Реферат: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

--PAGE_BREAK--Нехай відома характеристична функція течії
<imagedata src=«31821.files/image174.wmz» o:><img width=«345» height=«44» src=«dopb147389.zip» v:shapes="_x0000_i1116">       (1.57)
яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, зробивши в рівнянні конвективної дифузії (1.49) заміну змінних <imagedata src=«31821.files/image176.wmz» o:><img width=«85» height=«23» src=«dopb147390.zip» v:shapes="_x0000_i1117"> й <imagedata src=«31821.files/image178.wmz» o:><img width=«88» height=«23» src=«dopb147391.zip» v:shapes="_x0000_i1118"> одержимо наступне рівняння.
Взявши середню величину <imagedata src=«31821.files/image180.wmz» o:><img width=«72» height=«24» src=«dopb147392.zip» v:shapes="_x0000_i1119">, щовходить у праву частину рівняння (1.49) по області наведеного комплексного потенціалу <imagedata src=«31821.files/image182.wmz» o:><img width=«80» height=«20» src=«dopb147393.zip» v:shapes="_x0000_i1120">, і заміняючи її деякою середньою величиною <imagedata src=«31821.files/image184.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb147394.zip» v:shapes="_x0000_i1121">, розглянемо два типи нестаціонарних крайових завдань.
Перший тип крайових завдань виникає при фільтрації забруднених вод у відкриті водойми (водоймища), коли в останні підтримується задана концентрація речовин. Ці задачі формулюються в такий спосіб: потрібно знайти рішення <imagedata src=«31821.files/image186.wmz» o:><img width=«65» height=«21» src=«dopb147395.zip» v:shapes="_x0000_i1122"> рівняння
<imagedata src=«31821.files/image188.wmz» o:><img width=«236» height=«47» src=«dopb147396.zip» v:shapes="_x0000_i1123">              (1.58)
задовольняючій або граничній умовам виду (перша задача)
<imagedata src=«31821.files/image190.wmz» o:><img width=«335» height=«51» src=«dopb147397.zip» v:shapes="_x0000_i1124">        (1.59)
або умовам, що враховують механізм дифузійного відводу речовини від границі на вході фільтраційної течії (друга задача):
<imagedata src=«31821.files/image192.wmz» o:><img width=«259» height=«51» src=«dopb147398.zip» v:shapes="_x0000_i1125">           (1.60)
і початковій умові
<imagedata src=«31821.files/image194.wmz» o:><img width=«149» height=«24» src=«dopb147399.zip» v:shapes="_x0000_i1126">                 (1.61)
Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що рішенням двовимірних крайових завдань (1.58), (1.59), (1.61) і (1.58), (1.60), (1.61) будуть функції <imagedata src=«31821.files/image196.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb147400.zip» v:shapes="_x0000_i1127"> й <imagedata src=«31821.files/image198.wmz» o:><img width=«61» height=«24» src=«dopb147401.zip» v:shapes="_x0000_i1128">, щоє рішеннями відповідних одномірних крайових завдань:
<imagedata src=«31821.files/image200.wmz» o:><img width=«299» height=«49» src=«dopb147402.zip» v:shapes="_x0000_i1129">          (1.62)
<imagedata src=«31821.files/image202.wmz» o:><img width=«325» height=«25» src=«dopb147403.zip» v:shapes="_x0000_i1130">        (1.63)
<imagedata src=«31821.files/image204.wmz» o:><img width=«271» height=«49» src=«dopb147404.zip» v:shapes="_x0000_i1131">          (1.64)
                                                           <imagedata src=«31821.files/image206.wmz» o:><img width=«404» height=«53» src=«dopb147405.zip» v:shapes="_x0000_i1132">     (1.65)
Підставляючи це рішення у вигляді суми рішень стаціонарного й нестаціонарного завдань і застосовуючи метод поділу змінних, одержимо рішення нестаціонарних завдань конвективної дифузії, які після розподілу на c1 і введення безрозмірних величин <imagedata src=«31821.files/image208.wmz» o:><img width=«60» height=«23» src=«dopb147406.zip» v:shapes="_x0000_i1133"> і <imagedata src=«31821.files/image210.wmz» o:><img width=«68» height=«23» src=«dopb147407.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> запишуться в наступному вигляді.
<imagedata src=«31821.files/image212.wmz» o:><img width=«395» height=«47» src=«dopb147408.zip» v:shapes="_x0000_i1135">      (1.66)
<imagedata src=«31821.files/image214.wmz» o:><img width=«405» height=«45» src=«dopb147409.zip» v:shapes="_x0000_i1136">      (1.67)
де власні значення <imagedata src=«31821.files/image216.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb147410.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> й <imagedata src=«31821.files/image218.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb147411.zip» v:shapes="_x0000_i1138"> визначаються рівняннями
<imagedata src=«31821.files/image220.wmz» o:><img width=«228» height=«41» src=«dopb147412.zip» v:shapes="_x0000_i1139">              (1.68)
<imagedata src=«31821.files/image222.wmz» o:><img width=«301» height=«44» src=«dopb147413.zip» v:shapes="_x0000_i1140">           (1.69)
Коефіцієнти <imagedata src=«31821.files/image224.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb147414.zip» v:shapes="_x0000_i1141"> й <imagedata src=«31821.files/image226.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb147415.zip» v:shapes="_x0000_i1142"> обчислюються за формулами
<imagedata src=«31821.files/image228.wmz» o:><img width=«423» height=«53» src=«dopb147416.zip» v:shapes="_x0000_i1143">    (1.70)
 <imagedata src=«31821.files/image230.wmz» o:><img width=«611» height=«45» src=«dopb147417.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> (1.71)
Другий тип крайових задач конвективної дифузії підземної води, речовин що забруднять, характеризується гарничною умовою, що приймається на виході фільтраційного потоку, коли спостерігається інтенсивний відвід із дренажного каналу CD. У цьому випадку рішенням стаціонарних задач буде стала, значення якої залежить від крайової умови на вході фільтраційного потоку.
Тому перейдемо до розгляду нестаціонарних завдань. Осереднюючи швидкість фільтрації по просторовим змінним, приходимо до наступних двох крайових завдань: Потрібно знайти рішення <imagedata src=«31821.files/image232.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb147418.zip» v:shapes="_x0000_i1145">рівняння
<imagedata src=«31821.files/image234.wmz» o:><img width=«293» height=«47» src=«dopb147419.zip» v:shapes="_x0000_i1146">          (1.72)
задовольняючим крайовим умовам:
<imagedata src=«31821.files/image236.wmz» o:><img width=«316» height=«53» src=«dopb147420.zip» v:shapes="_x0000_i1147">         (1.73)
а у випадку обліку механізму дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку (друга крайова задача) потрібно знайти вирішення <imagedata src=«31821.files/image238.wmz» o:><img width=«61» height=«24» src=«dopb147421.zip» v:shapes="_x0000_i1148"> рівняння
<imagedata src=«31821.files/image240.wmz» o:><img width=«297» height=«47» src=«dopb147422.zip» v:shapes="_x0000_i1149">          (1.74)
задовольняючим крайовим умовам:
<imagedata src=«31821.files/image242.wmz» o:><img width=«348» height=«53» src=«dopb147423.zip» v:shapes="_x0000_i1150">  (1.75)
Застосування методу Фур'є до крайової задачі(1.72)-(1.73) дає вирішення
<imagedata src=«31821.files/image244.wmz» o:><img width=«313» height=«45» src=«dopb147424.zip» v:shapes="_x0000_i1151">     (1.76)
де <imagedata src=«31821.files/image246.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb147425.zip» v:shapes="_x0000_i1152">, функція <imagedata src=«31821.files/image248.wmz» o:><img width=«32» height=«25» src=«dopb147426.zip» v:shapes="_x0000_i1153"> визначається рівностями
<imagedata src=«31821.files/image250.wmz» o:><img width=«263» height=«51» src=«dopb147427.zip» v:shapes="_x0000_i1154">        (1.77)
<imagedata src=«31821.files/image252.wmz» o:><img width=«265» height=«28» src=«dopb147428.zip» v:shapes="_x0000_i1155">       (1.78)
Коефіцієнти <imagedata src=«31821.files/image254.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb147429.zip» v:shapes="_x0000_i1156"> обчислюються по наступній формулі:
<imagedata src=«31821.files/image256.wmz» o:><img width=«247» height=«52» src=«dopb147430.zip» v:shapes="_x0000_i1157">.              (1.79)
Рішення крайової задачі (1.74)-(1.75) одержуємо в наступному виді:
<imagedata src=«31821.files/image258.wmz» o:><img width=«443» height=«51» src=«dopb147431.zip» v:shapes="_x0000_i1158">    (1.80)
де коефіцієнти <imagedata src=«31821.files/image260.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb147432.zip» v:shapes="_x0000_i1159"> обчислюються по формулі
<imagedata src=«31821.files/image262.wmz» o:><img width=«197» height=«48» src=«dopb147433.zip» v:shapes="_x0000_i1160">              (1.81)
а власні значення λn визначаються з рівняння
λn =<imagedata src=«31821.files/image264.wmz» o:><img width=«200» height=«45» src=«dopb147434.zip» v:shapes="_x0000_i1161">                (1.82)
Замість власних значень λn можна шукати значення v<imagedata src=«31821.files/image266.wmz» o:><img width=«11» height=«25» src=«dopb147435.zip» v:shapes="_x0000_i1162">= λ<imagedata src=«31821.files/image268.wmz» o:><img width=«11» height=«25» src=«dopb147435.zip» v:shapes="_x0000_i1163">+ µ2 з рівняння
<imagedata src=«31821.files/image269.wmz» o:><img width=«204» height=«52» src=«dopb147436.zip» v:shapes="_x0000_i1164">             (1.83)
Таким чином, отримані аналітичні рішення всіх основних крайових завдань конвективної дифузії, забруднюючих воду, речовин за умови осереднення швидкості фільтрації по просторових координатах.
1.1.3. Моделювання масопереносу у випадку D=D(<imagedata src=«31821.files/image001.wmz» o:><img width=«20» height=«23» src=«dopb147307.zip» v:shapes="_x0000_i1165">) при наявності масообміну
Вихідні рівняння. Процес масопереносу розчинних речовин (солей, гіпсів й ін.) при фільтрації підземних вод можна описати наступною системою диференціальних рівнянь у частинних похідних:
<imagedata src=«31821.files/image271.wmz» o:><img width=«159» height=«21» src=«dopb147437.zip» v:shapes="_x0000_i1166">                    (1.84)
<imagedata src=«31821.files/image273.wmz» o:><img width=«237» height=«41» src=«dopb147438.zip» v:shapes="_x0000_i1167">               (1.85)
<imagedata src=«31821.files/image275.wmz» o:><img width=«121» height=«41» src=«dopb147313.zip» v:shapes="_x0000_i1168">                      (1.86)
де <imagedata src=«31821.files/image276.wmz» o:><img width=«95» height=«25» src=«dopb147439.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> — вектор швидкості фільтрації; <imagedata src=«31821.files/image278.wmz» o:><img width=«73» height=«21» src=«dopb147315.zip» v:shapes="_x0000_i1170"> — потенціал швидкості фільтрації; χ — коефіцієнт фільтрації; <imagedata src=«31821.files/image279.wmz» o:><img width=«96» height=«25» src=«dopb147440.zip» v:shapes="_x0000_i1171"> — дифузійний потік або вектор масової швидкості розчиненої речовини (вектор кількості речовини, що переноситься через одиницю площадки за одиницю часу); <imagedata src=«31821.files/image281.wmz» o:><img width=«71» height=«21» src=«dopb147441.zip» v:shapes="_x0000_i1172"> і <imagedata src=«31821.files/image283.wmz» o:><img width=«76» height=«21» src=«dopb147317.zip» v:shapes="_x0000_i1173"> — концентрації речовини відповідно в рідкій і твердій фазах; <imagedata src=«31821.files/image284.wmz» o:><img width=«145» height=«23» src=«dopb147442.zip» v:shapes="_x0000_i1174"> — коефіцієнт конвективної дифузії (Dm— коефіцієнт молекулярної дифузії), σ — активна (або ефективна) пористість середовища; <imagedata src=«31821.files/image286.wmz» o:><img width=«141» height=«44» src=«dopb147443.zip» v:shapes="_x0000_i1175"> - оператор Гамільтона, α — постійна швидкості масообміну; β — коефіцієнт розподілу речовини між фазами в умовах рівноваги при лінійній ізотермі Генрі
<imagedata src=«31821.files/image288.wmz» o:><img width=«172» height=«44» src=«dopb147444.zip» v:shapes="_x0000_i1176">                       (1.87)
де Γ — коефіцієнт Генрі.
У багатьох практичних задачах як рівняння кінетики масообміну береться одне з наступних рівнянь.
1) при кристалізації або розчиненні компонентів породи у фільтрівній воді
<imagedata src=«31821.files/image290.wmz» o:><img width=«157» height=«41» src=«dopb147445.zip» v:shapes="_x0000_i1177">                          (1.88)
де <imagedata src=«31821.files/image292.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb147446.zip» v:shapes="_x0000_i1178"> -коефіцієнт насичення:
2) при нерівномірній необоротній сорбції або десорбції відповідно
<imagedata src=«31821.files/image294.wmz» o:><img width=«139» height=«41» src=«dopb147447.zip» v:shapes="_x0000_i1179">                              (1.89)
3) при рівноважній сорбції або десорбції відповідно
<imagedata src=«31821.files/image296.wmz» o:><img width=«252» height=«45» src=«dopb147448.zip» v:shapes="_x0000_i1180">        (1.90)
<imagedata src=«31821.files/image298.wmz» o:><img width=«284» height=«45» src=«dopb147449.zip» v:shapes="_x0000_i1181">   (1.91)
де <imagedata src=«31821.files/image300.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb147450.zip» v:shapes="_x0000_i1182"> (або<imagedata src=«31821.files/image302.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb147451.zip» v:shapes="_x0000_i1183"> ) — так звана ефективна пористість або масооб’єм поглинання (виділення) речовини породою.
Надалі як рівняння кінетики беремо рівняння (1.88), що є в математичному відношенні найбільш загальним з наведених вище. Тому у випадку плоско-вертикальної сталої фільтрації система рівнянь масопереносу запишеться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image304.wmz» o:><img width=«157» height=«45» src=«dopb147452.zip» v:shapes="_x0000_i1184">                    (1.92)
<imagedata src=«31821.files/image306.wmz» o:><img width=«445» height=«48» src=«dopb147453.zip» v:shapes="_x0000_i1185">    (1.93)
Припустимо, що вирішено фільтраційне завдання й визначений комплексний потенціал фільтрації <imagedata src=«31821.files/image308.wmz» o:><img width=«143» height=«21» src=«dopb147454.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> як деяка аналітична функція <imagedata src=«31821.files/image310.wmz» o:><img width=«63» height=«21» src=«dopb147455.zip» v:shapes="_x0000_i1187">. Тоді область комплексного потенціалу <imagedata src=«31821.files/image312.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147343.zip» v:shapes="_x0000_i1188"> буде конформно відображатися на область фільтрації z функцією
<imagedata src=«31821.files/image313.wmz» o:><img width=«423» height=«24» src=«dopb147456.zip» v:shapes="_x0000_i1189">      (1.94)
названою зазвичай характеристичною функцією течії (<imagedata src=«31821.files/image315.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb147336.zip» v:shapes="_x0000_i1190">— функція потоку). Доцільно перетворити рівняння конвективної дифузії (1.93) за допомогою заміни (1.94) до нових незалежних змінних <imagedata src=«31821.files/image316.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1191"> й <imagedata src=«31821.files/image317.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb147336.zip» v:shapes="_x0000_i1192">. При такому конформному перетворенні варто враховувати прийняте припущення про залежність коефіцієнта конвективної дифузії Dyвід швидкості фільтрації v. Крім того, варто взяти до уваги, що величина коефіцієнта конвективної дифузії Dyзалежить не тільки від величини швидкості фільтрації, але й від її напрямку як тензор, і при рішенні крайових завдань конвективної дифузії, як правило, швидкість фільтрації осереднюється або по всій області комплексного потенціалу, або по одній з координат точок цієї області.
