Реферат: Основи двійкової арифметики Порозрядні логічні операції

Контрольна робота з дисципліни “інформатика” на тему: Основи двійкової арифметики. Порозрядні логічні операції (Булівські операції) Основні поняття

Множину {0, 1} позначимо літерою B. Множину всіх можливих послідовностей з 0 і 1 – Bn. Такі послідовності за традицією будемо називати наборамиабо векторамидовжини n. Очевидно, Bnмістить 2nелементів. Значення 0 і 1 називаються протилежнимиодне до одного.

Означення. Всюди визначена функція з Bnу B називається n-місною функцією алгебри логікиабо n-місною бульовою функцією.

Послідовність змінних (x1, x2, …, xn) із значеннями у B позначимо />. Бульова функція f(/>) задається у вигляді таблиці, або графіказі стандартним розташуванням наборів:

x1, x2, …, xn

f(x1, x2, …, xn)

0, 0, …, 0, 0

f(0, 0, …, 0, 0)

0, 0, …, 0, 1

f(0, 0, …, 0, 1)

0, 0, …, 1, 0

f(0, 0, …, 1, 0)

0, 0, …, 1, 1

f(0, 0, …, 1, 1)

…

…

0, 1, …, 1, 1

f(0, 1, …, 1, 1)

1, 0, …, 0, 0

f(1, 0, …, 0, 0)

…

…

1, 1, …, 1, 0

f(1, 1, …, 1, 0)

1, 1, …, 1, 1

f(1, 1, …, 1, 1)

Зауважимо, що в стандартному розташуванні набори можна розглядати як двійкові записи послідовних чисел від 0 до 2n-1. Функцію, задану зі стандартним розташуванням наборів, можна ототожнити з набором довжини 2n. Наприклад, двомісну функцію, задану таблицею

x y

f(x, y)

0 0

1

0 1

1 0

1

1 1

1

можна ототожнити з вектором (1011).

Далі іноді будемо позначати n-місну функцію f(/>) як f(n)(/>), підкреслюючи кількість змінних, від яких вона залежить.

Очевидно, що множина всіх можливих наборів довжини 2n, тобто множина n-місних бульових функцій, складається з 22nелементів. При n=0 це 2, при n=1 – 4, при n=2 – 16, при n=3 – 256 тощо.

Нуль-місними функціями є сталі 0 і 1.

Одномісні функції подано у наступній таблиці разом з виразами, якими ці функції позначаються:

x

1

x

x

1

1

1

1

1

Функції і 1називаються тотожними нулемі одиницею, функція x – тотожною, x – запереченням. Замість виразу x вживається ще вираз />. Ці вирази читаються як «не x».

Подамо також деякі з 16 двомісних функцій разом із їх позначеннями:

x y

xy

xy

xy

xy

xy

x | y

xy

0 0

1

1

1

1

0 1

1

1

1

1

1 0

1

1

1

1 1

--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

1

1 1 1

1

1

1

2. h2(x, y)=S(; xy, yx) задається таблицею:

x y

xy

yx

h2(x, y)

0 0

1

0 1

1

1 0

1

1

1

1 1

1

1

1

Нехай є множина бульових функцій F. Утворюючи з них та їх суперпозицій усі можливі суперпозиції, ми одержимо множину функцій, яку позначимо [F]. Отже, маємо алгебру ([F]; S), породжену множиною функцій F. Інша множина функцій F1буде породжувати, взагалі кажучи, іншу алгебру ([F1]; S). Наприклад, алгебри ({(0111), (0001)}; S) і ({(10), (0001)}; S).

Розглянемо тепер поняття алгебри формул(термів, або виразів). Нехай є множина функцій F. Кожній n-місній функції з F поставимо у взаємно однозначну відповідність символ, що її позначає (функціональнийсимвол) f(n). Нехай X – зліченна множина змінних (точніше, їх імен).

Означення.

1. Ім'я змінної є формулою.

2. Якщо f(n)– функціональний символ, а T1, T2, …, Tnє формулами, то f(n)( T1, T2, …, Tn) є формулою.

3. Інших формул немає.

Це означення задає множину формул із функціональними символами з множини F, які одержуються за допомогою підстановок, тобто суперпозицій. Таким чином, ми маємо алгебру формул, породжену множиною функціональних символів F. Інша множина функціональних символів буде породжувати й іншу алгебру формул.

Зв'язки між алгебрами функцій і алгебрами формул встановлюють наступні два означення.

Означення. Значенням формули T на наборі значень зміннихз множини X є:

1) значення змінної x, якщо T є змінною x;

2) f(n)(1, 2, …, n), якщо T=f(n)(T1, T2, …, Tn), а формули T1, T2, …, Tnмають на цьому наборі значення відповідно 1, 2, …, n.

Означення. n-місна бульова функція f(n)задається формулоюT, якщо всі змінні у формулі T є змінними з множини X, і при будь-якому наборі значень (1, 2, …, n) цих змінних x1, x2, …, xnзначення формули дорівнює значенню f(n)(1, 2, …, n).

