 5 42 260,00 15 26 210,00 6 50 310,00 16 36 300,00 7 29 240,00 17 40 330,00 8 36 290,00 18 28 240,00 9 54 390,00 19 35 280,00 10 29 250,00 20 25 280,00

Для выявлениязависимости между возрастом рабочих и оплатой их труда произведите их группировкупо возрасту образовав пять групп с равными интервалами.

По каждойгруппе и совокупности рабочих в целом подсчитайте:

1.        Числорабочих;

2.        Среднийвозраст;

3.        Среднююзаработную плату;

Результатыпредставьте в таблице. Проанализируйте показатели и сделайте краткие выводы.

 

Решение

1.1 Найдем минимальное и максимальное значение вариантыданной совокупности

Min = 18 лет;

Мах = 54 лет.

Определимразмах вариации:

D = 54 – 18 = 36;

Тогдавеличина интервала составит:

d = (54 – 18) / 5 = 7 (лет).

1.2   Определимграницы интервалов (групп) и их середины:

Таблица 1.

№ группы

Границы интервала

Середина интервала

1

18–25 21,5

2

25–32 28,5

3

32–39 35,5

4

39–46 42,5

5

46–54 49,5

1.3 Определимпринадлежность каждого рабочего к определенному интервалу (произведем группировку)

В группу 1(границы: 18 – 25) входят рабочие:

№11 возраст составляет18 лет с заработной платой 100,00 грн

№2 (возраст =24 года) с (з/п = 210,00 грн)

№1 (возраст =25 лет) с (з/п = 180,00 грн)

№13 (возраст =25 лет) с (з/п = 190,00 грн)

№20 (возраст =25 лет) с (з/п = 280,00 грн)

Количествочеловек в 1‑ой группе –5

В группу 2(границы: 25 – 32) входят рабочие:

№15 (возраст =26 лет) с (з/п = 210,00 грн)

№18 (возраст =28 лет) с (з/п = 240,00грн)

№7 (возраст =29 лет) с (з/п = 240,00грн)

№10 (возраст =29 лет) с (з/п = 250,00грн)

№14 (возраст =30 лет) с (з/п = 220,00грн)

Количествочеловек во 2‑ой группе – 5

В группу 3(границы:32 – 39) входят рабочие:

№19 (возраст =35 лет) с (з/п = 280,00 грн)

№8 (возраст =36 лет) с (з/п = 290,00грн)

№16 (возраст =36 лет) с (з/п = 300,00грн)

№12 (возраст =37 лет) с (з/п = 280,00грн)

Количествочеловек в 3‑й группе – 4

В группу 4(границы: 39 – 46) входят рабочие:

№17 (возраст= 40 лет) с (з/п = 330,00 грн)

№5 (возраст =42 года) с (з/п = 260,00грн)

№4 (возраст =45 лет) с (з/п = 320,00грн)

№3 (возраст =46 лет) с (з/п = 390,00грн)

Количествочеловек в 4‑й группе – 4

В группу 5(границы: 46 – 54) входят рабочие:

№6 (возраст =50 лет) с (з/п = 310,00 грн)

№9 (возраст =54 года) с (з/п = 390,00 грн)

Количествочеловек в 5‑й группе –2

1.4 Определимсредний возраст работы по каждой группе и по совокупности рабочих в целом

Группа 1 х1= (18+24+25+25+25)/ 5 = 23,4 (года);

Группа 2 х2= (26+28+29+29+30) / 5 = 28,4 (года);

Группа 3 х3= (35+36+36+37) / 4 =36 (лет);

Группа 4 х4= (40+42+45+46) / 4 = 43,25 (года);

Группа 5 х5= (50 + 54) / 2 = 52 (года);

По совокупности в целом:

Х = (23,4 · 5+ 28,4 · 5 + 36 · 4 + 43,25 · 4 + 52 · 2) / 20 =34 (года)

1.5 Определимсреднюю заработную плату по каждой группе и по совокупности рабочих в целом

Группа 1 х1= (100+210+180+190+280)/ 5 = 192,00 (грн);

Группа 2 х2= (210+240+240+240+250+220) / 5 = 280,00 (грн);

Группа 3 х3= (280+300+290+280) / 4 =287,50 (грн);

Группа 4 х4= (330+260+320+390) / 4 = 325,00 (грн);

Группа 5 х5= (310+390) / 2 = 350,00 (грн);

Посовокупности в целом: Х = (192,00 · 5 + 280,00 · 5 + 287,50 · 4 + 325,00 · 4 + 350,00· 2) / 20 =236,50 (грн).