У зв'язку із цим доцільно робити осереднення коефіцієнта конвективної дифузії в новій системі координат окремо уздовж еквіпотенциальних ліній й уздовж лінії струму. Тим самим уводиться поняття коефіцієнта поперечної конвективної дифузії D<imagedata src=«31821.files/image318.wmz» o:><img width=«11» height=«25» src=«dopb147457.zip» v:shapes="_x0000_i1193">і коефіцієнта поздовжньої конвективної дифузії D<imagedata src=«31821.files/image320.wmz» o:><img width=«12» height=«25» src=«dopb147458.zip» v:shapes="_x0000_i1194">. Таким чином, у результаті перетворення рівняння (1.93) до нових змінних одержимо
<imagedata src=«31821.files/image322.wmz» o:><img width=«323» height=«47» src=«dopb147459.zip» v:shapes="_x0000_i1195">            (1.95)
Якщо ввести безрозмірні величини
<imagedata src=«31821.files/image324.wmz» o:><img width=«319» height=«45» src=«dopb147460.zip» v:shapes="_x0000_i1196">
то рівняння (1.95) запишеться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image326.wmz» o:><img width=«293» height=«47» src=«dopb147461.zip» v:shapes="_x0000_i1197">            (1.96)
де H — діючий напір.
Одержання рішення при осереднені швидкості фільтрації.
При вивченні процесів міграції промислових або побутових стічних вод, що скидають у водойму, а також при розрахунку виносу ядохімікатів або добрив із сільськогосподарських угідь, розглянутих у вигляді смуги певної ширини, виникає необхідність визначення якісного складу підземних вод, ступеня їхнього забруднення або мінералізації. Рішення всіх цих важливих питань зводиться до розгляду відповідних крайових завдань фільтрації й конвективної дифузії, фільтраційні задачі для яких розглянуті вище.
Будемо вирішувати крайову задачу конвективної дифузії при осереднені швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу <imagedata src=«31821.files/image328.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147343.zip» v:shapes="_x0000_i1198">, потім розглянемо випадок осереднення швидкості фільтрації по одній з координат області комплексного потенціалу <imagedata src=«31821.files/image329.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1199"> або <imagedata src=«31821.files/image330.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb147336.zip» v:shapes="_x0000_i1200">. Опускаючи риски над безрозмірними величинами в рівнянні (1.96), в області <imagedata src=«31821.files/image331.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147343.zip» v:shapes="_x0000_i1201"> шукаємо рішення рівняння
<imagedata src=«31821.files/image332.wmz» o:><img width=«269» height=«47» src=«dopb147462.zip» v:shapes="_x0000_i1202">           (1.97)
де
<imagedata src=«31821.files/image334.wmz» o:><img width=«316» height=«53» src=«dopb147463.zip» v:shapes="_x0000_i1203">
при наступних граничних і початкових умовах:
<imagedata src=«31821.files/image336.wmz» o:><img width=«265» height=«51» src=«dopb147464.zip» v:shapes="_x0000_i1204">            (1.98)
<imagedata src=«31821.files/image338.wmz» o:><img width=«425» height=«51» src=«dopb147465.zip» v:shapes="_x0000_i1205">  (1.99)
причому через c1 позначена концентрація речовини у водоймі АВ, а через c0 — концентрація речовини в підземних водах у початковий момент часу t0= 0. Рішення крайової задачі (1.97)-(1.99) будемо шукати у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image340.wmz» o:><img width=«249» height=«25» src=«dopb147466.zip» v:shapes="_x0000_i1206">             (1. 100)
де функція <imagedata src=«31821.files/image342.wmz» o:><img width=«60» height=«24» src=«dopb147467.zip» v:shapes="_x0000_i1207"> знаходиться як рішення стаціонарної задачі
<imagedata src=«31821.files/image344.wmz» o:><img width=«257» height=«47» src=«dopb147468.zip» v:shapes="_x0000_i1208">             (1. 101)
<imagedata src=«31821.files/image346.wmz» o:><img width=«340» height=«51» src=«dopb147469.zip» v:shapes="_x0000_i1209">       (1. 102)
а функція <imagedata src=«31821.files/image348.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb147470.zip» v:shapes="_x0000_i1210"> знаходиться в результаті рішення нестаціонарної крайової задачі
 <imagedata src=«31821.files/image350.wmz» o:><img width=«233» height=«47» src=«dopb147471.zip» v:shapes="_x0000_i1211">                 (1. 103)
<imagedata src=«31821.files/image352.wmz» o:><img width=«296» height=«51» src=«dopb147472.zip» v:shapes="_x0000_i1212">            (1. 104)
<imagedata src=«31821.files/image354.wmz» o:><img width=«195» height=«25» src=«dopb147473.zip» v:shapes="_x0000_i1213">                 (1. 105)
Функція, що задовольняє рівнянню (1.101) і граничним умовам (1.102), не залежить від змінної ψ, а крайова задача (1.101),(1.102) еквівалентна наступній:
<imagedata src=«31821.files/image356.wmz» o:><img width=«347» height=«51» src=«dopb147474.zip» v:shapes="_x0000_i1214">         (1. 106)
Вирішивши крайову задачу, знайдемо
<imagedata src=«31821.files/image358.wmz» o:><img width=«211» height=«48» src=«dopb147475.zip» v:shapes="_x0000_i1215">               (1. 107)
де
<imagedata src=«31821.files/image360.wmz» o:><img width=«159» height=«52» src=«dopb147476.zip» v:shapes="_x0000_i1216">
Розглянемо тепер задачу
<imagedata src=«31821.files/image362.wmz» o:><img width=«457» height=«51» src=«dopb147477.zip» v:shapes="_x0000_i1217"> (1. 108)
Загальна схема методу Фур'є. Рішення крайової задачі шукаємо у вигляді <imagedata src=«31821.files/image364.wmz» o:><img width=«136» height=«24» src=«dopb147478.zip» v:shapes="_x0000_i1218">. Підставивши це рішення в (1.108), одержимо:
<imagedata src=«31821.files/image366.wmz» o:><img width=«176» height=«41» src=«dopb147479.zip» v:shapes="_x0000_i1219">                       (1. 109)
Із цієї рівності, з огляду на граничні умови, приходимо до задачі на власні значення
<imagedata src=«31821.files/image368.wmz» o:><img width=«268» height=«47» src=«dopb147480.zip» v:shapes="_x0000_i1220">          (1. 110)
Загальне рішення цього рівняння має вигляд
<imagedata src=«31821.files/image370.wmz» o:><img width=«312» height=«51» src=«dopb147481.zip» v:shapes="_x0000_i1221">          (1. 111)
Використовуючи граничні умови, одержимо рівняння для визначення всіх власних значень задачі.
<imagedata src=«31821.files/image372.wmz» o:><img width=«143» height=«45» src=«dopb147482.zip» v:shapes="_x0000_i1222">
з якого після перетворення й введення величини <imagedata src=«31821.files/image374.wmz» o:><img width=«115» height=«51» src=«dopb147483.zip» v:shapes="_x0000_i1223"> одержуємо рівняння для визначення всіх власних значень
<imagedata src=«31821.files/image376.wmz» o:><img width=«103» height=«25» src=«dopb147484.zip» v:shapes="_x0000_i1224">                   (1. 112)
Шукані власні функції запишуться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image378.wmz» o:><img width=«161» height=«39» src=«dopb147485.zip» v:shapes="_x0000_i1225">               (1. 113)
Тоді
<imagedata src=«31821.files/image380.wmz» o:><img width=«133» height=«51» src=«dopb147486.zip» v:shapes="_x0000_i1226">.                 (1.114)
З рівності (1.109) для кожного λm одержуємо рівняння
<imagedata src=«31821.files/image382.wmz» o:><img width=«136» height=«41» src=«dopb147487.zip» v:shapes="_x0000_i1227">                  (1. 115)
рішення якого має вигляд
<imagedata src=«31821.files/image384.wmz» o:><img width=«117» height=«28» src=«dopb147488.zip» v:shapes="_x0000_i1228">                   (1. 116)
З огляду на (1.113) і (1.116), записуємо часткові рішення вихідного крайової задачі у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image386.wmz» o:><img width=«304» height=«53» src=«dopb147489.zip» v:shapes="_x0000_i1229">      (1. 117)
а шукане рішення крайової задачі (1.105), (1.106) у силу узагальненого принципу суперпозиції запишеться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image388.wmz» o:><img width=«243» height=«49» src=«dopb147490.zip» v:shapes="_x0000_i1230">                (1. 118)
Використовуючи початкові умови, знаходимо коефіцієнти <imagedata src=«31821.files/image390.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb147491.zip» v:shapes="_x0000_i1231"> у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image392.wmz» o:><img width=«477» height=«51» src=«dopb147492.zip» v:shapes="_x0000_i1232">
<imagedata src=«31821.files/image394.wmz» o:><img width=«244» height=«51» src=«dopb147493.zip» v:shapes="_x0000_i1233">              (1. 119)
де r1, r2 визначаються рівностями (1.104), аµ1 = 1/(2D1) .
Таким чином, рішення вихідної крайової задачі (1.97)-(1.99) у випадку осереднення швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу ω не залежить від ψ і має такий вигляд:
<imagedata src=«31821.files/image396.wmz» o:><img width=«400» height=«48» src=«dopb147494.zip» v:shapes="_x0000_i1234">     (1. 120)
Якщо у виразах (1.119),(1.120) покласти γ* = 0, c* = 0, r1 = 0, r2 = =1/D1= 2µ1 = 2µ, то одержимо рішення задачі про забруднення підземних вод без обліку масообміну, розглянуте раніше, а саме:
<imagedata src=«31821.files/image398.wmz» o:><img width=«280» height=«45» src=«dopb147495.zip» v:shapes="_x0000_i1235">           (1. 121)
де
<imagedata src=«31821.files/image400.wmz» o:><img width=«180» height=«52» src=«dopb147496.zip» v:shapes="_x0000_i1236">                     (1. 122)
Моделювання процесу очищення (промивання) засолених земель
Нехай промивання засолених земель відбувається в результаті поливу прісною водою поверхні ґрунту й відводу вод за допомогою одиночної дрени або за допомогою системи дрен. У цьому випадку для кожної з фільтраційних схем, що зустрічаються, область комплексного потенціалу зображується у вигляді прямокутника… Тому питання вивчення процесу промивання підземного середовища зводиться до рішення в прямокутнику ABCD наступної крайової задачі.
<imagedata src=«31821.files/image402.wmz» o:><img width=«269» height=«47» src=«dopb147462.zip» v:shapes="_x0000_i1237">             (1.123)
<imagedata src=«31821.files/image403.wmz» o:><img width=«468» height=«49» src=«dopb147497.zip» v:shapes="_x0000_i1238">  (1. 124)
Бачимо, що ця крайова задача збігається із крайовою задачею (1.97)-(1.99), якщо покласти c1 = 0, c0 = cн, а отже, рішення задачі (1.123) -(1.124) виходить із рішення (1.122), якщо c1 = 0, c0= cн.
Конвективная дифузія у випадку планової фільтрації
Розглянемо такі схеми руху підземних вод, коли виконуються відомі передумови гідравлічної теорії фільтрації. Тоді у випадку сталої або квазіустановленої планової фільтрації рівняння руху підземних вод запишуться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image405.wmz» o:><img width=«347» height=«45» src=«dopb147498.zip» v:shapes="_x0000_i1239">          (1. 125)
а у випадку планової безнапірної фільтрації — у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image407.wmz» o:><img width=«360» height=«47» src=«dopb147499.zip» v:shapes="_x0000_i1240">         (1. 126)
де T — потужність напірного водоносно шару, q — вектор питомої фільтраційної витрати (м2/сут), ah — напір, що у випадку, коли вісь апплікат спрямована вертикально вниз, визначається рівністю
<imagedata src=«31821.files/image409.wmz» o:><img width=«76» height=«44» src=«dopb147500.zip» v:shapes="_x0000_i1241">                                          (1. 127)
Припускаючи, що для кожного із плинів відома область комплексного потенціалу ω і функція, що відображає (1.94)
<imagedata src=«31821.files/image411.wmz» o:><img width=«423» height=«24» src=«dopb147456.zip» v:shapes="_x0000_i1242">    (1. 128)
перетворимо тривимірне рівняння конвективної дифузії, що у розглянутих випадках має вигляд
<imagedata src=«31821.files/image412.wmz» o:><img width=«467» height=«48» src=«dopb147501.zip» v:shapes="_x0000_i1243">  (1. 129)
до нових змінних за допомогою підстановки
<imagedata src=«31821.files/image414.wmz» o:><img width=«220» height=«23» src=«dopb147502.zip» v:shapes="_x0000_i1244">                (1. 130)
Тоді у випадку планової напірної фільтрації рівняння конвективної дифузії перетвориться до виду
<imagedata src=«31821.files/image416.wmz» o:><img width=«320» height=«47» src=«dopb147503.zip» v:shapes="_x0000_i1245">                      (1. 131)
а у випадку планової безнапірної фільтрації до такому виду
<imagedata src=«31821.files/image418.wmz» o:><img width=«368» height=«47» src=«dopb147504.zip» v:shapes="_x0000_i1246">        (1. 132)
При осереднені величини <imagedata src=«31821.files/image420.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb147505.zip» v:shapes="_x0000_i1247"> по області комплексного потенціалу ω питання про дослідження міграції водорозчинних речовин зводиться до відшукання в прямокутному паралелепіпеді ωЧT (або ω Ч hcp)рішення наступної крайової задачі.
<imagedata src=«31821.files/image422.wmz» o:><img width=«315» height=«47» src=«dopb147506.zip» v:shapes="_x0000_i1248">             (1. 133)
<imagedata src=«31821.files/image424.wmz» o:><img width=«276» height=«47» src=«dopb147507.zip» v:shapes="_x0000_i1249">                     (1. 134)
<imagedata src=«31821.files/image426.wmz» o:><img width=«312» height=«52» src=«dopb147508.zip» v:shapes="_x0000_i1250">              (1. 135)
<imagedata src=«31821.files/image428.wmz» o:><img width=«245» height=«47» src=«dopb147509.zip» v:shapes="_x0000_i1251">                                     (1. 136)
Крайова задача (1.133) (1.136) еквівалентна крайовій задачі типу (1.97)-(1.99), а тому її рішення, що не залежить від ψ від Z, запишеться у вигляді (1.120). При цьому варто врахувати, що замість безрозмірних величин (1.98) варто ввести безрозмірні величини, які визначаються іншими рівностями окремо для випадку напірної й безнапірної планової фільтарції. Якщо ж розглядається процес засолення підземних вод, що відбувається в результаті дифузії залягаючих на глибині T* солей, то замість крайових умов (1.136) необхідно взяти наступні:
<imagedata src=«31821.files/image430.wmz» o:><img width=«301» height=«47» src=«dopb147510.zip» v:shapes="_x0000_i1252">       (1. 137)
Рішення крайової задачі (1.133)-(1.135), (1.136) можна одержати тільки за допомогою чисельних методів, а у випадку, коли величина питомої фільтраційної витрати осереднюеться тільки по одній зі змінних <imagedata src=«31821.files/image432.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1253"> або ψ, рішення відповідних крайових задача можна знайти за допомогою методу Фур'є в сполученні з варіаційними методами.
1.1.4. Моделювання процесів забруднення підземних вод з урахуванням якості поверхневих вод
При проектирвании й експлуатації басейнів стічних вод різного призначення (ставків — відстійників, ставків — накопичувачів, ставків — охолоджувачів, хвосто — і шламосховищ) виникає необхідність обліку впливу розчинних речовин, що втримуються в них (домішок) на якість підземних вод й якість води в ріках, каналах, водоймищах, водозаборах, які розташовані в зоні впливу цих джерел забруднення.
