Реферат: Елементи логіки

Пошукова робота

на тему:

Елементи логіки

1. Висловлення та формули

Одним з основних понять логіки є висловлення – розповідне речення, про яке можна стверджувати, що воно є або істинним, або хибним.

Звичайно, в мові існують речення, про які не можна сказати, істинні вони чи хибні. Наприклад, речення «Це речення є хибним». Якщо припустити, що воно є істинним, то з нього випливає його хибність, а якщо воно є хибним, то маємо, що воно істинне. Отже, це речення не можна розглядати як висловлення. Насправді воно є варіантом відомого парадокса брехуна: неможливо сказати, чи є істинною або хибною фраза брехуна «Я брешу».

Проте наявність таких парадоксальних речень не заважатиме нам далі, оскільки математичні знання формулюються саме висловленнями.

Хибність чи істинність висловлень може змінюватися, наприклад, у часі («Зараз ніч»), у просторі («Ми летимо над Африкою») тощо. Будемо дивитися на висловлення як на змінну, що може мати одне з двох значень – «хибність» або "істина", позначені 0 і 1 відповідно. Ці значення вважаються протилежними одне до одного.

Означення. Змінна з можливими значеннями «хибність» або "істина" називається пропозиційною .

Будемо позначати пропозиційні змінні великими літерами A, B, C, …, можливо, з індексами. Ці літери також називаються пропозиційними .

З висловлень можна одержувати інші висловлення, пов'язуючи їх сполучниками «та», «або», «якщо …, то …» та іншими. Ці сполучники позначаються спеціальними знаками й називаються пропозиційними зв'язками. Означимо їх.

Означення. Висловлення вигляду «Не A » записується ØA й називається запереченням висловлення A. Його значення є протилежним до значення A .

Означення. Висловлення вигляду "A та B " записується як A &B або A ÙB або A ×B і називається кон'юнкцією висловлень A і B, або їх логічним добутком. Висловлення A і B називаються співмножниками кон'юнкції. Вона істинна, коли кожний із співмножників істинний. Якщо ж хоча б один із них хибний, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду "A або B " записується як A ÚB і називається диз'юнкцією висловлень A і B, або логічною сумою (доданків диз'юнкції). Вона істинна, коли хоча б один із доданків істинний (можливо, і обидва). Якщо ж обидва доданки хибні, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду «Якщо A, то B » записується як A ®B і називається імплікацією з засновком A і висновком B. Імплікація хибна, коли засновок істинний, а висновок хибний. В усіх інших випадках вона істинна. Наприклад, висловлення «Якщо 2*2=4, то Сонце обертається навколо Землі» за цим означенням є хибним, а висловлення «Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі» – істинним. Імплікацію часто позначають знаком "Þ": A ÞB .

Зауважимо, що запис A ®B читається також, як "B є необхідною умовою для A ", або як "A є достатньою умовою для B ", або як «З A випливає B », або як "A тільки тоді, коли B ", або як "B тоді, коли A ".

Імплікація «З не B випливає не A », що позначається (ØB )®(ØA ), називається висловленням, протилежним до висловлення A ®B. Імплікація «З B випливає A », що позначається B ®A, називається висловленням, оберненим до висловлення A ®B .

Означення. Висловлення вигляду "A тоді й тільки тоді, коли B " записується як A «B і називається еквівалентністю висловлень A і B. Вона істинна, коли значення висловлень A і B збігаються. Якщо ж вони різні, то еквівалентність хибна. Наприклад, висловлення «Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі» є істинним. Еквівалентність часто позначають не знаком "«", а знаком "Û".

Зауважимо, що запис A «B читається також як "B є необхідною і достатньою умовою для A ", а також як «Якщо A, то B, і якщо B, то A ». Заперечення еквівалентності Ø(A «B ) читається як «Або A, або B ». Складений сполучник «або …, або …» інколи називається "виключне або ". Підкреслимо, що диз'юнкція A ÚB відрізняється від заперечення еквівалентності Ø(A «B ).

Означення. Висловлення записують у вигляді формул за такими правилами:

1) пропозиційна літера є формулою;

2) якщо X і Y – формули, то (ØX ), (X ÙY ), (X ÚY ), (X ®Y ), (X «Y ) також є формулами;

3) інших формул немає.