Таблица 3. Группировкарабочих по возрасту работы.

№ группы Границы интервалов Показатели по каждой группе Показатели по совокупности в целом Вес варианты Средний возраст работы Средняя заработная плата Средний возраст работы Средняя заработная плата

1

18–25 5 23,4 192,00

2

25–32 5 28,4 280,00

3

32–39 4 36 287,50 34 236,50

4

39–46 4 43,25 325,00

5

46–54 2 52 350,00

Выводы: На основании полученныхрезультатов по группировке рабочих по возрасту и проведенных расчетов можносделать следующие выводы:

– наибольшееколичество рабочих имеют возраст в пределах 18 – 25 лет (в среднем 23,4 года) и25 – 32 лет (в среднем 28,4 года), наименьшее количество рабочих имеют возраств интервале 46 – 54 года (в среднем 52 года). Средний же возраст работниковпредприятия составляет 34 года.

– наибольшуюсреднюю заработную плату имеют рабочие входящие в пятую группу возрастных пределов46 – 54 года (в среднем 350,00 грн), наименьшую среднюю заработную плату имеютрабочие входящие в первую группу возрастных пределов 18 – 25 лет (в среднем192,00 грн). Средняя заработная плата работников предприятия составляет 236,50грн.

Задача 7

По даннымзадачи 1 для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой трудавычислить коэффициент детерминации.

Решение

Определимдисперсию по каждой группе рабочих и по совокупности в целом:

Группа 1 s 21= ((18 – 23,4)2 + (24 – 23,4)2 + 3 ∙ (25 – 23,4)2)/ 5 =7,44;

Группа 2 s 22= ((26 – 28,4)2 + (28 – 28,4)2 + 2 ∙ (29 – 28,4)2+ (30 – 28,4)2) / 5 = 1,84;

Группа 3 s 23= ((35 – 36)2 + 2 ∙ (36 – 36)2 + (37 – 36)2)/ 4 = 0,5;

Группа 4 s 24= ((40 – 43,25)2 + (42 – 43,25)2 + (45 – 43,25)2+ (46 – − 43,25)2) / 4 = 5,69;

Группа 5 s 25= ((50 – 52)2 + (54 – 52)2) / 2 =4.

По совокупностив целом:

s2 = ((21,5 – 34)2 · 5 + (28,5 – 34)2 · 5 + (35,5– 34)2 · 4 + (42,5 – 34)2 · 4 + (49,5 – 34)2 ·2) / 20 =85,55.

Определимобщую дисперсию

= [(21,5 2· 5 + 28,52 · 5 + 35,52 · 4 + 42,52 · 4 + 49,52· 2) / 20] – [(21,5 · 5 + 28,5 · 5 + 35,5 · 4 + 42,5 · 4 + 49,5<sup/>·2) / 20)]2 =1176,95 – 1092,30 = 84,65.

Задача 2

За отчетныйпериод имеются следующие данные об электровооруженности труда выработке продукциирабочими завода

Рачий Электровооруженность труда одного рабочего, кВт*ч Рачий Электровооруженность труда одного рабочего, кВт*ч 1 24,7 11 27,4 2 23,0 12 26,7 3 24,0 13 23,3 4 28,0 14 22,1 5 26,3 15 25,8 6 24,3 16 22,6 7 24,7 17 23,6 8 20,0 18 25,9 9 21,4 19 21,9 10 25,0 20 23,8

Сгруппируйтерабочих по электровооруженности труда, образовав четыре группы с равнымиинтервалами.

По каждойгруппе и совокупности рабочих в целом подсчитайте:

1.        Ихчисло;

2.        Среднююэлектровооруженность труда;

3.        Дисперсиюи среднее квадратическое отклонение;

4.        Коэффициентвариации.

Постройтегистограмму и полигон распределения рабочих. Сделайте вывод.

Решение

Группировкарабочих по электровооруженности труда.