Нехай у басейні стічних вод, що має початковий обсяг води Q0 з концентрацією <imagedata src=«31821.files/image433.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb147511.zip» v:shapes="_x0000_i1254"> домішки, що втримується в ній, надходять стічні води від n різних підприємств <imagedata src=«31821.files/image435.wmz» o:><img width=«71» height=«24» src=«dopb147512.zip» v:shapes="_x0000_i1255"> із добовими витратами й з концентраціями даної домішки <imagedata src=«31821.files/image437.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb147513.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> вних відповідно, причому з <imagedata src=«31821.files/image439.wmz» o:><img width=«23» height=«24» src=«dopb147514.zip» v:shapes="_x0000_i1257">поверхні<imagedata src=«31821.files/image441.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb147377.zip» v:shapes="_x0000_i1258"> басейну випаровується <imagedata src=«31821.files/image442.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb147515.zip» v:shapes="_x0000_i1259">/сут. води. Тоді, якщо через <imagedata src=«31821.files/image444.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb147516.zip» v:shapes="_x0000_i1260"> позначимо повну фільтраційну витрату води з басейну, то концентрацію домішки, що втримується в басейні в кожен момент часу можна визначити по формулі
<imagedata src=«31821.files/image446.wmz» o:><img width=«165» height=«39» src=«dopb147517.zip» v:shapes="_x0000_i1261">                  (1.138)
де
<imagedata src=«31821.files/image448.wmz» o:><img width=«296» height=«91» src=«dopb147518.zip» v:shapes="_x0000_i1262">          (1. 139)
Параметр α характеризує седиментацію або трансформацію речовини у водоймі й визначається дослідним шляхом за результатами натурних спостережень. Вираз (1.138) надалі буде прийнятий як гранична умова на вході фільтраційного потоку.
Припустимо, що відомо характеристичну функцію потоку z = F(ω), де z = x + iy — точкаобласті фільтрації, aω — точка області комплексного потенціалу ω = <imagedata src=«31821.files/image450.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1263"> + iψ, або припустимо, що побудовано гідродинамічну сітку фільтрації. Тоді дослідження процесу забруднення підземних вод при плоско-вертикальній фільтрації зводиться до рішення в області <imagedata src=«31821.files/image451.wmz» o:><img width=«17» height=«17» src=«dopb147519.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> наступного рівняння.
<imagedata src=«31821.files/image453.wmz» o:><img width=«252» height=«47» src=«dopb147520.zip» v:shapes="_x0000_i1265">                (1. 140)
де безрозмірні величини визначаються рівностями
<imagedata src=«31821.files/image455.wmz» o:><img width=«496» height=«45» src=«dopb147521.zip» v:shapes="_x0000_i1266"> (1. 141)
де <imagedata src=«31821.files/image457.wmz» o:><img width=«59» height=«21» src=«dopb147522.zip» v:shapes="_x0000_i1267"> — потенціал, χ — коефіцієнт фільтрації, h — напір, v — швидкість фільтрації, H — діючий напір, σ — пористість.
У випадку планової напірної фільтрації дослідження процесу зводиться до вирішення такого рівняння:
<imagedata src=«31821.files/image459.wmz» o:><img width=«328» height=«47» src=«dopb147523.zip» v:shapes="_x0000_i1268">                            (1. 142)
де
<imagedata src=«31821.files/image461.wmz» o:><img width=«343» height=«44» src=«dopb147524.zip» v:shapes="_x0000_i1269">                     (1. 143)
причому через <imagedata src=«31821.files/image463.wmz» o:><img width=«52» height=«21» src=«dopb147525.zip» v:shapes="_x0000_i1270"> позначений модуль вектора питомої фільтраційної витрати, Z — вертикальна координата, <imagedata src=«31821.files/image465.wmz» o:><img width=«77» height=«44» src=«dopb147526.zip» v:shapes="_x0000_i1271"> — напір, T — потужність водоносного шару, <imagedata src=«31821.files/image467.wmz» o:><img width=«97» height=«21» src=«dopb147527.zip» v:shapes="_x0000_i1272">.
Середня швидкість фільтрації v (або питома фільтраційна витрата) і з огляду на рівність (1.138), вивчення процесу забруднення підземних вод при двовимірній фільтрації (плоско-паралельної або планової) зводимо до відшукання в прямокутнику <imagedata src=«31821.files/image469.wmz» o:><img width=«225» height=«21» src=«dopb147528.zip» v:shapes="_x0000_i1273">, вирішення наступної крайової задачі (тут і надалі риски над безрозмірними величинами опустимо):
<imagedata src=«31821.files/image471.wmz» o:><img width=«364» height=«49» src=«dopb147529.zip» v:shapes="_x0000_i1274">            (1.144)
<imagedata src=«31821.files/image473.wmz» o:><img width=«324» height=«47» src=«dopb147530.zip» v:shapes="_x0000_i1275">           (1. 145)
<imagedata src=«31821.files/image475.wmz» o:><img width=«301» height=«53» src=«dopb147531.zip» v:shapes="_x0000_i1276">(1. 146)
Рішення крайового завдання (1.144)-(1.146) шукаємо у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image477.wmz» o:><img width=«333» height=«40» src=«dopb147532.zip» v:shapes="_x0000_i1277">       (1. 147)
    продолжение
--PAGE_BREAK--де функція <imagedata src=«31821.files/image479.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb147533.zip» v:shapes="_x0000_i1278"> є рішенням наступної крайової задачі.
<imagedata src=«31821.files/image481.wmz» o:><img width=«328» height=«47» src=«dopb147534.zip» v:shapes="_x0000_i1279">          (1. 148)
<imagedata src=«31821.files/image483.wmz» o:><img width=«411» height=«52» src=«dopb147535.zip» v:shapes="_x0000_i1280">  (1. 149)
<imagedata src=«31821.files/image485.wmz» o:><img width=«360» height=«47» src=«dopb147536.zip» v:shapes="_x0000_i1281">     (1. 150)
Легко помітити, що крайова задача (1.148)-(1.150) еквівалентна наступній:
<imagedata src=«31821.files/image487.wmz» o:><img width=«255» height=«47» src=«dopb147537.zip» v:shapes="_x0000_i1282">           (1. 151)
<imagedata src=«31821.files/image489.wmz» o:><img width=«235» height=«51» src=«dopb147538.zip» v:shapes="_x0000_i1283">           (1. 152)
Розклавши функцію <imagedata src=«31821.files/image491.wmz» o:><img width=«111» height=«28» src=«dopb147539.zip» v:shapes="_x0000_i1284"> в ряд Фур'є
<imagedata src=«31821.files/image493.wmz» o:><img width=«240» height=«45» src=«dopb147540.zip» v:shapes="_x0000_i1285">            (1. 153)
де коефіцієнти Bm(t*) визначаються рівністю
<imagedata src=«31821.files/image495.wmz» o:><img width=«159» height=«49» src=«dopb147541.zip» v:shapes="_x0000_i1286">                (1. 154)
а власні значення λmвизначаються з рівняння
<imagedata src=«31821.files/image497.wmz» o:><img width=«176» height=«45» src=«dopb147542.zip» v:shapes="_x0000_i1287">              (1. 155)
рішення крайової задачі (1.151)-(1.152) будемо шукати у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image499.wmz» o:><img width=«180» height=«45» src=«dopb147543.zip» v:shapes="_x0000_i1288">.             (1.156)
Підставивши (1.153) і (1.156) у рівняння (1.151)і порівнюючи коефіцієнти при <imagedata src=«31821.files/image501.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb147544.zip» v:shapes="_x0000_i1289">. одержимо рівняння
<imagedata src=«31821.files/image503.wmz» o:><img width=«276» height=«49» src=«dopb147545.zip» v:shapes="_x0000_i1290">          (1. 157)
<imagedata src=«31821.files/image505.wmz» o:><img width=«163» height=«48» src=«dopb147546.zip» v:shapes="_x0000_i1291">              (1. 158)
З початкової умови маємо
<imagedata src=«31821.files/image507.wmz» o:><img width=«212» height=«45» src=«dopb147547.zip» v:shapes="_x0000_i1292">           (1. 159)
Вирішивши задачу Коші (1.157)-(1.158), знайдемо коефіцієнти Am(t*) у такому вигляді
<imagedata src=«31821.files/image509.wmz» o:><img width=«353» height=«53» src=«dopb147548.zip» v:shapes="_x0000_i1293">       (1. 160)
Таким чином, розв’язання крайової задачі (1.144)-(1.146) запишеться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image511.wmz» o:><img width=«308» height=«47» src=«dopb147549.zip» v:shapes="_x0000_i1294">
<imagedata src=«31821.files/image513.wmz» o:><img width=«315» height=«51» src=«dopb147550.zip» v:shapes="_x0000_i1295">.         (1.161)
На закінчення необхідно відзначити, що всі наведені в даній роботі рішення крайових задач конвективної дифузії, за допомогою яких моделюються процеси забруднення, засолення, самоочищення (або промивання) підземних і поверхневих вод, легко застосовуються до більш простих підземних потоків, коли область фільтрації є прямокутною або близькою до прямокутного. У цьому випадку в рівняннях конвективної дифузії недоцільно переходити до нових змінних <imagedata src=«31821.files/image515.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> й <imagedata src=«31821.files/image516.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb147336.zip» v:shapes="_x0000_i1297">.
1.2. Методи прогнозування (водойми)
Наведені нижче рівняння регресії розроблені для прогнозування поширення забруднюючих речовин по поверхні водойм від місця їхнього скидання за рахунок процесів конвективної дифузії. При цьому використалися п'ятирічні спостереження на озері Байкал в умовах дії одного зосередженого джерела забруднення.
а)      модель розподілу зважених речовин:
<imagedata src=«31821.files/image517.wmz» o:><img width=«663» height=«28» src=«dopb147551.zip» v:shapes="_x0000_i1298"> (1. 162)
де <imagedata src=«31821.files/image519.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb147552.zip» v:shapes="_x0000_i1299"> ­- нормоване щодо середнього значення концентрації в k-й точці в наступний момент часу <imagedata src=«31821.files/image521.wmz» o:><img width=«171» height=«25» src=«dopb147553.zip» v:shapes="_x0000_i1300"> - близькі в просторі й часі змінні при ∆τ = 1 рік.
б)модель розподілу розчинених мінеральних речовин:
<imagedata src=«31821.files/image523.wmz» o:><img width=«483» height=«28» src=«dopb147554.zip» v:shapes="_x0000_i1301">  (1. 163)
Оперативне прогнозування. Виконується на час добігання забруднюючої речовини від джерела надходження стічних вод до обраного контрольного отвору.
Алгоритми імітаційної системи. У всіх рівняннях витрати виражаються в м/с<imagedata src=«31821.files/image525.wmz» o:><img width=«9» height=«20» src=«dopb147378.zip» v:shapes="_x0000_i1302">, довжина в м, концентрація — г/л, площа — м<imagedata src=«31821.files/image526.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb147377.zip» v:shapes="_x0000_i1303">, швидкість — м/с, коефіцієнти швидкості самоочищення — 1/сут.
1.      Розрахунок значення коефіцієнта Шези (α):
<imagedata src=«31821.files/image527.wmz» o:><img width=«67» height=«44» src=«dopb147555.zip» v:shapes="_x0000_i1304"> (у літню пору):
<imagedata src=«31821.files/image529.wmz» o:><img width=«277» height=«56» src=«dopb147556.zip» v:shapes="_x0000_i1305">
2. Розрахунок коефіцієнта, що враховує поперечну циркуляцію в потоці і його кінематичній неоднорідності (β):
<imagedata src=«31821.files/image531.wmz» o:><img width=«85» height=«21» src=«dopb147557.zip» v:shapes="_x0000_i1306"> при <imagedata src=«31821.files/image533.wmz» o:><img width=«79» height=«19» src=«dopb147558.zip» v:shapes="_x0000_i1307">, <imagedata src=«31821.files/image535.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb147559.zip» v:shapes="_x0000_i1308"> при <imagedata src=«31821.files/image537.wmz» o:><img width=«48» height=«19» src=«dopb147560.zip» v:shapes="_x0000_i1309">.
<imagedata src=«31821.files/image539.wmz» o:><img width=«512» height=«48» src=«dopb147561.zip» v:shapes="_x0000_i1310">.
3. Розрахунок коефіцієнтів, що характеризують міру розведення стічних вод <imagedata src=«31821.files/image541.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb147562.zip» v:shapes="_x0000_i1311">:
<imagedata src=«31821.files/image543.wmz» o:><img width=«185» height=«24» src=«dopb147563.zip» v:shapes="_x0000_i1312"> при <imagedata src=«31821.files/image545.wmz» o:><img width=«51» height=«24» src=«dopb147564.zip» v:shapes="_x0000_i1313">,
<imagedata src=«31821.files/image547.wmz» o:><img width=«497» height=«48» src=«dopb147565.zip» v:shapes="_x0000_i1314">
<imagedata src=«31821.files/image549.wmz» o:><img width=«353» height=«56» src=«dopb147566.zip» v:shapes="_x0000_i1315">
<imagedata src=«31821.files/image551.wmz» o:><img width=«308» height=«48» src=«dopb147567.zip» v:shapes="_x0000_i1316">
<imagedata src=«31821.files/image553.wmz» o:><img width=«589» height=«48» src=«dopb147568.zip» v:shapes="_x0000_i1317"><imagedata src=«31821.files/image555.wmz» o:><img width=«179» height=«48» src=«dopb147569.zip» v:shapes="_x0000_i1318">
<imagedata src=«31821.files/image557.wmz» o:><img width=«177» height=«51» src=«dopb147570.zip» v:shapes="_x0000_i1319">, де <imagedata src=«31821.files/image559.wmz» o:><img width=«27» height=«15» src=«dopb147571.zip» v:shapes="_x0000_i1320">И, Н, Л, Г, Е, Ж, З;
<imagedata src=«31821.files/image561.wmz» o:><img width=«83» height=«45» src=«dopb147572.zip» v:shapes="_x0000_i1321"> при <imagedata src=«31821.files/image563.wmz» o:><img width=«51» height=«24» src=«dopb147573.zip» v:shapes="_x0000_i1322">.
<imagedata src=«31821.files/image565.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb147574.zip» v:shapes="_x0000_i1323">2[Ф(Г)-Ф(Е)-Ф(Ж)+Ф(З)] при <imagedata src=«31821.files/image567.wmz» o:><img width=«181» height=«49» src=«dopb147575.zip» v:shapes="_x0000_i1324"> при <imagedata src=«31821.files/image569.wmz» o:><img width=«108» height=«25» src=«dopb147576.zip» v:shapes="_x0000_i1325"> 
при <imagedata src=«31821.files/image571.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb147577.zip» v:shapes="_x0000_i1326">.

2. Рішення крайових задач (лінійних) математичної фізики
Розглянемо наступне рівняння енергії
<imagedata src=«31821.files/image573.wmz» o:><img width=«303» height=«51» src=«dopb147578.zip» v:shapes="_x0000_i1327">           (2.1)
З урахуванням заміни T = Tm — T0 початкова умова для рівняння (2.1) здобуває вигляд
<imagedata src=«31821.files/image575.wmz» o:><img width=«57» height=«27» src=«dopb147579.zip» v:shapes="_x0000_i1328">                          (2.2)
Граничні умови для рівняння (2.1) сформулюємо з урахуванням теплообміну між досліджуваною зоною нагрівання й навколишнім середовищем.