За цими правилами, наприклад, Ø(A ®B ), ((A «B )&(Ø(A ÚB ))) є формулами, A ÚB ÙC – ні. Далі ми розглянемо узгодження, які дозволяють скорочувати запис формул. Зокрема, ці узгодження дозволяють розглядати A ÚB ÙC як формулу. Тут лише зауважимо, що можна не записувати зовнішні дужки формул, наприклад, писати X ®Y .

2. Таблиці істинності формул і закони

Формула є словом, тобто послідовністю символів – імен пропозиційних змінних, знаків зв'язок і дужок. Це слово має певну структуру, обмежену правилами побудови формул. Підслово цього слова, яке є формулою, називається підформулою. Наприклад, у формулі ((A «B )&(Ø(A ÚB ))) є підформули A, B, (A «B ), (A ÚB ), (Ø(A ÚB )).

Формула, що позначає висловлення, складене з інших, простіших, має значення, яке залежить від значень цих складових висловлень. Для його обчислення спочатку кожній пропозиційній змінній ставиться у відповідність одне зі значень «хибність» чи "істина" (0 чи 1). Далі за означеннями пропозиційних зв'язок обчислюється значення підформул, починаючи від найпростіших і закінчуючи всією формулою. Значення формул з однією двомісною зв'язкою при всіх можливих наборах значень змінних наведено в таблиці:

A B	A Ù B	A Ú B	A ® B	A « B
0 0	1	1
0 1	1	1
1 0	1
1 1	1	1	1	1

Обчислимо значення формули, наприклад, (A ®B )&(B ®A ) при всіх можливих наборах значень змінних A і B. Обчислення подамо такою таблицею:

A B	A ® B	B ® A	( A ® B ) &(B ® A )
0 0	1	1	1
0 1	1
1 0	1
1 1	1	1	1

Таблиці, в яких представлено залежність значень формул від пропозиційних змінних, називаються таблицями істинності .

Розглянемо узгодження, які дозволяють скорочувати запис формул. Пропозиційні зв'язки упорядковуються за "силою тяжіння до формул " подібно до знаків арифметичних операцій. Всі розуміють, що вираз 1+2´3 позначає суму 1 і 2´3, а не добуток 1+2 і 3, тобто знак множення «притягується» сильніше за знак додавання. Зв'язка Ø вважається найсильнішою, тобто ØA ÙB є скороченням від (ØA )ÙB, а не від Ø(A ÙB ). Далі за спаданням «сили тяжіння» двомісні зв'язки ідуть у такому порядку: &, Ú, ®, º. Отже, формулу A ÚB ÙC можна розглядати, як скорочений запис формули A Ú(B ÙC ), а формулу A ºB ®C ÚA – як A º(B ®(C ÚA )).

Всі двомісні зв'язки мають властивість лівобічного зв'язування. Це означає, що якщо праворуч і ліворуч від підформули записано без дужок знаки двомісних зв'язок, «сила тяжіння» яких однакова, то першою до підформули застосовується ліва з них. Наприклад, A ÚB ÚC є скороченим записом формули (A ÚB )ÚC .

Означення. Дві формули називаються еквівалентними, або рівносильними, якщо приймають однакові значення при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних. Рівносильність формул позначається знаком º і в логіці називається законом .

Наприклад, неважко переконатися, що за довільних формул A, B, C наступні рівносильності є законами (праворуч указано назви деяких з них):

(1) A ÙB º B ÙA, A ÚB º B ÚA – закони комутативності

(2) A Ù(B ÙC ) º (A ÙB )ÙC, A Ú(B ÚC ) º (A ÚB )ÚC – закони асоціативності

(3) A Ù(B ÚC ) º (A ÙB )Ú(A ÙC ), A Ú(B ÙC ) º (A ÚB )Ù(A ÚC ) – закони дистрибутивності кон'юнкції відносно диз'юнкції та диз'юнкції відносно кон'юнкції

(4) A ÙA º A, A ÚA º A – закони ідемпотентності

(5) A Ú(A ÙB ) º A, A Ù(A ÚB ) º A

(6) Ø(A ÚB ) º ØA ÙØB, Ø(A ÙB ) º ØA ÚØB – закони Де Моргана

(7) ØØA º A – закон подвійного заперечення

(8) A Ù0 º 0, A Ù1 º A, A Ú0 º A, A Ú1 º 1 – закони поглинання

(9) A ÚØA º 1 – закон виключеного третього

(10) A ÙØA º 0 – закон суперечності

(11) A ®B º ØB ®ØA – закон контрапозиції

Корисно також пам'ятати ще два закони:

(12) A ®B º ØA ÚB

(13) A «B º (A ®B )Ù(B ®A ).