1. Найдем минимальноеи максимальное значение варианты данной совокупности по признаку возраста:

Min = 20 кВт·ч;

Мах = 28кВт·ч.

Опредилимразмах вариации:

D =28 – 20=8 (кВт·ч);

Тогда величина интервала составит:

d = (28 – 20) / 4 = 2(кВт·ч).

2. Определимграницы интервалов (групп) и их середины:

Таблица 1

№ группы Границы интервала Середина интервала 1 20 – 22 21 2 22 – 24 23 3 24 – 26 25 4 26 – 28 27

4.        Определимпринадлежность каждого рабочего к определенному интервалу (произведемгруппировку)

В группу 1(границы: 20 – 22) входят рабочие:

№8 (Электровооруженность труда =20,0 кВт·ч)

№9 (Электровооруженностьтруда =21,4 кВт·ч)

№19(Электровооруженность труда = 21,9 кВт·ч)

Количествочеловек в 1‑ой группе = 3

В группу 2(границы: 22 – 24) входят рабочие:

№2 (Электровооруженностьтруда = 23,0 кВт·ч)

№13 (Электровооруженность труда = 23,3 кВт·ч)

№14 (Электровооруженностьтруда = 22,1 кВт·ч)

№16 (Электровооруженностьтруда = 22,6 кВт·ч)

№17 (Электровооруженностьтруда = 23,6 кВт·ч)

№20 (Электровооруженностьтруда = 23,8 кВт·ч)

Количествочеловек во 2‑ой группе = 6

В группу 3(границы: 24 – 26) входят рабочие:

№1 (Электровооруженностьтруда = 24,7 кВт·ч)

№3 (Электровооруженностьтруда = 24,0 кВт·ч)

№6 (Электровооруженностьтруда = 24,3 кВт·ч)

№7 (Электровооруженностьтруда = 24,7 кВт·ч)

№10 (Электровооруженностьтруда = 25,0 кВт·ч)

№15 (Электровооруженностьтруда = 25,8 кВт·ч)

№18 (Электровооруженностьтруда = 25,9 кВт·ч)

Количествочеловек в 3‑й группе = 7

В группу 4(границы: 11 – 13) входят рабочие:

№4 (Электровооруженность труда = 28,0 кВт·ч)

№5 (Электровооруженностьтруда = 26,3 кВт·ч)

№11 (Электровооруженностьтруда = 27,4 кВт·ч)

№12 (Электровооруженностьтруда = 26,7 кВт·ч)

Количествочеловек в 4‑й группе = 4

5.        Определимсреднюю электровооруженность труда по каждой группе рабочих в отдельности и повсей совокупности в целом:

Группа 1 х1= (19,0 + 20,4 + 20,9) / 3 = 20,1 (кВт·ч)

Группа 2 х2= (22,0 + 22,3 + 21,1 + 21,6 + 22,6 + 22,8) / 6 = 22,1 (кВт·ч);

Группа 3 х3= (23,7 + 23,0 + 23,3 + 23,7 + 24,0 + 24,8 + 24,9) / 7 = 23,9

(кВт·ч);

Группа 4 х4= (27,0 + 25,3 + 26,4 + 25,7) / 4 = 26,1 (кВт·ч).

По совокупностив целом:

Х = (20 · 3 +22 · 6 + 24 · 7 + 26 · 4) / 20 = 23,2 (кВт·ч)

6.        Определимдисперсию по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности вцелом:

Группа 1 s 21= ((19,0 – 20,1)2 + (20,4 – 20,1)2 + (20,9 – 20,1)2)/ 3 = 0,65.

Группа 2 s 22= ((22,0 – 22,1)2 + (22,3 – 22,1)2 + (21,6 – 22,1)2+ (21,1 –

-22,1)2+ (22,6 – 22,1)2 + (22,8 – 22,1)2) / 6 = 0,34.

Группа 3 s 23= ((23,7 – 23,9)2 + (23 – 23,9)2 + (23,3 – 23,9)2+ (23,7 – 23,9)2

+ (24,0 – 23,9)2+(24,8 – 23,9)2 + (24,9 – 23,9)2) / 7 = 0,44.

Группа 4 s 24= ((27,0 – 26,1)2 + (25,3 – 26,1)2 + (26,4 – 26,1)2+ (25,7 –

-                                  26,1)2)/ 4 = 0,42.