<imagedata src=«31821.files/image577.wmz» o:><img width=«232» height=«49» src=«dopb147580.zip» v:shapes="_x0000_i1329">              (2.3)
Очевидно, що подібні умови повинні виконуватися й щодо ширини зони нагрівання (0 ≤ y ≤ Ly):
<imagedata src=«31821.files/image579.wmz» o:><img width=«132» height=«55» src=«dopb147581.zip» v:shapes="_x0000_i1330">                   (2.4)
<imagedata src=«31821.files/image581.wmz» o:><img width=«137» height=«53» src=«dopb147582.zip» v:shapes="_x0000_i1331">                      (2.5)
Уздовж координати x (у напрямку вітру) у точці x = 0 температура середовища й температура початку зони нагрівання повинні збігатися T(0, y, z, t) = 0. У площині x = Lx T(Lx,y, z, t) = T1(Lx,y, z, t) — температура загоряння речовин. Розглянемо крайову задачу
<imagedata src=«31821.files/image583.wmz» o:><img width=«145» height=«44» src=«dopb147583.zip» v:shapes="_x0000_i1332">                                      (2.6)
<imagedata src=«31821.files/image585.wmz» o:><img width=«147» height=«49» src=«dopb147584.zip» v:shapes="_x0000_i1333">                                      (2.7)
<imagedata src=«31821.files/image587.wmz» o:><img width=«151» height=«49» src=«dopb147585.zip» v:shapes="_x0000_i1334">                            (2.8)
Для зведення цієї задачі до стандартної задачі на власні значення й функції, введемо заміну змінних
<imagedata src=«31821.files/image589.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb147586.zip» v:shapes="_x0000_i1335">                   (2.9)
Тоді
<imagedata src=«31821.files/image591.wmz» o:><img width=«393» height=«51» src=«dopb147587.zip» v:shapes="_x0000_i1336">     (2.10)
Підстановка цих виразів у рівняння (2.6) приводить до самоспряженого рівняння
<imagedata src=«31821.files/image593.wmz» o:><img width=«148» height=«51» src=«dopb147588.zip» v:shapes="_x0000_i1337">                (2.11)
з однорідними граничними умовами, що відповідають умовам
<imagedata src=«31821.files/image595.wmz» o:><img width=«192» height=«52» src=«dopb147589.zip» v:shapes="_x0000_i1338">             (2.12)
<imagedata src=«31821.files/image597.wmz» o:><img width=«231» height=«52» src=«dopb147590.zip» v:shapes="_x0000_i1339">            (2.13)         
Ця задача еквівалентне задачі на власні значення
<imagedata src=«31821.files/image599.wmz» o:><img width=«121» height=«44» src=«dopb147591.zip» v:shapes="_x0000_i1340">               (2.14)
<imagedata src=«31821.files/image601.wmz» o:><img width=«116» height=«49» src=«dopb147592.zip» v:shapes="_x0000_i1341">               (2.15)
<imagedata src=«31821.files/image603.wmz» o:><img width=«117» height=«49» src=«dopb147593.zip» v:shapes="_x0000_i1342">               (2.16)
<imagedata src=«31821.files/image605.wmz» o:><img width=«169» height=«44» src=«dopb147594.zip» v:shapes="_x0000_i1343">
Тоді
<imagedata src=«31821.files/image607.wmz» o:><img width=«267» height=«24» src=«dopb147595.zip» v:shapes="_x0000_i1344">           (2.17)
Невідомі параметри C1 й C2 визначаються із граничних умов.
<imagedata src=«31821.files/image609.wmz» o:><img width=«195» height=«44» src=«dopb147596.zip» v:shapes="_x0000_i1345">
<imagedata src=«31821.files/image611.wmz» o:><img width=«184» height=«48» src=«dopb147597.zip» v:shapes="_x0000_i1346">
Константа C1 визначається як норма власної функції v(x):
<imagedata src=«31821.files/image613.wmz» o:><img width=«295» height=«53» src=«dopb147598.zip» v:shapes="_x0000_i1347">
<imagedata src=«31821.files/image615.wmz» o:><img width=«155» height=«49» src=«dopb147599.zip» v:shapes="_x0000_i1348">
Власні значення знаходимо з умови (2.16):
<imagedata src=«31821.files/image617.wmz» o:><img width=«317» height=«47» src=«dopb147600.zip» v:shapes="_x0000_i1349">
<imagedata src=«31821.files/image619.wmz» o:><img width=«159» height=«24» src=«dopb147601.zip» v:shapes="_x0000_i1350">
Таким чином,
<imagedata src=«31821.files/image621.wmz» o:><img width=«209» height=«49» src=«dopb147602.zip» v:shapes="_x0000_i1351">                 (2.18)
<imagedata src=«31821.files/image623.wmz» o:><img width=«391» height=«51» src=«dopb147603.zip» v:shapes="_x0000_i1352">        (2.19)
Перейдемо тепер до рішення задачі (2.1)-(2.5). Уведемо заміну
<imagedata src=«31821.files/image625.wmz» o:><img width=«156» height=«44» src=«dopb147604.zip» v:shapes="_x0000_i1353">                    (2.20)
<imagedata src=«31821.files/image627.wmz» o:><img width=«212» height=«55» src=«dopb147605.zip» v:shapes="_x0000_i1354">
<imagedata src=«31821.files/image629.wmz» o:><img width=«461» height=«51» src=«dopb147606.zip» v:shapes="_x0000_i1355">
Після підстановки цих виразів у рівняння (2.1) і граничні умови одержуємо наступну крайову задачу.
<imagedata src=«31821.files/image631.wmz» o:><img width=«345» height=«47» src=«dopb147607.zip» v:shapes="_x0000_i1356">       (2.21)
Початкова умова
<imagedata src=«31821.files/image633.wmz» o:><img width=«59» height=«27» src=«dopb147608.zip» v:shapes="_x0000_i1357">                   (2.22)
Граничні умови:
<imagedata src=«31821.files/image635.wmz» o:><img width=«189» height=«49» src=«dopb147609.zip» v:shapes="_x0000_i1358">               (2.23)
<imagedata src=«31821.files/image637.wmz» o:><img width=«271» height=«55» src=«dopb147610.zip» v:shapes="_x0000_i1359">        (2.24)
<imagedata src=«31821.files/image639.wmz» o:><img width=«180» height=«29» src=«dopb147611.zip» v:shapes="_x0000_i1360">             (2.25)
Застосуємо інтегральне перетворення по змінній x до рівняння (2.21).
<imagedata src=«31821.files/image641.wmz» o:><img width=«249» height=«51» src=«dopb147612.zip» v:shapes="_x0000_i1361">
Власні значення λx і власні функції X(x, λx) знайдемо як рішення відповідної задачі Штурма-Ліувілля
<imagedata src=«31821.files/image643.wmz» o:><img width=«320» height=«51» src=«dopb147613.zip» v:shapes="_x0000_i1362">
з граничними умовами
<imagedata src=«31821.files/image645.wmz» o:><img width=«141» height=«24» src=«dopb147614.zip» v:shapes="_x0000_i1363">
Позначимо <imagedata src=«31821.files/image647.wmz» o:><img width=«89» height=«44» src=«dopb147615.zip» v:shapes="_x0000_i1364">. Тоді
<imagedata src=«31821.files/image649.wmz» o:><img width=«199» height=«47» src=«dopb147616.zip» v:shapes="_x0000_i1365">.              (2.26)
Рівняння (2.21) здобуває вигляд:
<imagedata src=«31821.files/image651.wmz» o:><img width=«500» height=«51» src=«dopb147617.zip» v:shapes="_x0000_i1366"> (2.27)
<imagedata src=«31821.files/image653.wmz» o:><img width=«239» height=«53» src=«dopb147618.zip» v:shapes="_x0000_i1367">
Обчисливши інтеграли в цьому рівнянні, одержуємо:
<imagedata src=«31821.files/image655.wmz» o:><img width=«272» height=«52» src=«dopb147619.zip» v:shapes="_x0000_i1368">
<imagedata src=«31821.files/image657.wmz» o:><img width=«444» height=«51» src=«dopb147620.zip» v:shapes="_x0000_i1369">
Тут для простоти ми розглядаємо джерела загоряння у вигляді «точкових» джерел — площадок малого розміру <imagedata src=«31821.files/image659.wmz» o:><img width=«144» height=«24» src=«dopb147621.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> <imagedata src=«31821.files/image661.wmz» o:><img width=«117» height=«24» src=«dopb147622.zip» v:shapes="_x0000_i1371">, розташованих на розглянутій поверхні випадковим образом з інтенсивностями qm.
<imagedata src=«31821.files/image663.wmz» o:><img width=«269» height=«47» src=«dopb147623.zip» v:shapes="_x0000_i1372">            (2.28)
Граничні умови:
<imagedata src=«31821.files/image665.wmz» o:><img width=«193» height=«49» src=«dopb147624.zip» v:shapes="_x0000_i1373">             (2.29)
<imagedata src=«31821.files/image667.wmz» o:><img width=«132» height=«53» src=«dopb147625.zip» v:shapes="_x0000_i1374">  <imagedata src=«31821.files/image669.wmz» o:><img width=«137» height=«56» src=«dopb147626.zip» v:shapes="_x0000_i1375">        (2.30)
Щодо змінної y маємо наступну задачу на власні значення й функції.
<imagedata src=«31821.files/image671.wmz» o:><img width=«195» height=«47» src=«dopb147627.zip» v:shapes="_x0000_i1376">
Власні функції шукаємо у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image673.wmz» o:><img width=«193» height=«24» src=«dopb147628.zip» v:shapes="_x0000_i1377">
З першої умови (2.30) знаходимо
<imagedata src=«31821.files/image675.wmz» o:><img width=«203» height=«47» src=«dopb147629.zip» v:shapes="_x0000_i1378">
<imagedata src=«31821.files/image677.wmz» o:><img width=«211» height=«53» src=«dopb147630.zip» v:shapes="_x0000_i1379">
Власні значення знаходимо із другої умови (2.30).
<imagedata src=«31821.files/image679.wmz» o:><img width=«255» height=«27» src=«dopb147631.zip» v:shapes="_x0000_i1380">          (2.31)
Або
<imagedata src=«31821.files/image681.wmz» o:><img width=«295» height=«27» src=«dopb147632.zip» v:shapes="_x0000_i1381">.        (2.32)
Розвязання цього рівняння дає власні значення <imagedata src=«31821.files/image683.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb147633.zip» v:shapes="_x0000_i1382">.
<imagedata src=«31821.files/image685.wmz» o:><img width=«123» height=«21» src=«dopb147634.zip» v:shapes="_x0000_i1383">
<imagedata src=«31821.files/image687.wmz» o:><img width=«563» height=«27» src=«dopb147635.zip» v:shapes="_x0000_i1384">
Обчислюємо норму ||Y(y)||:
<imagedata src=«31821.files/image689.wmz» o:><img width=«333» height=«57» src=«dopb147636.zip» v:shapes="_x0000_i1385">
Таким чином, маємо
<imagedata src=«31821.files/image691.wmz» o:><img width=«249» height=«53» src=«dopb147637.zip» v:shapes="_x0000_i1386">                (2.33)
<imagedata src=«31821.files/image693.wmz» o:><img width=«221» height=«55» src=«dopb147638.zip» v:shapes="_x0000_i1387">
<imagedata src=«31821.files/image695.wmz» o:><img width=«288» height=«53» src=«dopb147639.zip» v:shapes="_x0000_i1388">           (2.34)
Застосування інтегрального перетворення по змінній y до крайової задачі (2.28)-(2.30) приводить до наступної крайової задачі.
<imagedata src=«31821.files/image697.wmz» o:><img width=«225» height=«44» src=«dopb147640.zip» v:shapes="_x0000_i1389">.               (2.35)
Граничні умови:
<imagedata src=«31821.files/image699.wmz» o:><img width=«355» height=«49» src=«dopb147641.zip» v:shapes="_x0000_i1390">.         (2.36)
Позначимо <imagedata src=«31821.files/image701.wmz» o:><img width=«92» height=«27» src=«dopb147642.zip» v:shapes="_x0000_i1391">. Зважаючи на першу граничну умову (2.36) знаходимо
<imagedata src=«31821.files/image703.wmz» o:><img width=«116» height=«25» src=«dopb147643.zip» v:shapes="_x0000_i1392">.
Власні значення знаходимо із другої умови (2.36):
<imagedata src=«31821.files/image705.wmz» o:><img width=«189» height=«25» src=«dopb147644.zip» v:shapes="_x0000_i1393">
<imagedata src=«31821.files/image707.wmz» o:><img width=«200» height=«25» src=«dopb147645.zip» v:shapes="_x0000_i1394">                (2.37)
Корінь цього рівняння — власні значення задачі <imagedata src=«31821.files/image709.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb147646.zip» v:shapes="_x0000_i1395">.
<imagedata src=«31821.files/image711.wmz» o:><img width=«319» height=«51» src=«dopb147647.zip» v:shapes="_x0000_i1396">
<imagedata src=«31821.files/image713.wmz» o:><img width=«168» height=«53» src=«dopb147648.zip» v:shapes="_x0000_i1397">
Нарешті, приходимо до наступної задачі Коші.
<imagedata src=«31821.files/image715.wmz» o:><img width=«237» height=«44» src=«dopb147649.zip» v:shapes="_x0000_i1398">              (2.38)
<imagedata src=«31821.files/image717.wmz» o:><img width=«317» height=«48» src=«dopb147650.zip» v:shapes="_x0000_i1399">
Початкова умова для цього рівняння
<imagedata src=«31821.files/image719.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb147651.zip» v:shapes="_x0000_i1400">
Рішення цього рівняння записується у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image721.wmz» o:><img width=«232» height=«47» src=«dopb147652.zip» v:shapes="_x0000_i1401">                    (2.39)
<imagedata src=«31821.files/image723.wmz» o:><img width=«88» height=«47» src=«dopb147653.zip» v:shapes="_x0000_i1402">
Таким чином, рішення крайової задачі, що описує процес нагрівання під впливом точкових джерел горіння отримано у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image725.wmz» o:><img width=«375» height=«53» src=«dopb147654.zip» v:shapes="_x0000_i1403">
<imagedata src=«31821.files/image727.wmz» o:><img width=«409» height=«52» src=«dopb147655.zip» v:shapes="_x0000_i1404"> (2.40)
2.1. Моделювання
Визначимо динамічні характеристики повітряного турбулентного потоку в приповерхньому шарі.
Для цього необхідно знайти рішення крайової задачі.
Запишемо рівняння у вигляді (незважаючи на першому етапі на вирішення квадратичним членом).
<imagedata src=«31821.files/image729.wmz» o:><img width=«215» height=«48» src=«dopb147656.zip» v:shapes="_x0000_i1405">               (2.41)
Граничні умови
<imagedata src=«31821.files/image731.wmz» o:><img width=«155» height=«49» src=«dopb147657.zip» v:shapes="_x0000_i1406">                  (2.42)
Друге рівняння запишемо у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image733.wmz» o:><img width=«261» height=«56» src=«dopb147658.zip» v:shapes="_x0000_i1407">             (2.43)
Граничні умови для цього рівняння:
<imagedata src=«31821.files/image735.wmz» o:><img width=«151» height=«48» src=«dopb147659.zip» v:shapes="_x0000_i1408">                                         (2.44)
При такому формулюванні задача визначення швидкості потоку u і турбулентного руху b(z) може бути вирішена послідовно. Спочатку знаходимо рішення крайової задачі.
Задача Штурма-Ліувілля, що відповідає крайовій задачі, може бути записана в наступному виді
<imagedata src=«31821.files/image737.wmz» o:><img width=«135» height=«48» src=«dopb147660.zip» v:shapes="_x0000_i1409">                                       (2.45)
Ця задача еквівалентна задачі
<imagedata src=«31821.files/image739.wmz» o:><img width=«185» height=«48» src=«dopb147661.zip» v:shapes="_x0000_i1410">                              (2.46)
Шукаємо розв’язання задачі у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image741.wmz» o:><img width=«180» height=«23» src=«dopb147662.zip» v:shapes="_x0000_i1411">                               (2.47)
З урахуванням крайової умови маємо
<imagedata src=«31821.files/image743.wmz» o:><img width=«104» height=«23» src=«dopb147663.zip» v:shapes="_x0000_i1412">                                                       (2.48)
Для визначення власних значень <imagedata src=«31821.files/image745.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb147664.zip» v:shapes="_x0000_i1413">, що відповідають цим власним функціям, задовольнимо граничну умову на правій границі <imagedata src=«31821.files/image747.wmz» o:><img width=«52» height=«23» src=«dopb147665.zip» v:shapes="_x0000_i1414">. Маємо
<imagedata src=«31821.files/image749.wmz» o:><img width=«261» height=«45» src=«dopb147666.zip» v:shapes="_x0000_i1415">
<imagedata src=«31821.files/image751.wmz» o:><img width=«97» height=«45» src=«dopb147667.zip» v:shapes="_x0000_i1416">
Позначимо
<imagedata src=«31821.files/image753.wmz» o:><img width=«132» height=«48» src=«dopb147668.zip» v:shapes="_x0000_i1417">
Тоді рішення лінійної частини задачі про визначення швидкості потоку може бути записане у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image755.wmz» o:><img width=«132» height=«45» src=«dopb147669.zip» v:shapes="_x0000_i1418">                                (2.49)
Запишемо тепер рівняння відносно b(z) з урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку u(z) .
