Реферат: Умова перпендикулярності прямих

: к / =.

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1, у1 ) :

у-у1 =к(х-х1 )

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1, у1 ) і (х2, у2 ) :

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А2 +В2 ¹ 0).

12. Відстань від точки (х1, у1 ) до прямої Ах+Ву+С=0:

d =

13. Рівняння кола з центром (х0, у0) і радіусом R :

(х-х0)2 +(у-у0)2 = R2

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в :

(1)

Фокуси еліпса F(c;0) i F/ (-c;0), де с2 =а2 -в2

15. Фокальні радіуси точки (х, у) еліпса (1):

r=a-Ex; r/ =a+Ex,

де Е= — ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в :

(2)

нерівностями a £ x £ b, y1 (x) £ y £ y2 (x), z1 (x, y) £ z £ z2 (x, y)

де yi (x) ,zі (x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х ' =х-а, у ' =у-в,

де О ' (а; в) — новий початок, (х; у) — старі координати точки, [ х ' ; у ' ] — її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х ' cos a - у ' sin a ; y= x ' sin a + y ' cоs a ,

де (х, у) — старі координати точки, [х', у' ] — її нові координати, a — кут повороту.

3. Відстань між точками (х1, у1 ) і (х2, у2 ) :

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1, у1 ) і (х2, у2 ) в даному відношенні l:

x= y= .

При l=1, маємо координати середини відрізка:

х =у =.

5. Площа трикутника з вершинами (х1, у1 ), (х2, у2 ) і (х3, у3 ) :

S =.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к= tg j (кутовий коефіцієнт) — нахил прямої до осі Ох,

в — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу .

7. tg q = — тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/ .

Умова паралельності прямих: к/ =к .

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в :

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) .

II. Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x= М ln x, де М= lg e=0,43429…

4. Приріст функції у= f(x), що відповідає приросту аргументу х :

5. Умова неперервності функції у= f(x) :

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y / = f/ (x) — кутовий коефіцієнт дотичної до

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:

, (1)

де (хі, уі ) є D Si ( і=1, 2,… n) і d – найбільший діаметр комірок D Si .

Якщо f(x, y) ³ , то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y) .

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a £ x £ b, y1 (x) £ y £ y2 (x),

де y1 (x),y2 (x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r,

де x=r cos j , y=rsin j має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:a £ j £ b, r1 ( j ) £ r £ r2 ( j ), то

4. Якщо r = r (х, у) – поверхнева густина пластини S, то її

маса є (2)

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r =1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох, Оу виражаються інтегралами:

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами:,, (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r =1.

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:

, (4)

де ( xi, yi, zi ) є D Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок D Vi .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці(x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V.

9. Об¢єм тіла V дорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V визначається

Фокуси гіперболи F(c;0) і F/ (-c;0), де с2 =а2 +в2

17. Фокальні радіуси точки (х, у) гіперболи (2):

r= ± (Ex-a), r/ = ± (Ex+a),

де Е= — ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у= .

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с ¹ 0)

— рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р :

у2 =2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х, у) параболи: r=x+(p/2) .

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах2 +Вх+С

— вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у :

r tg j =

Прямокутні координати точки з полярними координатами

r і j .

x= r cos j , y= r sin j .

23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t — параметр)

f ¢ / (x0)=0 або f ¢ / (x0) не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0 :

1) f ¢ / (x0)=0, f ¢ / (x0-h1 )f ¢ / (x0+h2 )<0 при довільних досить малихh1 >0 і h2 >0, або

2) f ¢ / (x0)=0, f ¢¢ / (x0) ¹

12. — Графік функціїy=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f ¢¢ / (x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f ¢¢ / (x)<0.

— Необхідна умова точки перегинy графіка функції

y=f(x) при x=x0: f ¢¢ / (x0)=0 або f ¢¢ / (x0) не існує.

— Достатня умова точки перегину при х=х0 :

f ¢¢ (x0)=0, f ¢¢ / (x0-h1 )f '' (x0+h2 )<0 при будь-яких досить малих h1 >0, h2 >0.

13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [ a , b ] і f( a )f( b )<0, то корінь x рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:

а) (метод хорд)

б), де f ¢ ( a ) ¹ 0; f( a )-f ¢ ( a )>0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х: dx= ∆ x. Диференціал функції у= f(x):dy=y ¢ dx. Зв’язок приросту ∆ y функції з диференціалом dy функції:

∆ y=dy+ a ∆ x, де a →0 при ∆ х→0 .

Таблиця диференціалів функцій .

1) dun =nun-1 du; 7) d(ctg u)=-

2) dau =au ln a du (a>0); deu =eu du; 8) d(arcsin u) =

3)d(loga u)=; 9) d(arccos u)= -

№ п/п	Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння	Вигляд загального розв ¢ язку
1	Корені k1 ik2 дійсні і різні
2	Корені рівні k1 = k2
3	Корені комплексні k1 = a +і b k2 = a -і b

9. Таблиця 2.

Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=f(x) (p iq — сталі) в залежності від правої частини f(x).

№ п/п	Права частина *f(x)*	Випадки	Частинний розв ¢ язок
1	f (x)=aemx (a,m — сталі)	1) m2 +pm+q ¹ , 2) m2 +pm+q=0 : a) p2 -4q>0 , b) p2 -4q<0 .	z=Aemx , --------- z=Axemx , z=Ax2 emx .
2	f(x)=Mcos w x+Nsin w x (M,N, w — сталі, w ¹ )	1) p2 +(q- w 2 )2 ¹ , 2) p=0, q= w 2 .	z=Acos w x+Bsin w x, z=x(Acos w x+Bsin w x)
3	f(x)=ax2 +bx+c (a,b,c – сталі)	1) q ¹ 0, 2) q=0, p ¹ .	z=Ax2 +Bx+C, z=x(Ax2 +Bx+C).

A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К :x=x(t), y=y(t) (t є [ a , b ]), дорівнює

(1)

Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) ( a £ x £ b ), то

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К .

Якщо f(x, y ) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К .

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К :x=x(t), y=y(t) (t є [ a , b ]), визначається за формулою:

(2)

Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [ a , b ] ), то

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили

F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К .

3. Якщо виконується умова Х(х, у) dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і

, (3)

де (х1, у1 ) – початкова точка шляху і (х2, у2 ) – кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y) .

графіка функції у= f(x) в точці з абсцисою х .

Правила і формули диференціювання:

а) C ¢ =0; б) (U+V-W) ¢ =U ¢ +V ¢ -W ¢ ;

в) (CU) ¢ =CU ¢ ; г) (UV) ¢ =U ¢ V+V ¢ U;

д) е)

є); и) (х n ) ¢ = n xn-1, x ¢ =1;

і) ( sin x ) ¢ =cos x; ї) ( cos x ) ¢ =-sin x;

й) ( tg x ) ¢ =sec2 x; к) ( с tg х ) ¢ =-cosec2 x;

л)м) (а x ) ¢ =ax ln a, (ex ) ¢ =ex.

н) (а rcsin x ) ¢ = o) (arccos x) ¢ = ;

п) ( arctg x ) ¢ = р) (arcctg x) ¢ =

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x2 )-f(x1 )=(x2 -x1 )f ¢ / ( x ), де x є (х1, х2 ).

8. Функія у= f(x) зростає, якщо f ¢ / (x)>0 ,і спадає, якщо f ¢ (x)<0 .

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x0)+f ¢ / (x0)(x-x0)+…+

де f(n) (x) існує в деякому повному околі точки х0 .

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0 :

6) .

9) .

10) .

11) .

12) де a ¹ .

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f1 (x)+f2 (x)

б) метод підстановки: якщо x= j (t), то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) — неперервна і F ¢ (x)=f(x), то

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

де, ( n=1, 2,… ) .

IX. Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X1 (x)Y1 (y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1 (х)=0 іУ1 (у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 ,

де P(x, y) іQ(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u * x (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y ¢ +b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u * v,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y ¢ +b(x)y=0, а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y ¢¢ =f(x), то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y ¢¢ =f(у), то загальний інтеграл:

;

в) якщо y ¢¢ =f(у ¢ ), то загальний інтеграл рівняння можна

знайти з співвідношення:, де у ¢ =р .

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у ¢¢ = f(x, y ¢ ), то приймаючи у ¢ =р(х), отримуємо:

;

б) якщо у ¢¢ = f(у, y ¢ ), то приймаючи у ¢ =р(у), отримуємо:

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=0 має вигляд

у=С1 у1 +С2 у2,

де у1 іу2 – лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=f(x) має вигляд,

де — загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1 .

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=0 (p iq — сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2 +pk+q=0.

(a>0,a ¹ 1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)= ;

5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f ¢ (u)du .

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+ ∆ x)-f(x) » f ¢ (x) ∆ x

16. Диференціал другого порядку функції у= f(x), де х — незалежна змінна ( d2 x )=0 :

d2 y=у '' dx2 .

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а)

б) в) (А¹0)

г)

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів .

1) ( m ¹ -1 ) .

2), (при х < i при x >0 ).

3) ;

4) (a >0, a ¹ 1 ) .

5) .

де h=(b-a)/n, x0=a, xn =b, y=f(x), yi =f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n) .

11. Формула Сімпсона:

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл:

13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у= f(x) (f(x) ³ 0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х= b (a<b): .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r = f( j ) (r i j — полярні координати) і двома промінями j = a , j = b ( a < b ): .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х= b (a<b) :

16. Довжина дуги гладкої кривої r =f( j ) в полярних координатах j і r від точки j = a до точки j = b ( a < b ) :

17. Довжина дуги гладкої кривої х= j (t) y = y (t), задано параметрично(t0<T):

18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x) :

9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а), при ê x ú < 1 ;

б) ln(1+x) =, при –1 <x £ 1 ;

в), при ê x ú £ 1 ;

г), при ê x ú < + ¥;

д) ,

при ê x ú < + ¥ ;

е), при ê x ú < + ¥ ;

ж) ,

при ê x ú < 1.