Посовокупности в целом:

s2 = ((20 – 23,2)2 ·3+ (22 – 23,2)2 · 6+ (24 –23,2)2 · 7+ (26 – 23,2)2 · 4) / 20 =3,76

7.        Определимсреднее квадратическое отклонение по каждой группе рабочих в отдельности и повсей совокупности в целом:

Группа 1 s1 = Ö0,65= 0,8. (кВт·ч)

Группа 2 s2 = Ö0,34 = 0,58(кВт·ч)

Группа 3 s3 = Ö0,44 = 0,66(кВт·ч)

Группа 4 s4 = Ö0,42 = 0,65(кВт·ч)

Посовокупности в целом:

s= Ö3,76 = 1,94 (кВт·ч).

8.        Определимкоэффициент вариации по каждой группе рабочих в отдельности и по всейсовокупности в целом:

Группа 1 v1 = 0,8 / 20,1 = 0,040 (4,0%).

Группа 2 v2 = 0,58 / 22,1 = 0,026 (2,6%).

Группа 3 v3 = 0,66 / 23,9 = 0,028 (2,8%).

Группа 4 v4 = 0,65 / 26,1 = 0,025 (2,5%).

Посовокупности в целом:

V = 1,94 / 23,2 = 0,084 (8,4%).

Таблица 1. Группировкарабочих по электровооруженности труда

Границы интервалы Середина интервала Вес варианты Показатели по каждой группе Средняя электровооруженность труда. Дисперсия Ср. квад. отклонение Коеффициент вариации % 19 – 21 20 3 20,1 0,65 0,8 4,0 21 – 23 22 6 22,1 0,34 0,58 2,6 23 – 25 24 7 23,9 0,44 0,66 2,8 25 – 27 26 4 26,1 0,42 0,65 2,5

/>

/>

 

Выводы

На основании полученных результатов по группировке рабочихпо электровооруженности труда и проведенных расчетов можно сделать следующиевыводы:

– наибольшееколичество рабочих имеют электровооруженности труда в пределах 23–25 кВт·ч (всреднем 24 кВт·ч), наименьшее количество рабочих имеют электровооруженности трудав интервале 19 – 21 кВт·ч (в среднем 20 кВт·ч). Средняя электровооруженности трудаработников предприятия составляет 23,2 кВт·ч.

– всреднем отклонение от средней электровооруженности труда работников как всторону увеличения, так и в сторону уменьшения составляет 1,94 кВт·ч, чтосоставляет 8,4%.

Лабораторнаяработа №2

Расчет средней и показателей по даннымсгруппированного массива

Цель –научиться производить расчеты на ЭВМ по данным интервального вариационногоряда. Рассчитать среднюю, среднее квадратическое отклонение. Построить полигони гистограмму. Проанализировать полученные данные.

Расчет средней,дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам (1) и(3). Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые»варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу суммуинтервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi – частоты повторениякаждой варианты.

Среднеелинейное отклонение L– есть средняя арифметическая из абсолютныхзначений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:

L=(S(Xi-X)*fi)/Sfi

Согласноформуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X), а затем каждоеабсолютное отклонение взвешивают ((Xi-X)*fi), суммируют взвешенныеабсолютные отклонения (S(Xi-X)*fi) и это суммы делят насумму частот (Sfi).

Задача 1

В целяхизучения норм расхода сырья на единицу продукции из партий изделий проведенадвухпроцентная механическая выборка, в результате которой получена двухпроцентнаямеханическая выборка, в результате которой получено следующее распределение

Расход сырья, г

Изготовлено изделий, шт. До 20 25

20–22

32 22–24 67 24–26 37

Свыше 26

24 Итого 185

Определите:

1.        средний расход сырья на одно изделие;

2.        дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

3.        среднее линейное отклонение;

4.        коэффициент вариации.

Решение предоставьте в таблице. Поясните значение исчисленных

показателей.