<imagedata src=«31821.files/image757.wmz» o:><img width=«429» height=«56» src=«dopb147670.zip» v:shapes="_x0000_i1419">          (2.50)
З урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку
<imagedata src=«31821.files/image759.wmz» o:><img width=«223» height=«48» src=«dopb147671.zip» v:shapes="_x0000_i1420">
<imagedata src=«31821.files/image761.wmz» o:><img width=«329» height=«51» src=«dopb147672.zip» v:shapes="_x0000_i1421">
<imagedata src=«31821.files/image763.wmz» o:><img width=«453» height=«48» src=«dopb147673.zip» v:shapes="_x0000_i1422">
<imagedata src=«31821.files/image765.wmz» o:><img width=«477» height=«24» src=«dopb147674.zip» v:shapes="_x0000_i1423">
<imagedata src=«31821.files/image767.wmz» o:><img width=«491» height=«48» src=«dopb147675.zip» v:shapes="_x0000_i1424">
<imagedata src=«31821.files/image769.wmz» o:><img width=«412» height=«25» src=«dopb147676.zip» v:shapes="_x0000_i1425">
<imagedata src=«31821.files/image771.wmz» o:><img width=«165» height=«48» src=«dopb147677.zip» v:shapes="_x0000_i1426">                          (2.52)
Завдання Штурма-Ліувілля має вигляд
<imagedata src=«31821.files/image773.wmz» o:><img width=«149» height=«48» src=«dopb147678.zip» v:shapes="_x0000_i1427">                 (2.53)
<imagedata src=«31821.files/image775.wmz» o:><img width=«100» height=«44» src=«dopb147679.zip» v:shapes="_x0000_i1428">                     (2.54)
Рішення шукаємо у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image777.wmz» o:><img width=«172» height=«23» src=«dopb147680.zip» v:shapes="_x0000_i1429">
Із граничної умови <imagedata src=«31821.files/image779.wmz» o:><img width=«93» height=«29» src=«dopb147681.zip» v:shapes="_x0000_i1430"> знаходимо <imagedata src=«31821.files/image781.wmz» o:><img width=«44» height=«23» src=«dopb147682.zip» v:shapes="_x0000_i1431">
<imagedata src=«31821.files/image783.wmz» o:><img width=«105» height=«23» src=«dopb147683.zip» v:shapes="_x0000_i1432">                                               (2.55)
Із другої граничної умови <imagedata src=«31821.files/image785.wmz» o:><img width=«93» height=«29» src=«dopb147684.zip» v:shapes="_x0000_i1433">знаходимо власні значення задачі
<imagedata src=«31821.files/image787.wmz» o:><img width=«265» height=«48» src=«dopb147685.zip» v:shapes="_x0000_i1434">
У такий спосіб.
<imagedata src=«31821.files/image789.wmz» o:><img width=«212» height=«53» src=«dopb147686.zip» v:shapes="_x0000_i1435">                (2.56)

3. Прогнозування якості підземних вод
3.1.         Основні фізичні закони фільтрації підземних вод
Під фільтрацією мають на увазі повільний рух (просочування) рідини чи газу, розчину або газованої рідини в пористому або тріщинуватому середовищі. Надалі мова йтиме про фільтрацію води або слабких розчинів у ґрунтах і породах.
Обсяг ґрунту W складається з обсягу W4часток ґрунту й обсягу порожнеч Wn. Співвідношення між обсягом, займаним кістяком ґрунту й обсягом його порожнеч характеризується параметром <imagedata src=«31821.files/image791.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147345.zip» v:shapes="_x0000_i1436">, називаним коефіцієнтом пористості або просто пористістю ґрунту. Цей параметр визначається відношенням
<imagedata src=«31821.files/image792.wmz» o:><img width=«129» height=«45» src=«dopb147687.zip» v:shapes="_x0000_i1437">                    (3.1)
Поперечний розмір окремих пор коливається від часток мікрона до декількох сантиметрів. Частина води звичайно постійно втримується ґрунтом за допомогою молекулярних сил (капілярна й плівкова вода), а частина переміщається під дією сил ваги (гравітаційна або ґрунтова вода). Тому іншою важливою характеристикою ґрунту є параметр <imagedata src=«31821.files/image794.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb147688.zip» v:shapes="_x0000_i1438">, що визначається відношенням
<imagedata src=«31821.files/image796.wmz» o:><img width=«131» height=«45» src=«dopb147689.zip» v:shapes="_x0000_i1439">,                         (3.2)
де Wгв — обсяг, що заповнює гравітаційна вода, здатна випливати або втікати в даний обсяг W ґрунту під дією сил ваги. Цей параметр називається коефіцієнтом водовіддачі або недостачею насичення (іноді активною пористістю). Активна пористість <imagedata src=«31821.files/image798.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb147688.zip» v:shapes="_x0000_i1440"> трохи менше пористості <imagedata src=«31821.files/image799.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147345.zip» v:shapes="_x0000_i1441">, але іноді через малу різницю між цими параметрами для проведення розрахунків користуються тільки коефіцієнтом пористості <imagedata src=«31821.files/image800.wmz» o:><img width=«48» height=«21» src=«dopb147690.zip» v:shapes="_x0000_i1442">.
Будемо розглядати такий ґрунт, у якому всі порожнечі повністю заповнені рідиною (водою або розчином). У такому водонасиченому ґрунті за певних умов здійснюється рух води під дією сил ваги, тобто спостерігається фільтрація. Переміщення води в не повністю насиченому ґрунті розглядати не будемо. Крім того, будемо розглядати тільки рух води або слабких водяних розчинів, приймаючи їх за ідеально нестисливу рідину.
Просочування води через границю сухого або водоненасиченого ґрунту в розглянутий обсяг водонасиченого ґрунту називається інфільтрацією. Зворотний рух води може спостерігатися за рахунок випару, транспірації, капілярного підняття. Інфільтрація або випар (транспірація) характеризуються кількістю рідини <imagedata src=«31821.files/image802.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb147691.zip» v:shapes="_x0000_i1443">, що надходить через одиничну горизонтальну площадку за одиницю часу. Величина <imagedata src=«31821.files/image804.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb147691.zip» v:shapes="_x0000_i1444"> називається питомою інтенсивністю інфільтрації або випару (транспірації).
Простір водонасиченого ґрунту або породи, у якому відбувається рух підземних вод під дією сил ваги, називається областю фільтрації підземних вод, а потік води, що охоплює цю область, називають фільтраційним або підземним потоком. Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо ж властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку — анізотропним.
Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (або пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку його називають анізотропним.
Рух води або іншої рідини в пористому середовищі залежить від структур ґрунту, форми пор і тріщин. Однак для практичних цілей становить інтерес, як рухається осереднений по величині й напрямку підземний водний потік. Тому на практиці використають тільки осереднені характеристики фільтраційного потоку. Для математичного опису процесу фільтрації реальний потік рідини заміняється деяким фіктивним фільтраційним потоком, що безупинно заповнює всі перетини пористого середовища. При цьому приймається, що витрата, обумовлена кількістю рідини, що протікає через будь-яку одиничну площадку розглянутого перетину за одиницю часу у фіктивному потоці, дорівнює витраті реального фільтраційного потоку. Крім того, для фіктивного потоку тиск на обрану площадку дорівнює тиску реального потоку на ту ж площадку, а сили опору, розглянуті як масові (об'ємні) сили, для фіктивного потоку у виділеному обсязі повинні рівнятися реальним силам для того ж обсягу.
Таким чином, замість реального фільтраційного потоку розглядається деяка фізична модель цього потоку, при цьому основні, що цікавлять дослідника характеристики фіктивного (модельного) потоку або збігаються з відповідними характеристиками реального потоку, або по характеристиках фіктивного потоку можна визначити характеристики, що цікавлять, реального потоку. Це, зокрема, стосується визначення середнього значення правдивої швидкості руху часток рідини. Тому для визначення середньої швидкості руху часток рідини в пористому середовищі вводиться статистичне поняття швидкості фільтрації. Нехай через площу ∆S за одиницю часу (добу) протікає ∆Q об'ємних одиниць рідини. Тоді середнє значення швидкості фільтрації визначиться рівністю
<imagedata src=«31821.files/image805.wmz» o:><img width=«67» height=«41» src=«dopb147692.zip» v:shapes="_x0000_i1445">,                                          (3.3)
а швидкість фільтрації v у розглянутій точці визначиться як межа, до якого прагне середня швидкість фільтрації при зменшенні площадки, тобто
<imagedata src=«31821.files/image807.wmz» o:><img width=«81» height=«41» src=«dopb147693.zip» v:shapes="_x0000_i1446">.
У дійсності площа ∆S у нуль не перетворюється, а мається на увазі її зменшення до досить малої по площі величини, однак значно більшої, ніж площа середнього перетину пори або тріщини. Якщо тепер використати поняття коефіцієнта пористості, то середня швидкість руху води через пори, площа яких дорівнює ∆Sп, визначиться наступною рівністю.
<imagedata src=«31821.files/image809.wmz» o:><img width=«149» height=«47» src=«dopb147694.zip» v:shapes="_x0000_i1447">.                                       (3.4.)
Аналогічно швидкість v руху рідини в точці
<imagedata src=«31821.files/image811.wmz» o:><img width=«45» height=«41» src=«dopb147695.zip» v:shapes="_x0000_i1448"> ,                                                (3.5)
Якщо ввести вектор швидкості фільтрації V = (Vx,Vy,Vz) і вектор швидкості руху рідини v = (vx,vy,vz), то
 <imagedata src=«31821.files/image813.wmz» o:><img width=«169» height=«43» src=«dopb147696.zip» v:shapes="_x0000_i1449">                                (3.6)
3.1.1.  Закон Дарсі
Закон Дарсі — основний закон, якому підкоряється рух рідини в пористому середовищі. Французьким інженером Дарсі в 1856 р. експериментально було встановлено, що швидкість фільтрації пропорційна градієнту напору й спрямована убік його зменшення. Якщо ввести поняття напору, що у теорії фільтрації визначається рівністю
<imagedata src=«31821.files/image815.wmz» o:><img width=«129» height=«44» src=«dopb147697.zip» v:shapes="_x0000_i1450">                                         (3.7)
де p — тиск, ρ щільність рідини, g — прискорення сили ваги, z — геометрична висота над деякою горизонтальною площиною (віссю) порівняння, γ = ρq — питома вага, p/(ρg) — п’єзометричний напір (рівень води в п’єзометрі), тобто у вертикальній трубці, установленої нижнім кінцем у крапці, де виміряється напір (мал. 3.1); то закон Дарсі можна записати у вигляді
рис. 3.1.
<imagedata src=«31821.files/image817.wmz» o:><img width=«120» height=«41» src=«dopb147698.zip» v:shapes="_x0000_i1451">                                  (3.8)
де ∆h = h2 — h1 — зміна напору на ділянці фільтраційного потоку довжиною ∆L; χ — коефіцієнт пропорційності, називаний коефіцієнтом фільтрації, що має розмірність швидкості фільтрації v; J=∆h/∆L — градієнт напору. У диференціальній формі закон Дарсі був отриманий Н. Е. Жуковським і зазвичай записується у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image819.wmz» o:><img width=«140» height=«21» src=«dopb147699.zip» v:shapes="_x0000_i1452">.                                              (3.9)
У скалярній формі закон Дарсі записується у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image821.wmz» o:><img width=«229» height=«44» src=«dopb147700.zip» v:shapes="_x0000_i1453">                             (3.10)
До рівняння (3.9) варто ще додати рівняння нерозривності фільтраційного потоку, що виражає закон збереження маси речовини й для недеформуємого середовища й нестисливої рідини (ρ = const) має такий вигляд
<imagedata src=«31821.files/image823.wmz» o:><img width=«131» height=«45» src=«dopb147701.zip» v:shapes="_x0000_i1454">.                                 (3.11)
Рівняння (3.10), (3.11) з невідомими функціями vx,vy,vzй h утворять повну систему диференціальних рівнянь сталої фільтрації важкої нестисливої рідини. Ця система рівнянь може описувати й несталу або квазівстановлену фільтрацію.
Якщо в рівняння нерозривності замість складових vx, vy, vzпідставити їх вирази, обумовлені рівностями (3.10), то у випадку однорідного середовища (χ = const) одержимо диференціальне рівняння для невідомого напору
    продолжение
--PAGE_BREAK--<imagedata src=«31821.files/image825.wmz» o:><img width=«135» height=«47» src=«dopb147702.zip» v:shapes="_x0000_i1455">.                                         (3.12)
яке називається рівнянням Лапласа.
Надалі буде розглядатися тільки плоско-паралельний рух рідини, що може відбуватися або у вертикальній площині (профільна фільтрація), або в горизонтальній площині (планова фільтрація).
3.2.         Постановка крайових завдань плоскої фільтрації
Зупинимося на основних рівняннях і постановці крайових задач плоскої (профільної) сталої фільтрації підземних вод в однорідному ізотропному ґрунті. Якщо в якості вертикальної координатної площини вибрати систему координат xOy, причому вісь Oy направити вертикально вниз, то рівняння фільтрації запишеться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image827.wmz» o:><img width=«332» height=«45» src=«dopb147703.zip» v:shapes="_x0000_i1456">      (3.13)
Із цих рівнянь маємо
<imagedata src=«31821.files/image829.wmz» o:><img width=«199» height=«45» src=«dopb147704.zip» v:shapes="_x0000_i1457">.                    (3.14)
З огляду на те, що для однорідного ґрунту χ = const, і ввівши функцію
<imagedata src=«31821.files/image831.wmz» o:><img width=«193» height=«48» src=«dopb147705.zip» v:shapes="_x0000_i1458">                (3.15)
яка називається потенціалом швидкості фільтрації, рівняння (3.13) перетвориться до вигляду
<imagedata src=«31821.files/image833.wmz» o:><img width=«121» height=«44» src=«dopb147706.zip» v:shapes="_x0000_i1459">                           (3.16)
а рівняння (3.14) перетвориться до вигляду
<imagedata src=«31821.files/image835.wmz» o:><img width=«135» height=«47» src=«dopb147707.zip» v:shapes="_x0000_i1460">                                (3.17)
Відшукавши потенціал <imagedata src=«31821.files/image837.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb147708.zip» v:shapes="_x0000_i1461">, легко обчислити напір h(x,y)і складову швидкості фільтрації.
Щоб визначити гармонійну функцію <imagedata src=«31821.files/image839.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb147708.zip» v:shapes="_x0000_i1462">, тобто функцію, що задовольняє в області фільтрації G рівняння Лапласа, необхідно вирішити це рівняння при додаткових умовах, які виконуються для шуканої функції на границі області.
Розглянемо вертикальний поперечний розріз земляної греблі або дамби (мал. 3.2).
рис. 3.2.
Область фільтрації G обмежена контуром ADCDEE1A1, щоскладається з окремих, характерних для границі області фільтрації, ділянок. Вісь Ox сполучена з поверхнею води в тій водоймі, рівень води якого перебуває вище (у розглянутому випадку ця водойма перебуває ліворуч, його змочений контур AB). У результаті наявності різниці рівнів води в «лівому» й «правому» водоймах, величина якої дорівнює H (H — дійсний напір), відбувається повільне просочування води через існуючий вододіл (область фільтрації) з першої водойми в другий. Ділянки границі області фільтрації, де відбувається надходження води з водойми в область фільтрації (ділянка AB) або з області фільтрації у водойму (ділянка DE), називаються водопроникними границями області фільтрації. Ділянки, де височується вода на поверхню ґрунту й стікає по поверхні ґрунту вниз або випаровується, називаються проміжками височування (ділянка CD). Ділянка границі між водоненасиченим й водонасиченим ґрунтом називається кривою депресії або депресивною кривою (ділянка BC). Якщо границя області є водонепроникною (або слабопроникною), то такі ділянки називаються водонепроникними (ділянку A1E1)або водоупором.
Установимо граничні умови на цих ділянках для потенціалу <imagedata src=«31821.files/image840.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1463">(x,y). Помітимо, що граничні умови, як і самі рівняння фільтрації, виводяться з фізичних законів або умов, які виконуються на границі області, у якій досліджується розглянутий процес руху підземних вод.
