Реферат: Проекции точки

It`s helpyou! By

Taras,Stavropol.

На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей,эпюров и т.п.)

ПРОЕКЦИИТОЧКИ.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущностьметода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет

проецируетсяна две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными(перпендикулярными) к этим плоскостям..

Однуиз плоскостей проекций

H располагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H называютгоризонтальной плоскостью проекций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны.Линия пересечения плоскостей проекцийназывается осьюкоординатиобозначается OX. Плоскостипроекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти.

Рассматриваяортогональные проекции,

предполагают, что наблюдатель находится впервой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будуттолько те точки, линии и фигуры, которыерасположены в пределах той жепервой четверти.

Припостроении проекций необходимо по

мнить, что ортогональной проекцией точки наплоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки наэту плоскость.

Нарисунке показаны точка А и ее орто

гональныепроекции а1 и а2.

Точку

а1 называют горизонтальнойпроекциейточки А, точку а2 — ее фронтальной проекцией. Каждая из них являетсяоснованием перпендикуляра,опущенного из точки А соответственно на плоскости H и V.

Можнодоказать, что проекции точки

всегда расположены на прямых, перпендикулярныхоси ОХ ипересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующиелучи Аа1 и Аа2определяютплоскость, перпендикулярную плоскостямпроекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 аx и а1аx,, которыеобразуют сосью OX и друг с другом прямыеуглы с вершиной в точке аx.

Справедливо и обратное, т.е. если на плоскостях проекций даны точки

a1 и a2, расположенныена прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, тоони являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяетсяпересечением перпендикуляров, восставленных из точек a1 и a2 к плоскостям H и V.

Заметим,что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным.Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут бытьвертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительнооси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоя

щий изуказанных выше проекций, плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX сплоскостью V, как показано стрелками на рисунке. Врезультате передняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V, азадняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V.

Проекционный чертеж, на котором плос

костипроекций со всем тем, что на них изображено,совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром (отфранц. еpure – чертеж).На рисунке показан эпюр точки А .

Притаком способе совмещения плоскостей

H и V проекции a1 и a2 окажутсярасположенными на одном перпендикуляре к оси OX. Приэтом расстояние a1ax — от горизонтальной проекции точки до оси OX равнорасстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a2ax — от фронтальнойпроекции точки до оси OX равнорасстоянию от самой точки А до плоскостиH.

Прямыелинии, соединяющие разнои

менные проекции точки на эпюре, условимсяназывать линиями проекционной связи.

Положение проекцийточек на эпюре зависит от того, в какой четверти находит

сяданная точка. Так, если точка В расположена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX.

Если точка С находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью

OX. Наконец, если точка D расположена в четвертойчетверти, то обе проекции ее окажутся подосью OX. Нарисунке показаны точки М иN,лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX. Этаособенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которойсовпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса.

Следует отметить и тотслучай, когда обе проекции точки совпадают.Так будет, если точка находится вовторой или четвертой четверти наодинаковом расстоянии от плоскостейпроекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняярасположена на оси

OX.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА

ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Вышебыло показано, что две проекции

точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждаяфигура или тело представляет собойсовокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму.

Однаков практике изображения строи

тельных конструкций, машин и различных инженерныхсооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций.Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж болееясным, удобочитаемым.

Модельтрех плоскостей проекций пока

зана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярнаяи H и V,обозначается буквой W иназывается профильной.

Проекцииточек на эту плоскость будут

также именоваться профильными, а обозначаютих заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (aз, bз, cз,… 1з, 2з, 33...).

Плоскости проекций, попарно пересека

ясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые можнорассматривать как систему прямоугольныхдекартовых координат в пространстве с началомв точке О. Система знаков, указанная на рисунке,соответствует «правой системе» координат.

Три плоскости проекций делят пространство на восемьтрехгранных углов — это так называемые

октанты. Нумерация октантов дана на рисунке.

Как и прежде, будем считать, что зри

тель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости

H и W вращают, как показано нарисунке, до совмещения с плоскостью V. В результате вращения передняя полуплоскостьH оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — сверхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость Wсовместится с правой полуплоскостью V, азадняя полуплоскость W — с левой полуплоскостью V.

Окончательныйвид всех совмещенных

плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в неподвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY показанадважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY наэпюре совмещается с осью ОZ, а вращаясь вместе сплоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX.

В дальнейшем

при обозначении осей на эпюре отрицательныеполуоси (— ОX, — ОY, — ОZ) указываться не будут.

ТРИКООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.

Координатаминазывают числа, которые

ставят в соответствие точке для определенияее положения в пространстве или на поверхности.

Втрехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольныхдекартовых координат х, у и

z.

Координатух называют

абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяетрасстояние от данной точки до плоскости W, ордината у — доплоскости V и аппликата z — до плоскости H. Приняв для отсчетакоординат точки систему, показанную нарисунке, составим таблицу знаков координат во всехвосьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданнаякоординатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).

Если х = 5,

y = 4 и z = 6, то записьпримет следующий вид А (5,4, 6). Эта точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте

Координатыточки А являются

вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА

поотношению к началу координат. Если i, j, k —единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то

ОА =

ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ, ОАУ,ОАг — координаты вектора ОА

Построение изображения самой

точкии ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатногопрямоугольногопараллелепипеда. Прежде всегона осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках ( Оax , Оay , Оaz ), как на ребрах, строят прямоугольныйпараллелепипед. Вершина его, противоположнаяначалу координат, и будет определятьзаданную точку А. Легко заметить,что для определения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например Оax , axa1 и a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребраобразуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которойопределяется соответствующей координатойточки.

Однакопостроение параллелепипеда по

зволяет определить не только точку А, нои все три ее ортогональные проекции.

Лучами,проецирующими точку на плос

кости H, V, W являются те три ребра параллелепипеда,которые пересекаются в точке А.

Каждаяиз ортогональных проекций

точки А, будучи расположенной наплоскости, определяется только двумя координатами.

Так,горизонтальная проекция

a1 определяетсякоординатами х и у, фронтальная проекцияa2 — координатами х и z, профильная проекция a3 — координатамиу и z. Но две любые проекцииопреде