Решение

Для упрощениярешения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсиивоспользуемся способом моментов:

Расход сырья на 1‑цу изделия, г. Изготовленно изделий, шт. Середина интервала. |Х-Х|·f (X – A)

(X – A)

i

(Х – А)·f

i

(Х – А)2

i2

(X – A)2 ·f

i2

До 20 25 19 100 -4 -2 -50 4 100 20 – 22 32 21 64 -2 -1 -32 1 32 22 – 24 67 23 24 – 26 37 25 72 2 1 37 1 37 Свыше 26 24 27 96 4 2 48 4 96 Итого 185

å |Х-Х| · f=

332

å(X-A)

·f/ i =

3

å((X – A) / i)2·f =

265

 

1. Для нахождения среднейидисперсии воспользуемся способом моментов: Х=m1 · i +A; s2 = i2 (n ·(m2 – m1 2);

m1=å((X – A) ·f / i))/åf; m2= å((X – A) / i)2·f)/åf;

где

m1, m2 – соответственномоменты первого и второго порядка;

i – величина интервала;

А – варианта,имеющая наибольшую частоту;

F – значение весов иличастот каждой варианты.

Наиболеечастото встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. ЗначитА=23 (г.).

Определимвеличину интервала (визуально видно, что интервалы имееют равную величину):

I=22–20=24–22=26–24=2 (г.)

На основаниирасчетов представленных в таблице найдем Х и s2:

Х= (3/185) ·2 + 23=23,03 (г.)

s2 = 4 · ((265/185) – (3/185)2)= 4 · (1,43 – 0)=5,72

Найдем среднееквадратическое отклонение:

s=√5,72=2,39 (г.)

 

2. Определим среднеелинейное отклонение:

L= 332/185=1,79(г.)

 

3. Определим коэффициентвариации:

V=1,79/23,03=0,078(7,8%).

Вывод

На основании проведенныхрасчетов можно сделать следующие выводы:

– средний расход сырья наединицу изделия равен ≈ 23 г.

– среднееквадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднегорасхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторонууменьшения на 2,39 г., что составляет 7,8% (см. коэффициент вариации).

– среднее линейноеотклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья наединицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, номенее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,79 г.

Лабораторнаяработа №3

 Расчет внутри групповой и межгрупповой дисперсии. Правило сложениядисперсий

Цель –изучить элементы дисперсионного анализа. Получить практические навыкипроизводства на ЭВМ трудоемких расчетов показателей внутригрупповой,межгрупповой дисперсий для различного количества групп. Произвести расчеткорреляционного отношения.

Проверитьправило сложений дисперсий. Приобрести навыки анализа и практическогоприменения этих показателей.

Выполнениезадания предусматривает расчет показателей, характеризующих случайную исистематическую вариации и их роли в общей вариации. Эти показатели широкоиспользуются на производстве при количественной оценке влияния различныхфакторов на те или иные показатели, осуществляемой с помощью дисперсионногоанализа.

Общаядисперсия рассматривалась при выполнение заданий 1 и 2. Она характеризует общуювариацию под влиянием всех причин, ее вызывающих и исчисляется по формуле (3).

Для оценкивлияния группировочного признака (постоянного фактора) на величину вариацийрассчитывают межгрупповую дисперсию, исчисляемую на основании групповыхсредних:

 U² =(S(Xi-X)² *fi)/Sfi(1)

U² – межгрупповаядисперсия;

Xi – групповые средниеисчисляются по формуле (1)

X – общее среднее (такжеисчисляется по формуле (1)

fi – групповые частоты.

При оценкевлияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют внутригрупповуюдисперсию. Она исчисляется как средняя арифметическая из групповыхдисперсий.

s² =(Ss² i*fi)/Sfi(2)

s² –внутригрупповая (средняя из групповых)дисперсия;

s² – групповыедисперсии (исчисляютсяпо формуле (2)).

В математическойстатистика доказано, что общая дисперсия s² равнасумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е.

 

s²= s²+U²

Исходя из этого правила, можно определить влияние случайной и систематической дисперсий на общую дисперсию, установить тесноту связимеждупризнаками. Для этого применяется в дисперсионном анализе корреляционноеотношение ν:

 

ν=s/х

Задача 2

Имеютсяследующие данные о распределении рабочих по возрасту работы двух заводов иобъединения

Возраст работы, лет

Количество рабочих

Завод 1 Завод 2

Объединение

До 5 лет 67 32 99 5–10 125 77 202 10–15 162 119

281

15–20 89 70 159

Свыше 20

42 37 79

Определите:

1.        среднийвозраст работы одного рабочего по каждому заводу и по объединению в целом;

2.        дисперсиюдля каждого завода (внутригрупповую) и для объединения в целом (общую);

3.        среднююиз внутригрупповых дисперсий;

4.        межгрупповуюдисперсию;

5.        корреляционноеотклонение.