Розглянемо на водонепроникній ділянці AB довільну точку M(x,y), де п’єзометричний напір p/γ дорівнює висоті стовпа води над точкою M, тобто дорівнює ординаті y точки M. З огляду на співвідношення (3.15), у цій точці водонепроникної ділянки, а отже, і на всій водонепроникній ділянці AB , маємо
<imagedata src=«31821.files/image841.wmz» o:><img width=«239» height=«52» src=«dopb147709.zip» v:shapes="_x0000_i1464">.
Для довільної точки N(x,y) водопроникної ділянки DE маємо
<imagedata src=«31821.files/image843.wmz» o:><img width=«333» height=«58» src=«dopb147710.zip» v:shapes="_x0000_i1465">.
Таким чином, на водопроникних ділянках потенціал приймає постійне значення. Безліч точок, де потенціал задовольняє рівності <imagedata src=«31821.files/image845.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1466">(x,y)=const, називається лінією (поверхнею) рівного потенціалу або еквіпотенціальною лінією (поверхнею).
На кривої депресії п’єзометричний напір дорівнює нулю (атмосферний тиск і тиск, що відповідає висоті капілярного підняття води в ґрунті звичайно не враховується) і тому на ділянці BC маємо
<imagedata src=«31821.files/image846.wmz» o:><img width=«183» height=«52» src=«dopb147711.zip» v:shapes="_x0000_i1467">
На проміжку виточування CD, як і на кривій депресії, тиск дорівнює нулю й тому на цій ділянці маємо умову
<imagedata src=«31821.files/image848.wmz» o:><img width=«96» height=«27» src=«dopb147712.zip» v:shapes="_x0000_i1468">.
На водонепроникних ділянках і на кривій депресії швидкість фільтрації спрямована уздовж цих границь. Лінії, уздовж яких рухається фільтрівна рідина, називаються лініями потоку. Інакше кажучи, лінія, дотична в кожній точці якої збігається з напрямком вектора швидкості фільтрації, називається лінією потоку. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці лінії потокузбігається з кутовим коефіцієнтом вектора швидкості фільтрації й тому диференціальне рівняння ліній потоку має вигляд
<imagedata src=«31821.files/image850.wmz» o:><img width=«100» height=«25» src=«dopb147713.zip» v:shapes="_x0000_i1469">.                                             (3.18)
Очевидно, на лініях потоку, а отже, також на кривій депресії й на водонепроникних ділянках, нормальна складова швидкості фільтрації в будь-якій точці цих ліній дорівнює нулю, тобто
<imagedata src=«31821.files/image852.wmz» o:><img width=«80» height=«41» src=«dopb147714.zip» v:shapes="_x0000_i1470">.
Зокрема, для горизонтальної водонепроникної ділянки маємо
<imagedata src=«31821.files/image854.wmz» o:><img width=«80» height=«44» src=«dopb147715.zip» v:shapes="_x0000_i1471">.
Уздовж вільної поверхні (кривій депресії) у загальному випадку, коли має місце інфільтрація або випар рідини, виконуються дві умови (з обліком капілярного pkй атмосферного patтисків)
<imagedata src=«31821.files/image856.wmz» o:><img width=«307» height=«44» src=«dopb147716.zip» v:shapes="_x0000_i1472">.
Якщо через s позначити довжину дуги депресійної кривої, а через cos(s,x) і cos(s,y) — косинуси кутів, утворених дотичній до кривої депресії відповідно з віссю абсцис і віссю ординат, то, з огляду на останню рівність, можна записати
<imagedata src=«31821.files/image858.wmz» o:><img width=«368» height=«41» src=«dopb147717.zip» v:shapes="_x0000_i1473">,
де vs,vn — проекції швидкості фільтрації на кривої депресії відповідно на дотичну й нормаль до цієї кривої.
Скориставшись відомими співвідношеннями
<imagedata src=«31821.files/image860.wmz» o:><img width=«560» height=«25» src=«dopb147718.zip» v:shapes="_x0000_i1474">
умови для дотичній і нормальної складової швидкості фільтрації на кривій депресії можна представити у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image862.wmz» o:><img width=«439» height=«25» src=«dopb147719.zip» v:shapes="_x0000_i1475">.
Виключаючи з останніх рівностей cos(s,x), cos(s,y) одержимо умову для швидкості фільтрації на кривої депресії у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image864.wmz» o:><img width=«157» height=«27» src=«dopb147720.zip» v:shapes="_x0000_i1476">
або
<imagedata src=«31821.files/image866.wmz» o:><img width=«196» height=«49» src=«dopb147721.zip» v:shapes="_x0000_i1477">.                                   (3.19)
Із цієї умови слідує, що кривій депресії в площині зміни вектора швидкості фільтрації vxOvyвідповідає окружність (або її частина) із центром у точці з координатами <imagedata src=«31821.files/image868.wmz» o:><img width=«92» height=«21» src=«dopb147722.zip» v:shapes="_x0000_i1478"> радіусом |χ — ε|/2, причому частина зазначеного круга може проходити двічі.
Точне рішення рівняння фільтрації при певних граничних умовах можна одержати тільки в окремих випадках, причому одержання рішень й у цих випадках пов'язане з більшими математичними труднощами, перебороти які вдається як правило, тільки за допомогою методу конформних відображень.
3.3.         Зв'язок рівнянь плоскої фільтрації з теорією функцій КЗ
Щоб застосувати апарат теорії функцій комплексної змінної до рішення рівнянь у частинних похідних, що описують конкретні фізичні процеси необхідно встановити, як можна перейти від крайових задач для цих рівнянь до завдань теорії аналітичних функцій комплексної змінної. Зв'язок теорії функцій комплексної змінної із крайовими задачами теорії фільтрації підземних вод дає можливість за допомогою методу конформних відображень знаходити аналітичні як точні, так і наближені вирішення для багатьох випадків, що виникають у практиці гідротехнічного, меліоративного й водогосподарчого будівництва. Метод конформних відображень можна застосовувати при розв’язанні різних крайових задач математичної фізики. Однак найбільш ефективне його застосування виявляється у випадку крайових задач для рівняння Лапласа, рішеннями якого є гармонійні функції. Вид цієї функції залежить від області, у якій шукається розв’язання, і від виду крайових умов для шуканого рішення. Як відомо, гармонійні функції можна зв'язати з аналітичними, і тоді завдання про знаходження рішення рівняння Лапласа (рівняння фільтрації) буде зведена до завдання знаходження аналітичної в розглянутій області (області фільтрації) функції.
Рівняння плоскої сталої фільтрації важкої нестисливої рідини в однорідному ізотропному пористому середовищі у випадку, якщо рух рідини (підземних вод) відбувається у вертикальній площині (профільна фільтрація), можуть бути записані у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image870.wmz» o:><img width=«85» height=«45» src=«dopb147723.zip» v:shapes="_x0000_i1479">                                        (3.20)
<imagedata src=«31821.files/image872.wmz» o:><img width=«181» height=«44» src=«dopb147724.zip» v:shapes="_x0000_i1480">                               (3.21)
Рівність (3.20) є умовою того, що величина -vydx + vxdy є повним диференціалом деякої функції ψ(x, y), що, як і функція <imagedata src=«31821.files/image874.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1481">(x,y), визначається з точністю до довільного доданка. Отже, відповідно до визначення повного диференціала маємо
<imagedata src=«31821.files/image875.wmz» o:><img width=«239» height=«44» src=«dopb147725.zip» v:shapes="_x0000_i1482">.                          (3.22)
Звідси,
<imagedata src=«31821.files/image877.wmz» o:><img width=«127» height=«44» src=«dopb147726.zip» v:shapes="_x0000_i1483">                           (3.23)
Порівнюючи (3.21) і (3.23), одержуємо
<imagedata src=«31821.files/image879.wmz» o:><img width=«151» height=«44» src=«dopb147727.zip» v:shapes="_x0000_i1484">                           (3.24)
Ці рівності, як відомо, називаються умовами Коші-Рімана (Эйлера-Даламбера). Диференціюючи першу рівність по y, а другу по x, одержуємо
<imagedata src=«31821.files/image881.wmz» o:><img width=«137» height=«47» src=«dopb147728.zip» v:shapes="_x0000_i1485">.                   (3.25)
Таким чином, функція ψ(x,y) так само, як і функція <imagedata src=«31821.files/image883.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1486">(x,y), задовольняє рівнянню Лапласа, тобто є гармонійною функцією.
Функція ψ(x, y) називається функцією потоку. Її назва визначається фізичним змістом цієї функції, тому що диференціальне рівняння лінії току має вигляд (3.18), яких можна записати в такий спосіб:
 <imagedata src=«31821.files/image884.wmz» o:><img width=«148» height=«25» src=«dopb147729.zip» v:shapes="_x0000_i1487">.                                  (3.26)
Загальний інтеграл цього рівняння є функція ψ(x,y) = C (C = const), отже, на лініях току функція ψ(x, y) зберігає постійне значення. З'ясуємо фізичний зміст функції потоку, а саме, покажемо, що функція ψ(x,y) пов'язана з поняттям фільтраційної витрати. Нехай KL — довільна крива в області фільтрації G — є напрямної циліндричної поверхні одиничної висоти з утворюючої, перпендикулярної площини xOy. Витрата рідини Q через таку поверхню дорівнює сумі фільтраційних витрат через нескінченно малі елементи кривій KL.
Завдяки нерозривності розглянутого потоку рідини елементарна витрата d через елемент кривої dl дорівнює алгебраїчній сумі витрат через ділянки 1-2 й 2-3 — відрізки прямих, паралельних осям координат:
d = dQx+ dQy = vdl.
Будемо вважати, що значення витрати Q(x,y) зростає при русі уздовж кривої KL у напрямку від точки 1 до точки 3 (позитивний напрямок кривої). Тоді маємо
d = dQx+ sQy = vy(-dx) + vxdy → d = dψ.
Інтегруючи останнє рівняння уздовж кривої від точки K до точки L, знайдемо шукану фільтраційну витрату
<imagedata src=«31821.files/image886.wmz» o:><img width=«175» height=«39» src=«dopb147730.zip» v:shapes="_x0000_i1488">                         (3.27)
тобто збільшення функції потоку ∆ψ уздовж довільної кривої KL, узятої в області фільтрації G, дорівнює фільтраційній витраті через цю криву.
Якщо задати функцію потоку як функцію від довжини дуги l кривій KL, то для визначення витрати одержимо
<imagedata src=«31821.files/image888.wmz» o:><img width=«145» height=«45» src=«dopb147731.zip» v:shapes="_x0000_i1489">                            (3.28)
Тому що функції <imagedata src=«31821.files/image890.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1490">(x, y) і ψ(x, y) задовольняють умовам Коші — Рімана, то комплексна функція
<imagedata src=«31821.files/image891.wmz» o:><img width=«163» height=«21» src=«dopb147732.zip» v:shapes="_x0000_i1491">                           (3.29)
буде аналітичною в області фільтрації G й її можна розглядати як функцію комплексної змінної ω=f(z), де z = x + iy . Функція (3.29) у теорії фільтрації називається комплексним потенціалом фільтрації. Таким чином, через комплексний потенціал фільтрації встановлюється зв'язок фільтрації з теорією функцій комплексної змінної.
Розглянемо ще одну комплексну величину vx — iyy, що у теорії фільтрації називається комплексною швидкістю фільтрації. Диференціюючи рівняння (3.29) по z і використовуючи співвідношення (3.20), (3.23), знайдемо похідну
<imagedata src=«31821.files/image893.wmz» o:><img width=«159» height=«41» src=«dopb147733.zip» v:shapes="_x0000_i1492">.                           (3.30)
Тому що похідна аналітичної функції є також аналітичною функцією, то комплексна швидкість фільтрації w, обумовлена рівністю
<imagedata src=«31821.files/image895.wmz» o:><img width=«215» height=«25» src=«dopb147734.zip» v:shapes="_x0000_i1493">,                       (3.31)
є аналітичною функцією в області фільтрації G .
Геометричне подання про плоский сталий фільтраційний потік дає так названу гідродинамічну сітку, тобто сітку, утворену сімейством ліній потоку ψ(x,y)=ψn=const і сімейством еквіпотенціальних ліній <imagedata src=«31821.files/image897.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1494">(x,y)=<imagedata src=«31821.files/image897.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1495">m=const, які одночасно є й лініями рівних напорів h = hm = const.
З умов Коші-Рімана слідує рівність
<imagedata src=«31821.files/image898.wmz» o:><img width=«143» height=«44» src=«dopb147735.zip» v:shapes="_x0000_i1496">                                      (3.32)
яка показує, що еквіпотенціальні лінії й лінії потоку взаємно ортогональні.
Таким чином, якщо для досліджуваного руху підземних вод знайти комплексний потенціал фільтрації (3.29) або комплексну швидкість фільтрації (3.31), те можна легко визначити величини <imagedata src=«31821.files/image900.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1497">(x,y), ψ(x,y), vx(x,y), vy(x,y), отже й всі інші характеристики фільтраційного потоку.
3.4.         Метод конформних відображень у теорії фільтрації
Якщо геометрична форма області G складна, то відшукання рішення крайової задачі пов'язане з більшими труднощами. Тому при вирішенні тієї чи іншої крайової задачі намагаються спростити як диференціальне рівняння із граничними умовами, так і вид області, у якій відшукується вирішення. Одним з найпоширеніших методів такого спрощення крайового завдання є метод перетворення незалежних змінних (заміна змінних), зокрема, метод конформного перетворення незалежних змінних.
Нехай у деякій області G необхідно знайти рішення крайової задачі для рівняння Лапласа
<imagedata src=«31821.files/image901.wmz» o:><img width=«135» height=«47» src=«dopb147707.zip» v:shapes="_x0000_i1498">.                                               (3.33)
Спробуємо спростити вид області G за допомогою заміни змінних
<imagedata src=«31821.files/image902.wmz» o:><img width=«153» height=«21» src=«dopb147736.zip» v:shapes="_x0000_i1499">                                    (3.34)
або
<imagedata src=«31821.files/image904.wmz» o:><img width=«156» height=«21» src=«dopb147737.zip» v:shapes="_x0000_i1500">                          (3.35)
При переході до новим змінних ξ і η міняється не тільки область G, але й саме диференціальне рівняння й граничні умови. Очевидно, найбільший інтерес представляють перетворення, що не міняють вид диференціального рівняння, тобто в нашому випадку перетворення, щодо яких саме рівняння Лапласа залишається інваріантним. Покажемо, що в цьому випадку функції (3.34), що здійснюють перетворення області G у більш просту область D, належать, як і функція <imagedata src=«31821.files/image906.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1501">(x,y), до класу гармонійних функцій, більше того, вони будуть сполученими гармонійними функціями.