11. Ряд Тейлора .

12. Ряди в комплексній області: .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера:, .

15. Тригонометричний ряд Фур ¢ є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2 l має вигляд:

, (1)

де, ( n=0, 1, 2,… ) ;

, ( n=1, 2,… ) .

(коефіцієнти Фур¢є функції f(x) ). Для функції f(x) періоду 2 p маємо,

де, ( n=0, 1, 2,… ) .

В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то

де, ( n=0,1, 2,… ) .

Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то

де і

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а); б)

в) г)

д)

е)

ж)

7. Теорема про середнє: якщо f(x) — неперервна на [a,b], то

, де а <c<b .

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а= j ( a ), b = j ( b ) .

10. Формула трапецій: ,

z=r(cos j +isin j ), де r= ê z ú ; j =Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) ê z1 +z2 ÷ £ ê z1 ú + ê z2 ú; б) ê z1 z2 ÷ £ ê z1 ú ê z2 ú ,

Arg z1 z2 =Arg z1 +Arg z2 ;

в) Arg =Arg z1 -Arg z2; (z2 ¹ 0) ;

г) ê zn ÷ = ê z ú n; Arg zn =n Arg z (n — ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

, (k =0,1,2,…, n-1 )

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r ei j , деz = ê z ú , j = Arg z .

8. Визначник другого порядку:

9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х= D х/ D ; у= D у/ D (правило Крамера), де

10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х= D 1 t, y=- D 2 t, z= D 3 t; (- ¥ <t< ¥ ),

де -

мінори матриці .

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у :

де dx= D x, dy= D y .

Якщо U = f(x, y, z), то .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos a , cos b } дорівнює:

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і{cos a , cos b , cos g } – одиничний вектор напряму l, то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:

f ¢ х ( x, y, z )=0; f ¢ y ( x, y, z )=0; f ¢ z ( x, y, z )=0

7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор

Звідси .

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то

(( x, y) є G) .

(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.

1.Основне означення: .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд збігається, то .

3. Геометрична прогресія:, якщо ê q ú < 1 .

4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).

5. Ознака Даламбера. Нехай для ряду ( Un >0 ) існує

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;

б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до .

6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца. Якщо і при, то знакозмінний ряд V1 -V2 +V3 -V4 +… — збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1 х+а2 х2 +… визначається за формулою:, якщо остання має зміст.

19. Об’єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох: ( a<b )

б) навколо осі Оу: ( c<d )

20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b] :

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy, де х= Re z, y=Im z — дійсні числа, і2 =-1.

Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел :

z1 =z2 Û Re z1 =Re z2, Im z1 =Im z2

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:

3. Арифметичні дії над комплексними числами z1 =x1 +iy1, z2 =x2 +iy2 :

б)

в) ( z2 ¹ )

Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і, ú z ê 2 =z .

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

V. Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів ,, є вектор .

2. Різницею векторів і є вектор, де

— — вектор, протилежний вектору .

3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що, де і, причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора, якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0 .

4. Вектор і колінеарні, якщо (k — скаляр).

Вектори,, компланарні, якщо ,(k,l -скаляри)

5. Скалярним добутком векторів і є число

, де j = <( , ) .

Вектори і ортогональні, якщо * = 0 .

Якщо і, то .

6. Векторним добутком векторів і є вектор ,

де,, ( j = <(a,b) ) ,

причому а, b, с — права трійк.

Якщо і, то, де

i, j, k — одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.

Якщо,,, то

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z ) простору Оху z є:

x=rx, y=ry, z=rz, деr= — радіус-вектор точки М .

2. Довжина та напрям вектора а= {ax ,ay ,az } визначаються формулами: ;

cos a =ax /a; cos b =ay /a; cos g =az /a,

(cos2 a +cos2 b +cos2 g =1),

де cos a , cos b , cos g — напрямні косинуси вектора а .

3. Відстань між двома точками M1 (x1 ,y1 ,z1 ) iM2 (x2 ,y2 ,z2 ) :

4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C} ¹ , що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N * (r-r0)=0, …(1)

де r — радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 — радіус-вектор точки М0 .

В координатах рівняння (1) має вид:

А(х-х0)+В(у-у0)+С( z-z0 )=0 абоAx+By+Cz+D=0 (2)

де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).

5. Відстань від точки M1 (x1 ,y1 ,z1 ) до площини (2) дорівнює:

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:

r=r0+st (3)

де r{x,y,z} — текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} — радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p} ¹ — напрямний вектор прямої і t — параметр (- ¥ <t<+ ¥ ) .

В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)

Напрямним вектором прямої (4) є S=N * N ¢, де N={A,B,C}, N ¢ ={A ¢ ,B ¢ ,C ¢ } .