На законах грунтуються так звані рівносильні перетворення формул, коли формула або її підформула заміняється на рівносильну їй. В результаті одержується формула, рівносильна початковій. Такі перетворення бувають потрібні для спрощення формул. Наприклад, формула A Ú(ØA ®B ) має рівносильні формули A Ú(ØØA ÚB ), A Ú(A ÚB ), (A ÚA )ÚB, A ÚB, що одержуються послідовним застосуванням законів (12), (7), (2), (4).

3. Нормальні форми висловлень

Розглянемо два різновиди формул, що мають певні структурні особливості. Саме структура цих формул зумовлює їх використання у таких важливих галузях застосування математичної логіки, як автоматизація доведення тверджень і логічне програмування.

Закони (2) стверджують асоціативність зв'язок кон'юнкції. Звідси формула вигляду ((…((A 1 ÙA 2 )ÙA 3 )Ù…)ÙAn ) має еквівалентний запис A 1 ÙA 2 ÙA 3 Ù…ÙAn. Формула в такому записі називається кон'юнкцією формул A 1, A 2, A 3, …, An .

Означення. Елементарною кон'юнкцією називається кон'юнкція формул, кожна з яких є або пропозиційною змінною, або запереченням такої. Наприклад, A 1 ÙØA 2 ÙA 3 .

Означення. Диз'юнктивною нормальною формою (скорочено ДНФ ) називається диз'юнкція елементарних кон'юнкцій. Наприклад, формула A ÙB ÚB ÙC ÚD. Зауважимо, що її структуру краще видно в записі A ×B ÚB ×C ÚD або в записі .

Будь-яка формула може бути перетворена до ДНФ. Ми не будемо доводити це твердження, а лише опишемо потрібні рівносильні перетворення. Застосуванням законів (13) і (12) можна позбутися зв'язок « і ®, тобто перетворити формулу до рівносильної, у якій є лише зв'язки Ø, Ú і Ù. Далі, якщо у формулі є заперечення диз'юнкцій чи кон'юнкцій, то вони «спускаються» до пропозиційних змінних застосуванням законів Де Моргана (6). Далі, якщо у формулі є множники-диз'юнкції, то їх можна позбутися застосуванням першого з законів дистрибутивності (3). В результаті всі множники у кон'юнкціях формули є елементарними, і вона являє собою ДНФ. Застосування законів (1), (2), (4), (5), (7)-(10) може скоротити цей процес.

Приклад. Розглянемо перетворення (A ®B )«(C ®B ). Після знаків º у дужках указано номери законів, застосованих при черговому перетворенні:

(A ®B )«(B ®C ) º(13, 12)

º(Ø(ØA ÚB )Ú(ØC ÚB ))×(Ø(ØC ÚB )Ú(ØA ÚB )) º(6, 7, 2)

º (A ×ØB ÚØC ÚB )×(ØB ×C ÚØA ÚB ) º(3)

º A ×ØB ×ØB ×C ÚA ×ØB ×ØA ÚA ×ØB ×B ÚØC ×ØB ×C ÚØC ×ØA ÚØC ×B Ú

ÚB ×ØB ×C ÚB ×ØA ÚB ×B º(1, 4, 9, 8)

º A ×ØB ×C ÚØA ×ØC ÚB ×ØC ÚB ×ØA ÚB º(5)

º A ×ØB ×C ÚØA ×ØC ÚB

За законами (2) зв'язки диз'юнкції також асоціативні, звідки формули ((…((A 1 ÚA 2 )Ú A 3 )Ú …)ÚAn ) і A 1 ÚA 2 ÚA 3 Ú…ÚAn також є еквівалентними. Остання з них називається диз'юнкцією формул A 1, A 2, A 3, …, An .

Означення. Елементарною диз'юнкцією називається диз'юнкція формул, кожна з яких є або пропозиційною змінною, або запереченням такої. Наприклад, A 1 ÚØA 2 ÚA 3 .

Означення. Кон'юнктивною нормальною формою (скорочено КНФ ) називається кон'юнкція елементарних диз'юнкцій. Наприклад, формула (A ÚB )Ù(ØB ÚC ÚØD ), яку можна подати також у вигляді .