Знайдемо
<imagedata src=«31821.files/image907.wmz» o:><img width=«149» height=«44» src=«dopb147738.zip» v:shapes="_x0000_i1502">
<imagedata src=«31821.files/image909.wmz» o:><img width=«445» height=«49» src=«dopb147739.zip» v:shapes="_x0000_i1503">
<imagedata src=«31821.files/image911.wmz» o:><img width=«149» height=«44» src=«dopb147740.zip» v:shapes="_x0000_i1504">
<imagedata src=«31821.files/image913.wmz» o:><img width=«445» height=«52» src=«dopb147741.zip» v:shapes="_x0000_i1505">
Підставляючи знайдені вирази в рівняння (3.33), одержимо наступне диференціальне рівняння
<imagedata src=«31821.files/image915.wmz» o:><img width=«509» height=«64» src=«dopb147742.zip» v:shapes="_x0000_i1506">
<imagedata src=«31821.files/image917.wmz» o:><img width=«423» height=«59» src=«dopb147743.zip» v:shapes="_x0000_i1507">.  (3.36)
Очевидно, для того, щоб диференціальне рівняння (3.36) було рівнянням Лапласа, необхідно, щоб перетворення (3.34) задовольняло таким вимогам:
<imagedata src=«31821.files/image919.wmz» o:><img width=«271» height=«47» src=«dopb147744.zip» v:shapes="_x0000_i1508">              (3.37)
<imagedata src=«31821.files/image921.wmz» o:><img width=«135» height=«44» src=«dopb147745.zip» v:shapes="_x0000_i1509">                             (3.38)
<imagedata src=«31821.files/image923.wmz» o:><img width=«220» height=«52» src=«dopb147746.zip» v:shapes="_x0000_i1510">.                       (3.39)
Рівняння (3.37) показують, що функції <imagedata src=«31821.files/image925.wmz» o:><img width=«48» height=«21» src=«dopb147747.zip» v:shapes="_x0000_i1511"> і <imagedata src=«31821.files/image927.wmz» o:><img width=«48» height=«21» src=«dopb147748.zip» v:shapes="_x0000_i1512"> є гармонійними функціями. Розділивши рівняння (3.38) на <imagedata src=«31821.files/image929.wmz» o:><img width=«47» height=«44» src=«dopb147749.zip» v:shapes="_x0000_i1513">, маємо
<imagedata src=«31821.files/image931.wmz» o:><img width=«165» height=«44» src=«dopb147750.zip» v:shapes="_x0000_i1514">                                   (3.40)
Підставляючи вираз (3.40) у рівняння (3.39), одержуємо
<imagedata src=«31821.files/image933.wmz» o:><img width=«188» height=«59» src=«dopb147751.zip» v:shapes="_x0000_i1515">,                                        (3.41)
звідки маємо, що якщо
<imagedata src=«31821.files/image935.wmz» o:><img width=«132» height=«52» src=«dopb147752.zip» v:shapes="_x0000_i1516">                                         (3.42)
то <imagedata src=«31821.files/image937.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb147664.zip» v:shapes="_x0000_i1517">= ±1 й, отже, з рівнянь (3.40) одержимо або
<imagedata src=«31821.files/image938.wmz» o:><img width=«135» height=«44» src=«dopb147753.zip» v:shapes="_x0000_i1518">                                        (3.43)
або
<imagedata src=«31821.files/image940.wmz» o:><img width=«145» height=«44» src=«dopb147754.zip» v:shapes="_x0000_i1519">                                              (3.44)
Ці рівняння є умовами Коші-Рімана й показують, що функції <imagedata src=«31821.files/image942.wmz» o:><img width=«48» height=«21» src=«dopb147747.zip» v:shapes="_x0000_i1520"> і <imagedata src=«31821.files/image943.wmz» o:><img width=«48» height=«21» src=«dopb147748.zip» v:shapes="_x0000_i1521"> є гармонійними функціями. Перетворення, здійснюване такими функціями, переводить нескінченно малі фігури площини хОу в подібні їм фігури площини <imagedata src=«31821.files/image944.wmz» o:><img width=«35» height=«21» src=«dopb147755.zip» v:shapes="_x0000_i1522"> за умови, що виконується (3.42). Саме такі перетворення й називаються конформними. Отже, якщо перетворення, здійснюване функціями (3.34), є конформним, то рівняння (3.33) прийме вид
<imagedata src=«31821.files/image946.wmz» o:><img width=«451» height=«59» src=«dopb147756.zip» v:shapes="_x0000_i1523">
або
<imagedata src=«31821.files/image948.wmz» o:><img width=«268» height=«59» src=«dopb147757.zip» v:shapes="_x0000_i1524">
З останньої рівності одержуємо
<imagedata src=«31821.files/image950.wmz» o:><img width=«151» height=«47» src=«dopb147758.zip» v:shapes="_x0000_i1525">                                      (3.45)
Отримане рівняння також є рівнянням Лапласа, де частки похідні виражаються через нові незалежні змінні ξ і η — координати області D .
Тепер, якщо утворити комплексну функцію, у якої дійсною й уявною частинами є відповідно функції ξ(x,y) і η(x,y), то така комплексна функція ζ=ξ+iη буде аналітичною функцією комплексної змінної z = x+iy, тобто
ζ(z)=ξ(x,y)+iη(x,y) = f(z).                (3.46)
Як ми вже відзначали, перетворення, здійснюване аналітичною функцією (3.47), або, що те ж саме, функціями (3.34), називається конформним усюди в області G, де похідна не дорівнює нулю, тобто де виконується умова
<imagedata src=«31821.files/image952.wmz» o:><img width=«303» height=«52» src=«dopb147759.zip» v:shapes="_x0000_i1526">      (3.47)
Таким чином, рівняння Лапласа є інваріантним щодо перетворень, здійснюваних аналітичними функціями комплексного змінного. Якщо ж перетворення (3.34) здійснюється довільними функціями ξ(x,y) і η(x,y), тобто не є конформним, то рівняння Лапласа (3.33) не переходить у рівняння Лапласа (3.45), а переходить у більше загальне рівняння в частинних похідних другого порядку.
Якщо вдається знайти рішення рівняння Лапласа або якого-небудь іншого рівняння математичної фізики в одній з найпростіших, так званих канонічних областей D (коло, напівплощина, прямокутник, смуга й ін.), тобто якщо визначено функцію <imagedata src=«31821.files/image954.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb147760.zip» v:shapes="_x0000_i1527"> як функція координат ξ і η точок області D, то, скориставшись співвідношеннями (3.47) або (3.34), легко знайти шукане рішення <imagedata src=«31821.files/image956.wmz» o:><img width=«65» height=«23» src=«dopb147761.zip» v:shapes="_x0000_i1528">, <imagedata src=«31821.files/image958.wmz» o:><img width=«65» height=«23» src=«dopb147762.zip» v:shapes="_x0000_i1529"> як функцію змінних x й y — координат точок вихідної фізичної області G .
При рішенні конкретних фізичних задач функції <imagedata src=«31821.files/image960.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb147708.zip» v:shapes="_x0000_i1530"> й <imagedata src=«31821.files/image961.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb147763.zip» v:shapes="_x0000_i1531"> мають певну фізичну інтерпретацію. Фізична постановка задач визначає й крайові умови для шуканих функцій. Метод конформних відображень дозволяє також у ряді випадків, а саме, коли граничні умови як для функції <imagedata src=«31821.files/image963.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1532">(x,y), так і для сполученої з нею функції ψ(x,y), мають спеціальний фізичний зміст, відшукувати рішення рівняння Лапласа безпосередньо. У цих випадках досить знайти аналітичну функцію, конформно фізичну область, що відображає, G на область D зміни фізичних <imagedata src=«31821.files/image964.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1533"> параметрів (x,y) і ?(x,y). Вид області D визначається граничними значеннями функцій <imagedata src=«31821.files/image965.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1534">(x,y) і ψ(x,y).
    продолжение
--PAGE_BREAK--Для завдань плоскої фільтрації, якщо вдається конформно відобразити область фільтрації z на область комплексного потенціалу ω за допомогою деякої аналітичної функції ω = f(z), те розділивши дійсну й уявну частини функції, що відображає, знайдемо комплексний потенціали фільтрації у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image966.wmz» o:><img width=«268» height=«21» src=«dopb147764.zip» v:shapes="_x0000_i1535">             (3.48)
де <imagedata src=«31821.files/image968.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1536">(x, y)— потенціал швидкості фільтрації, а ψ(x, y)— функція струму.
Крім описаної аналітичної функції — комплексного потенціалу фільтрації, у теорії профільної фільтрації розглядаються ще дві аналітичні функції: функція Жуковського G, що визначається рівністю
<imagedata src=«31821.files/image969.wmz» o:><img width=«81» height=«44» src=«dopb147765.zip» v:shapes="_x0000_i1537">                                         (3.49)
і функція Нумерова, обумовлена рівністю
<imagedata src=«31821.files/image971.wmz» o:><img width=«97» height=«44» src=«dopb147766.zip» v:shapes="_x0000_i1538">                                               (3.50)
де ε — кількість води, що надходить у ґрунт (ε > 0) або паркої (ε < 0) з одиниці площі горизонтальної проекції вільної поверхні за одиницю часу.
Таким чином, крайове завдання теорії плоскої сталої або фільтрації, що квазиустано-вились, полягає в тім, щоб для заданої області фільтрації Z знайти одну (або дві) з аналітичних функцій (3.48),(3.49),(3.50).
3.4.1.  Спосіб Павловського
Спосіб конформного відображення Павловського застосовується у випадку, коли відома границя вихідної області фільтрації G, що будемо позначати також буквою z (тому що область фільтрації розглядається в комплексній площині z=x+ iy). і відома область комплексного потенціалу (ОКП) ω (яка будується в комплексній площині ω=<imagedata src=«31821.files/image973.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1539">+iψ). Тоді характеристична функція потоку z = F(ω) або зворотна їй функція — комплексні потенціали швидкості фільтрації ω = f(z) — визначається в результаті конформного відображення області ω на область z. Область комплексного потенціалу ω, як правило, можна побудувати тільки в тому випадку, коли границя області фільтрації z складається з водонепроникних і водопроникних ділянок, тобто границя області фільтрації складається з еквіпотенциальних ліній і ліній струму. У цьому випадку проміжки височування й кривих депресій відсутні (напірна фільтрація). Тому що на еквіпотенциальних лініях <imagedata src=«31821.files/image974.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1540"> = const, а на лініях струму ψ = const, то область комплексного потенціалу ω у розглянутому випадку завжди буде мати вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника, сторони якого паралельні осям координат.
Звичайно будують дві функції, що відображають: конформно, що відображає на область фільтрації z нижню (або верхню) так називану допоміжну напівплощину ζ = ξ + iη і конформно відображає на ОКП ω цю же допоміжну напівплощину ζ. У цьому випадку рішення завдання фільтрації, тобто комплексний потенціал швидкості фільтрації (або характеристичну функцію потоку), можна записати в параметричному виді
z = f1(ζ),  ω = f2(ζ).                                              (3.51)
Тому що ОКП — прямолінійний прямокутник, то функція ω = f(ζ) знаходиться за допомогою інтеграла Крістофеля-Шварца.
3.4.2. Спосіб Ведерникова-Павловского
У випадку, коли границя області фільтрації z містить криві депресії (так названа безнапірна або вільна фільтрація), положення яких заздалегідь невідомо, конформне відображення області фільтрації z на область ω або напівплощину ζ неможливо, хоча й у цьому випадку, як й у попередньому, область ω цілком визначена й має вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника. У зв'язку з результатами В. В. Ведерникова й Н. Н. Павловського, отриманими незалежно друг від друга, був запропонований спосіб, що усуває труднощі, пов'язані з невизначеністю положення кривої депресії. Скориставшись відомими для функцій <imagedata src=«31821.files/image975.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1541">(x, y) і ψ(x,y) граничними умовами на кривої депресії BjCj
<imagedata src=«31821.files/image976.wmz» o:><img width=«208» height=«31» src=«dopb147767.zip» v:shapes="_x0000_i1542">                         (3.52)
вони замість області змінно z (область фільтрації) запропонували розглядати область так називаної функції Жуковського G, що визначається рівністю
<imagedata src=«31821.files/image978.wmz» o:><img width=«127» height=«44» src=«dopb147768.zip» v:shapes="_x0000_i1543">                                (3.53)
або
<imagedata src=«31821.files/image980.wmz» o:><img width=«143» height=«44» src=«dopb147769.zip» v:shapes="_x0000_i1544">                                      (3.54)
Тепер можна записати граничні умови для функції Жуковського, вірніше, для її уявної частини:
уздовж границі АВ з верхньою водоймою (б'єфом)
<imagedata src=«31821.files/image982.wmz» o:><img width=«300» height=«49» src=«dopb147770.zip» v:shapes="_x0000_i1545">          (3.55)
χ AB на кривої депресії ВР, розташованої між k-м й (k+1)-м водоймами,
<imagedata src=«31821.files/image984.wmz» o:><img width=«309» height=«49» src=«dopb147771.zip» v:shapes="_x0000_i1546">         (3.56)
на границі з (k + 1) -м водоймою
<imagedata src=«31821.files/image986.wmz» o:><img width=«367» height=«49» src=«dopb147772.zip» v:shapes="_x0000_i1547">     (3.57)
де <imagedata src=«31821.files/image988.wmz» o:><img width=«171» height=«25» src=«dopb147773.zip» v:shapes="_x0000_i1548"> - наведена фільтраційна витрата в (k+1)-й водоймі; Q — повна фільтраційна витрата.
На водонепроникній ділянці A1E1, називаній водоупором, значення функцій u йv невідомі, однак можна вказати межі їхньої зміни:
<imagedata src=«31821.files/image990.wmz» o:><img width=«175» height=«29» src=«dopb147774.zip» v:shapes="_x0000_i1549">                       (3.58)
<imagedata src=«31821.files/image992.wmz» o:><img width=«225» height=«29» src=«dopb147775.zip» v:shapes="_x0000_i1550">              (3.59)
З нерівності (3.59) бачимо, що лінія A1E1, щоє образом водоупора в площині функції Жуковського G, укладена в горизонтальній смузі товщини H.
Таким чином, в області функції Жуковського G криві депресії перетворяться в горизонтальні прямі, інші ділянки — у невідомі лінії, причому водоупор перетвориться в деяку криву лінію, укладену в смузі товщиною H, де H дорівнює різниці оцінок води у верхній і нижній водоймах. При дуже великій глибині залягання водоупора, коли можна покласти <imagedata src=«31821.files/image994.wmz» o:><img width=«43» height=«17» src=«dopb147776.zip» v:shapes="_x0000_i1551">, всі ділянки границі області функції Жуковського G будуть відомі, якщо водопроникні ділянки — вертикальні (x = xk = const). Тоді, відображаючи конформно на область функції Жуковського G, щомає вид прямолінійного багатокутника, ОКП ω за допомогою функції G=F(ω) і з огляду на співвідношення (3.53), шукану характеристичну функцію плину знаходимо у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image996.wmz» o:><img width=«99» height=«44» src=«dopb147777.zip» v:shapes="_x0000_i1552">.                                    (3.60)
Якщо ж зазначене відображення здійснюється через допоміжну напівплощину, то шукане рішення можна записати в параметричній формі
<imagedata src=«31821.files/image998.wmz» o:><img width=«205» height=«44» src=«dopb147778.zip» v:shapes="_x0000_i1553">                         (3.61)
Викладений спосіб можна застосовувати й у тому випадку, коли водопроникні й водонепроникні ділянки не є відповідно горизонтальними й вертикальними. При цьому як вихідну область досить вибрати область функції Жуковського G, а після ОКП ω на область G за допомогою співвідношення (3.53) знайти границі області фільтрації z (напівзворотний спосіб Ведерникова-Павловського). Область G у цьому випадку вибирають так, щоб, з одного боку, її можна було порівняно легко конформно відобразити на область ω абоζ, з іншого боку — побудована для неї область фільтрації z повинна відповідати реальним умовам фільтраційного завдання.
3.5.         Конформні перетворення й моделювання масо переносу
Процес міграції розчинних речовин при фільтрації підземних вод, як відомо, описується системою рівнянь:
<imagedata src=«31821.files/image1000.wmz» o:><img width=«116» height=«21» src=«dopb147779.zip» v:shapes="_x0000_i1554">                                  (3.62)
<imagedata src=«31821.files/image1002.wmz» o:><img width=«167» height=«41» src=«dopb147780.zip» v:shapes="_x0000_i1555">;                      (3.63)
<imagedata src=«31821.files/image1004.wmz» o:><img width=«123» height=«41» src=«dopb147781.zip» v:shapes="_x0000_i1556">                                (3.64)
 або в скалярній формі
<imagedata src=«31821.files/image1006.wmz» o:><img width=«316» height=«45» src=«dopb147782.zip» v:shapes="_x0000_i1557">             (3.65)
<imagedata src=«31821.files/image1008.wmz» o:><img width=«369» height=«51» src=«dopb147783.zip» v:shapes="_x0000_i1558">           (3.66)
<imagedata src=«31821.files/image1010.wmz» o:><img width=«123» height=«41» src=«dopb147781.zip» v:shapes="_x0000_i1559">                                 (3.67)
де v = {vx,vy,vz}— вектор швидкості фільтрації, м/доб; <imagedata src=«31821.files/image1011.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1560">(x,y,z,t)— потенціал фільтрації; c(x, y, z, t) і N(x, y, z, t) — концентрація дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах, г/см, D — коефіцієнт конвективної дифузії, м3/доб; σ — активна (або ефективна) пористість середовища, у якому протікає фільтрація розчину; t — година (у добах); <imagedata src=«31821.files/image1012.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb147318.zip» v:shapes="_x0000_i1561"> - оператор Гамільтона; γ — стала швидкості масообміну; β — коефіцієнт розподілу речовини між; фазами в умовах рівноваги по лінійній ізтермі Генрі cp = βN. У багатьох практичних завданнях можна обмежитися дослідженням процесу масопереносу розчинних у фільтраційному потоці речовин тільки на основі рівнянь, що описують конвективний процес, а саме:
<imagedata src=«31821.files/image1013.wmz» o:><img width=«316» height=«45» src=«dopb147782.zip» v:shapes="_x0000_i1562">            (3.68)
<imagedata src=«31821.files/image1014.wmz» o:><img width=«245» height=«44» src=«dopb147784.zip» v:shapes="_x0000_i1563">                          (3.69)
причому масообмін визначається такою досить розповсюдженою залежністю:
<imagedata src=«31821.files/image1016.wmz» o:><img width=«168» height=«41» src=«dopb147785.zip» v:shapes="_x0000_i1564">                                 (3.70)
де <imagedata src=«31821.files/image1018.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb147323.zip» v:shapes="_x0000_i1565">  - концентрація граничної насиченості.