Звідси випливає інше означення суперпозиції функцій.

Означення. n-місна бульова функція f(n)є суперпозицієюфункцій f1, f2, …, fn, якщо її можна задати формулою, усі функціональні символи якої є серед символів функцій f1, f2, …, fn.

З наведених прикладів 1 і 2 видно, що функція h1(x, y, z) задається формулою ((x, y), (y, z)), або в інфіксному записі (xy)(yz). Аналогічно функція h2(x, y) задається формулою ((x, y), (y, x)), або (xy)(yx). Як бачимо, обидві функції задаються формулами з тими самими функціональними символами , , , тобто є суперпозиціями цих функцій.

Наостанок наведемо узгодження, які склалися в математиці й дозволяють у формулах з функціональними символами , , , , , , |, записувати не всі необхідні дужки. ****

Суттєві та несуттєві змінні

Розглянемо поняття суттєвої залежності функції від її змінних. Почнемо з прикладів: значення функції h2(x, y) з прикладу 2 на кожному з наборів збігаються зі значеннями x. Отже, зміна значення y не впливає на значення функції, тобто вона фактично не залежить від y. В той час як зміна значення x веде до зміни значення h2. Уточнимо ці міркування наступними означеннями.

Означення. Змінна xiфункції f(n)(x1, x2, …, xi, …, xn) називається суттєвою, якщо існує хоча б одна пара наборівзначень змінних

(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) і (1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n),

така, що

f(n)(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) f(n)(1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n).

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Змінна xiназивається несуттєвоюу противному разі, тобто коли за всіх можливих пар наборівзначень

(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) і (1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n)

мають місце рівності:

f(n)(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) = f(n)(1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n).

Наприклад, неважко переконатися, що всі змінні функції h1 з прикладу 1 є суттєвими. Функція h2 має суттєву змінну x і несуттєву y. Функція двох змінних, задана як вектор (1111), не має суттєвих змінних.

Еквівалентні формули та закони

Одна й та сама бульова функція задається, взагалі кажучи, багатьма різними формулами. Наприклад, неважко переконатися, що формули xy і xy обидві задають функцію (1101). Таким чином, можна говорити про еквівалентність цих двох формул.

Означення. Нехай **** Формули 1і 2називаються еквівалентними, якщо

Бульові функції та комбінаційні схеми

І/>/>/>/>/>/>/>/>/>-елемент АБО-елемент -елемент НЕ-елемент

a/>/>a a

b/>/>/>r b r b r a r

r = ab r = ab r = ab r = a

Розглянемо реалізацію бульових функцій у вигляді комбінаційних схем. Найпростішими з них є логічні елементи, відповідні бульовим функціям: кон'юнкції , диз'юнкції , додавання за модулем 2 та заперечення . Вони позначаються й зображаються таким чином:

Входи перших трьох елементів вважаються симетричними згідно законів комутативності, яким задовольняють кон'юнкція, диз'юнкція та додавання за модулем 2.

З наведених логічних елементів будуються складніші схеми, які в загальному випадку мають n входів і m виходів і реалізують набір з m функцій від n аргументів:

/>

a/>/>1b1

a/>/>2b2

.

.

.

a/>/>nbm

Тут bj=fj(a1, a2, …, an), j=1, 2, …, m..

Приклади.

1. Побудуємо схему з І-, АБО- та НЕ-елементів, яка реалізує функцію . Виразимо її за допомогою функцій набору {, , }:

xy = xyxy.

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>

x

/>

/>

y/>

Звідси відповідна схема має вигляд:

2. Побудуємо схему з І- та -елементів, яка реалізує функцію . Виразимо її за допомогою функцій набору {, , 1}:

xy = xyxy.

Звідси відповідна схема має вигляд:

/>/>/>/>/>/>

x/>/>/>

/>/>/>/>

/>/>

/>

y/>

3. Побудуємо схему з І-, АБО- та НЕ-елементів, яка реалізує так званий «однорозрядний напівсуматор»[****] з двома симетричними входами x, y і двома виходами: s = xy, d = xy. З цих формул видно, що схема має реалізувати додавання двох однорозрядних чисел із переносом. Виразимо s за допомогою функцій набору {, , }: s = xyxy. Тоді схема має вигляд:

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>

x/>/>/>/>s

/>/>/>

/>

/>/>d

y/>/>/>/>/>/>

Список літератури

Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика.–М.: Наука, 2000.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики.–М.: Наука, 1982

Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки. Программирование.–К.: Наукова думка, 1988.

Ершов Ю.Л., Палютин Е.А., Математическая логика.–М.: Наука, 1979.

Карри Х.Б. Основания математической логики.–М.: Мир, 1969.

Клини С.К. Математическая логика.– М.: Мир, 1973.

Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.–М.: Наука, 1981.

Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера.–М.: Энергоатомиздат, 1988.