Будь-яка формула перетворюється до рівносильної їй КНФ з використанням тих самих законів, тільки замість першого з законів дистрибутивності (3) вживається другий: A Ú(B ÙC ) º (A ÚB )Ù(A ÚC ).

Приклад. Розглянемо перетворення формули (A ®B )«(C ®B ) після одержання формули (A ×ØB ÚØC ÚB )×(ØB ×C ÚØA ÚB ):

(A ×ØB ÚØC ÚB )×(ØB ×C ÚØA ÚB ) º(3)

º (A ×ØB ÚØC )(A ×ØB ÚB )×(ØB ×C ÚØA )×(ØB ×C ÚB ) º(3)

º (A ÚØC )×(ØB ÚØC )×(A ÚB )×(ØB ÚB )×(ØB ÚØA )×(C ÚØA )×

×(ØB ÚB )×(C ÚB ) º(9)

º (A ÚØC )×(ØB ÚØC )×(A ÚB )×(ØB ÚØA )×(C ÚØA )×(C ÚB )

4. Тавтології, суперечності та логічні висновки

Означення. Формула називається тотожньо істинною, або тавтологією, якщо має значення 1 при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних.

Наприклад, A ÚØA чи (A ®B )Ú(B ®A ). Неважко також переконатися, що заміною знаків º на зв'язку « у законах (1)-(13), наведених у п.1.1, одержуються саме тавтології.

Тавтології характерні тим, що коли всі входження тієї самої літери замінити на будь-яке, але одне й те саме висловлення, то нове висловлення буде істинним. Наприклад, підставимо у тавтологію ((A ÚB )ÙØB )®A замість літери A висловлення «світить сонце», а замість літери B – «світять зорі». Одержане висловлення «Якщо світить сонце або світять зорі, і не світять зорі, то світить сонце» є істинним. Підкреслимо, що сама по собі структура цього висловлення вже забезпечує його істинність.

Неважко переконатися, що якщо тавтологіями є деяка формула X і формула X ®Y, то Y також є тавтологією.

Означення. Формула називається тотожньо хибною, або суперечністю, якщо має значення 0 при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних.

Одним із характерних прикладів суперечності є висловлення A ÙØA. Ця суперечність використовується у доведенні тверджень вигляду A ®B методом "від супротивного ". Припускають істинність заперечення Ø(A ®B ), тобто істинність A ÙØB. З істинності ØB виводять ØA, одержуючи суперечність A ÙØA. Вона свідчить про хибність A ÙØB, тобто істинність A ®B .

Зауважимо, що для доведення істинності A ®B достатньо з ØB вивести ØA, тобто довести істинність протилежного твердження ØB ®ØA. Адже за законом контрапозиції (11) A ®B º ØB ®ØA

Очевидно, що заперечення будь-якої тавтології є суперечністю, і навпаки. На відміну від тавтологій, підстановка висловлень у суперечності породжує хибні висловлення.

Тепер розглянемо поняття логічного висновку. У математиці, як і у звичайному житті, доводиться з'ясовувати, чи випливає деяке твердження з одного або кількох інших, тобто чи є це твердження їх логічним висновком .

Приклад. Припустимо, що купівельна спроможність грошей падає, якщо зростають податки, і що люди незадоволені, коли падає купівельна спроможність грошей. Припустимо також, що податки зростають. Звідси можна дійти висновку, що люди незадоволені.

Для цього позначимо висловлення літерами:

A – «податки зростають»,

B – «купівельна спроможність грошей падає»,

C – «люди незадоволені».

Припущення прикладу висловимо формулою:

(A ®B )Ù(B ®C )ÙA .

Доведемо, за істинності такої умови істинним буде висловлення C. Перетворимо (A ®B )Ù(B ®C )ÙA до ДНФ:

(A ®B )Ù(B ®C )ÙA º (ØA ÚB )Ù(ØB ÚC )ÙA º A Ù(ØA ÚB )Ù(ØB ÚC ) º

º (A ÙØA )Ù(A ÙB )Ù(ØB ÚC ) º (A ÙB )Ù(ØB ÚC ) º

º (A ÙB ÙØB )Ú(A ÙB ÙC ) º A ÙB ÙC .

Отже, маємо, що істинною є формула A ÙB ÙC. Але вона істинна лише тоді, коли кожний співмножник істинний. Звідси висловлення C є істинним.