Наведені рівняння описують, як правило, міграцію й фізичну трансформацію (сорбцію, десорбцію) консервативних водорозчинних речовин.
Якщо дослідити масоперенос при плоско-вертикальній і плановій усталеній або квазіусталеній фільтрації підземних вод, то для моделювання цього процеса доцільно застосувати конформне перетворення рівнянь масопереноса до криволінійних змінних — координатам точок області комплексного потенціала фільтрації.
У разі плоско-вертикальної (профільної) фільтрації рівняння рухові підземних вод запишуться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image1019.wmz» o:><img width=«277» height=«45» src=«dopb147786.zip» v:shapes="_x0000_i1566">                    (3.71)
де χ — коефіцієнт фільтрації, h — напір, який визначається рівністю
<imagedata src=«31821.files/image1021.wmz» o:><img width=«79» height=«44» src=«dopb147787.zip» v:shapes="_x0000_i1567">                                          (3.72)
причому вісь Oy спрямовано вертикально вниз, p — тиск, ρ — щільність, g — прискорення сили тяжіння.
У разі планової напорної фільтрації відповідні рівняння записуються так:
Φ = -χTh;
<imagedata src=«31821.files/image1023.wmz» o:><img width=«225» height=«45» src=«dopb147788.zip» v:shapes="_x0000_i1568">                     (3.73)
а в разі планової безнапорної фільтрації <imagedata src=«31821.files/image1025.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb147789.zip» v:shapes="_x0000_i1569">
<imagedata src=«31821.files/image1027.wmz» o:><img width=«236» height=«47» src=«dopb147790.zip» v:shapes="_x0000_i1570">                            (3.74)
У рівняннях (3.73), (3.74) через T позначено потужність напірного водоносного шару: q — вектор питомої фільтраційної витрати (м2/доб), ah — напір, який у даному випадку визначається таким рівнянням:
<imagedata src=«31821.files/image1029.wmz» o:><img width=«77» height=«44» src=«dopb147791.zip» v:shapes="_x0000_i1571">                                         (3.75)
де Z — вертикальна координата точки фільтраційного потоку.
Припущення, що для фільтраційних течій, що розглядаються, можна побудувати область комплексного потенціала ω = <imagedata src=«31821.files/image1031.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1572"> + iψ , де ψ — функція течії, і що відома характеристична функція течії
z = x + iy = F(ω) = F1(<imagedata src=«31821.files/image1032.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1573">, ψ)+ i2(<imagedata src=«31821.files/image1032.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1574">,ψ),                     (3.76)
за допомогою заміни
x = F1(<imagedata src=«31821.files/image1032.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1575">,ψ);   y = F2(<imagedata src=«31821.files/image1032.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1576">,ψ)                      (3.77)
перетворимо рівняння конвективної дифузії до нових незалежних змінних <imagedata src=«31821.files/image1032.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1577"> і ψ. У результаті такої заміни рівняння конвективної дифузії в разі плоско-вертикальної фільтрації запишеться у вигляді
<imagedata src=«31821.files/image1033.wmz» o:><img width=«293» height=«47» src=«dopb147792.zip» v:shapes="_x0000_i1578">                          (3.78)
у разі планової напорної фільтрації — у такому вигляді:
<imagedata src=«31821.files/image1035.wmz» o:><img width=«299» height=«47» src=«dopb147793.zip» v:shapes="_x0000_i1579">                                   (3.79)
а в разі планової безнапорної фільтрації перетворюється до вигляду
<imagedata src=«31821.files/image1037.wmz» o:><img width=«313» height=«47» src=«dopb147794.zip» v:shapes="_x0000_i1580">                                (3.80)
Якщо в рівняннях (3.78)-(3.80) D = 0, отримаємо рівняння конвективного масопереносу без враховування дифузійних процесів, що перетворені до нових змінних <imagedata src=«31821.files/image1039.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1581">, ψ або Φ, Ψ або Φ*, Ψ* відповідно для випадків плоско-вертикальної, планової напорної і планової безнапорної фільтрації, а саме:
<imagedata src=«31821.files/image1040.wmz» o:><img width=«224» height=«44» src=«dopb147795.zip» v:shapes="_x0000_i1582">                      (3.81)
<imagedata src=«31821.files/image1042.wmz» o:><img width=«247» height=«41» src=«dopb147796.zip» v:shapes="_x0000_i1583">                           (3.82)
<imagedata src=«31821.files/image1044.wmz» o:><img width=«259» height=«47» src=«dopb147797.zip» v:shapes="_x0000_i1584">              (3.83)
Отже, у разі нехтування дифузійними процесами питання про визначення концентрації речовин, що забруднюють підземні води, зводиться до розв'язання відповідної фільтраційної задачі та одного з рівнянь (3.81)-(3.83) із одною додатковою (початковою) умовою, яка задається залежно від фізичної постановки задачі.
Важливою характеристикою при дослідженні процесу забруднення підземних вод є час, протягом якого в даній точці області <imagedata src=«31821.files/image1046.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147343.zip» v:shapes="_x0000_i1585"> (або області z) концентрація розчинної речовини досягає визначеної величини. Крім того, виникає питання про визначення часу, протягом якого концентрація розчинної речовини досягає в даній точці максимального значення. Основні диференціальні рівняння, з яких визначаються ці характеристики, а також фронт просування речовини (домішку) у фільтарційному потоці будуть наведені нижче.
Нехай відома концентрація розчинної в фільтраційному потоці речовини як функції координат точок області комплексного потенціала й і години t. Тоді для кожного значення (моменту) часу t можна побудуввати поверхню розподілу концентрації відносно області комплексного потенціала <imagedata src=«31821.files/image1047.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147343.zip» v:shapes="_x0000_i1586">, а отже, й відносно області фільтрації z. Цим самим для кожного моменту часу буде визначено значення концентрації речовини, що розповсюджується в підземних водах, у будь-якій точці області фільтрації або впродовж; лінії, зокрема, впродовж; будь-якої йз ліній чи течії еквіпотенціальних ліній.
Якщо ж припустити, що міграція речовини здійснюється зі сталою концентрацією, то час, протягом якого станеться забруднення визначеної частки області фільтрації, знайдемо таким чином. Нехай відома швидкість фільтрації v(x,y,t) і характеристична функція течії, що отримана у вигляді (3.77). Швидкість розповсюдження розчинної у фільтраційному потоці речовини U(x,y,t) у даному разі дорівнює дійсній швидкості руху підземних вод V(x,y,t), яка зв'язана зі швидкістю фільтрації v(x,y,t) співвідношенням
<imagedata src=«31821.files/image1048.wmz» o:><img width=«273» height=«41» src=«dopb147798.zip» v:shapes="_x0000_i1587">                     (3.84)
де через <imagedata src=«31821.files/image1050.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147345.zip» v:shapes="_x0000_i1588"> позначена активна пористість ґрунту (породи). За миттєво протікаючих сорбційних процесах, що визначаються рівністю (3.70), активна пористість замінюється ефективною пористістю середовища, що визначається рівністю
<imagedata src=«31821.files/image1051.wmz» o:><img width=«140» height=«25» src=«dopb147799.zip» v:shapes="_x0000_i1589">                                      (3.85)
Із (3.84) отримуємо
<imagedata src=«31821.files/image1053.wmz» o:><img width=«185» height=«53» src=«dopb147800.zip» v:shapes="_x0000_i1590">                   (3.86)
Після перетворення рівності (3.86) до нових незалежних змінних <imagedata src=«31821.files/image1055.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1591"> та <imagedata src=«31821.files/image1056.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb147336.zip» v:shapes="_x0000_i1592"> маємо
<imagedata src=«31821.files/image1057.wmz» o:><img width=«369» height=«56» src=«dopb147801.zip» v:shapes="_x0000_i1593">           (3.87)
Замість рівнянь (3.81)-(3.83) зручно розглядати рівняння
<imagedata src=«31821.files/image1059.wmz» o:><img width=«195» height=«44» src=«dopb147802.zip» v:shapes="_x0000_i1594">                                     (3.88)
де <imagedata src=«31821.files/image1061.wmz» o:><img width=«97» height=«21» src=«dopb147803.zip» v:shapes="_x0000_i1595"> — безрозмірні величини, причому <imagedata src=«31821.files/image1063.wmz» o:><img width=«131» height=«21» src=«dopb147804.zip» v:shapes="_x0000_i1596">. До рівняння (3.88) легко звести кожне з рівнянь (3.81)-(3.83). Дійсно, якщо в рівнянні (3.88) покласти
<imagedata src=«31821.files/image1065.wmz» o:><img width=«371» height=«47» src=«dopb147805.zip» v:shapes="_x0000_i1597">          (3.89)
то отримаємо рівняння (3.81), якщо в рівнянні (3.88) покласти
<imagedata src=«31821.files/image1067.wmz» o:><img width=«401» height=«49» src=«dopb147806.zip» v:shapes="_x0000_i1598">              (3.90)
то отримаємо рівняння (3.82), а якщо в рівнянні (3.88) покласти
<imagedata src=«31821.files/image1069.wmz» o:><img width=«423» height=«47» src=«dopb147807.zip» v:shapes="_x0000_i1599">                   (3.91)
то отримаємо рівняння (3.83).
Якщо розглядається квазістаціонарна фільтрація (фільтраційні характеристики залежатимуть й від години за незмінного розташування ліній потоку), то конвективний масоперенос описується рівнянням
<imagedata src=«31821.files/image1071.wmz» o:><img width=«208» height=«44» src=«dopb147808.zip» v:shapes="_x0000_i1600">                         (3.92)
де <imagedata src=«31821.files/image1073.wmz» o:><img width=«67» height=«21» src=«dopb147809.zip» v:shapes="_x0000_i1601"> залежна від дослідження переносу при профільній, плановій напорній і плановій безнапорній фільтрації визначається відповідно рівностями
<imagedata src=«31821.files/image1075.wmz» o:><img width=«341» height=«47» src=«dopb147810.zip» v:shapes="_x0000_i1602">                          (3.93)
<imagedata src=«31821.files/image1077.wmz» o:><img width=«364» height=«47» src=«dopb147811.zip» v:shapes="_x0000_i1603">            (3.94)
<imagedata src=«31821.files/image1079.wmz» o:><img width=«379» height=«48» src=«dopb147812.zip» v:shapes="_x0000_i1604">                  (3.95)
<imagedata src=«31821.files/image1081.wmz» o:><img width=«171» height=«27» src=«dopb147813.zip» v:shapes="_x0000_i1605">
Щоб знайти частинний розв'язок рівняння (3.88), треба задати додаткову умову при <imagedata src=«31821.files/image1083.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1606">= 0 або t = 0, тобто розлянути задачу Коші. При цьому суттєвою є фізична інтерпретація незалежних координат <imagedata src=«31821.files/image1084.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147335.zip» v:shapes="_x0000_i1607"> it. Тож під часом розв'язання конкретних задач Коші для рівняня (3.88) слід відокремлювати початково-часову та початково-просторову задачі. Перший тип завдань, як правило, виникає під час дослідження процесів очищення або розсолення підземних вод та засолених земель; другий тип завдань (початково-просторові) з'являється зазвичай під час дослідження процесів забруднення або засолення підземних вод та родючих земель.
3.6.         Крайові задачі конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації
Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних іншого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка в разі двовимірної плосковертикальної (профільної) фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективної дифузії має вигляд
<imagedata src=«31821.files/image1085.wmz» o:><img width=«272» height=«45» src=«dopb147814.zip» v:shapes="_x0000_i1608">                     (3.96)
<imagedata src=«31821.files/image1087.wmz» o:><img width=«283» height=«51» src=«dopb147815.zip» v:shapes="_x0000_i1609">                            (3.97)
<imagedata src=«31821.files/image1089.wmz» o:><img width=«123» height=«41» src=«dopb147781.zip» v:shapes="_x0000_i1610">                                         (3.98)
де D — коефіцієнт конвективної дифузії, м3/доб; c,N — концентрації дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах (кг/м3 ); vx(x, y, t), vy(x, y, t) — координати швидкості фільтрації v, м/доб; <imagedata src=«31821.files/image1090.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147345.zip» v:shapes="_x0000_i1611"> - пористість або активна пористість ґрунту, у якому здійснюється рух вод і конвективна дифузія розчиненої речовини; t — час, доба; <imagedata src=«31821.files/image1091.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb147816.zip» v:shapes="_x0000_i1612">-стала масообміну (швидкості сорбції); <imagedata src=«31821.files/image1093.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb147817.zip» v:shapes="_x0000_i1613">— коефіцієнт розподілу речовини між; рідинною і твердою фазами в умовах рівноваги між; рідинною і твердою фазами за законом лінійної ізотреми Генрі, який виражається рівністю cp = <imagedata src=«31821.files/image1095.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb147817.zip» v:shapes="_x0000_i1614">N, cp — рівновагова концентрація розчину, яка за величиною дорівнює кількості речовини, що поглинається твердою фазою; <imagedata src=«31821.files/image1096.wmz» o:><img width=«55» height=«21» src=«dopb147818.zip» v:shapes="_x0000_i1615">— потенціал швидкості фільтрації; <imagedata src=«31821.files/image1098.wmz» o:><img width=«13» height=«21» src=«dopb147819.zip» v:shapes="_x0000_i1616">- коефіцієнт фільтрації. м/доба; <imagedata src=«31821.files/image1100.wmz» o:><img width=«100» height=«21» src=«dopb147820.zip» v:shapes="_x0000_i1617">— напір, м; p- тиск, Н/м2=кг/м·c2; <imagedata src=«31821.files/image1102.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb147821.zip» v:shapes="_x0000_i1618"> — щільність, кг/м3; <imagedata src=«31821.files/image1104.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb147822.zip» v:shapes="_x0000_i1619"> -прискорення сили тяжіння, м/c2.
Будемо розглядати конвективну дифузію тих розчинних речовин, які нейтральні до порід, що наявні в ґрунті, тобто сорбцією та іншими видами поглинання речовин, що забруднюють підземні води, будемо нехтувати й розглядати систему рівнянь фільтрації та конвективної дифузії (гідравлічної дисперсії):
<imagedata src=«31821.files/image1106.wmz» o:><img width=«275» height=«45» src=«dopb147823.zip» v:shapes="_x0000_i1620">            (3.99)
<imagedata src=«31821.files/image1108.wmz» o:><img width=«283» height=«51» src=«dopb147815.zip» v:shapes="_x0000_i1621">                   (3. 100)
рис. 3.3.
Будемо вважати, що розв'язки фільтраційних завдань для кожної конкретної схеми (мал. 3.3 -3.5) відомі, а також; відомі для цих схем відповідні області комплексного потенціалу (3.6), <imagedata src=«31821.files/image1109.wmz» o:><img width=«75» height=«20» src=«dopb147824.zip» v:shapes="_x0000_i1622">. Знайдемо розв'язки різних крайових задач для рівняння (3.100).
3.6.1.  Крайові й початкові умови для шуканої функції с(х, у, t):
При конвективній дифузії речовин, що забруднюють підземні води, на вході АВ фільтраційного потоку (3.3,3.4) можна прийняти одну із наступних крайових умов:
    продолжение
--PAGE_BREAK--