Реферат: Середні значення 2

Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у якихвиміряно деяку характеристику, що має значення x1,x2, …, xn.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число />, яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1, x2, …, xnна число цих даних n,

/>

або />(/> — знак суми – “сигма” велика)

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березнятемпература повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо: />

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м'яча в корзину накожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1

Номер тренувань

1

2

3

4

5

Перший учень

4

3

5

3

6

Кількість влучень

Другий учень

5

4

3

6

5

Розв'язання.

Знаходимо середню кількість влу­чень.

Для першого учня:

/>

Для другого учня:

/>

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення xjвід се­реднього/>. Різниця х —/>може бути від'є­мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; />= 2.

2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне />пере­твориться в />+ с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10): 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

Значення

--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

8

5

9

15

9

3

27

5

9

15

10

2

20

11

1

11

12

2

24

15

3

45

/>

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки

Оцінки (бали) 5 4 3 2

Кількість

учнів 6 7 4 17

Чи достатньо засвоєний матеріал?

Знайдемо середню величину оцінок.

/>

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.

Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала):

/>

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.

Таблиця 4

Зна­чен­ня xi

Сере­днє ариф­ме­ти­чне />

Відхи­лення

xi— />

Квадрат відхи­лення

(xi-/>)2

Квадратичне від­хилення σ

5

— 7

49

8

— 4

16

10

— 2

4

12

17

5

25

20

8

64

/>=72

/>=

/>=12

/>/>

/>

/>

/>/>

У статистиці користуються також величиною σ2(квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.

Середнє геометричне п додатних чисел х1,х2, х3, ..., хп визначається виразом

/>, тобто середнє ге­ометричне х1х2х3… п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi(і = 1, 2, ...).

У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс= аb випливає, що а: mc= тс: b.

На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу­вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.

Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.