Таким чином, з істинності формул (A ®B ), (B ®C ) і A випливає істинність C. У такому випадку C називається логічним висновком цих формул.

Означення. Формула Y називається логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn, якщо з істинності X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn випливає істинність формули Y. Формули X 1, X 2, …, Xn називаються засновками Y .

Перевірити, чи є одна формула логічним висновком інших, можна за допомогою порівняння таблиць істинності цієї формули та кон'юнкції інших. Але можна діяти зовсім іншим способом на основі двох наступних тверджень.

Теорема 1. Формула Y є логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y є тавтологією.

Доведення. 1 (Необхідність). Припустимо, що формула Y є логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn. Якщо за деяких значень літер у формулах X 1, X 2, …, Xn хоча б одна з них хибна, то за означенням імплікації (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y істинна. Якщо ж за деяких значень літер у формулах X 1, X 2, …, Xn всі вони істинні, X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn також істинна. Але формула Y є логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn, тому вона також істинна. Тоді істинна і формула (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y. Отже, за будь-яких значень літер (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y істинна, тобто є тавтологією.

2 (Достатність). Припустимо, що (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y є тавтологією. Тоді якщо за якихось значень літер у формулах X 1, X 2, …, Xn всі вони істинні, то Y також істинна, тобто є їх логічним висновком.

Теорема 2. Формула Y є логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn ÙØY ) є суперечністю.

Доведення. За теоремою 1, формула Y є логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y є тавтологією. Звідси Y є логічним висновком формул X 1, X 2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли заперечення Ø((X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y )є суперечністю. Але

Ø((X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )®Y ) º Ø(Ø(X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn )ÚY ) º

º Ø(Ø(X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn ))ÙØY º X 1 ÙX 2 Ù…ÙXn ÙØY .

Таким чином, твердження теореми істинне.

Розглянемо приклад застосування наведених теорем. Доведемо, що формула B є логічним висновком формул A ®B і A. Перетворимо формулу (A ®B )ÙA ÙØB :

(A ®B )ÙA ÙØB º (ØA ÚB )ÙA ÙØB º (ØA ÙA ÙØB )Ú(B ÙA ÙØB ) º 0Ú0 º 0.

Отже, формула (A ®B )ÙA ÙØB суперечлива, і за теоремою 2 формула B є логічним висновком формул A ®B і A .

Той факт, що формула B є логічним висновком формул A ®B і A, відіграє в математиці дуже важливу роль. Він дозволяє з уже відомих істинних тверджень A ®B і A одержати нове істинне твердження B. Зауважимо, що такий спосіб одержання, або виведення нових тверджень у математичній логіці є одним із основних. Таке виведення задається спеціальним правилом виведення, яке має вигляд і назву modus ponens (правило відокремлення ). Воно дозволяє одержати висновок B твердження A ®B як окреме висловлення, тобто відокремити його вид засновку A. У математичній логіці існують і інші правила виведення, але тут ми їх не розглядаємо.

Підіб'ємо невеличкий неформальний підсумок. Ми познайомилися з двома принципово різними способами одержання нових висловлень. Перший полягає в тому, що ми будуємо складні висловлення з простіших за допомогою логічних зв'язок, а також «перебудовуємо» їх, виконуючи рівносильні перетворення на основі законів. Описані способи побудови та перетворення висловлень складають основу алгебри висловлень .

Другий спосіб одержання нових істинних висловлень полягає в застосуванні згаданих правил виведення до вже відомих істинних висловлень. При цьому формулюється система висловлень-тавтологій, що складає основу для виведення інших. Вони називаються аксіомами, а висловлення, що виводяться, – теоремами. Прикладом аксіоми може служити висловлення AÚØA, яке називається законом виключеного третього. Такий спосіб породження висловлень називається численням висловлень .

Підкреслимо ще раз, що в цьому розділі нашою метою є лише знайомство з основними поняттями і мовою позначень логіки, тому ми не торкаємося її суттєвих питань. Вони розкриваються у багатьох джерелах (див. список рекомендованої літератури).

5. Неформальне знайомство з кванторами

У математиці, як і у повсякденному житті, виникають твердження зі специфічною структурою. Ця структура робить можливими міркування, які не можна відтворити виведенням висловлень. Класичним прикладом таких міркувань є:

Кожна людина смертна.