Проверьтеправило сложения дисперсий. Поясните сущность исчисленных показателей.

Решение

1. Определим средний возрастработы одного рабочего по каждому заводу и по объединению в целом.

Так как намдан интервальный ряд с равными интервалами, то определим сначала серединыинтервалов и полученные данные занесем в таблицу.

Таблица 1

Возраст работы, лет. Середина интервала. Количество рабочих. Завод 1 Завод 2 Объединение. До 5 2,5 67 32 99 5 – 10 7,5 125 77 202 10 – 15 12,5 162 119 281 15 – 20 17,5 89 70 159 Свыше 20 22,5 42 37 79 Итого 485 335 820

Средний возрастработы одного рабочего на заводе 1:

Х1 = (2,5 ·67 + 7,5 · 125 + 12,5 · 162 + 17,5 · 89 + 22,5 · 42)/485=11,6(лет).

Средний возрастработы одного рабочего на заводе 2:

Х2 = (2,5 ·32 + 7,5 · 77 + 12,5 · 119 + 17,5 · 70 + 22,5 · 37)/335=12,5(лет).

Средний возрастработы одного рабочего на объединении в целом:

Х =(2,5 ·99 + 7,5 · 202 + 12,5 · 281 + 17,5 · 159 + 22,5 · 79)/820=12,0(лет).

2. Определим дисперсию длякаждого завода в отдельности (внутригрупповую) и по объединению в целом:

Дисперсия назаводе 1:

s2 1= ((2,5–11,6)2 · 67 + (7,5–11,6)2 ·125 +(12,5–11.6)2 · 163 + (17,5 –11,6)2· 89 +(22,5–11,6)2 · 42)/485=32,72;

Дисперсия назаводе 1:

s22=((2,5–12,5)2 · 32 + (7,5–12,5) 2·77 + (12,5–12,5)2 ·119 + (17,5–12,5) 2· 70+(22,5–12,5)2 · 37)/335=31,57

Дисперсия пообъединению в целом (общую дисперсию):

u 2=((2,5–12.0)2· 99 + (7,5–12,0) 2 · 202 + (12,5–12,0)2 ·281 + (17,5–12,0)2 ·159 + (22,5–12,0) 2 ·79)/820=32,46

3. Определим среднюю извнутригрупповых дисперсий:

s2 =(32,72+31,57) /2=32,15

4. Определим межгрупповуюдисперсию:

s2 = ((11,6–12,0)2 ·485 +(12,5–12,0)2 ·335)/820=0,20

5. Определим среднееквадратическое отклонение для каждого завода в отдельности и по объединению вцелом:

Завод 1:

s1=√32,72=5,72(лет).

Завод 2:

s2=√31,57=5,62(лет).

Объединение:

s=√32,46=5.7(лет).

6. Определим корреляционноеотклонение (коэффициент вариации):

Корреляционное отклонение (коэффициентвариации) для завода 1:

ν =√32,72 /11,6=0,493(49,3%);

Корреляционноеотклонение (коэффициент вариации) для завода 2:

ν = √31,57/12,5=0,449 (44,9%);

Корреляционноеотклонение (коэффициент вариации) по объединению в целом (общее):

ν = √32,46 /12,0=0,475(47,5%).

7. Проверим правило сложениядисперсий:

u 2=<sup/>32,17+0,2=32,37≈32,46

 

Выводы

На основаниипроведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– средний возрастработы одного рабочего на заводе 1 равен 11,6 лет, на заводе 2 -12,5 лет и пообъединению в целом -12,0 лет.

– в среднемотклонение от среднего возраста работы одного рабочего, как в сторонуувеличения, так и в сторону уменьшения по заводу 1 составляет 5,72 лет (или 49,3%),по заводу 2 –5,62 лет (или 44,9%), по объединению в целом –5,7 лет (или 47,5%).