Сократ – людина.

Звідси випливає, що Сократ смертний.

Очевидно, що висловлення «Сократ смертний» не є логічним висновком засновків «Кожна людина смертна» і «Сократ – людина». Проте коректність наведених міркувань ні в кого не викликає сумніву. Очевидно, що вона зумовлена якимсь особливим змістом слова «кожна».

Введемо додаткові позначення. Нехай x позначає деяку змінну, значення якої можуть мати деяку властивість P. Такі змінні називаються предметними. Висловлення "x має властивість P " позначимо P (x ). Наприклад, висловлення «Ціле число x є парним» позначимо E (x ). Значення такого висловлення залежить від значення цієї змінної. При x =1 висловлення E (x ) хибне, при x =2 – істинне. Замість літери x можна записати її значення, наприклад, E (2).

Речення «Кожне значення x має властивість P », або «Всі значення x мають властивість P », або «Всі x мають властивість P », або «При всіх x справджується властивість P » позначимо записом "x P (x ). У цьому записі частина "x називається квантором загальності. Слово «квантор» походить від слова «квантифікація», що означає «кількісне вираження». Продовжуючи приклад про парні числа, зауважимо, що твердження "x E (x ) є хибним.

Речення "Існує значення x, що має властивість P ", або «Деякі значення x мають властивість P », або «При деякому значенні x справджується властивість P », або «Деякі x мають властивість P » позначимо записом $x P (x ). У цьому записі частина $x називається квантором існування. Очевидно, що у прикладі про парні числа твердження $x E (x ) є істинним.

Очевидно, що

"x P (x ) ® $x P (x ),

причому твердження "x P (x ) і $x P (x ) нерівносильні.

Розглянемо деякі з можливих застосувань пропозиційних зв'язок до виразів із кванторами. Заперечення Ø("x P (x )) читається як «неістинно, що всі значення x мають властивість P », тобто як "існує значення x, що не має властивості P ". Таке речення можна позначити як $x ØP (x ). Таким чином,

Ø("x P (x )) º $x ØP (x ).

Аналогічно

Ø($x ØP (x )) º "x ØP (x ).

Висловлення "x P (x ) Ù "x Q (x ) читається як «всі значення x мають властивість P і всі значення x мають властивість Q », тобто «всі значення x мають властивість P і властивість Q ». Таким чином,

("x P (x ))Ù("x Q (x )) º "x (P (x )ÙQ (x )).

Висловлення "x P (x ) Ú "x Q (x ) читається як «усі значення x мають властивість P або всі значення x мають властивість Q ». З цього речення випливає, що «усі значення x мають властивість P або властивість Q », але ці два речення не рівносильні. Таким чином, "x (P (x )ÚQ (x )) є логічним висновком висловлення ("x P (x ))Ú("x Q (x )), тобто

(("x P (x ))Ú("x Q (x ))) ® "x (P (x )ÚQ (x )),

але вони нерівносильні.

Приклад. Якщо P (x ) позначає речення "x – парне число", а Q (x ) – "x – непарне число", то висловлення "x (P (x )ÚQ (x )) є істинним, а ("x P (x ))Ú("x Q (x )) – хибним.

Насамкінець, розглянемо речення з двома й більше кванторами. Вони з'являються, коли йдеться про властивості пар, трійок тощо змінних. Наприклад, речення «При будь-якому натуральному значенні x існує значення y, таке, що x є дільником y » можна записати як

"x ($y D (x, y )),

де D (x, y ) позначає речення "x є дільником y ".

Речення вигляду «При будь-якому значенні x справджується, що при будь-якому значенні y істинно A (x, y )» можна позначити так:

"x ("y A (x, y )).

Будемо опускати дужки, записуючи, наприклад, "x $y D (x, y ) або "x "y A (x, y ). Останній вираз можна прочитати також, як «При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y істинно A (x, y )».

Аналогічно речення вигляду " При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y і при будь-якому значенні z істинно A (x, y, z )" можна позначити виразом

"x "y "z A (x, y, z ).

І так далі. Розглянемо, наприклад, твердження великої теореми Ферма:

Рівняння zn = xn + yn , де n – ціле число, більше 2, не має розв'язків у цілих додатних числах .

Одним із можливих записів цього твердження є такий:

"x "y "z "n ((n >2) ® (zn ¹xn +yn )).